高中数学圆锥曲线解题的十个大招(适用于2020高考)
高中数学圆锥曲线解题的十个大招(适用于2020高考)
1高中数学圆锥曲线解题的十个大招招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离d 32。
221212()()AB x x y y =-+-222141k k k -=+212k d k+=222314112k k k k -++=39k =053x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】2这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
高中数学圆锥曲线解题十招全归纳
高中数学圆锥曲线解题十招全归纳
1.熟悉圆锥曲线的基本概念，如焦点、准线、离心率等。
2. 对于椭圆和双曲线，要注意判断其是横向还是纵向，并掌握
其标准方程。
3. 解题时要注意转化，如通过平移、旋转等方式将方程转化为
标准方程。
4. 对于椭圆和双曲线的焦点、准线、离心率等参数要有清晰的
认识，能正确描绘出图形。
5. 注意判断椭圆和双曲线的类型，如是否为实心或空心图形等。
6. 对于椭圆和双曲线的对称性要有充分的认识。
7. 在解题过程中，注意运用对称性和几何意义，如面积公式、
周长公式等。
8. 对于椭圆和双曲线的渐近线，要了解其定义和性质，并掌握
其方程。
9. 在解题过程中，注意运用渐近线的性质，如过定点、过中心、垂直等。
10. 解题时要注意画出图形，有助于更好地理解题目和解题思路。
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高考数学圆锥曲线解题技巧
高考数学圆锥曲线解题技巧高考数学两类压轴大题是导数和圆锥曲线，难度大、综合性强，取得满分不容易，但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的。
下面店铺为高考考生整理数学圆锥曲线解题技巧，希望对大家有所帮助!高考数学圆锥曲线解题技巧1.解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法;(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.2.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.高考数学圆锥曲线基础知识点圆锥曲线定义圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。
椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线;当e>1时为双曲线。
离心率这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。
一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。
特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。
准线在圆锥曲线的统一定义中：到定点与定直线的距离的比为常数e(e>0)的点的轨迹，叫圆锥曲线。
而这条定直线就叫做准线。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无2轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值〞与2a＜|F 1F2|不可无视。
假设2a＝|F1F2|，那么轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，假设2a﹥|F 1F2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程2222(x6)y(x6)y8表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：方程2222xyyx〔1〕椭圆：焦点在x轴上时1〔ab0〕，焦点在y轴上时＝1〔ab0〕。
2222abab22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B〕。
2y2假设x,yR，且3x26，那么xy的最大值是____，2y2x的最小值是___〔答：5,2〕2222xyyx〔2〕双曲线：焦点在x轴上：=1，焦点在y轴上：＝1〔a0,b0〕。
方程2222abab 22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？〔ABC≠0，且A，B异号〕。
如设中心在坐标原点O，焦点F、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点P(4,10)，1那么C的方程为_______〔答：226xy〕〔3〕抛物线：开口向右时22(0)ypxp，开口向左时22(0)ypxp，开口向上时22(0)xpyp，开口向下时22(0) xpyp。
3.圆锥曲线焦点位置的判断〔首先化成标准方程，然后再判断〕：〔1〕椭圆：由x 2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
22xy如方程1m12m表示焦点在y轴上的椭圆，那么m的取值X围是__〔答：3(,1)(1,)〕2〔2〕双曲线：由x 2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；〔3〕抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
高中数学圆锥曲线解题技巧总结
解圆锥曲线问题的常用方法大全1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 为 。
2020高考数学必胜秘诀(八)圆锥曲线
2020高考数学必胜秘诀（八）圆锥曲线――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：〔1〕第一定义中要重视〝括号〞内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的〝绝对值〞与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
假设2a ＝|F 1F 2|，那么轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，假设2a ﹥|F 1F 2|，那么轨迹不存在。
假设去掉定义中的绝对值那么轨迹仅表示双曲线的一支。
如〔1〕定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足以下条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 〔答：C 〕；〔2〕方程8=表示的曲线是_____〔答：双曲线的左支〕〔2〕第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且〝点点距为分子、点线距为分母〞，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P 〔x ,y 〕,那么y+|PQ|的最小值是_____〔答：2〕2.圆锥曲线的标准方程〔标准方程是指中心〔顶点〕在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程〕：〔1〕椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 〔0a b >>〕⇔{cos sin x a y b ϕϕ==〔参数方程，其中ϕ为参数〕，焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1〔0a b >>〕。
2020高考数学技巧圆锥曲线解题十招
2020高考数学技巧圆锥曲线解题十招
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius，前262~前190）。
他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。
在《圆锥曲线》中，阿波罗尼总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。
全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点F 1, F 2的距离的和等于常数 2a , 且此常数2a 一定要大于 F 1F 2，当常数等于 F i F 2时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于 F 1F 2时，无轨 迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于| F 1F 2 |， 定义中的“绝对值”与2a <|F 1F 2|不可忽视。
若2a = |F 1F 2 |，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a > |F 1F 2 |，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支如方程J （x 6）2 y 7（x 6）2 y 2 8表示的曲线是 ____________ （答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：2 2 2 2（1） 椭圆：焦点在x 轴上时 笃y2K a b 0），焦点在y 轴上时 爲 笃=（a b 0 ）。
aba b22方程Ax ByC 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC 工0,且A ，B ，C 同号，A 工B ）。
2 2 2 2L若x,y R ，且3x 2y 6，则x y 的最大值是 _，x y 的最小值是 —（答：J 5,2 ） 222 2x yyx（2）双曲线：焦点在x 轴上：二 2 =1，焦点在y 轴上：二 2 = 1 （ a 0, b 0 ）。
方a b a b十22程Ax By C 表示双曲线的充要条件是什么？ （ ABC 工0,且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点 O ，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率 e .2的双曲线C 过点P （4, . 1C ）， 则C 的方程为 ________________ （答：x 2 y 2 6）22（3）抛物线：开口向右时 y 2px （ p 0），开口向左时 y 2px （ p 0），开口向上时2 2x 2 py （ p 0），开口向下时 x 2py （ p 0）。
圆锥曲线的解题技巧和方法2020完美打印版
圆锥曲线的解题技巧三、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 过A （2，1） 的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P典型例题 设P(x,y)（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ； （2 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
（4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。
高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总
高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总在高中数学圆锥曲线知识点学习中，很多同学都遇到难题，说圆锥曲线难，也是高考必考之一在选择、填空、解答这几种题型中,都有圆锥曲线的身影, 接下来小编总结了高考数学圆锥曲线及解题技巧,希望对你有用。
高考数学圆锥曲线及解题技巧1:牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
高考数学圆锥曲线及解题技巧2:计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
高考数学圆锥曲线及解题技巧3:思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
高考数学圆锥曲线及解题技巧4:直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△>0，直线与圆锥曲线相交;△=0，直线与圆锥曲线相切;△<0，直线与圆锥曲线相离.若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论高考数学圆锥曲线及解题技巧5:圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧
高考数学压轴题圆锥曲线解题技巧一、常规七大题型： （1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
(完整版)高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案,推荐文档
值是____， x 2 y 2 的最小值是___（答： 5, 2 ）
（2）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2 y 2 =1，焦 a2 b2
点在 y 轴上： y 2 x 2 ＝1（ a 0, b 0 ）。方程 a2 b2
点 (c, 0) ；③对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ，一
a2 b2 外一点 P(x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情
况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区 域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线 两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线 之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行
如方程 (x 6)2 y2 (x 6)2 y2 8 表示的 曲线是_____（答：双曲线的左支）
e 2 ， e 越小，开口越小， e 越大，开口越大；⑥ 两条渐近线： y b x 。
于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。
个焦点 (c, 0) ；③对称性：两条对称轴 x 0, y 0 ， 一个对称中心（0,0），两个顶点 (a, 0) ，其中实轴长
双曲线的两个焦点，且 PF1 PF2 =24，求 PF1F2 的
周长。
常数 2a ，且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |，定义中的 为 2 a ，虚轴长为 2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
7、已知直线 l1 : 4x 3y 6 0 和直线 l2 : x 1，抛 物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之
和的最小值是（ ）
(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。
在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。
例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。
（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。
例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析
终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
圆锥曲线大题解题技巧
圆锥曲线大题解题技巧圆锥曲线是数学中一个重要的几何分支，它包括椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
在解决圆锥曲线相关的大题时，掌握一些解题技巧是非常有帮助的。
以下是一些常见的解题技巧：1. 熟悉基本定义和性质：-掌握圆锥曲线的标准方程形式，了解它们的焦点、准线、偏心率等基本性质。
-理解直线与圆锥曲线的位置关系，包括相切、相交和相离。
2. 利用坐标法：-将圆锥曲线问题转化为代数问题，通过建立坐标系，将曲线方程转化为标准形式。
-利用坐标法求解直线与圆锥曲线的交点、弦长、面积等。
3.应用韦达定理：-韦达定理在解决圆锥曲线问题时非常有用，特别是在求解直线与圆锥曲线的交点问题时。
-利用韦达定理可以快速找到交点的坐标。
4. 利用参数方程：-对于某些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来简化问题。
-参数方程可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
5. 利用极坐标：-在处理与极点和极线相关的问题时，极坐标方法可以提供简洁的解决方案。
-极坐标方法特别适用于求解与焦点、准线相关的问题。
6. 利用图形工具：-利用几何画板等图形工具可以帮助我们直观地理解圆锥曲线的性质和问题。
-图形工具可以帮助我们验证答案的正确性。
7. 注意特殊情况：-在解决圆锥曲线问题时，要注意特殊点的存在，如顶点、焦点、准线等。
-特殊点的性质往往在解题中起到关键作用。
8. 练习和总结：-定期练习圆锥曲线相关的题目，总结解题方法和技巧。
-学习并掌握常见的解题模式和思路。
通过以上技巧的运用，可以大大提高解决圆锥曲线大题的效率和准确性。
重要的是要理解每个技巧背后的数学原理，这样才能在遇到不同问题时灵活运用。
(完整)高考圆锥曲线如何秒杀
高考圆锥曲线如何秒杀高中数学难，圆锥曲线又是难中之难。
其实解析几何题目自有路径可循，方法可依。
只要经过认真的准备和正确的点拨，完全可以让高考数学的圆锥曲线难题变成让同学们都很有信心的中等题目。
高考圆锥曲线如何秒杀根据题设的已知条件，利用待定系数法列出二元二次方程，求出椭圆的方程，并化为标准方程。
直线设为斜截式y=kx+m，将直线与椭圆联立得到如图一元二次方程。
注意该式子具有普适性，由笔者根据硬解定理简化而来。
通常要验证判别式大于零(因为无论是该经验所给的弦长公式还是韦达定理都是在判别式大于零的情况下才有意义，若题目给出直线与椭圆相交则略去该步，多写不扣分)。
如图所示，直接写出需要的弦长公式或韦达定理。
该图可以省去你至少5分钟，而且不会算错，因为你根本就不用算。
恒成立问题的证明可能会与导数，不等式交汇。
恒成立问题的证伪只要找到反例即可。
存在性问题通常是存在的，方法是提出无关的未知数。
最后别忘了写综上所述。
高考圆锥曲线如何秒杀1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4，函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6，数列的终极利器，特征根方程。
高中数学圆锥曲线解题技巧总结
解圆锥曲线问题的常用方法大全1、定义法1椭圆有两种定义;第一定义中,r 1+r 2=2a;第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2;2双曲线有两种定义;第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化;3抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明;2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用;3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”;设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,弦AB 中点为Mx 0,y 0,将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有：1)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有02020=+k b y a x ; 2)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0则有02020=-k b y a x 3y 2=2pxp>0与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题例1、1抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A3,42与到准线的距离和最小, 2抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B4,1与到焦点F 的距离和最小,则点分析：1A 在抛物线外,如图,连PF,则PF PH =,因而易发现,当A 、P 线时,距离和最小;2B 在抛物线内,如图,作QR ⊥l 交于R,则当B 、Q 、R 三点共线时,解：12,2连PF,当A 、P 、F 三点共线时,PF AP PH AP +=+最小,此时y=22x-1,代入y 2=4x 得P2,22,注：另一交点为2,21-,它为直线AF 21,41 过Q 作QR ⊥l 交于R,当B 、Q 、R 三点共线时,QR BQ QF BQ +=+最小,此时Q 点的纵坐标为1,代入y 2=4x得x=41,∴Q 1,41 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会;例2、F 是椭圆13422=+y x 的右焦点,A1,1为椭圆内一定点,P 1PF PA +的最小值为 2PF PA 2+的最小值为分析：PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径F P '解：14-5设另一焦点为F ',则F '-1,0连A F ',P F '当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +23作出右准线l,作PH ⊥l 交于H,因a 2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e=21, ∴PH PF PH PF ==2,21即 ∴PH PA PF PA +=+2当A 、P 、H 三点共线时,其和最小,最小值为3142=-=-A x ca 例3、动圆M 与圆C 1:x+12+y 2=36内切,与圆C 2:x-12+y 2=4外切,分析：作图时,要注意相切时的“图形特征”图中的A 、M 、C 共线,B 、D 、M 共线;径”如图中的MD MC =;解：如图,MD MC =,∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA ∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2=15轨迹方程为151622+y x 点评：得到方程后,应直接利用椭圆的定义写出方程,4)1()1(2222=+-+++y x y x ,再移项,平方,例4、△ABC 中,B-5,0,C5,0,且sinC-sinB=53sinA,求点A 分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2RR 为外接圆半径,可转化为边长的关系;解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB∴点A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点 ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4所求轨迹方程为116922=-y x x>3 点评：要注意利用定义直接解题,这里由式直接用定义说明了轨迹双曲线右支例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M,求点M 到x 轴的最短距离;分析：1可直接利用抛物线设点,如设Ax 1,x 12,Bx 2,X 22,又设AB 中点为Mx 0y 0用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离;2M 到x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法; 解法一：设Ax 1,x 12,Bx 2,x 22,AB 中点Mx 0,y 0则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+-0222102122221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得x 1-x 221+x 1+x 22=9 即x 1+x 22-4x 1x 2·1+x 1+x 22=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=2x 02-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 2x 02-8x 02-4y 0·1+2x 02=9∴220041944x x y +=-, ≥,5192=- 450≥y 当4x 02+1=3 即 220±=x 时,45)(min 0=y 此时)45,22(±M ① ② ③法二：如图,32222=≥+=+=AB BF AF BB AA MM∴232≥MM , 即∴451≥MM , 当∴M 到x 点评：方法;位线,转化为A 、B 第三边的属性,直接得出;例6、已知椭圆)52(1122≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设fm=CD AB -,1求fm,2求fm 的最值;分析：此题初看很复杂,对fm 的结构不知如何运算,因A 、B 来源于“不同系统”,A 在准线上,B 在椭圆上,同样C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x 轴上,立即可得防此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可;解：1椭圆1122=-+m y m x 中,a 2=m,b 2=m-1,c 2=1,左焦点F 1-1,0 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即m-1x 2+my 2-mm-1=0 得m-1x 2+mx+12-m 2+m=0 ∴2m-1x 2+2mx+2m-m 2=0设Bx 1,y 1,Cx 2,y 2,则x 1+x 2=-)52(122≤≤-m m m2)1211(2121122)(-+=-+-=m m m m f∴当m=5时,9210)(min =m f 当m=2时,324)(max =m f 点评：此题因最终需求C B x x +,而BC 斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为Mx 0,y 0,通过将B 、C 坐标代入作差,得0100=⋅-+k m y m x ,将y 0=x 0+1,k=1代入得01100=-++m x m x ,∴120--=m m x ,可见122--=+m m x x C B当然,解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识,通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点;同步练习1、已知：F 1,F 2是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,过F 1作直线交双曲线左支于点A 、B,若m AB =,△ABF 2的周长为A 、4aB 、4a+mC 、4a+2mD 、4a-m2、若点P 到点F4,0的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P 点的轨迹方程是A 、y 2=-16xB 、y 2=-32xC 、y 2=16xD 、y 2=32x3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列,且AC AB >,点B 、C 的坐标分别为-1,0,1,0,则顶点A 的轨迹方程是A 、13422=+y x B 、)0(13422>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13422≠>=+y x y x 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为F1,0,其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是 A 、)1(49)21(22-≠=+-x y x B 、)1(49)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)21(22-≠=-+x y x D 、)1(49)21(22-≠=++x y x 5、已知双曲线116922=-y x 上一点M 的横坐标为4,则点M 到左焦点的距离是6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p-2,0,则弦AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个,则k=10、设点P 是椭圆192522=+y x 上的动点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,求sin ∠F 1PF 2的最大值; 11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点,且AB 中点M 为-2,1,34=AB ,求直线l 的方程和椭圆方程;12、已知直线l 和双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D;求证：CD AB =; 参考答案1、Ca BF BF a AF AF 2,21212=-=-,∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C点P 到F 与到x+4=0等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y 2=16x,选C 3、D∵22⨯=+AC AB ,且AC AB >∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线,即y ≠0,故选D; 4、A设中心为x,y,则另一焦点为2x-1,2y,则原点到两焦点距离和为4得4)2()12(122=+-+y x ,∴49)21(22=+-y x①又c<a,∴2)1(22<+-y x ∴x-12+y 2<4 ②,由①,②得x ≠-1,选A 5、329左准线为x=-59,M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为32952935=⋅=ed6、)21(21>=y x 设弦为AB,Ax 1,y 1,Bx 2,y 2AB 中点为x,y,则y 1=2x 12,y 2=2x 22,y 1-y 2=2x 12-x 22∴)(2212121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x,21=x将21=x 代入y=2x 2得21=y ,轨迹方程是21=x y>217、y 2=x+2x>2设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,AB 中点Mx,y,则 ∵20+-==x y k k MP AB ,∴222=⋅+y x y,即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P,即y 2<2x,即x+2<2x,∴x>2 8、422,8,4222====c c b a ,令22=x 代入方程得8-y 2=4∴y 2=4,y=±2,弦长为4 9、12±±或y=kx+1代入x 2-y 2=1得x 2-kx+12-1=0 ∴1-k 2x 2①⎩⎨⎧=∆-012k ②1-k 2=010、解：a 2设F 1、F 2设=1PF 则⎩⎨⎧+=+222121r r r r ①2-②得2r ∴1+cos θ∴1+cos θ的最小值为222ab ,即1+cos θ2518≥cos θ257-≥, 257arccos 0-≤≤πθ则当2πθ=时,sin θ取值得最大值1, 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1;11、设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x由题意：C 、2C 、c ca +2成等差数列,④ ⑤ ∴22224c a c ca c c =++=即, ∴a 2=2a 2-b 2,∴a 2=2b 2椭圆方程为122222=+by b x ,设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2则12221221=+b y b x ① 12222222=+b y b x ② ①-②得022222122221=-+-by y b x x ∴0222=⋅+k b y b x m m 即022=+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2x+32-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0, 342)218(121231112221=--=+-=b x x AB 解得b 2=12,∴椭圆方程为1122422=+y x ,直线l 方程为x-y+3=0 12、证明：设Ax 1,y 1,Dx 2,y 2,AD 中点为Mx 0,y 0直线l 的斜率为k,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-11222222221221b y a x b y a x ①-②得022220=⋅-k b y a x ③ 设),(),,(),,(002211y x M BC y x C y x B '''''''中点为, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-002212221222112211b y ax by a x ④-⑤得02221021=⋅-'k by a x ⑥由③、⑥知M 、M '均在直线022:22=⋅-'k bya x l 上,而M 、M '又在直线l 上 , 若l 过原点,则B 、C 重合于原点,命题成立 若l 与x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直,则M 与M '重合 ∴CD AB =椭圆与双曲线的对偶性质总结① ②椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y .9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=;12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.内切：P 在右支；外切：P 在左支5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞o 的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞o 的焦半径公式：1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =;12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=a ＞0,b ＞0内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.椭圆与双曲线的经典结论椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞o 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= a ＞0, b ＞0上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =常数.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的两个焦点为F 1、F 2,P 异于长轴端点为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin c e aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当0＜e 1时,可在椭圆上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.122221111||||OP OQ a b +=+;2|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;3OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+. 9. 过椭圆22221x y a b+=a ＞b ＞0的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0 ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则12122||||1cos b PF PF θ=+.2 122tan 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有122222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.2 2tan tan 1e αβ=-.3 22222cot PAB a b S b a γ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+= a ＞b ＞0的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率. 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=. 2. 过双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞o 上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-常数. 3. 若P 为双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0右或左支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+或tan t 22c a co c a βα-=+. 4. 设双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的两个焦点为F 1、F 2,P 异于长轴端点为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )c e aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当1＜e 1时,可在双曲线上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22221x y a b-=b ＞a ＞0,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥. 122221111||||OP OQ a b +=-;2|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;3OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-. 11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则12122||||1cos b PF PF θ=-.2 122cot 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有122222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. 2 2tan tan 1e αβ=-.3 22222cot PAB a b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=a ＞0,b ＞0的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率. 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。
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1
高中数学圆锥曲线解题的十个大招
招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得
ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2
(1)y k x y x
=+⎧⎨
=⎩消y 整理，得2222
(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2
2
4
2
(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2
1
04
k <<
② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22
211
(,)22k k k
--。
线段的垂直平分线方程为：
221112()22k y x k k k --=--令y=0,得021122x k =-，则2
11
(,0)22
E k - ABE ∆为正三角形，∴2
11
(
,0)22
E k -到直线AB 的距离d 32。
2
2
1212()()AB x x y y =-+-2
2
2141k k k -=
+2
12k d k
+=222
314112k k k k -++=39k =05
3
x =。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
2
这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123
301y x x x b x x y x b ⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩
，进而可求出AB
的中点1
1(,)22M b --
+，又由11
(,)22
M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出2
21114(2)32AB =+-⨯-=．
3
招式二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为32，
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
（I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I ）由已知椭圆C 的离心率32c e a ==，2a =,则得3,1c b ==。
从而椭圆的方程为
2
214
x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由
122
(2)44
y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-=12x -和是方程的两个根，
21121164214k x k -∴-=+则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为211
22
11
284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-12122
k k k k t -∴=-+，直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--，
∴令y=0，得211212x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又
2t >，∴402t
<
<椭圆的焦点为(3,0)4
3t
∴
=，即433t = 故当43
3
t =
时，MN 过椭圆的焦点。
招式三：过已知曲线上定点的弦的问题
4
例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b
+= (0)a b >>上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =
对称，求直线PQ 的斜率。
解：(I)
2BC AC =，且BC 过椭圆的中心O
OC AC
∴=0AC BC =2
ACO π
∴∠=
又
A (23,0)∴点C 的坐标为(3,3)。
A (23,0)是椭圆的右顶点，23a ∴=，则椭圆方程为：
22
2
112x y b += 将点C (3,3)代入方程，得2
4b =，∴椭圆E 的方程为
22
1124
x y += (II)
直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称，
∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：
3(3)y k x -=-，即3(1)y kx k =+-，由223(1)3120
y kx k x y ⎧=+-⎪⎨
+-=⎪⎩消y ，整理得： 222(13)63(1)91830
k x k k x k k ++-+--=3x =是方程的一个根，
229183
313P
k k x k --∴=+即2
291833(13)P k k x k --=+同理可得：2
2
91833(13)
Q k k x k +-=+ 3(1)3(1)P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+＝()23P Q k x x k +-＝
2
123(13)
k k -+
2222918391833(13)3(13)
P Q k k k k x x k k --+--=-++＝2363(13)k k -+13P Q PQ
P Q y y k x x -∴==- 则直线PQ 的斜率为定值
1
3。
5
招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2
定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM
上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
解：（1）.0,2=⋅=AM NP AP AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点
C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a
焦距2c=2. .1,1,22
===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12
,222
=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.2
3
0.
034)2
1(22
2>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G
)2(216
2
13),1(2182142
2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=
+则)2,()2,(,
2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又,,
2
1
21x x x x =
∴=∴λλ，)21
(332
)
21(33221)2()1(222
2+=+=++⇒k
k k λλ。