2021年吉林省高考数学模拟试卷及答案解析

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吉林省五平市2021届新高考数学五模试卷含解析

吉林省五平市2021届新高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（） A1B1 CD．12【答案】B【解析】【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -，则PAm PF ==== 当0y =时，1m =，当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P±，2PA PF ==， Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．2．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④ 【答案】A【解析】【分析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.3．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（）A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x xB ．20,(1)(1)∀+>-x x x x …C ．20,(1)(1)∃>+-x x x x …D ．20,(1)(1)∃+>-x x x x …【答案】C【解析】【分析】套用命题的否定形式即可.【详解】命题“,()x M p x ∀∈”的否定为“,()x M p x ∃∈⌝”，所以命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.4．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（）A ．3-B ．1C 1D 1【答案】B【解析】23x yxy +2(2)2111x x y y x y xy y x ++==++≥+=+,选B 5．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）A ．48B ．60C ．72D ．120【答案】A【解析】【分析】对数字2分类讨论，结合数字135，，中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字2出现在第2位时，数字135，，中相邻的数字出现在第34，位或者45，位，共有22232212C A A =个数字2出现在第4位时，同理也有12个数字2出现在第3位时，数字135，，中相邻的数字出现在第12，位或者45，位，共有1222232224C C A A =个故满足条件的不同的五位数的个数是48个故选A【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字2分类讨论，属于基础题。

吉林省松原市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

吉林省松原市2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，所以336a =，即32a =，又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=，故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.2．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( ) A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根，则在[0,5]上有4个不同的实数根，当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =，可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点，即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.3．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（） A 3 B ．5C ．2D 3+1【答案】B 【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,c b b A c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭22243b c a c b =+，整理计算可得离心率. 【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理得()()22229550c aca --=，则22519c a =<（舍去），225c a=，ce a∴==. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题. 4．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（） A ．85 B ．852C ．35D ．352【答案】B 【解析】【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，求得1,a d ，由此求得10S . 【详解】设公差为d ，则11522234a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，所以322d =，34d =，178a =，101138510109242S a =+⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 5．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 【答案】C【分析】据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求M 落在区域2Ω内的概率，只要求A 、B 所表示区域的面积，然后代入概率公式21P Ω=Ω区域的面积区域的面积，计算即可得答案．【详解】根据题意可得集合22{(,)|16}A x y x y =+„所表示的区域即为如图所表示：的圆及内部的平面区域，面积为16π，集合{(,)|40B x y x y =+-„，0x …，0}y …表示的平面区域即为图中的Rt AOB ∆，14482AOB S ∆=⨯⨯=，根据几何概率的计算公式可得81162P ππ==，故选：C ．【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．6．已知命题2:21,:560p x m q x x -<++<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（）A ．12m >B ．12m ≥C ．1m >D ．m 1≥【答案】D 【解析】【分析】求出命题q 不等式的解为23x <<，p 是q 的必要不充分条件，得q 是p 的子集，建立不等式求解. 【详解】解：Q 命题2:21,:560p x m q x x -<++<，即: 23x <<，p 是q 的必要不充分条件，(2,3)(,21,)m ∴⊆-∞+，213m ∴+≥，解得m 1≥．实数m 的取值范围为m 1≥．故选：D ．本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验．7．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.8．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.9．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论．【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半，且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（） A ．12- B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为 A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线2212yx-=的渐近线方程为（）A．32y x=±B．y x=±C．2y x=±D．3y x=±【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程. 【详解】Q双曲线2212yx-=,∴双曲线的渐近线方程为2y x=±，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.2．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n，如果n为偶数就除以2，如果n是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n=，则输出i的（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】模拟程序运行，观察变量值可得结论．【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．故选：B ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（） A ．y x =± B ．2y x =±C ．y = D．y =【答案】B 【解析】【分析】先设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，根据题意，得到1//EM PF ，再由22114F E F F =，根据勾股定理求出2b a =，从而可得渐近线方程. 【详解】设直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切于点M ，因为12PF F ∆是以圆O 的直径12F F 为斜边的圆内接三角形，所以1290F PF ∠=o，又因为圆E 与直线2PF 的切点为M ，所以1//EM PF ，又22114F E F F =，所以144b PF b =⋅=，因此22PF a b =+，因此有222(2)4b a b c ++=，所以2b a =，因此渐近线的方程为2y x =±. 故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.4．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=405．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A 【解析】【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.6．某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为A ．83B ．43C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】【详解】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为23，所以该几何体的体积113223132V =⨯⨯⨯=，故选C ．7．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（） A ．20- B ．60 C ．70 D ．80【答案】B 【解析】【分析】展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，由二项式的通项，可得解【详解】由题意，展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，所以()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为1335522260C C -⨯+⨯=．故选：B 【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.8．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．4【答案】B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值. 【详解】解：由变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，画出相应图形如下：可知点()1,1A ,()0,2B ，2x y -在B 处有最小值，最小值为2-.故选：B. 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====u u u v u u u v u u u v u u u v 若CP C 12,Q ⋅=u u u v u u u v则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C 【解析】【分析】由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f xx x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()6,m c a b =-u r ，(,6n a b c =-r，且//m n u r r，则ABC ∆的面积为（）A ．3B ．93C 33D ．33【答案】C 【解析】【分析】由//m n u r r ，可得2()(6)(6)a b c c -=-+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c abπ+-==，解得ab ．即可得出三角形面积．【详解】解：Q ()6,m c a b =--u r ，(),6n a b c =-+r ，且//m n u r r，2()(6)(6)a b c c ∴-=-+，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =．11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B 【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省松原市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

吉林省松原市2021届新高考数学模拟试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1x <是12x x+<-的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。

【详解】设:p 1x <对应的集合是(,1)A =-∞，由12x x+<-解得0x <且1x ≠-:q 12x x+<-对应的集合是()(),11,0B =-∞--U ，所以B n A ，故1x <是12x x+<-的必要不充分条件，故选B 。

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。

设{}{}B A x x p x x q =∈=∈，，如果A B ⊆，则p 是q 的充分条件；如果A n B 则p 是q 的充分不必要条件；如果B A ⊆，则p 是q 的必要条件；如果B n A ，则p 是q 的必要不充分条件。

2．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】D 【解析】【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n n a =-+，解不等式求得结果. 【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2，故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==，又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n na n ∴=-+-⨯=-+，令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11，故选：D. 【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 3．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -【答案】B 【解析】【分析】【详解】因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．4．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A 【解析】【分析】利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y xmy x ⎧=⎨=-⎩，最后利用韦达定理求解即可【详解】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==. 【点睛】本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题 5．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．tan570°=（） A ．33B ．-33C ．3D ．32【答案】A 【解析】【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】tan570°=tan （360°+210°）=tan210°=tan （180°+30°）=tan30°=3．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.7．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2kπ＋45°(k ∈Z)B ．k·360°＋π(k ∈Z)C ．k·360°－315°(k ∈Z)D ．kπ＋(k ∈Z)【答案】C 【解析】【分析】利用终边相同的角的公式判断即得正确答案. 【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.故答案为C 【点睛】（1）本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 与α终边相同的角β=0360k ⋅+α 其中k z ∈.8．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题. 9．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （） A ．18- B ．63-C ．18D ．63【答案】C 【解析】【分析】在直角三角形ABC 中，求得12AC cos CAB AB ∠== ，再由向量的加减运算，运用平面向量基本定理，结合向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，化简计算即可得到所求值．【详解】在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，，12AC cos CAB AB ∠==，若32AD AB =u u u v u u u v ，则2CD CB AD AC AB AC AD AB AD AC AC AB AC ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）（）223322AB AB AC AC AB AC =-⋅-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 3511642418222=⨯-⨯⨯⨯+=．故选C. 【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．10．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．1625D ．85【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得43sin ,cos 55αα==-，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，点(3,4)P -是角α的终边上一点，根据三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα==-，则4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11．正四棱锥P ABCD -，侧棱长为接球的表面积为（） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，BD ==12BE BD ==3PE ==，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 12．已知复数z 满足i z11=-，则z =（） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --【答案】B 【解析】【分析】利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【详解】由i z11=-，得()()11111111222i i z i i i i ++====+--+，所以，1122z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省辽源市2021届新高考数学五模试卷含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学五模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（）A ．94B ．5CD ．9【答案】A 【解析】【分析】利用()22log 217y xx =-+的值域为[),m +∞,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++,∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 2．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 3．复数2(1)i i +的模为（）．A ．12B ．1C ．2D ．【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：2(1)22i i i +=-+，∴复数2(1)i i +=故选：D ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题． 4．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥α C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥【答案】C 【解析】根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【详解】A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥，b α⊥，故本命题不正确；C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥，b ∥α，故本命题不正确. 故选：C 【点睛】本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.5．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（）A ．1B ．C ．2D ．4【答案】C 【解析】【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p+，与抛物线联立利用韦达定理可得p ．【详解】由已知得F （2p，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0）， ∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2,故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．6．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''==O C ''=ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+【答案】B 【解析】【分析】根据斜二测画法的基本原理，将平面直观图还原为原几何图形，可得2AO BO ==，23OC =,ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体,圆锥的侧面展开图是扇形根据扇形面积公式即可求得组合体的表面积. 【详解】根据“斜二测画法”可得2AO BO ==，23OC =，4AB AC BC ===，ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为22234163S rl πππ==⨯=. 故选:B 【点睛】本题考查斜二测画法的应用及组合体的表面积求法,难度较易.7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,2【答案】B 【解析】【分析】利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围，由此求得[]()y f x =的值域.【详解】因为12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），所以()21241324232424x x x x y =-⋅+=-⋅+，令2x t =（14t <<），则21()342f t t t =-+（14t <<），函数的对称轴方程为3t =，所以min 1()(3)2f t f ==-，max 3()(1)2f t f ==，所以13(),22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，所以[]()y f x =的值域为{}1,0,1-. 故选：B 【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.8．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x yxy+的最小值为（）A．3- B．1C1D1【答案】B 【解析】23x y xy+2(2)2111x x y y x y xy y x ++==++≥+=+,选B 9．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()AB C ⋃＝（）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3，4，5，6}C ．{1，2，3，4，5，6}D ．{1，3，4，5，6，7}【答案】C 【解析】【分析】根据集合的并集、补集的概念，可得结果. 【详解】集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}，所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7} B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，故AC ＝{1，4，5，6}，所以()AB C ⋃＝{1，2，3，4，5，6}.故选：C. 【点睛】本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.10．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin 10m α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35D ．45-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义，即可求出1m =-，得出(3,1)P -，得出sin α和cos α，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【详解】根据题意，sin 10m α==，解得1m =-，所以(3,1)OP =-，所以sin αα==，所以3sin 22sin cos 5ααα==-. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力.11．记()[]f x x x =-其中[]x 表示不大于x 的最大整数,0()1,0kx x g x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若方程在()()f x g x =在[5,5]-有7个不同的实数根，则实数k 的取值范围( )A ．11,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,65⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,54⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】做出函数(),()f x g x 的图象，问题转化为函数(),()f x g x 的图象在[5,5]-有7个交点，而函数(),()f x g x 在[5,0]-上有3个交点，则在[0,5]上有4个不同的交点，数形结合即可求解. 【详解】作出函数(),f x ()g x 的图象如图所示，由图可知方程()()f x g x =在[5,0]-上有3个不同的实数根，则在[0,5]上有4个不同的实数根，当直线y kx =经过(4,1)时，14k =；当直线y kx =经过(5,1)时，15k =，可知当1154k ≤<时，直线y kx =与()f x 的图象在[0,5]上有4个交点，即方程()()f x g x =，在[0,5]上有4个不同的实数根. 故选:D. 【点睛】本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【答案】D 【解析】【分析】根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由绘制出的折线图知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省吉林市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

吉林省吉林市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线不平行于平面，且，则（）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交【答案】D【解析】【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误.【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D. 【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.2．执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A ．36B ．45C ．36-D ．45-【答案】A【解析】【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i=≤满足，执行第一次循环，()120111S=+-⨯=-，112i=+=；28i=≤成立，执行第二次循环，()221123S=-+-⨯=，213i=+=；38i=≤成立，执行第三次循环，()323136S=+-⨯=-，314i=+=；48i=≤成立，执行第四次循环，()4261410S=-+-⨯=，415i=+=；58i=≤成立，执行第五次循环，()52101515S=+-⨯=-，516i=+=；68i=≤成立，执行第六次循环，()62151621S=-+-⨯=，617i=+=；78i=≤成立，执行第七次循环，()72211728S=+-⨯=-，718i=+=；88i=≤成立，执行第八次循环，()82281836S=-+-⨯=，819i=+=；98i=≤不成立，跳出循环体，输出S的值为36，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频数频率求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴样本容量（即该班的学生人数）是180.30=60（人）. 故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量的应用问题，属于基础题 4．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆2，则双曲线的离心率为（）AB ．2CD ．3 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设点()00,P x y 在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点()00,P x y 在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为b y x a =，所以，00b y x a=，又以12F F 为直径的圆经过点P ，则OP c =，即22200x y c +=，解得0x a =，0y b =，所以，12201223PF F S c y c b ∆=⋅⋅=⋅=，即3c =，即()22243c c a =-，所以，双曲线的离心率为2e =.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出a 与c 的关系，属于基础题.5．复数2i z i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+，则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.6．已知全集，，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【分析】先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得， ∵， ∴．故选C ．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 7．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=333388=4441515=55552424=，则按照以上规律，若10101010n n=“穿墙术”，则n =（） A ．48B ．63C ．99D ．120 【答案】C【解析】【分析】观察规律得根号内分母为分子的平方减1，从而求出n.【详解】解：观察各式发现规律，根号内分母为分子的平方减1所以210199n =-=故选：C.【点睛】本题考查了归纳推理，发现总结各式规律是关键，属于基础题.8．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2BC．D【答案】B【解析】【分析】设点B 位于第二象限，可求得点B 的坐标，再由直线2BF 与直线b y x a=垂直，转化为两直线斜率之积为1-可得出22b a的值，进而可求得双曲线C 的离心率. 【详解】设点B 位于第二象限，由于1BF x ⊥轴，则点B 的横坐标为B x c =-，纵坐标为B B b bc y x a a=-=，即点,bc B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意可知，直线2BF 与直线b y x a =垂直，222BF bc b a a k c a b-==-=-，222b a ∴=，因此，双曲线的离心率为c e a ====故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出a 、b 、c 的等量关系，考查计算能力，属于中等题. 9．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A ．圆，但要去掉两个点B ．椭圆，但要去掉两个点C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点【答案】A【解析】【分析】根据题意可得AC BC ⊥,即知C 在以AB 为直径的圆上.【详解】PB α⊥,AC α⊂，PB AC ∴⊥,又PC AC ⊥，PB PC P ⋂=,AC ∴⊥平面PBC ,又BC ⊂平面PBCAC BC ∴⊥，故C 在以AB 为直径的圆上，又C 是α内异于,A B 的动点，所以C 的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.10．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=m n ，则,0m n =，cos00m n m n m n ⋅==>，得证；必要性：若0m n ⋅>，则),0,90m n ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=m n ，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 11．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p ＝1，S ＝1，输出S 的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝3，S ＝7，输出S 的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝5，S ＝31，输出S 的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝7，S ＝127，输出S 的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p ＝9，S ＝511，输出S 的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．12．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求.【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t +=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增, 所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t ∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届吉林省吉林市高三第三次模拟考试理科数学试卷

1-50
951-1000
近视
41
32
不近视
9
18
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．
考点：线性规划．
5．B
【解析】
试题分析：因为随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，所以，因为，所以
，故选B．
考点：正态分布．
6．D
【解析】
试题分析：，表示，，，，和轴所围成的面积，就是单位圆在第一象限的面积，占单位圆面积的四分之一，故，，所以，故选D.
考点：1.复数运算；2.复数的模.
视频
3．B
【分析】
由的值及α为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出的值．
【详解】
由题是第四象限角，
则
故选B.
【点睛】
此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
4．C
【解析】
试题分析:作出可行域如图所示：
A． B． C． D．
12．若存在直线l与曲线和曲线都相切,则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命
题：
①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；
②曲线和曲线是“相关曲线”；

吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷含解析

吉林省吉林市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项A ，B 显然正确；对于C ，2.9 1.60.81.6->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题2．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（）A ．5B ．3C ．12D ．1【答案】B【解析】【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~得出PA PB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值【详解】 DA l ⊥，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++= P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，cos 82PB PBA MB ∠=== 故选B【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．3．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】B【解析】【分析】先根据复数的除法表示出z ，然后根据z 是纯虚数求解出对应的a 的值即可.【详解】因为()122i z ai -=+，所以()()()()()21222421212125ai i a a i ai z i i i ++-+++===--+，又因为z 是纯虚数，所以220a -=，所以1a =.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数z a bi =+为纯虚数，则有0,0a b =≠.4．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a zb =-⎧∴∴=-+⎨=⎩,所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.5．已知集合A={x|x<1}，B={x|31x <}，则A ．{|0}AB x x =< B ．A B R =C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=<故选A6．已知向量a b (3,1),(3,3)=-=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（）A ．B C ．1- D ．1 【答案】A【解析】【分析】投影即为cos a bb a θ⋅⋅=，利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量a 与向量b 的夹角为θ，由题意，得331a b ⋅=-⨯+=-()312a =-+=，所以，向量b 在向量a 方向上的投影为23cos 2a bb a θ⋅-⋅===故选：A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43D ．8【答案】A【解析】【分析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V =⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．8．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（）A ．()lg 1y x =+B ．12y x =C ．2x y =D ．ln y x =【答案】B【解析】【分析】分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.【详解】对于A ，()lg 1y x =+图象如下图所示：则函数()lg 1y x =+在定义域上不单调，A 错误；对于B ，12y x x ==的图象如下图所示：则y x =在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞，B 正确；对于C ，2x y =的图象如下图所示：则函数2xy =单调递增，但值域为()0,∞+，C 错误；对于D ，ln y x =的图象如下图所示：则函数ln y x =在定义域上不单调，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（）A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,2【答案】B【解析】【分析】利用换元法化简()f x 解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得()f x 的取值范围，由此求得[]()y f x =的值域.【详解】因为12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），所以()21241324232424xx x x y =-⋅+=-⋅+，令2x t =（14t <<），则21()342f t t t =-+（14t <<），函数的对称轴方程为3t =，所以min 1()(3)2f t f ==-，max 3()(1)2f t f ==，所以13(),22f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，所以[]()y f x =的值域为{}1,0,1-. 故选：B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，A B 、是抛物线上两个不同的点，若||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．5B ．3C ．32D ．2 【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知12||||228AF BF x x +=+++=,继而可求出124x x +=,从而可求出AB 的中点的横坐标,即为中点到y 轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知，28p =，即4p =，()2,0F ∴.设()()1122,,,A x y B x y 则122,2AF x BF x =+=+，即12||||228AF BF x x +=+++=，所以124x x +=.所以线段AB 的中点到y 轴的距离为1222x x +=. 故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得A B 、两点横坐标的和. 11．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（）A． B．C ．12- D ．12【答案】D【解析】【分析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+ 所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-= ()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+=故选：D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得平地降雨量22219(106)3314πππ⨯⨯==，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省辽源市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．点(,)P x y 为不等式组+40x y y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域上的动点，则+22-y x 的取值范围是（） A ．()(),21,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．()2,1-D ．[]2,1-【答案】B【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可得到结论．【详解】不等式组40x y y x y +⎧⎪⎨⎪⎩作出可行域如图：(4,0)A ，(2,2)B ，(0,0)O ，22y z x +=-的几何意义是动点(,)P x y 到(2,2)Q -的斜率，由图象可知QA 的斜率为1，QO 的斜率为：1-，则22y x +-的取值范围是：(-∞，1][1-，)+∞．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg ( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 3．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos ABACAB B AC C +，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】【分析】解出AP ，计算AP BC ⋅并化简可得出结论．【详解】 AP OP OA =-=λ（ABACAB cosB AC cosC +⋅⋅），∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭， ∴AP BC ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅是关键． 4．已知a ＞b ＞0，c ＞1，则下列各式成立的是（）A ．sina ＞sinbB ．c a ＞c bC ．a c ＜b cD ．11c c b a--＜【答案】B根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina 与sinb 大小不确定，故错误；对B,因为y ＝c x 为增函数，且a ＞b ，所以c a ＞c b ，正确对C,因为y ＝x c 为增函数,故c c a b > ，错误；对D, 因为1c yx 在()0,∞+为减函数，故11c c b a ，错误故选B ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．5．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C++=+-，求sin b A =（）A B ．3 C ．12 D 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B 的值，再利用正弦定理可求得sin b A 的值.【详解】 sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a b a a b c++=+-，整理得222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，0B π<<，3B π∴=.由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 32b A a B π==⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B【解析】试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-= 故选B ．考点：正态分布7．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（） A ．8B ．7C ．4D ．3 【答案】D【解析】【分析】转化条件得{}0,1AB =，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<， ∴{}0,1A B =，∴集合A B 的真子集的个数为2213-=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.8．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A【解析】【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围.【详解】函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5h x x x =+-，∴()111x h x x x -'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减， ∴()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，∴44a ≤，∴01a <≤.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.9．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（） A ．60-B ．12-C ．12D ．60 【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（）A ．74B ．94C ．52D ．2【答案】B【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=.()()5115112541945252521002020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.11． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】D【解析】【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型：809200S p ==，故185S =. 故选：D .【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( )A ．3-B ．3C ．13-D ．13 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .【详解】由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数，所以()()()ln22020ln 2ln 2ln 228a a f f f e-=-=-===，解得3a =，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省四平市2021届新高考数学最后模拟卷含解析

吉林省四平市2021届新高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞U C ．()1,1- D ．()()1,00,1-U【答案】B 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数，当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式. 2．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，通过图象经过点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ϕ，从而得出函数解析式. 【详解】解：由图象知3A =，534422T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，则2142ωπ==π，图中的点3,02π⎛⎫⎪⎝⎭应对应正弦曲线中的点(,0)π，所以1322πϕπ⨯+=，解得4πϕ=，故函数表达式为()13sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质，三角函数的解析式等基础知识；考查考生的化归与转化思想，数形结合思想，属于基础题.3．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（） A ．2B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模．【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ．【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2y x =的图象【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数得到())4f x x π=-，再逐项判断正误得到答案.【详解】()sin 2cos 2)4f x x x x π=-=-A 选项，132(,)4413220,x x ππππ⎛⎫∈⇒ ⎪⎝⎭-∈-函数先增后减，错误 B 选项，2084x x ππ=⇒-=不是函数对称轴，错误 C 选项，2444x x πππ=⇒-=，不是对称中心，错误D 选项，图象向左平移需8π个单位得到))284y x x ππ=+-=，正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键. 5．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位【答案】D 【解析】55cos(2)sin(2)sin(2)sin 2()332612y x x x x πππππ=+=++=+=+，所以要的函数cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个长度单位得到，故选D6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（） A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】【分析】根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解. 【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元【答案】A 【解析】【分析】根据 2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解. 【详解】因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 所以就医费用8000010%8000⨯=因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，所以2019年的就医费用12750元，而2019年的就医费用占总收人15%所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%= 而储畜费用占总收人25%所以储畜费用：850002521250⨯%= 故选：A 【点睛】本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题.8．不等式42,3x y x y -⎧⎨+⎩…„的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-„；2:(,),22p x y D y x ∃∈-…；3:(,),22p x y D y x ∀∈-„；4:(,),24p x y D y x ∃∈-….其中的真命题是（） A ．12,p p B ．23,p pC ．13,p pD ．24,p p【答案】A 【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【详解】作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以1(,),25,x y D y x p ∀∈-„为真命题；2(,),22,x y D y x p ∃∈-…为真命题；34,p p 为假命题.故选：A【点睛】此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题.9．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C 【解析】【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1．故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 10．已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*a N ∈），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3E ξ=，则D ξ= ( )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】B 【解析】由题意2ξ=或4，则221[(23)(43)]12D ξ=-+-=，故选B ． 11．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算．12．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【详解】解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α，因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图因为αβ⊥，l αβ=I ，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，则直线a β⊥，a l ⊥又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省四平市2021届新高考数学模拟试题(2)含解析

吉林省四平市2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由()0f x =，解得20x ax -=，即0x =或x a =，0,a >∴Q 函数()f x 有两个零点，,A C ∴，不正确，设1a =，则()()()()22,'1xxf x x x e f x x x e =-∴=+-，由()()2'10xf x x x e =+->，解得15x -+>或15x --<由()()2'10xf x x e =-<，解得：1515x ---+<<，即1x =-是函数的一个极大值点，D ∴不成立，排除D ，故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.2．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC V 的面积为21)，则b c +=（） A ．5 B ．2C ．4D ．16【答案】C 【解析】【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(22)bc =,再代入余弦定理求解即可. 【详解】ABC V 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,∴4A π=.∵1sin 1)2ABC S bc A ===-V ,∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.3．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（） A ．15︒ B ．30︒C ．45︒D ．60︒【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（）A B ． C ．12D ．12-【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴， ()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭ 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（）AB ．3CD ．2【答案】A 【解析】【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为b x y c a =-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c=-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-. 联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=，则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e =.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.6．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．6【答案】B【解析】【分析】根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，⨯⨯=所以该正三棱柱的侧面积为32212故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.7．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．203【答案】D【解析】【分析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为2，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，∴该几何体的体积为1120 2228111323V=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：D.【点睛】本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.8．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（）A．14B．15C．25D．35【答案】A【解析】【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 10．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3C ．3D ．15【答案】B 【解析】17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B ． 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B 【解析】【分析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n n b C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n Bn +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =.故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数()e x f x x =,关于x 的方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根,则m 的取值范围是( )A ．44,e e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B ．()4,3--C ．4e ,3e 1⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D ．4e ,e 1∞⎛⎫--- ⎪+⎝⎭ 【答案】A 【解析】()e x f x x ==e ,0e ,0xx x x x x⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩,当0x >时()()()‘2e 10,1,0,1x x f x x x x-===∈时,()f x 单调递减，()1,x ∞∈+时,()f x 单调递增,且当()()()0,1,e,x f x ∞∈∈+时,当()()()1,,e,x f x ∞∞∈+∈+时, 当0x <时，()()2e 10x xf x x-'-=>恒成立，(),0x ∞∈-时,()f x 单调递增且()()0,f x ∞∈+,方程()()()2140(f x m f x m m ++++=∈R)有四个相异的实数根.令()()2,14f x t t m t m =++++=0则()2120,,e 1e 40t e t e m m <<>∴++++<,()201040m m ++++>且,即44,e e 1m ⎛⎫∈---⎪+⎝⎭. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届吉林省高考数学模拟试卷及答案解析

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线：，，，由原点在以为直径的圆的外部，可得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可求得答案.
【详解】
显然直线不满足条件，故可设直线：，
，，由，得，
，
解得或，
，，
，
，
，
解得，
直线的斜率的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.
11．已知函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，可得，要使得有两个实数解，即和有两个交点，结合已知，即可求得答案.
【详解】
令，
可得，
要使得有两个实数解，即和有两个交点，
，
令，
本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.
【答案】
【解析】根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

吉林省辽源市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析

吉林省辽源市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A 21-B21+C．612D．312【答案】D【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离1314d=-=31-12，故球体到蛋巢底面的最短距离为133112⎛--=⎝⎭.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.3．已知复数1cos23sin23z i=+和复数2cos37sin37z i=+，则12z z⋅为A．1322-B．3122i+C．1322i+D．3122i-【答案】C【解析】【分析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．【详解】z1z2＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝132+．故答案为C．【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 4．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >【答案】C 【解析】【分析】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令23a b t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==，3lg log lg 3tb t ==， ()lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3t t t a b -∴-=-=>⋅，因此，a b >. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若495,81a S ==，则10a =（） A ．23 B ．25C ．28D ．29【答案】D 【解析】【分析】由981S =可求59a =，再求公差，再求解即可. 【详解】解：{}n a 是等差数列95981S a ∴==59a ∴=，又45a =， ∴公差为4d =，410629a a d ∴=+=，故选：D 【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.6．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（）A ．0x ±=B ．0y ±=C 0y ±=D ．0x =【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到2cd ==，化简得到223a b ，得到答案.【详解】根据题意知：焦点(c,0)F 到渐近线b y xa =的距离为2c d ==，故223a b ，故渐近线为0x ±=.故选：A . 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力.7．已知函数1()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围是（） A ．[2,4] B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,3]【答案】D 【解析】【分析】易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4121a x x =++-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【详解】易知函数1()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程230x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)4412111x x x a x x x x ++-++===++-+++在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4121y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ．【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.8．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（） A ．0 B ．1C ．3D ．4【答案】D 【解析】【分析】用1n +去换21n n n a a a +++=中的n ，得312n n n a a a ++++=，相加即可找到数列{}n a 的周期，再利用2019S =6123336S a a a +++计算.【详解】由已知，21n n n a a a +++=①，所以312n n n a a a ++++=②，①+②，得3n n a a +=-，从而6n n a a +=，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以60S =，2019126123336()01214S a a a a a a =++++++=+++=.故选：D. 【点睛】本题考查周期数列的应用，在求2019S 时，先算出一个周期的和即6S ，再将2019S 表示成6123336S a a a +++即可，本题是一道中档题.9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案.【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a 、b 、c ，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=，则（）A ．max372a c-=B ．max372a c-+=C ．min372a c-= D ．min372a c+=【答案】A 【解析】【分析】设θ为a 、b 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，(1,3b OB ==，(),c OC x y ==，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -和a c +转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=，则1cos =2θ，0θπ≤≤，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==，(1,3b OB ==，(),c OC x y ==，由()22c a b c ⋅+-=，可得()(),42,2322x y x y ⋅--=，即22422322x x y y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()2233124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，则()222a c x y -=-+，则a c -转化为圆()223314x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0的距离，22max333712a c ⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴-，22min 337312a c ⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝-⎭， ()222a c x y +=++，a c +转化为圆()223314x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0-的距离， 22max3332393a c⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭∴+，22m 3339233im a c ⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭+ . 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题. 11．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π【分析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：ABC∆∴的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD AC⊥，且OD⊂平面SAC，2SA AC==，SC∴的中点O为外接球的球心，∴半径3R=，∴外接球表面积4312Sππ=⨯=．故选：A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】B基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，所以，所求的概率3162P ==. 故选：B. 【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省吉林市2021届新高考数学二模考试卷含解析

吉林省吉林市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（）A ．45 B ．35 C ．25 D ．15【答案】B【解析】函数2x ay x +=在区间[)2,+∞内单调递增， 222'10a x a y x x -∴=-=≥，在[)2,+∞恒成立， 2a x ∴≤在[)2,+∞恒成立， 4a ∴≤，[][]1,6,1,4,a a ∈∴∈∴函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是413615-=-，故选B. 2．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.3．已知函数22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩，则((1))f f -=（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数直接计算得到答案. 【详解】因为22,0,()1,0,x x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩所以2((1))(2)222f f f -==-=.故选：A . 【点睛】本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力. 4．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（）A ．{}012,, B ．{2,1,0,1,2}-- C ．{}2,1,0,1,2,3-- D ．{}12, 【答案】A 【解析】【分析】进行交集的运算即可．【详解】{0A =，1，2，3}，{|22}B x x =-， {0AB ∴=，1，2}．本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112 B ．10102C ．10092D ．10082【答案】B 【解析】【分析】根据新运算的定义分别得出2018◆2020和2020★2018的值，可得选项. 【详解】由（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，得（2n +2）★2018=(122n ★)2018，又2★2018=1，所以4★12018=2，6★212018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8★312018=2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，以此类推，2020★2018()21010=⨯★20181010110091122-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，2018◆11=，所以2018◆22=，2018◆232=，2018◆342=，，以此类推，2018◆202020192=，所以（2018◆2020）（2020★2018）10092019101012=22⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，故选：B. 【点睛】本题考查定义新运算，关键在于理解，运用新定义进行求值，属于中档题. 6．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件．【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．3B ．23C ．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+，可得：y考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．8．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（） A ．24π B ．86πC ．43πD ．12π【答案】A 【解析】【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为22 设球的半径为r ，则()222224r =+，解得6r =所以2424S r ππ==，故选：A ．【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即圆的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C 【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.10．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( ) A ．②③ B ．②③④C ．①④D ．①②③【答案】C 【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确；若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误；故选：C 【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.11．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（） A ．0.18 B ．0.3C ．0.24D ．0.36【答案】B 【解析】【分析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得．【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础． 12．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3πB ．3π-C ．23π D ．23π-【答案】B 【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-. 故选：B 【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．【答案】36 【解析】【分析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在1OO A ∆中，利用22211O A O O OA +=即可得到关于x 的方程，解方程即可解决. 【详解】由已知，2428R ππ=，解得7R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则13O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得23x =2336x =.故答案为：36. 【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.14．函数()x f x ae =与()1g x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，则实数a 的取值范围为______. 【答案】1a ≤ 【解析】【分析】先求得与()g x 关于x 轴对称的函数()1h x x =+，将问题转化为()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，即方程e 1x a x =+有解.对a 分成0,0,0a a a =<>三种情况进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】关于x 轴的对称点，所以()e x f x a =与()1h x x =+的图象有交点，方程e 1x a x =+有解.0a =时符合题意.0a ≠时转化为1e (1)x x a =+有解，即ex y =，1(1)y x a =+的图象有交点，1(1)y x a=+是过定点(1,0)-的直线，其斜率为1a ，若0a <，则函数e x y =与1(1)y x a=+的图象必有交点，满足题意；若0a >，设e xy =，1(1)y x a =+相切时，切点的坐标为(),e m m ，则e 111e m m m a a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，切线斜率为11a =，由图可知，当11a ≥，即01a <≤时，e x y =，1(1)y x a=+的图象有交点，此时，2()e x f x a x =-与2()1h x x x =-++的图象有交点，函数2()e x f x a x =-与2()1g x x x =--的图象上存在关于x 轴的对称点，综上可得，实数a 的取值范围为1a ≤.故答案为：1a ≤ 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识. 15．函数1log 2y x =____.【答案】(0,1] 【解析】由题意得12{?log 0x x >≥，解得定义域为(]0,1．16．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______. 【答案】e【分析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥，即(),2eM a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．三、解答题：共70分。

吉林省长春市2021届新高考第三次模拟数学试题含解析

吉林省长春市2021届新高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（） A ．3- B ．2C ．3D ．2-【答案】A 【解析】【分析】由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -．【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1 B． C．D【答案】C 【解析】【分析】【详解】根据抛物线定义，可得1||||AF AA =，1||||BF BB =，又11AA FK BB ∥∥，所以11||||2||||A K AF B K BF ==，所以1111||||2||||A K AAB K BB ==，设1||(0)BB m m =>，则1||2AA m =，则111||||21cos cos ||23AA BB m m AFx BAA AB m m --∠=∠===+，所以sin AFx ∠=，所以直线l的斜率tan k AFx =∠=C ． 3．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（）AB ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =，所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos B ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．725【答案】D 【解析】【分析】用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】2237sin 2cos(2)cos 2()[2cos ()1][2()1]244525ππααααπ=-+=-+=-+-=-⨯-=．故选：D ．【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 5．设集合{}12M x x =<≤，{}N x x a =<，若M N M ⋂=，则a 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞【答案】C 【解析】【分析】由M N M ⋂=得出M N ⊆，利用集合的包含关系可得出实数a 的取值范围. 【详解】{}12M x x =<≤Q ，{}N x x a =<且M N M ⋂=，M N ∴⊆，2a ∴>.因此，实数a 的取值范围是()2,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.6．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()U B A =U ð( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}6【答案】D 【解析】【分析】根据集合的混合运算，即可容易求得结果. 【详解】{}1,2,3,4,5A B ⋃=Q ，故可得()U B A =U ð{}6.故选：D. 【点睛】本题考查集合的混合运算，属基础题.7．已知向量(1,0)a =r，b =r ，则与2a b -r r共线的单位向量为( )A．1,22⎛- ⎝⎭B．1,22⎛- ⎝⎭C．21⎫-⎪⎪⎝⎭或21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭ 【答案】D 【解析】【分析】根据题意得，(2=1a b -r r 设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即可得出答案. 【详解】因为(1,0)a =r，b =r ，则()22,0a =r，所以(2=1a b -r r，设与2a b -r r共线的单位向量为(),x y ，则221y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以与2a b -r r共线的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.8．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 12比较即可. 【详解】由0.50.50.820.8a =>1sin1sin 232b π<=<==<11lg3lg1022c =<==，所以有c b a <<.选C. 【点睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.9．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z = D ．13122z i i =++ 【答案】D 【解析】【分析】首先求得12z i =-+，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】由题意知复数12z i =-+，则(12)2z i i i i ⋅=-+⋅=--，所以A 选项不正确；复数z 的共轭复数是12i --，所以B 选项不正确；||z ==C 选项不正确；12(12)(1)1311222z i i i i i i -+-+⋅-===+++，所以D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.10．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-【答案】C 【解析】【分析】由图象可知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】依题意，213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-, 解得12m =-；因为()13112cos sin 2cos cos 6222f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21313sin cos cos 2cos 2sin 2226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.11．若函数()2xf x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】由()2xf x e mx =-是偶函数，则只需()2xf x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然()2xf x e mx =-是偶函数所以只需()0,x ∈+∞时，()22xxf e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可令20xe mx -=，则2xe m x=令()2xe g x x =，()()32x e x g x x-'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞ ()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞()()224e g x g ≥=()0,x ∈+∞时，()22x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点，只需24e m > 故选：B 【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.12．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市2021届新高考数学一模考试卷含解析

吉林省长春市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤ D ．32,80x x ∀≤-≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定分析解答得解. 【详解】已知命题0:2p x ∃>，380x ->，那么p ⌝是32,80x x ∀>-≤. 故选：B ．【点睛】本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B 的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 3．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π 【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可．【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+，此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合，则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 4．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.5．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（）A ．1212,()()p p E E ξξ><B ．1212,()()p p E E ξξC ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<【答案】A 【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现,1,1m m m -+三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是2,1,,1,2m m m m m --++五种情况，所以分析可以求得1212,()()p p E E ξξ><，故选A.点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 6．若圆锥轴截面面积为23，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A ．33π B ．63π C ．233π D ．263π 【答案】D 【解析】【分析】设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为23可得半径r ，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，123232r r ⨯⨯=，解得2r =，所以圆锥的体积2133V r r π=⨯=263π. 故选：D 【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.7．函数1()1xxe f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111xx x xx x e e e f x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故选D.8．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 【答案】B 【解析】由题意可得c=25，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF′=∠FPO ，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36，于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．点睛：椭圆的定义：到两定点距离之和为常数的点的轨迹，当和大于两定点间的距离时，轨迹是椭圆，当和等于两定点间的距离时，轨迹是线段（两定点间的连线段），当和小于两定点间的距离时，轨迹不存在．9．已知a r ，b r ，c r 是平面内三个单位向量，若a b ⊥r r，则232a c a b c +++-r r r r r 的最小值（）A B ．C D ．5【答案】A 【解析】【分析】由于a b ⊥r r，且为单位向量，所以可令()1,0a =r ，()0,1b =r ，再设出单位向量c r 的坐标，再将坐标代入232a c a b c +++-r r r r r中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设(),c x y =r ，()1,0a =r ，()0,1b =r ，则221x y +=，从而232+++-=r r r r r a c a b c==≥=故选：A 【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题． 10．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.11．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（）A B ．14C ．116D ．14或4 【答案】C 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m ⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以a =01a <<时，22m ma m a m ⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养. 12．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．7【答案】D 【解析】【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。

吉林省松原市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

吉林省松原市2021届新高考数学考前模拟卷（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF=2，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE,BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】A ．通过线面的垂直关系可证真假；B ．根据线面平行可证真假；C ．根据三棱锥的体积计算的公式可证真假；D ．根据列举特殊情况可证真假. 【详解】A ．因为11,,AC BD AC DD DD BD D ⊥⊥=I ，所以AC ⊥平面11BDDB ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故正确；B ．因为11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ，故正确；C ．因为11224BEF S EF BB =⨯⨯=V A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==，所以11312A BEF BEF V S h -=⋅⋅=V 为定值，故正确； D ．当1111AC B D E =I ，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图所示：因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且222tan 12AG AEG GE ∠===，当1111AC B D F =I ，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图所示：因为11//,D F GB D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且2232tan 212AGAEG GE∠===⎛⎫+ ⎪⎝⎭由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中的综合应用，涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算，难度较难.注意求解异面直线所成角时，将直线平移至同一平面内. 2． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求解函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称的等价条件，得到7,8k k ϕππ=+∈Z ，分析即得解. 【详解】若函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称，则3,82k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得7,8k k ϕππ=+∈Z ，故“8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的充分不必要条件．故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 3．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论．【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭，可得1A =，1274123πππω⋅=-，解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象，故选B ．【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题． 4．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】化简复数221a ii++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标．【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（）A ．2B ．C ．3D 【答案】D 【解析】【分析】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值．【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==，设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==，由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23at =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形，所以，3423ac =，解得3c a =. 因此，该椭圆的离心率为33. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10C 10D ．2【答案】B 【解析】【分析】根据b r 在a r 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-rr ，可得min 2b =r ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minbr即可求得min3a b -r r.【详解】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r rr 0b >r Q cos ,0a b∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min 2b ∴=r2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin310a b∴-==r r本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到b r的最小值.7．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c . 【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<，即|(2)||(0)|f f <，所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想. 8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（）A ．π12B ．π6 C ．π3D ．5π12【答案】A 【解析】【分析】a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．【详解】由题意3114126T ππ=-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ+=，在y 轴左边第一个零点是6412πππ-=-，∴a 的最小值是12π．故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．9．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.10．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值.【详解】由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，2233,1a a ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=o ，则双曲线的离心率为( )A ．5B ．3C ．2D ．72【答案】D 【解析】【分析】本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a 与c 的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO ，而12F O F O =，结合四边形对角线平分，可得四边形12PF MF 为平行四边形，结合0260MF N ∠=，故01260F MF ∠=对三角形12F MF 运用余弦定理，得到，222121212122cos F M F M F F MF MF F MF +-=⋅⋅⋅∠而结合213PF PF =，可得12,3MF a MF a ==，122F F c =，代入上式子中，得到2222943a a c a+-=，结合离心率满足c ea =，即可得出72cea==，故选D．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．12．在ABC∆中，点D是线段BC上任意一点，2AM AD=u u u u r u u u r，BM AB ACλμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（）A．12-B．-2 C．12D．2【答案】A【解析】【分析】设BD k BC=u u u r u u u r，用,AB ACu u u r u u u r表示出BMu u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD=u u u u r u u u r()112222k kBM BA BD AB AC AB∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1222k kAB AC⎛⎫=--+⎪⎝⎭u u u r u u u r，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。