椭圆和双曲线的参数方程

椭圆和双曲线的参数方程

一、选择题

1．椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ

(θ为参数)，若θ∈[0，2π)，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( ) A ．π B.π2 C ．2π D.3π2

2．椭圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ

(θ为参数)的焦距为( ) 21 B ．221 C.29 D ．229

3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )

A ．点(2，3)

B ．点(2，0)

C ．点(1，3)

D ．点⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2 4．双曲线⎩⎨⎧x ＝23tan α，y ＝6sec α

(α为参数)的两焦点坐标是( ) A ．(0，－43)，(0，43) B ．(－43，0)，(43，0)

C ．(0，－3)，(0，3)

D ．(－3，0)，(3，0)

5．点(2，33)对应曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝6sin θ

(θ为参数)中参数θ的值为( ) A ．k π＋π6(k ∈Z) B ．k π＋π3

(k ∈Z) C ．2k π＋π6(k ∈Z) D ．2k π＋π3

(k ∈Z)

6．参数方程⎩⎨⎧x ＝sin α2＋cos α2，y ＝2＋sin α

(α为参数)的普通方程为( )

A ．y 2－x 2＝1

B ．x 2－y 2＝1

C ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)

D ．x 2－y 2＝1(|x |≤2)

7．设O 是椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ

(φ为参数)的中心，P 是椭圆上对应于φ＝π6的点，那么直线OP 的斜率为( )

A.33

B. 3

C.332

D.239

8．参数方程⎩⎨⎧x ＝e t －e －t ，y ＝e t ＋e

－t (t 为参数)表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的下支 C ．双曲线的上支 D ．圆

二、填空题

9．二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ

(θ为参数)的左焦点的坐标是________． 10．曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝23sin θ

(θ为参数)上一点P 到点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为________． 三、解答题

11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 3 cos α，y ＝sin α

(α为参数)．

(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极

轴)中，点P 的极坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；

(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．

12．已知点P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点，

(1)求2x ＋y 的取值范围；

(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．

13．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点．

(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和 焦点坐标；

(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程．

椭圆和双曲线的参数方程答案

1．A 2.B 3.B 4．A 5．D 6.C 7.D 8．C9．(－4，0) 10．8

11．解析：(1)把极坐标系下的点P ⎝

⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)． 因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．

(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，

从而点Q 到直线l 的距离

d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.

解 (1)设圆的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ， 2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1

∴－5＋1≤2x ＋y ≤5＋1.

(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0.

∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1， ∴a ≥2－1.

13解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4，

得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝⎛⎭

⎫1，32在椭圆上， 因此14＋⎝⎛⎭⎫322

b

2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)．

(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，

线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，

则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02

， 所以x ＋12＝cos θ，2y 3

＝sin θ. 消去θ，得⎝⎛⎭

⎫x ＋122＋4y 23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程．