2019-2020年高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第十三章计数原理第

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【名师提醒】
第二讲 排列与组合
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考点2 组合与组合数
第二讲 排列与组合
1.组合与组合数:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n个不同
元素中取出m个元素的一个组合,所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元
素的组合数,用符号
A
4 4
A
2 5
=480(种)不同的站法.
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题型全突破 4
第二讲 排列与组合
【解析】
解法二 (元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位 置,分为两步: 第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有 种站法;
第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有 种站法.
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题型全突破 6
第二讲 排列与组合
考法示例2 某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出 4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为
A.85
B.86
C.91
D.90
【思路分析】
可直接求解,也可用间接法求解,注意题目中“至少”的含义.
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考点1
第二讲 排列与排列数
排列与组合
1.排列与排列数:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫 作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中 取出m个元素的排列数,用符号表示.
n! 2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= ( n m ) ! n,m∈N*,且m≤n). n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个元素的一个全排列.这时公式中m=n,即有 =n!=n(n-1)(n-2)·…·2·1. 规定: 0!=1.
第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列;
第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数.
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题型全突破 10
第二讲 排列与组合
考法示例3 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位
数的个数为
A.300
B.216
C.180
D.162
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由分步乘法计数原理可知,共有
=480(种)不同的站法.
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第二讲 排列与组合
解法三 (间接法)6人无限制条件排队有 种站法,因此符合条件的不同站法共有
种站法,甲站在最左边或最右边时6人排队有 =480(种).
【点评】解法一和解法二进行排列时总体都进行了分步,体现了特殊元素优先处理的原则; 解法三中用总数减去不符合要求的站法,体现了正难则反的数学思想,这是我们解决此类问 题时常用的一种思想.
.
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题型全突破 13
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第二讲 排列与组合
.
【技巧点拨】 (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题.要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分 步. (2)以元素为主时,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主时,先满足特殊位置的 要求,再考虑其他位置. (3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合题,要周密分析,设计出合理的方案,一般先把复 杂问题分解成若干个简单的基本问题,然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决,一般遵循先选后排的原则.
C
m n

n! m!(n-m)!
的主要作用有:①当m,n较大时,利用此公式计算组合数较
为简便;②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时,常用此公式.
3.组合数的性质: (1)Cm nC n m 1(m ,nN *,且 mn) (2)Cm n1C n mC n m 1(m ,nN *,且 mn)
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第二讲 排列与组合
【注意】
(1)对于组合数的第一个公式 Cm n=A Am n m mn(n-1)(n-2m )?!(n-m1) ,它体现了组合数与相应 排列数的关系,当n确定而m变化时,组合数与m是一种函数关系,一般在计算具体的组合
数时,常用此公式.
(2)第二个公式
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题型全突破 5
考法2
第二讲 组合问题的求解
排列与组合
考法指导 组合问题的常见题型: (1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将 这些元素剔除,再从剩下的元素中选取. (2)“至少”与“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含 义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间 接法处理.
72+18=90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时,若选出的偶数是0,则
再选出两个奇数,千位上只要在剩余数字中选一个放上即可,方法数为 C32A33C4172;若选出的 偶数不是0,则再选出两个奇数后,千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数
是 A33C31 18 . 故这种情况下符合要求的四位数共有72+162=234(个). 根据分类加法计数原理,符合要求的四位数共有90+234=324(个).
【点评】考法示例2是一个“至少”型问题,解法一在分类时,总体上分了三类, 而在每一类中又分别分了三类;解法二中用了三次间接法.
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题型全突破 9
考法3
第二讲 排列与组合的综合应用
排列与组合
考法指导
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题
只需三步即可完成.
第一步:选元素,即选出符合条件的元素;
(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶
数的四位数共有 个.(用数字作答)
【思路分析】(1)根据特殊数字0进行分类→在每一类中利用分步乘法计数原理→求
得四位数的个数 (2)根据题意分三个偶数和两个奇数、一个偶数两类→再在每一类中根据是否含有0进行 分类和分步→综合利用两个基本计数原理求解
C
m n
表示.
【辨析比较】
排列与组合的异同点 共同点:都是“从n个不同元素中取出m个元素”. 不同点:前者与元素的顺序有关,为“将取出的元素按照一定顺序排成一列”,后者 与元素的顺序无关,为“将取出的元素合成一组”. 因此我们可以得到:区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看选出的元素是 否与顺序有关.
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第二讲 排列与组合
【名师提醒 】
n
组合数的性质的应用:性质(1)主要有两个方面的应用,一是简化运算,当m> 2 时,通
常将计算
C
m n
转化为计算
C
n n

m
;二是列等式,由 Cnx
Cny 可得x=y或x+y=n.
性质(2)主要应用于恒等变形,简化运算.
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题型全突破
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题型全突破 11
【解析】
第二讲 排列与组合
(1)分两类: 第1类,不取0,即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,根据分 步乘法计数原理可知,共有 C3 2C2 2A4 472(个 )不同的四位数; 第2类,取0,此时2和4只能取一个,再取两个奇数,组成没有重复数字的四位数,根据分步乘法计 数原理可知,共有 C 2 1C （ 3 2A4 4-A3 3 ） 10 （ 8个 不） 同的四位数. 根据分类加法计数原理可知,满足题意的四位数共有72+108=180(个).故选C.
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题型全突破 7
第二讲 排列与组合
【解析】
解法一 (直接法)由题意,可分三类考虑: 第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为 C 3 1C 4 2C 3 2C 4 1C 3 331
第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为 C 4 1C 3 2C 4 2C 3 1C 4 234
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能力大提升 2
第二讲 排列与组合
1.整体均分问题
【示例4】家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,
毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学
校去任教,有
种不同的分派方法.
【思路分析】
确定平均分组的方法数→将3组毕业生分到3所学校→由分步乘法计数原理求方法总数
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考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二讲 排列与组合
考点 2016全国 2015全国 2014全国
自主命题区域
排列与组合 【60%】
2016四川,4,5分 2014北京,13,5分 2014浙江,14,4分
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考情精解读 3
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二讲 排列与组合
1.热点预测 利用排列、组合解决计数问题是高考 考查本讲内容的热点,以选择题、填空题为主,分值 为5分. 2.趋势分析 预测2018年,仍以利用排列、组合知 识解决计数问题为主,也可能与概率相结合进行考 查.
第3类,男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为 C3 2C4 1C3 1C4 221
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.
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题型全突破 8
第二讲 排列与组合
【解析】
解法二 (间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有
C 9 4C 5 4C 4 4120(种 男)、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 C74 C44 34所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120-34=86.
先整体, “小集团”排列问题中,先整体后局部
后局部
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除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反,等价转化的方法
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题型全突破 2
第二讲 排列与组合
考法示例1 6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种 不同站法?
【思想分析】 由于最左边和最右边是特殊位置,可采用位置分析法;由于甲是特殊元素,也可 采用元素分析法;还可以直接从反面考虑.
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题型全突破 3
【解析】
第二讲 排列与组合
解法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分
为两步:
第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有
A
2 5
种站法;
第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有
A
4 4
种站法.
由分步乘法计数原理可知,共有
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能力大提升 3
第二讲 排列与组合
【解析】
C
2 6
C
2 4
C
2 2
先把6个毕业生平均分成3组,有
A
3 3
种方法,
再将3组毕业生分到3所学校,有
A
3 3
种方法,
故6个毕业生平均分到3所学校,共有
C62C42C22 A33
A33=90（种）分派方法.
【点评】本题属于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是 一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免重复计数.
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题型全突破 12
第二讲 排列与组合
(2)当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时,若选出的三个偶数含有0,则千位上把剩余数
字中任意一个放上即可,方法数是=72;若选出的三个偶数不含0,此时千位上只能从剩余的非0
数字中选一个放上,方法数是
C
C1 2
23
(A
4 4

A
3 3
)

108(个
)
.故这种情况下符合要求的四位数共
能力大提升
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能力大提升 1
第二讲 排列与组合 均匀分组与不均匀分组相混淆致误
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一个基 本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、部分均分 和不等分组三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中元素的个数 相等,就存在均分现象.
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题型全突破 1
考法1
第二讲 排列问题的求解
排列与组合
考法透析
求解排列问题的常用方法:
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 插空法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注 意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前 面元素的排列空中
目 录 Contents
考情精解读
A.知识全通关
B.题型全突破
C.能力大提升
考点1
考点2
考法1 考法3
考法2
易错1 易错2 易错3
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考纲解读
命题规律
命题趋势
第二讲 排列与组合
考试大纲 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.