相遇和追击问题

相遇和追击问题

1. 相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （ 2）位移关系：0s s s B A ±= （3）速度关系：

两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 3. 两种典型追击问题

（1）速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）

①当v 1=v 2时，A 末追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离； ②当v 1=v 2时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件；

③当v 1>v 2时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。

（2）同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）

①当 v 1=v 2 时，A 、B 距离最大；

②当两者位移相等时，有 v 1=2v 2 且A 追上B 。A 追上 B 所用的时间等于它们之间达到最大距离时间的两倍。

4. 相遇和追击问题的常用解题方法

画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。

（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系

中列式求解。 （2）图像法——正确画出物体运动的v--t 图像，根据图像的斜率、截距、面积

的物理意义结合三大关系求解。 （3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学

公式列式求解。 （4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用

二次函数的求根公式中Δ判别式求解。

典型例题：

例1. A 火车以v 1=20m/s 速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B 正以v 2=10m/s 速度匀速行驶，A 车立即做加速度大小为a 的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a 应满足什么条件？ 解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A 、B 速度关系： 21v at v =-

由A 、B 位移关系： 02212

1

x t v at t v +=-

2220221/5.0/100

2)1020(2)(s m s m x v v a =⨯-=-=

2/5.0s m a >∴

解2：（图像法）

在同一个v-t 图中画出A 车和B 车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

100)1020(2

1

0=-⨯t （包含了时间关系）

s t 200=∴

5.020

10

20tan =-=

=αa 2/5.0s m a >∴

解3：（相对运动法）

以B 车为参照物， A 车的初速度为v 0=10m/s ，以加速度大小a 减速，行驶x=100m

后“停下”，末速度为v t =0。

02

022ax v v t =-

22202

02/5.0/100

21002s m s m x v v a t -=⨯-=-=

2/5.0s m a >∴

备注：以B 为参照物,公式中的各个量都应是相对于B 的物理量.注意物理量的正负号。

解4：（二次函数极值法） 若两车不相撞，其位移关系应为

02212

1

x t v at t v <--

代入数据得：0100102

1

2>+-t at

其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

0214)10(10021

42

>⨯--⨯⨯a a 2/5.0s m a >∴

把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

2.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

物体的v-t 图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

（由于不涉及时间，所以选用速度位移公式。 ）

解1：（公式法）

当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t 两车之间的距离最大。则

自汽

v at v == s s a v t 23

6

===∴自

m m m at t v x x x m 6232

1

262122=⨯⨯-⨯=-=-=∆自汽自

解2：（图像法）

在同一个v-t 图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意

义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t 0时矩形与三角形的面积之差最大。

v-t 图像的斜率表示物体的加速度

3tan 6

==αt s t 20=∴ 当t=2s 时两车的距离最大为图中阴影三角形的面积

m m x m 6622

1

=⨯⨯=

∆ 动态分析随着时间的推移,矩形面积（自行车的位移）与三角形面积（汽车的位移）的差的变化规律 解3：（相对运动法）

选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v 0=-6m/s ，a=3m/s 2，两车相距最远时v t =0

对汽车由公式 at v v t +=0 （由于不涉及位移，所以选用速度公式。 ）

s s a v v t t 23

)

6(00=--=-=

对汽车由公式 ：as v v t 22

02=-

（由于不涉及“时间”，所以选用速度位移公式。 ）