湖南省师大附中高考数学复数专题复习(专题训练)

【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以A选项错误；
当 ， 时，复数 是实数，故B选项正确；
，故C选项正确：
， 的实部是 ，故D不正确.
故选：BC
【点睛】
本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
19．BCD
【分析】
根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查复数的相关计算，属于基础题.
18．BC
【分析】
由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.
【详解】
因为，所以，所以，所以，所以A选
解析：BC
【分析】
由 可得 ，得 ，可判断A选项，当虚部 ， 时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得 ， 的实部是 ，可判断D选项.
【详解】
因为 ，所以其虚部是 .
故选：A.
4．A
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题意，得，
其虚部为，
故选：A.
解析：A
【分析】
由复数的除法法则和乘法法则计算出 ，再由复数的定义得结论．
【详解】
由题意，得 ，
其虚部为 ，
故选：A.
5．C
【分析】
求出，即可得出，求出虚部.
化简复数，求共轭复数，利用复数的模的定义得．
【详解】
因为，所以，
所以
故选：A
解析：A
【分析】
化简复数 ，求共轭复数 ，利用复数的模的定义得 ．
【详解】
因为 ，所以 ，
所以
故选：A
8．A
【分析】
对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.
【详解】
由，
知在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
【点睛】
C．点 到原点的距离D．坐标为 的向量的模
27．设 ， ， 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A． 对应的点在第一象限B． 一定不为纯虚数
C． 一定不为实数D． 对应的点在实轴的下方
28．已知复数 ，下列结论正确的是（ ）
A．“ ”是“ 为纯虚数”的充分不必要条件
B．“ ”是“ 为纯虚数”的必要不充分条件
【详解】
，
故选：A
13．A
【分析】
根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．
【详解】
由题意，设，
∵是平行四边形，AC中点和BO中点相同，
∴，即，∴点对应是，共轭复数为．
解析：A
【分析】
根据复数的几何意义得出 坐标，由平行四边形得 点坐标，即得 点对应复数，从而到共轭复数．
故选：BCD.
【点睛】
本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.
20．AD
【分析】
根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D.
【详解】
，则A正确；
虚数不能比较大小，则B错误；
，则，
解析：AD
解析：因为为纯虚数，所以，解得，
故选：C.
解析：C
【分析】
结合复数除法运算化简复数 ，再由纯虚数定义求解即可
【详解】
解析：因为 为纯虚数，所以 ，解得 ，
故选：C.
3．A
【分析】
先由复数的除法运算化简复数，再由复数的概念，即可得出其虚部.
【详解】
因为，所以其虚部是.
故选：A.
解析：A
【分析】
先由复数的除法运算化简复数 ，再由复数的概念，即可得出其虚部.
【详解】
，，其虚部是1.
故选：C.
解析：C
【分析】
求出 ，即可得出 ，求出虚部.
【详解】
， ，其虚部是1.
故选：C.
6．A
【分析】
由得出，再由复数的四则运算求解即可.
【详解】
由题意得，则.
故选：A
解析：A
【分析】
由 得出 ，再由复数的四则运算求解即可.
【详解】
由题意得 ，则 .
故选：A
7．A
【分析】
【详解】
令，代入，
得，
解得，或，或，
所以，或，或.
故选：AC
【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
解析：AC
【分析】
令 ，代入原式，解出 的值，结合选项得出答案．
【详解】
令 ，代入 ，
得 ，
解得 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，或 .
故选：AC
【点睛】
本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．
6．在复平面内，复数 对应的点是 ，则 （）
A． B． C． D．
7．若 ，则 （）
A． B．4C． D．8
8．复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．复数 ， （ 为虚数单位），则 虚部等于（）．
A． B．3C． D．
10．若 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．设复数 满足 ，则 的共轭复数 在复平面内的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
12．已知 是 的共轭复数，则 （）
A．4B．2C．0D．
13．在复平面内，已知平行四边形 顶点 ， ， 分别表示 ， ，则点 对应的复数的共轭复数为（）
解析：AC
【分析】
利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数 ，可判断C选项的正误；计算出 ，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项， ，则 ，可得 ， ，A选项正确；
对于B选项，当 ， 时， ，B选项错误；
对于C选项，当 ， 时， ，则 ，C选项正确；
【详解】
因为复数，
所以其虚部为，即A错误；
，故B正确；
解析：BCD
【分析】
根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.
【详解】
因为复数 ，
所以其虚部为 ，即A错误；
，故B正确；
复数 的共轭复数 ，故C正确；
复数 在复平面内对应的点为 ，显然位于第一象限，故D正确.
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线 上
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一、复数选择题
1．B
【分析】
先求出，再计算出模.
【详解】
，
，
.
故选：B.
解析：B
【分析】
先求出 ，再计算出模.
【详解】
，
，
.
故选：B.
2．C
【分析】
结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可
【详解】
本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题
解析：A
【分析】
对复数 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.
【详解】
由 ，
知在复平面内对应的点 位于第一象限，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.
9．B
【分析】
化简，利用定义可得的虚部．
【详解】
则的虚部等于
故选：B
解析：B
【分析】
化简 ，利用定义可得 的虚部．
【详解】
则 的虚部等于
故选：B
10．D
【分析】
根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.
【详解】
，
则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D．
解析：D
【分析】
根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.
A． B． C． D．
14．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
15．复数 的虚部为（）
A． B．1C． D．
二、多选题
16．已知复数 满足 ，则 可能为（）.
A．0B． C． D．
17．已知复数 （其中 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）．
A． B． C． D．
18．已知复数 （其中 为虚数单位），则（）
C．“ ”是“ 为实数”的充要条件
D．“ ”是“ 为实数”的充分不必要条件
29．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A．若x, ,则 的充要条件是
B． 是纯虚数
C．若 ,则
D．当 时,复数 是纯虚数
30．设复数z满足 ,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.
21．AC
【分析】
利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，则，可得
一、复数选择题
1．已知复数 ，则 （）
A．2B． C．4D．5
2．已知复数 为纯虚数，则实数 （）
A．-1B．0C．1D．0或1
3．已知i为虚数单位，则复数 的虚部是（）
A． B． C． D．
4．若复数 满足 ，则复数 的虚部为（）
A． B． C． D．
5．已知复数 ，则 的虚部是（）
A． B． C．1D．i
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限B． 可能为实数
C． D． 的实部为
19．已知复数 （其中 为虚数单位），则以下说法正确的有（）
A．复数 的虚部为 B．
C．复数 的共轭复数 D．复数 在复平面内对应的点在第一象限
20．已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）．
A．
B．
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第四象限
D．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
21．任何一个复数 （其中 、 ， 为虚数单位）都可以表示成： 的形式，通常称之为复数 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）
A．
B．当 ， 时，
C．当 ， 时，
D．当 ， 时，若 为偶数，则复数 为纯虚数
【分析】
根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简 ，得出 ，从而判断D.
【详解】
，则A正确；
虚数不能比较大小，则B错误；
，则 ，
其对应复平面的点的坐标为 ，位于第三象限，则C错误；
令 ， ，
，解得
则 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确；
17．BCD
【分析】
计算出，即可进行判断.
【详解】
，
，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查复数的相关计算，属于基础题.
解析：BCD
【分析】
计算出 ，即可进行判断.
【详解】
，
，故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误；
，故C正确；
，故D正确.
【详解】
设 ，则 ，
， ，解得： ，
.
故选：A.
15．B
【分析】
将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.
【详解】
，故虚部为1.
故选：B.
解析：B
【分析】
将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成 的代数形式即得结果.
【详解】
，故虚部为1.
故选：B.
二、多选题
16．AC
【分析】
令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．
【详解】
，
则复数 对应的点的坐标为 ，位于第四象限．
故选：D．
11．D
【分析】
先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案
【详解】
解：因为，
所以，
所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限，
故选：D
解析：D
【分析】
先对 化简，从而可求出共轭复数 ，再利用复数的几何意义可得答案
【详解】
解：因为 ，
22．以下为真命题的是（）
A．纯虚数 的共轭复数等于 B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数D．若 ，则 与 互为共轭复数
23．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A．若 ，且 ，则
B．任意两个虚数都不能比较大小
C．若ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数 ， 满足 ，则
D． 的平方等于1
24．以下命题正确的是（）
A． 是 为纯虚数的必要不充分条件
对于D选项， ，
取 ，则 为偶数，则 不是纯虚数，D选项错误.
B．满足 的 有且仅有
C．“在区间 内 ”是“ 在区间 内单调递增”的充分不必要条件
D．已知 ，则
25．复数 ，i是虚数单位，则下列结论正确的是（）
A． B．z的共轭复数为
C．z的实部与虚部之和为2D．z在复平面内的对应点位于第一象限
26．（多选） 表示( )
A．点 与点 之间的距离B．点 与点 之间的距离
所以 ，
所以共轭复数 在复平面内的对应点位于第四象限，
故选：D
12．A
【分析】
先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
，
故选：A
解析：A
【分析】
先利用复数的乘法运算法则化简 ，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】
由题意 ，设 ，
∵ 是平行四边形，AC中点和BO中点相同，
∴ ，即 ，∴ 点对应是 ，共轭复数为 ．
故选：A．
14．A
【分析】
采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果.
【详解】
设，则，
，，解得：，
.
故选：A.
解析：A
【分析】
采用待定系数法，设 ，由复数运算和复数相等可求得 ，从而得到结果.