5 计算流体力学基础一
计算流体力学基础及其应用
计算流体力学基础及其应用计算流体力学（CFD）是计算机运用精确的数学模型和算法来研究流体力学物理过程的一种技术。
它利用计算机模拟方法处理流体流动和相互作用的过程，以更准确、更快捷的方式研究热流体流动、传热、传质和湍流等物理过程的问题。
CFD的基础是数学方面的流体力学，应用计算机模拟的基本方法是数值方法，用于分析各种流体流动问题以及相关热传导、传质等热力学现象。
此外，计算流体力学还集成有计算机动力学，流体动力学，热力学，结构力学，能量方法，计算工程和多物理场的数值模拟技术，可以更加精准地研究流体动力学，热传递，流体机械，复杂流动等问题。
CFD在工程实践中具有重要作用，其应用领域非常广泛，包括空气、液体、气体和粘性流动等各种固体表面及流体体系的运动和相互作用。
例如，可以用来分析大气环境中污染物的扩散，水力学中河流水流的流动性能和可能形成的机械，风能资源的开发利用，以及气体控制元件的设计等。
CFD技术的研究和应用对改善工业和生活的质量起着重要作用，具有重大的经济效益。
它可以帮助工程师进行快速和准确的表征及设计，从而大大缩短研发和评估的周期，并节省大量的研发费用，从而提高产品的质量和可靠性。
例如，可以用CFD模拟来分析火力发电厂泄漏物介质的运动和湍流，从而确定阀门及其参数，进行管道设计，抑制烟气污染，提高系统效率，实现节能减排等。
此外，CFD还可以用于水工工程，海洋工程，气候变化，大气和海洋环境监测，飞机设计，汽车行业和其他工程方面的问题，有助于数字信息的可视化，预测及避免工程问题，提高效率。
因此，CFD既可以用于重要的实际问题的研究，也可以用于开发新产品，从而为工程实践提供可靠的计算技术，有效地改善系统质量和可靠性，提高经济效益。
综上所述，CFD的研究和应用具有重要的实际意义，可以显着提高工程的质量和可靠性，并带来可观的经济收益。
未来，CFD技术将逐步发展壮大，有效地改善人们的生活和工作环境。
流体力学与计算流体力学基础
第1章流体力学与计算流体力学基础流体力学是力学的一个重要分支，它主要研究流体本身的静止状态和运动状态，以及流体和固体界壁间有相对运动时的相互作用和流动的规律，在生活、环保、科学技术及工程中具有重要的应用价值。
计算流体力学或计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics，CFD），是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。
本章先介绍流体力学中支配流体流动的基本物理定律，然后在此基础上介绍用数值方法求解流体力学问题的基本思想，进而阐述计算流体力学的相关基础知识，最后简要介绍常用的计算流体力学商业软件。
学习目标：•学习流体力学的基础知识，包括基本概念和重要理论；•学习计算流体力学的相关理论和方法；•了解CFD软件的构成；•了解常用的商业CFD软件。
1.1 流体力学基础流体力学是连续介质力学的一个分支，是研究流体（包含气体及液体）现象以及相关力学行为的科学。
1.1.1 流体力学概述1738年，伯努利在他的专著中首次采用了水动力学这个名词并作为书名；1880年前后出现了空气动力学这个名词；1935年以后，人们概括了这两方面的知识，建立了统一的体系，统称为流体力学。
在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，因此流体力学是与人类日常生活和生产事业密切相关的。
大气和水是最常见的两种流体，大气包围着整个地球，地球表面的70%是水面。
大气运动、海水运动（包括波浪、潮汐、中尺度涡旋、环流等）乃至地球深处熔浆的流动都是流体力学的研究内容。
20世纪初，世界上第一架飞机出现以后，飞机和其他各种飞行器得到迅速发展。
20世纪50年代开始的航天飞行，使人类的活动范围扩展到其他星球和银河系。
航空航天事业的蓬勃发展是同流体力学的分支学科——空气动力学和气体动力学的发展紧密相连的。
这些学科是流体力学中最活跃、最富有成果的领域。
石油和天然气的开采、地下水的开发利用，要求人们了解流体在多孔或缝隙介质中的运动，这是流体力学分支之一——渗流力学研究的主要对象。
计算流体基础
X 方向净流出量为：
Y 方向净流出量为：
Z 方向净流出量为：
控制体质量流出量
该控制体的质量为密度 X 体积，即：
则其质量随时间的变化率为：
对于该控制体来说， 质量守恒就是流出该控制体的质量流量等于控制体内的质量 减少量.将质量减少定义为负，则质量守恒可以表达为：
即：
或者写为散度形式：
综上，控制体在 x 方向上的所受表面力为：
同理，可得所有表面力在 x 方向所做功率为：
所有的体积力和表面力所做功功率为：
流入控制体净热流量主要来自于体积加热，比如吸收或释放的辐射热和热传 导等.定义 为单位质量的体积加热率，则控制体的体积加热为：
假设 为热传导在单位时间内通过单位面积在 x 方向上输运的热量，那么对于控 制体在 x 方向上热传导的热量为：
同理可得整个控制体的热流量为：
根据傅里叶热传导定律，热传导产生的热量与当地温度梯度成正比：
所以总热流量可表示为：
Байду номын сангаас
物体的总能量为动能与内能之和，为 e v 2 / 2 则控制体能量变化率为：
则能量方程可表示为：
这五个方程统称为 NS 方程，然后再引入两个补充状态方程：
这样，整个方程组就封闭了，CFD 的任务就是求解这一组方程.
当 x 足够小时，我们可以近似的认为
用线性代数式表示非线性微分方程，这就是求解微分方程的基本思想. 根据泰勒展开公式有：
可以看到最低阶项是 x 的一次方项，我们可以将上式写为：
舍弃 (x) ，则可得到有限差分表达式：
其中舍弃的部分 (x) 称为截断误差.可以看出该表达式的截断误差最低项是 x 的一次方，则称该有限差分格式具有一阶精度，由于该表达式仅仅用到了(i,j)和 (i+1,j)的信息，该格式称为一阶向前差分. 再看(i‐1,j)这个点的泰勒展开式为：
计算流体力学及其并行算法
计算流体力学及其并行算法一、引言计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是研究流体运动和相互作用的一门学科，广泛应用于工程、天文、地球科学等领域。
随着计算机技术的发展，CFD的数值模拟方法也得到了极大的发展，其中并行算法在加速CFD计算过程中起到了重要的作用。
二、计算流体力学基础1. 流体力学基本方程计算流体力学的基础是流体力学的基本方程，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
这些方程描述了流体的运动、力学性质和能量转换。
2. 数值离散化方法为了将流体力学方程转化为计算模型，需要对连续域进行离散化。
常用的数值离散化方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。
这些方法将连续的流体域离散为网格，通过在网格上的节点上进行数值计算，得到流体的各个物理量。
三、并行算法在计算流体力学中的应用1. 并行计算的需求计算流体力学涉及大规模的计算，需要处理大量的数据和复杂的计算操作。
传统的串行计算方式往往难以满足计算需求，因此并行算法成为加速CFD计算的重要手段。
2. 并行算法分类并行算法根据不同的并行计算方式，可以分为共享内存并行和分布式内存并行两大类。
共享内存并行算法使用多个处理器共享同一块内存，通过线程间的数据共享和同步来实现并行计算；分布式内存并行算法则将计算任务分配到不同的处理器上，通过消息传递来实现并行计算。
3. 并行算法的优势并行算法在加速CFD计算中具有显著的优势。
首先，通过并行计算，可以将计算任务分配到多个处理器上，实现计算资源的充分利用。
其次，并行算法可以处理大规模的计算问题，提高计算效率和精度。
此外，并行算法还可以实现实时计算和交互式计算，提供更好的用户体验。
四、并行算法的挑战和发展方向1. 数据通信和负载均衡在并行计算过程中，处理器之间需要进行数据通信，这涉及到数据传输和同步操作。
数据通信的效率和负载均衡是并行算法面临的挑战之一，需要合理设计算法和优化通信过程。
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章--计算流体力学的基本知识第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
*流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler 或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
计算流体力学入门
并 且 数 值 上 等 于 格 心 处 的 流 场 参 数 值 ， Fi 是 每 个 控 制 面 上 F 的 平 均 值 ， 即 记
u
1 V
1 ， F d u V i C.V Si
u V F 。那相当于求解 F dS i Si 0 。这个方程就 c.si t i
第 i-1 点:
(1.3)
ui 1 (u u ) ai 1 i 1/ 2 i 3/ 2 0 t x
以上三式相加，得：
(1.4)
ui 1 ui ui 1 ai 3/ 2 ai 3/ 2 (ui 3/ 2 ui 3/ 2 ) ( ) t x 3 6 a u ) a (u (u ) a a u i 1/ 2 i 3/ 2 i 3/ 2 i 1/ 2 i 3/ 2 i 1/ 2 i 1/ 2 i 3 / 2 6 6 x x
这里 a 不仅限于一个数，对于最复杂的情形——多维、多个方程，a 是一个 Jacobi 矩阵。 这个变形可以描述为方程可以化为拟线性形式。这里只分析最简单的情况，即 a 是一个数。 对这种问题的分析可以很类似地推广到方程组和多个空间坐标的情形， 比如欧拉方程， 甚至 是完整的 NS 方程，RANS 方程。 对于方程
u u a(u, x) 0 t x
以中心差分方法为例来说明。 对于第 i 点:
(1.1)
ui (u u ) ai i 1/ 2 i 1/ 2 0 t x
其中 ai 第 i+1 点:
(1.2)
1 (ai 1/ 2 ai 1/ 2 ) 2
ui 1 (u u ) ai 1 i 3/ 2 i 1/ 2 0 t x
计算流体力学 有限体积法基础及其应用
一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义1.2 计算流体力学的研究对象1.3 计算流体力学的发展历史二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理2.1.2 有限体积法的数学模型2.2 有限体积法的数值求解2.2.1 离散化2.2.2 迭代求解三、有限体积法在计算流体力学中的应用3.1 有限体积法在流体流动模拟中的应用 3.1.1 管道流动模拟3.1.2 自由表面流动模拟3.2 有限体积法在传热问题中的应用3.2.1 对流传热3.2.2 辐射传热四、有限体积法在工程领域中的应用4.1 有限体积法在航空航天领域中的应用 4.2 有限体积法在汽车工程中的应用4.3 有限体积法在建筑工程中的应用五、有限体积法的发展趋势5.1 高性能计算技术对有限体积法的影响5.2 多物理场耦合对有限体积法的挑战5.3 人工智能在有限体积法中的应用六、结论一、计算流体力学简介1.1 计算流体力学的定义计算流体力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）是利用计算机模拟流体力学问题的一门学科。
它通过对流动流体的数值解，来研究流体在各种情况下的运动规律和性质。
1.2 计算流体力学的研究对象计算流体力学的研究对象包括流体的流动、传热、传质、振动等现象，以及与流体相关的各种工程问题，如飞机、汽车、建筑等的气动特性分析与设计。
1.3 计算流体力学的发展历史计算流体力学的发展可以追溯到20世纪50年代，当时计算机技术的进步为流体力学问题的数值模拟提供了可能。
随着计算机硬件和软件的不断发展，CFD的应用领域不断扩大，成为现代工程领域不可或缺的工具之一。
二、有限体积法基础2.1 有限体积法的理论基础2.1.1 有限体积法的基本原理有限体积法是求解流体动力学问题的数值方法之一，它基于质量、动量和能量守恒的控制方程，将求解域离散化为有限数量的体积单元，通过对控制方程进行积分，将方程转化为代数方程组。
计算流体力学课件-part1
2024/2/28
19
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的概念
➢完整方程
连续方程
动量方程
能量方程
2024/2/28
20
❖Computational Fluid Dynamics
沿特征线，扰动波的幅值不变，传播速度为c
则在t>0时，传播过程如下图：
2024/2/28
27
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
➢单波方程
➢c>0时，传播沿x正向 ➢C<0时，传播沿x负向 ❖扰动波以有限速度传播是双曲型方程的重要 特征（波形和波幅可能会变化，此处为什么不 变？）
如何表达初始形状三角形
如何存储数据 如何积分
数值积分，HOW？
如何显示结果
TECPLOT
尝试改变几个常数，看看结果有何变化，常数反映了什么？
2024/2/28
22Biblioteka ❖Computational Fluid Dynamics
回顾
控制方程
模型方程
➢NS ➢EULER ➢Impressible NS ➢RANS
➢单波方程可以模拟EULER方程的一些特征
2024/2/28
28
❖Computational Fluid Dynamics
计算流体流体力学
第二讲 典型模型方程的数学性质
模型方程的特征
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经典差分格式及其性质
?u ? c ?u ? 0 ?t ?x
u ?x,0 ?? φ?x?
精确解
u ?x, t ?? φ ?x ? ct ?
FTBS Lax 格式
un?1 j
?
u
n j
?
c
u
n j
?
un j?1
?
0
?t
?x
稳定条件 CFL ? 1
? ? u
n j
?
1
?
1 2
??u
n j?1
?
u
n j?1
CDS (二阶)
一阶格式
达到与均匀网格同样的收敛速度：O (D x 2)
离散格式精度（阶数）的含义
? 当Δx? 0(即对网格不断加密)时，截断误差 减小的程度(收敛速度)。
? 高阶格式的优势是在网格不断加密的过程 中体现出来的，所以：
? 只有在网格足够密时，高阶格式才具有与 之相称的高精度。
均匀网格二分加密：
有限体积法基本思想
? 多项式插值
三点二次多项式插值：
? 格式精度等于插值次数减一 ? 偶数次插值、均匀网格：精度加一
五点四次多项式插值：
二阶导数差分格式
扩散项处理：
高精度格式
? 高精度格式需要更多节点 ? 方程更难求解 ? 边界条件更难处理 ? 二阶格式常用
耗散与色散
耗散
数值扩散系数ν数
? 耗散只存在于对流项的一阶离散格式 ? 正比于网格步长
离散方法
? 有限差分 ? 有限元 ? 有限体积
有限差分
有限差分基本思想
结构化网格：
?f ruj ?x
微分-> 差分：
有限差分：Taylor 级数展开
FDS： BDS： CDS：
截断误差：
有限差分：多项式插值
二阶CDS：
均匀网格高阶格式：
迎风(Upwind)格式
非均匀网格
? 截断误差 ~ 网格尺寸*导数
董f , D x ? 动f , D x ?
误差均匀分布
? 节点数给定，非均匀网格可使误差降到最小 ：网格自适应
非均匀网格：加密与截断误差
CDS：
一阶
CDS均匀网格：
Dx2
6
二阶
对非均匀网格进行系统加密可以
达到与均匀网格同样的收敛速度：O (D x 2)
非均匀网格：加密与截断误差
加密方法
? 简单二分法 ? 固定增长因子
计算流体力学
CFD基本要素
? 数学模型 ? 离散方法 ? 坐标系 ? 计算网格 ? 有限近似 ? 求解方法 ? 收敛准则
CFD方法性质
? 方程的相容性(Consistency) ? 数值算法的稳定性 ? 解的收敛性
? Lax等价定理
? 守恒性 ? 有界性 ? 模型的可实现性 ? 精度
? 模型误差、离散误差、迭代误差
?
σ
u
n j?
1
?
u
n j?1
??
σ ? c? t / ? x
Leap-Frog
un?1 j
?
u n?1 j
?
f
n j?1
?
fn j?1
?
0,
(f ? cu)
2? t
2? x
Lax-Wandrof
u
n? j
1
?
u
n j
?
c
?t ?x
u
n j?1
?
u
n j?1
2
?
1
?
?
t
2
?
2 ?? ? x ??
δx? cδx? cu j
非均匀网格：加密与截断误差
( )e
r o t 2h
( ) t
et h
非均匀网格CDS (一阶)收敛速度：
ì??í??>=
4, 4,
re = 1 re ? 1
对非均匀网格进行系统加密可以
均匀网格：
r t
=
ì???????í???????? ((((DDDDxxxx))))2222hhhh
= =
4, 2,
u ?u ?
α ?u ? g ?x?
?n ?
α1
?x ?? u
?n
?
? α2 ?x?u ?
?
h ?x ?
? 边界附近的差分可能要用到边界之外的节点 ? 如果不降低精度，需采用不同的差分格式
四次多项式插值：
边界导数差分格式
FDS：
内部节点三次插值：
离散后的代数方程
有限差分
微分方程
代数方程
?f ru
un j?1
?
u
n j
? ? ? ? ? f
? ? a j?1 2
?
?? ?
u j?1 ? f u j u j?1 ? u j
, u j?1 ? u j ? 0
? ?
a
?u
j
?,
? ? u j?1 ? u j ? 0
经典差分格式性质比较
，精确解
1 0.5
u u0, 0
-0.5
u0 FTBS lf lw lpfrog bw roe bwsplit
j ?x
计算网格单元与节点存储
代数方程组
合适的节点排序
稀疏矩阵 带矩阵
离散误差
微分方程真实解 离散方程真实解
线性问题：
截断误差 离散误差
离散误差估计与Richardson外插
? 网格足够细 ? 单调收敛
Richardson
外插:
fR h
=
f h
+
ed h
: O (hr ), r > p
有限体积法
? ? f ? ? c? u, c? ? c ? c / 2
f ? f ? ? f ? , c ? c? ? c?
? ? un?1 j
?
u
n j
?
?t ?x
f?jn?1 2 ? f?jn?1 2
? ? ? ? ? ? f?jn?1 2
?
1 2
??
f
u
n j
?f
un j?1
?? ?
1 2
an j?1 2
网格Peclet数与网格Reynolds数
数值扩散系数ν数
数值耗散不能大于物理耗散： 或
色散
色散关系： CDS approximation of a wave:
差分格式只能正确模拟低频分量（相对于kmax）
色散与振荡
CDS
UDS
? 网格较粗时产生较大的虚假低频分量 ? 一阶格式的强耗散抹平了振荡
r t
=
ì???????í???????? ((((DDDDxxxx))))222hh2hh
= =
2, 4,
一阶格式
CDS (二阶)
r =9 t r =9 t
r = 16 t
二阶导数差分格式构造方法
? 对一阶导数差分
二阶导数差分格式构造方法
? Taylor 级数展开：量 ，
一阶
二阶导数差分格式构造方法
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
经典差分格式性质比较
，精确解
1
0.8
0.6
u
0.4
Initial ftbs lf lw lpfrog bwsplit roe bw
0.2
0-1
-0.5
0
0.5
1
x
边界条件差分格式
偏微分方程边界条件：
1、Dirichlet问题 2、Neumann问题 3、Robin问题
经典差分格式及其性质
Beam-Warming 流通矢量分裂
Roe格式
? ? un? 1 ? ? j
?
u
n j
?
c? t
3u
n j
?
4u
n j?
12? x?来自un j? 2?
c2
?t
2
u
n j
?
2u
n j?1
?
un j?2
2
?x 2
uin ? 1
?
u
n j
?
?
? x
f
? j
?
?
? x
f
? j
?
0
?t
?x