与圆有关的轨迹方程

求与圆有关的轨迹方程

[概念与规律]

求轨迹方程的基本方法。

（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。

（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：? 设动点M （x ，y ），已知曲线上的点为N （x 0，y 0），

? 求出用x ，y 表示x 0，y 0的关系式，

? 将（x 0，y 0）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。

（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。

（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x ，y ）中x ，y 之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。

（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。

[讲解设计]重点和难点

例1 已知定点A （4， 0），点B 是圆x 2+y 2=4 上的动点，点P 分AB 的比为2：1，求点P 的轨迹方程。

例2 自A （4，0）引圆x 2+y 2=4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程。

方法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，

当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即

即x 2＋y 2－4x ＝0. ①

当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，

∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．

方法二：(定义法) 由方法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝|OA |＝2，

由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．

例3 已知直角坐标平面上的点Q （2，0）和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0），求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

设直线MN 切圆于N ，则动点M 组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|}

∵圆的半径|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，

设点M 的坐标为（x ，y ），则√(x 2+x 2−1)=√(x −2)2

+x 2

整理得（x-4）2+y 2=7．

∴动点M 的轨迹方程是（x-4）2+y 2=7．

它表示圆，该圆圆心的坐标为（4，0），半径为√7 例4 如图，已知两条直线l 1：2x-3y+2=0，l 2：3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l 1，l 2都相交，并且l 1与l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M 的

轨迹方程。

设动圆的圆心为M(x,y),半径为r,点M 到直线l 1,l 2的距离分别为d 1和d 2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得，

即

消去r 得动点M 满足的几何关系为

=25,

即=25. 化简得（x+1）2-y 2=65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程.

练习与作业

1、 已知：点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当P 点

在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程

2、 已知点

A （-1，0）与点

B （1，0），

C 是圆x 2+y 2=1上的动点，连接BC 并延长到

D ，使|CD|=|BC|，求AC 与OD （O 为坐标原点）的交点P 的轨迹方程。

3、 求与

y 轴相切，且与圆2240x y x +-=也相切的圆P 的圆心的轨迹方程

4、 由点

P 分别向两定圆221:(2)1C x y ++=及圆222:(2)4C x y -+=所引切线段长度之比为1：2，求点P 的轨迹方程

5、已知与22:2210C x y x y +--+=相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，(),2,2OA a OB b a b ==>>.

(1)求证:()()222a b --=;(2)求线段AB 中点P 的轨迹