2019-2020年高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第十三章计数原理第
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
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数学
知识全通关 4
第十章·第四讲 直线与圆锥曲线的综合应用
易错提醒 1.过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切,过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭 圆相切,过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条与对称轴平行 或重合的直线;过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点:一条切线和一条 与对称轴平行或重合的直线;过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点:一 条与对称轴平行或重合的直线. 3.过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点:两条切线和两 条与渐近线平行的直线;过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点:一条切线 和两条与渐近线平行的直线;过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点:两条 与渐近线平行的直线.
(1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系.,利用求函数值域的方法求解.
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知识全通关
数学
知识全通关 1
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
第十章·第四讲 直线与圆锥曲线的综合应用
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数学
知识全通关 2
第十章·第四讲 直线与圆锥曲线的综合应用
②若Δ=0,则方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有一个交点; ③若Δ<0,则方程无实数解,即直线与圆锥曲线无交点. 注意 Δ>0是直线与双曲线、抛物线相交的充分条件,但不是必要条件. (2)当a=0时,方程为一次方程,若b≠0,方程有一个解,此时直线与圆锥曲线有一个交点;若b=0,c≠0, 方程无解,此时直线与圆锥曲线没有交点.
命题规律
命题趋势
第四讲 直线与圆锥曲线的综合应用
考点
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
考点 不等式选讲1.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.1.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.2.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 2.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解.当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞).3.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.3.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时,由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1,所以,-1<x ≤-12；当-12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1，所以，-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a ＋b )2-(1＋ab )2＝a 2＋b 2-a 2b 2-1＝(a 2-1)(1-b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.4.(2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 4.4或－6 [由绝对值的性质知f (x )的最小值在x ＝-1或x ＝a 时取得,若f (-1)＝2|－1-a |＝5,a ＝32或a ＝－72，经检验均不合适；若f (a )＝5，则|x ＋1|＝5，a ＝4或a ＝－6，经检验合题意，因此a ＝4或a ＝－6.]5.(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.5.解(1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2]＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.6.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 6.解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0,B (2a ＋1,0),C (a ,a +1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).7.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.7.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.8.(2014·广东，9)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.8.{x |x ≤－3或x ≥2} [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.]9.(2014·湖南，13)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________.9.－3 [依题意，知a ≠0.|ax －2|<3⇔－3<ax －2<3⇔－1<ax <5，当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，5a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝13，－1a ＝－53，此方程组无解.当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ，－1a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝－53，－1a ＝13，解得a ＝－3.]10.(2014·重庆，16)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [令f (x )＝|2x -1|＋|x +2|,易求得f (x )min ＝52,依题意得a 2+12a +2≤52⇔-1≤a ≤12.]11.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f (x )＝|x ＋1a|＋|x －a |(a >0).(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.11.(1)证明 由a >0，有f (x )＝|x ＋1a |＋|x －a |≥|x ＋1a －(x －a )|＝1a＋a ≥2.所以f (x )≥2.(2)解 f (3)＝|3＋1a |＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋21212.(2014·天津，19)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .12.(1)解 当q ＝2,n ＝3时,M ＝{0,1},A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22,x i ∈M ,i ＝1,2,3}.可得,A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明 由s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ,可得s -t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q -1)＋(q -1)q +…+(q -1)·q n －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝-1<0.所以，s <t .。
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数学
第五章·第三讲
考情精解读 2
平面向量的数量积及向量的应用
考纲解读 命题规律 命题趋势
考点
数量积的定 义及长度、角
度问题 【40%】
平面向量的 综合应用 【40%】
2016全国
·全国Ⅲ,3,5分
2015全国 2014全国 自主命题区域
·2016江苏,13,5分 ·2016山东,8,5分 ·2015山东,4,5分 ·2015江苏,14,5分 ·全国Ⅰ,15,5分 ·2015四川,7,5分 ·全国Ⅱ,3,5分 ·2015天津,14,5分 ·2014四川,7,5分 ·2014山东,12,5分 ·2014江苏,12,5分
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第五章·第三讲
知识全通关 7
平面向量的数量积及向量的应用
33..实实数数运运算算满满足足消消去去律律::若若bbcc==ccaa,,cc≠≠00,,则则bb==aa..在在向向量量数数量量积积的的运运算算中中,,若若 aa···bb==aa···cc((aa≠≠00)),,则则向向量量cc,,bb在在向向量量aa的的方方向向上上的的投投影影相相同同,,而而不不能能由由aaa···bb==aa···cc((aa≠≠00))得得到到 bb==cc. .
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第五章·第三讲
平面向量的数量积及向量的应用
知识全通关 8
考点三 平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
结论 模 数量积
夹角
a⊥b的充 要条件 |a·b|与 |a||b|的关系
几何表示 a·b=|a||b|cos θ
坐标表示 a·b=x1x2+y1y2
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数学
题型全突破
第七章·第一讲
不等式的性质与解法
1
考法1 比较大小
考法指导 一般地,比较实数大小的方法有六种: (1)作差法,其基本步骤为:作差,变形,判断符号,得出结论.用作差法比较大小的关键是判断 差的正负,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法. (2)作商法,即判断商与1的大小关系,得出结论,要特别注意,当商与1的大小确定后,必须对 商式分子、分母的正负作出判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤. (3)利用单调性比较大小. (4)中间量法,当两个或多个数式比较大小时,可以从中寻找一个中间量,让这些需要比较大 小的数式以这个中间量作参照,从而得到它们的大小排序. (5)函数法,即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值,然后利用函数的单调 性将其进一步转化为自变量大小问题来解决. (6)可以多次取特殊值,根据特殊值确定数值的大小,从而得出结论.
有两个相异的实数 根x1,x2(x1<x2)
{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
⌀
对于a<0的情况可同理得出结论.
没有实数根 R ⌀
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第七章·第一讲
知识全通关 6
【规律总结】
不等式的性质与解法
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第七章·第一讲
知识全通关 6
不等式的性质与解法
别名 移项法则
性质3的推论2
同向可加性
性质4的推论1
同向同正可乘性
性质4的推论2
可乘方性
性质4的推论3 性质4的推论4
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第十四章 推理与证明1.(2016·新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个1.解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的六月，七月，八月，故选D. 答案 D2.(2016·浙江，8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|,A n ≠A n＋2,n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列2.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.答案 A3.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 3.解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案 A4.(2016·新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”. 答案 1和35.(2016·山东，12)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.5.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.答案 43×n ×(n ＋1)6.(2015·陕西，16)观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．6.解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n7.(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________． 7.解析 可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案2018.(2014·课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．8.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市，又知乙没去过C 城市，故乙去过A 城市． 答案 A9.(2016·浙江，20)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]， 证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34＜f (x )≤32. 9.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ） ＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ， 故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34≥34，又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1924＞34，所以f (x )＞34.综上，34＜f (x )≤32.10.(2015·四川，21)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 综上，34＜f (x )≤32.10.解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ， 则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)， 由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0， 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．11.(2015·江苏，20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ，使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列？并说明理由． 11.(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)． 假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0， 则t ＝－14，显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k2，a n +2k3，a n +3k4依次构成等比数列， 则a n1(a 1＋2d )n +2k＝(a 1＋d )2(n +k )，且(a 1＋d )n +k (a 1＋3d )n +3k＝(a 1＋2d )2(n +2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k(1＋3t )n ＋3k＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )， 且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )． 化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )， 则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立． 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k 2，a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列．12.(2014·天津，20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ＝{0,1,2,…,q －1},集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1,x i ∈M ,i ＝1,2,…,n }．(1)当q ＝2,n ＝3时,用列举法表示集合A ； (2)设s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1,其中a i ,b i ∈M ,i ＝1,2,…,n .证明：若a n ＜b n ,则s ＜t .12.(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋ (q －1)qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以s <t .。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
考点 坐标系与参数方程1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2 D.2 2 1.D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消去t 得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ,∴C ：x 2＋y 2＝4x ,即(x －2)2＋y 2＝4,∴C (2，0),r ＝2.∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r 2－d 2＝2 2.故选D.]2.(2014·北京，3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上 2.B [曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y ＝－2x 上,故选B.]3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π43.A [∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]4.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4.2 [直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0,圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即(x －1)2＋y 2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1.点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.]5.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .5.解(1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2,C 1是以(0，1)为圆心,a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a 2＝0，解得a ＝-1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1.6.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l的斜率.6.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.7.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 7.解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.8.(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________. 8.522 [依题已知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x -y +1＝0和A (2,-2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]9.(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________.9.1 [在平面直角坐标系下,点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3化为(1,3),直线方程为：x ＋3y ＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]10.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________.10.6 [由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x－y ＝0，∴圆心(0,4)到直线y ＝3x 的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]11.(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.11.(2,π) [直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2,由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4,直角坐标方程为x 2－y 2＝4,把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]12.(2015·江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.12.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.13.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.13.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12.14.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R ).①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.14.解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.15.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 15.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.② (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.16.(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________.16.(3，1) [曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0).曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点,如图,作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1).]17.(2014·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.17. 5 [直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.]18.(2014·天津，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.18.3 [圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A (±a3，a )，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3.]19.(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.19.2·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1 [曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，由直线l 与曲线C相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2·ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1.]20.(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________.20.(1，1) [由ρsin 2θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2＝x ，ρsinθ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得C 1和C 2的交点为(1，1).]21.(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 21.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝2sin t(t 为参数).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.22.(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.22.解 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
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数学
第八章·第一讲
知识全通关 11
空间几何体的结构及其三视图和直观图
2.三视图的长度特征 “长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图宽相等, 正视图和侧视图高平齐. 注意 若相邻两物体的表面相交,则表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意 实线、虚线的画法. 3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴交于点O.画直观图时,把它们画成对 应的x'轴和y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线 段.
考点
2016全国 2015全国 2014全国 自主命题区域
空间几何体 的三视图和
直观图 【100%】
·全国Ⅰ,7,5分 ·全国Ⅱ,7,5分 ·全国Ⅰ,11,5分 ·全国Ⅰ,8,5分
·全国Ⅱ,6,5分 ·全国Ⅲ,10,5分
·2016天津,3,5分 ·20,5分 2016四川，12，5分 ·2015浙江,2,5分 ·2015北京,7,5分 ·2015天津,10,5分 ·2014浙江,3,5分 ·2014天津,10,5分
圆锥
平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆,过轴
的截面是全等的等腰三角形
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第八章·第一讲
知识全通关 7
空间几何体的结构及其三视图和直观图
圆台
上、下底面平行且不相等,母线的延长线交于一 点,平行于底面的截面是与两底面大小都不相等 的圆,过轴的截面是全等的等腰梯形
2019-2020年高三一轮复习数学(理)考试题及答案
2019-2020年高三一轮复习数学（理）考试题及答案一、 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( )A.A∩B=∅B.A ∪B=RC.B ⊆AD.A ⊆B2. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D. i3.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =± C.12y x =± D.y x =±5．以下四个命题中：①为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40.②线性回归直线方程a x b yˆˆˆ+=恒过样本中心),(y x ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(2,) (0)N σσ>．若ξ在(,1)-∞内取值的概率为0.1，则ξ在(2,3)内取值的概率为0.4 ； 其中真命题的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．6 B ．2 3 C ．3 D ．3 3 7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且132455,,24n nS a a a a a +=+=则 （ ） A ．4n-1 B ．4n-1C ．2n-1 D ．2n-18.同时具有性质“⑴ 最小正周期是π；⑵ 图象关于直线6x π=对称；⑶ 在[,]63ππ上是减函数”的一个函数可以是 A.5sin()212x y π=+ B.sin(2)3y x π=-C.2cos(2)3y x π=+D.sin(2)6y x π=+9.如图所示程序框图中，输出S = （ ） A. 45 B. 55- C. 66- D. 6610．已知函数2()f x x = 的图像在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直并交于一点P,则点P 的坐标可能为（ ） A.3(,3)2-B.(0,4)- C (2,3) D . 1(1,)4- 11.在ABC ∆中，6A π=,3AB AC ==， D 在边BC 上，且2CD DB =,则AD =（ ）AC ．5 D．12.已知函数()2log ,02sin(), 2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足()()()1234()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ） A.(20，32) B.(9,21) C.(8,24) D.(15，25)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
数学
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第六章·第二讲 等差数列及其前n项和
考点 2016全国 2015全国 2014全国
等差数列的 判定、基本 运算与性质 【50%】
等差数列通 项公式与前 n项和公式
的应用 【20%】
·全国Ⅰ,7,5分 ·全国Ⅰ,17,12分 ·全国Ⅱ,5,5分 ·全国Ⅱ,5,5分
自主命题地区
·2015浙江,10,4分 ·2015北京,16,13分 ·2015四川,17,15分 ·2014山东,19,12分 ·2014浙江,19,14分 ·2014北京,15,13分
·2014天津,5,5分
·2016江苏,8,5分 ·2014北京,15,13分 ·2014四川,19,12分
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数学
第六章·第二讲
等差数列及其前n项和
题型全突破 8
考法3 等差数列的性质的应用
考法指导 一般地,运用数列性质,可以化繁为简、优化解题过程,但要注意性质运 用的条件,等差数列的性质详见《高考帮》P167页考点3.
考法示例4 (1)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则 a37+b37等于
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题型全突破
数学
题型全突破
第六章·第二讲
等差数列及其前n项和
1
考法1 等差数列的判定与证明
考法指导 等差数列的判定与证明方法有以下四种: (1)定义法.an+1-an=d(常数)(n∈N*)或an-an-1=d(n∈N*,n≥2)⇔{an}为等差数列. (2)等差中项法.2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}为等差数列. (3)通项公式法.an=an+b(a,b是常数,n∈N*)⇔{an}为等差数列. (4)前n项和公式法.Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔数列{an}为等差数列. 若判断一个数列不是等差数列,只需找出三项an,an+1,an+2,使得这三项不满足2an+1=an+an+2 即可. 但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.
2019-2020年高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第2章函数的概念与
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数学
题型全突破 7
考法三
第二章·第四讲 指数函数性质的应用
指数与指数函数
考法指导 1.求函数的最值 (1)y=ax(a>1)为单调递增函数,在闭区间[s,t]上存在最大、最小值,当x=s时,函数有最小值as; 当x=t时,函数有最大值at. (2)指数函数y=ax(0<a<1)为单调递减函数,在闭区间[s,t]上存在最大、最小值,当x=s时,函 数有最大值as;当x=t时,函数有最小值at. 2.比较大小 比较指数型代数式的大小时,有四种方法: 一是化同底,化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小,所以能够化同底的尽可能 化同底; 二是取中间值法,不同底、不同指数时比较大小,先与中间值0或1比较大小,再间接地得出 大小关系;
目 录 Contents
考情精解读
A.知识全通关
B.题型全突破
C.能力大提升
考点1
考点2
考法1 考法3
考法2 考法4
易错
考情精解读
数学
考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二章·第四讲 指数与指数函数
考试大纲
1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的 特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二章·第四讲 指数与指数函数
1.热点预测 预计2018年高考仍将考查指数 函数的图象与性质以及综合应用,题型以选择 题、填空题为主,分值4~5分,也有可能在解答 题中考查,难度中等. 2.趋势分析 本讲高考命题的趋势仍然有三 个:(1)考查简单的指数式的运算以及比较大小 问题;(2)与其他函数相结合考查指数型函数图 象的识别与应用;(3)考查指数型函数的单调性 的应用,如指数不等式以及指数函数的值域等 问题.
2020版高三数学一轮复习3年真题分类考情精解读知识全通关题型全突破能力大提升第1章集合与常用逻辑主
第一章集合与常用逻辑用语考点1 集合1.(2016·新课标全国Ⅰ,1)设集合A＝{1,3,5,7},B＝{x|2≤x≤5},则A∩B＝( )A.{1,3}B.{3,5}C.{5,7}D.{1,7}解析由A＝{1,3,5,7},B＝{x|2≤x≤5},得A∩B＝{3,5},故选B.答案 B2.(2016·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{x|x2<9},则A∩B＝( )A.{－2,－1,0,1,2,3}B.{－2,－1,0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}解析由x2<9解得－3<x<3,∴B＝{x|－3<x<3},又因为A＝{1,2,3},所以A∩B＝{1,2},故选D.答案 D3.(2016·新课标全国Ⅲ,1)设集合A＝{0,2,4,6,8,10},B＝{4,8},则∁A B＝( )A.{4,8}B.{0,2, 6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}解析A＝{0,2,4,6,8,10},B＝{4,8},∴∁AB＝{0,2,6,10}.答案 C4.(2016·北京,1)已知集合A＝{x|2＜x＜4},B＝{x|x＜3或x＞5},则A∩B＝( )A.{x|2＜x＜5}B.{x|x＜4或x＞5}C.{x|2＜x＜3}D.{x|x＜2或x＞5}解析A∩B＝{x|2＜x＜4}∩{x|x＜3或x＞5}＝{x|2＜x＜3}.答案 C5.(2016·四川,2)设集合A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )A.6B.5C.4D.3解析∵A＝{x|1≤x≤5},Z为整数集,则A∩Z＝{1,2,3,4,5}.答案 B6.(2016·山东,1)设集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,3,5},B＝{3,4,5},则∁U(A∪B)＝( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}解析∵A∪B＝{1,3,4,5},∴∁U(A∪B)＝{2,6},故选A.答案 A7.(2016·浙江,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合P＝{1,3,5},Q＝{1,2,4},则(∁U P)∪Q＝( )A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}解析∵∁U P＝{2,4,6},∴(∁U P)∪Q＝{2,4,6}∪{1,2,4}＝{1,2,4,6}.答案 C8．(2015·新课标全国Ⅰ,1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2,n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2解析A＝{…,5,8,11,14,17,…},B＝{6,8,10,12,14},集合A∩B中有两个元素．答案 D9.(2015·陕西,1)设集合M＝{x|x2＝x},N＝{x|lg x≤0},则M∪N＝ ( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞,1]解析由题意得M＝{0,1},N＝(0,1],故M∪N＝[0,1],故选A.答案 A10.(2015·新课标全国Ⅱ,1)已知集合A＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|0＜x＜3},则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析由A＝{x|－1＜x＜2},B＝{x|0＜x＜3},得A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|0＜x＜3}＝{x|－1＜x＜3}．故选A.答案 A11.(2015·北京,1)若集合A＝{x|－5＜x＜2},B＝{x|－3＜x＜3},则A∩B＝( ) A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2}C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3}解析由题意,得A∩B＝{x|－5<x<2}∩{x|－3<x<3}＝{x|－3<x<2}．答案 A12.(2015·天津,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6},集合A＝{2,3,5},集合B＝{1,3,4,6},则集合A∩∁UB＝( )A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}解析由题意知,∁U B＝{2,5},则A∩∁U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．选B.答案 B13.(2015·重庆,1)已知集合A＝{1,2,3},B＝{1,3},则A∩B＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{1,3}D ．{1,2,3} 解析 A ∩B ＝{1,2,3}∩{1,3}＝{1,3}． 答案 C14.(2015·山东,1)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4},B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0},则A ∩B ＝( ) A ．(1,3) B ．(1,4) C ．(2,3) D ．(2,4) 解析 ∵A ＝{x |2＜x ＜4},B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}＝{x |1＜x ＜3}, ∴A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2,3)． 答案 C15.(2015·广东,1)若集合M ＝{－1,1},N ＝{－2,1,0},则M ∩N ＝( ) A ．{0,－1} B ．{1} C ．{0}D ．{－1,1}解析 M ∩N ＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}． 答案 B16.(2015·福建,2)若集合M ＝{x |－2≤x ＜2},N ＝{0,1,2},则M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1,2}D ．{0,1} 解析 M ＝{x |－2≤x ＜2},N ＝{0,1,2},则M ∩N ＝{0,1},故选D. 答案 D17.(2015·安徽,2)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6},A ＝{1,2},B ＝{2,3,4},则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2,5,6} B ．{1} C ．{2}D ．{1,2,3,4}解析 ∵∁U B ＝{1,5,6},∴A∩(∁U B)＝{1,2}∩{1,5,6}＝{1},故选B. 答案B18.(2015·浙江,1)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3},Q ＝{x |2＜x ＜4},则P ∩Q ＝( ) A ．[3,4) B ．(2,3] C ．(－1,2)D ．(－1,3]解析 P ＝{x |x ≥3或x ≤－1},Q ＝{x |2＜x ＜4}．∴P ∩Q ＝{x |3≤x ＜4}．故选A. 答案 A19.(2015·湖北,10)已知集合A ＝{(x ,y )|x 2＋y 2≤1,x ,y ∈Z },B ＝{(x ,y )||x |≤2,|y |≤2,x ,y ∈Z },定义集合A ⊕B ＝{( 1x ＋2x ,1y ＋2y )|(1x ,1y )∈A ,(2x 2y )∈B },则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析 如图,集合A 表示如图所示的所有圆点“”,集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(－3,－3),(－3,3),(3,－3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”,共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.答案 C20．(2014·新课标全国Ⅰ,1)已知集合M＝{x|－1＜x＜3},N＝{x|－2＜x＜1},则M∩N＝( )A．(－2,1) B．(－1,1)C．(1,3) D．(－2,3)解析借助数轴可得M∩N＝(－1,1),选B.答案 B21.(2014·湖南,2)已知集合A＝{x|x＞2},B＝{x|1＜x＜3},则A∩B＝( )A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}解析由已知直接得,A∩B＝{x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3},选C.答案 C22.(2014·湖北,1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7},集合A＝{1,3,5,6},则∁U A＝( ) A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}解析由题意知∁UA＝{2,4,7},选C.答案 C23.(2014·福建,1)若集合P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},则P∩Q等于( )A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}解析因为P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},所以P∩Q＝{x|3≤x＜4},故选A.答案 A24.(2014·山东,2)设集合A＝{x|x2－2x＜0},B＝{x|1≤x≤4},则A∩B＝( ) A．(0,2] B．(1,2) C．[1,2) D．(1,4)解析由题意得集合A＝(0,2),集合B＝[1,4],所以A∩B＝[1,2)．答案 C25.(2014·四川,1)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0},集合B为整数集,则A∩B＝( ) A．{－1,0} B．{0,1}C．{－2,－1,0,1} D．{－1,0,1,2}解析由二次函数y＝(x＋1)(x－2)的图象可以得到不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集A＝[－1,2],属于A的整数只有－1,0,1,2,所以A∩B＝{－1,0,1,2},故选D.答案 D26.(2014·浙江,1)设集合S＝{x|x≥2},T＝{x|x≤5},则S∩T＝( )A．(－∞,5] B．[2,＋∞)C．(2,5) D．[2,5]解析S＝{x|x≥2},T＝{x|x≤5},∴S∩T＝[2,5].答案 D27.(2015·湖南,11)已知集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,3},B＝{1,3,4},则A∪(∁U B)＝________.解析∁U B＝{2},∴A∪(∁U B)＝{1,3}∪{2}＝{1,2,3}．答案 {1,2,3}28.(2014·重庆,11)已知集合A＝{3,4,5,12,13},B＝{2,3,5,8,13},则A∩B＝________. 解析A∩B＝{3,5,13}．答案 {3,5,13}考点2 命题及其关系、充要条件1.(2016·山东,6)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.答案 A2.(2016·四川，5)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.解析当11x y>一定成立，即p qx y，时，+2>>⇒；当+2⇒，，，即q px yx y>时，可以=-1=4故p是q的充分不必要条件.答案 A3.(2016·浙江，6)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.解析 由题意知f (x )＝x 2＋bx ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b x －b 24，f (x )min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24，则f (f (x ))＝f (t )＝t 2＋bt ＝22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b t －b 24，当b ＜0时，f (f (x ))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”；当b ＝0时，f (f (x ))＝x 4的最小值为0，f (x )的最小值也为0，所以“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A. 答案 A4.(2015·山东，5)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤04.解析 原命题为“若p ，则q”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p”． ∴所求命题为“若方程x2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”． 答案 D5.(2015·天津，4)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜31＜x ＜2，故选A.答案 A .6.(2015·重庆，2)“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6.解析 解x 2－2x ＋1＝0得x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件． 答案 A7.(2015·福建，12)“对任意x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7.解析 ∀x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，k sin x cos x ＜x ⇔∀x ∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π，k ＜2x sin 2x ， 令f(x)＝2x －sin 2x.∴f′(x)＝2－2cos 2x ＞0， ∴f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π为增函数，∴f(x)＞f(0)＝0. ∴2x ＞sin 2x ，∴2xsin 2x ＞1，∴k≤1，故选B.答案 B8.(2015·安徽，3)设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件8.解析 ∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p 是q 的必要不充分条件，故选C.答案 C9.(2015·陕西，6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.解析 ∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α sin α＝cos α，故选A. 答案 A10.(2015·湖南，3)设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.解析 由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C. 答案 C11.(2015·浙江，3)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11.解析 当a ＝3，b ＝－1时，a ＋b ＞0，但ab ＜0，故充分性不成立； 当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，而a ＋b ＜0.故必要性不成立．故选D. 答案 D12.(2014·陕西，8)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假D ．假，假，假12.解析 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A. 答案 A13.(2014·新课标全国Ⅱ，3)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(0x )＝0；q ：x ＝0x 是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件13.解析 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值， 故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．故选C. 答案 C14.(2014·北京，5)设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14.解析 可采用特殊值法进行判断，令a ＝1，b ＝－1，满足a ＞b ，但不满足a 2＞b 2， 即条件“a ＞b ”不能推出结论“a 2＞b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2＞b 2，但不满足a ＞b ， 即结论“a 2＞b 2”不能推出条件“a ＞b ”．故选D. 答案 D15.(2014·广东，7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a≤b”是 “sin A≤sin B”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件15.解析 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a≤b ⇔sin A≤sin B，选A. 答案 A16.(2015·四川，15)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝()()2121x x x f x f --，n ＝()()2121x x x g x g --， 现有如下命题：①对于任意不相等的实数1x ,2x ，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m ＝－n . 其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．16.解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))， 对于①：从y ＝2x的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确； 对于②：直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确； 对于③：由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x－x 2－ax ，则h ′(x )＝2x·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，∴2x·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ；对于④：由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2xln 2＋2x ＋a ，由F ′(x )＝0，得2xln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解， 即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2使F (x 1)＝F (x 2)，得m ＝－n . 故①④正确． 答案 ①④考点3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.(2015·湖北，3)命题“∃0x ∈(0,＋∞)，0ln x ＝－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0,＋∞)，x ln ≠x－1 B ．∀x ∉(0,＋∞)，x ln ＝x －1 C ．∃x 0∈(0,＋∞)，0ln x ≠0x －1 D ．∃x 0∉(0,＋∞)，0ln x ＝0x －11.解析 特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x ∈(0，＋∞)，x ln ≠x－1”．故选A. 答案 A2.(2014·湖南，1)设命题p ：∀x ∈R ，12+x ＞0，则⌝p 为( ) A ．∃0x ∈R ，0x ＋1＞0 B ．∃0x ∈R ，x ＋1≤0C ．∃x ∈R ，x ＋1＜0D ．∀x ∈R ，x ＋1≤02.解析 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p 的否定为“∃0x ∈R ，0x ＋1≤0”，故选B. 答案 B3.(2014·安徽，2)命题“∀x ∈R ，|x|＋2x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x|＋2x ＜0 B ．∀x ∈R ，|x|＋2x ≤0 C ．∃0x ∈R ，|0x |＋0x ＜0 D ．∃0x ∈R ，|0x |＋0x ≥03.解析 命题的否定是否定结论，同时把量词作对应改变，故命题“∀x ∈R ，|x|＋x 2≥0”的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 0＜0”，故选C. 答案 C4.(2014·湖北，3)命题“∀x ∈R ，2x ≠x”的否定是( )A ．∀x ∉R ，2x ≠xB ．∀x ∈R ，2x ＝xC ．∃x ∉R ，2x ≠xD ．∃x ∈R ，2x ＝x 4. 全称命题的否定是特称命题：∃x ∈R ，x 2＝x ，故选D. 答案 D5.(2014·福建，5)命题“∀x ∈[0，＋∞)，3x ＋x≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，3x ＋x ＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，3x ＋x≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 0＋x0＜0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 0＋x 0≥05.解析 把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C. 答案 C6.(2014·天津，3)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1，则⌝p 为( )A ．∃x0 ≤0，使得(x0＋1)0e x ≤1 B ．∃x0 ＞0，使得(x0＋1)0e x ≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)ex≤1D ．∀x≤0，总有(x ＋1)ex≤1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.6.解析全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，总有(x＋1)e x＞1的否定是綈p：∃x0＞0，使得(x0＋1)e x0≤1.答案 B7.(2014·重庆，6)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A.p∧⌝q B．⌝p∧q C．⌝p∧⌝q D．p∧q7.解析命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题⌝q为真命题，所以p∧⌝q为真命题，选A.答案 A8.(2014·辽宁，5)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧q C．(⌝p)∧(⌝q) D．p∨(⌝q)8.解析对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c 说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，⌝p是真命题，⌝q是假命题，所以(⌝p)∧(⌝q)是假命题，所以C错误；选项D中，p∨(⌝q)是假命题，所以D错误．故选A.答案 A11文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
第二章·第二讲 函数的基本性质
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知识全通关 4
考点2 函数的奇偶性
第二章·第二讲 函数的基本性质
函数奇偶性的定义及图象特征
定义
图象 特征
偶函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x),那么函数f(x) f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就
就叫作偶函数
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知识全通关 1
考点1 函数的单调性
第二章·第二讲 函数的基本性质
1.函数单调性的定义及几何意义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区
定 间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有
义 f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x) f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)
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考点3 函数的周期性
第二章·第二讲 函数的基本性质
1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的 最小正周期.
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题型全突破 5
考法2 函数单调性的应用
第二章·第二讲 函数的基本性质
考法指导 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略: (1)利用函数的单调性求参数的取值范围.视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义, 确定函数的单调区间,然后与已知单调区间比较求参数.需要注意的是,若函数在区间[a,b] 上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.此外,也可结合常见函数的 单调性求解,比如一次函数、反. 比例函数和二次函数. (2)利用函数的单调性求解或证明不等式.若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数, 则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2),在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时,可通过“脱去”函数 符号“f ”化为一般不等式求解,但无论如何都必须在同一单调区间内进行. 需要说明的是,若不等式一边没有“f ”,而是常数,应将常数转化为函数值.如若已知 0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1). (3)利用函数的单调性比较两个函数值或自变量值的大小.注意将对应的自变量转化到同 一个单调区间内.
2019-2020年高三第一轮高考复习阶段性过关测试(三)数学(理)试卷 含答案
2019-2020年高三第一轮高考复习阶段性过关测试（三）数学（理）试卷含答案一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈}，则A∩B＝( )A．B．(1，3) C．，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为________．武威六中第一轮高考复习阶段性过关测试卷（三）数学（理）答题卡一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 14. 15． 16. 三、 解答题(共70分)17.（本小题满分10分）已知命题p ：1＜2x ＜8；命题q ：不等式x 2－mx ＋4≥0恒成立，若¬p 是¬q 的必要条件，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．19.（本小题满分12分）知函数2))(1()(xa x x x f ++=为偶函数. (Ⅰ)求实数a 的值;(Ⅱ)记集合{(),{1,1,2}}E y y f x x ==∈-,21lg 2lg 2lg5lg54λ=++-,判断λ与E 的关系; (Ⅲ)当x ∈]1,1[nm ()0,0>>n m 时,若函数()f x 的值域为]32,32[n m --,求n m ,的值.20.（本小题满分12分）已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．22．（本小题满分12分）设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围．。
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第一章 集合与常用逻
数学
考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第一讲 集合
考点 2016全国 2015全国 2014全国
自主命题区域
集合的含义 【5%】
2016四川,1,5分
集合间的基 本关系 【5%】
集合的基 全国Ⅰ,1, 5分 本运算 全国Ⅱ,2,5分 【80%】 全国Ⅲ,1,5分
全国Ⅱ,1,5分
2016江苏, 1,5分 2016天津, 1,5分 全国Ⅰ,1,5分 2016浙江, 1,5分 全国Ⅱ,1,5分 2016山东, 2,5分 2016北京, 1,5分 2015四川, 1,5分
(4)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
(5)A∩B=A∪B⇔A=B.
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知识全通关 8
第一讲 集合
【思维拓展】
数轴的运用技巧与方法
利用数轴解决集合的运算问题时,需要特别注 意的是“端点值”问题,是能取“=”,还是不 能取“=”,同时还需要注意各个端点的画法, 能取到端点值时,用实心的点在数轴上表示,取 不到端点值时,用空心的圆圈在数轴上表示.
第一讲 集合
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知识全通关 6
考点3 集合的基本运算
第一讲 集合
1. 集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
由属于集合A且属于集合B的所 A∩B={x|x∈A
交集
有元素组成的集合
且x∈B}
由所有属于集合A或属于集合B A∪B={x|x∈A
并集
的元素组成的集合
或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有 ∁UA={x|x∈U且
目 录 Contents
高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关
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第五章·第二讲
题型全突破 2
平面向量的基本定理及坐标表示
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数学
第五章·第二讲
题型全突破 3
平面向量的基本定理及坐标表示
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数学
第五章·第二讲
题型全突破 4
平面向量的基本定理及坐标表示
继续学习
数学
第五章·第二讲
题型全突破 5
平面向量的基本定理及坐标表示
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数学
第五章·第二讲
平面向量的基本定理及坐标表示
题型全突破 6
考法 2 平面向量坐标运算的应用
考法指导 向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向 量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化 为数量运算. (2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行, 若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运 用. (3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被 表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
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第五章·第二讲
考情精解读 2
平面向量的基本定理及坐标表示
考纲解读 命题规律 命题趋势
考点
平面向量的 基本定理 【40%】
2016全国 2015全国 2014全国 自主命题区域
·2015北京,13,5分
平面向量的 坐标运算 【40%】
·全国Ⅱ,3,5分
·2015江苏,6,5分
数学
第五章·第二讲
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数学
第五章及坐标表示
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知识全通关 6
第二讲 排列与组合
【名师提醒 】
n
组合数的性质的应用:性质(1)主要有两个方面的应用,一是简化运算,当m> 2 时,通
常将计算
C
m n
转化为计算
C
n n
m
;二是列等式,由 Cnx
Cny 可得x=y或x+y=n.
性质(2)主要应用于恒等变形,简化运算.
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题型全突破
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知识全通关 4
第二讲 排列与组合
【注意】
(1)对于组合数的第一个公式 Cm n=A Am n m mn(n-1)(n-2m )?!(n-m1) ,它体现了组合数与相应 排列数的关系,当n确定而m变化时,组合数与m是一种函数关系,一般在计算具体的组合
数时,常用此公式.
(2)第二个公式
第3类,男生甲入选,女生乙入选,则方法种数为 C3 2C4 1C3 1C4 221
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.
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题型全突破 8
第二讲 排列与组合
【解析】
解法二 (间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有
C 9 4C 5 4C 4 4120(种 男)、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有 C74 C44 34所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120-34=86.
能力大提升
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能力大提升 1
第二讲 排列与组合 均匀分组与不均匀分组相混淆致误
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一个基 本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、部分均分 和不等分组三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中元素的个数 相等,就存在均分现象.
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(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶
数的四位数共有 个.(用数字作答)
【思路分析】(1)根据特殊数字0进行分类→在每一类中利用分步乘法计数原理→求
得四位数的个数 (2)根据题意分三个偶数和两个奇数、一个偶数两类→再在每一类中根据是否含有0进行 分类和分步→综合利用两个基本计数原理求解
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知识全通关
数学
知识全通关 1
考点1
第二讲 排列与排列数
排列与组合
1.排列与排列数:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫 作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中 取出m个元素的排列数,用符号表示.
n! 2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= ( n m ) ! n,m∈N*,且m≤n). n个不同元素全部取出的一个排列,叫作n个元素的一个全排列.这时公式中m=n,即有 =n!=n(n-1)(n-2)·…·2·1. 规定: 0!=1.
【点评】考法示例2是一个“至少”型问题,解法一在分类时,总体上分了三类, 而在每一类中又分别分了三类;解法二中用了三次间接法.
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题型全突破 9
考法3
第二讲 排列与组合的综合应用
排列与组合
考法指导
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法,利用先选后排法解答问题
只需三步即可完成.
第一步:选元素,即选出符合条件的元素;
72+18=90(个).当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时,若选出的偶数是0,则
再选出两个奇数,千位上只要在剩余数字中选一个放上即可,方法数为 C32A33C4172;若选出的 偶数不是0,则再选出两个奇数后,千位上只能从剩余的非0数字中选一个放上,方法数
是 A33C31 18 . 故这种情况下符合要求的四位数共有72+162=234(个). 根据分类加法计数原理,符合要求的四位数共有90+234=324(个).
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考情精解读 2
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二讲 排列与组合
考点 2016全国 2015全国 2014全国
自主命题区域
排列与组合 【60%】
2016四川,4,5分 2014北京,13,5分 2014浙江,14,4分
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考情精解读 3
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二讲 排列与组合
1.热点预测 利用排列、组合解决计数问题是高考 考查本讲内容的热点,以选择题、填空题为主,分值 为5分. 2.趋势分析 预测2018年,仍以利用排列、组合知 识解决计数问题为主,也可能与概率相结合进行考 查.
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题型全突破 3
【解析】
第二讲 排列与组合
解法一 (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边,再安排余下4人的位置,分
为两步:
第1步,从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边,有
A
2 5
种站法;
第2步,余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上,有
A
4 4
种站法.
由分步乘法计数原理可知,共有
先整体, “小集团”排列问题中,先整体后局部
后局部
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除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反,等价转化的方法
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题型全突破 2
第二讲 排列与组合
考法示例1 6名同学排成1排照相,要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边,共有多少种 不同站法?
【思想分析】 由于最左边和最右边是特殊位置,可采用位置分析法;由于甲是特殊元素,也可 采用元素分析法;还可以直接从反面考虑.
目 录 Contents
考情精解读
A.知识全通关
B.题型全突破
C.能力大提升
考点1
考点2
考法1 考法3
考法2
易错1 易错2 易错3
考情精解读
数学
考情精解读 1
考纲解读
命题规律
命题趋势
第二讲 排列与组合
考试大纲 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.
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题型全突破 1
考法1
第二讲 排列问题的求解
排列与组合
考法透析
求解排列问题的常用方法:
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 插空法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注 意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前 面元素的排列空中
.
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数学
题型全突破 13
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第二讲 排列与组合
.
【技巧点拨】 (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题.要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分 步. (2)以元素为主时,先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;以位置为主时,先满足特殊位置的 要求,再考虑其他位置. (3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合题,要周密分析,设计出合理的方案,一般先把复 杂问题分解成若干个简单的基本问题,然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决,一般遵循先选后排的原则.
第二步:进行排列,即把选出的元素按要求进行排列;
第三步:计算总数,即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算总数.
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题型全突破 10
第二讲 排列与组合
考法示例3 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位
数的个数为
A.300
B.216
C.180
D.162
A
4 4
A
2 5
=480(种)不同的站法.
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题型全突破 4
第二讲 排列与组合
【解析】
解法二 (元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边),再安排其他5人的位 置,分为两步: 第1步,将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上,有 种站法;
第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有 种站法.
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能力大提升 3
第二讲 排列与组合
【解析】
C
2 6
C
2 4
C
2 2
先把6个毕业生平均分成3组,有
A
3 3
ห้องสมุดไป่ตู้种方法,
再将3组毕业生分到3所学校,有
A
3 3
种方法,
故6个毕业生平均分到3所学校,共有
C62C42C22 A33
A33=90（种）分派方法.
【点评】本题属于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是 一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免重复计数.
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数学
题型全突破 7
第二讲 排列与组合
【解析】
解法一 (直接法)由题意,可分三类考虑: 第1类,男生甲入选,女生乙不入选,则方法种数为 C 3 1C 4 2C 3 2C 4 1C 3 331
第2类,男生甲不入选,女生乙入选,则方法种数为 C 4 1C 3 2C 4 2C 3 1C 4 234
C
m n
n! m!(n-m)!
的主要作用有:①当m,n较大时,利用此公式计算组合数较
为简便;②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时,常用此公式.
3.组合数的性质: (1)Cm nC n m 1(m ,nN *,且 mn) (2)Cm n1C n mC n m 1(m ,nN *,且 mn)