北师大版九年级数学教材分析

北师大版九年级数学教材分析

九年级上册数学教材分析

1.本册内容结构

⑴本册内容分属几何、代数、概率三个领域，具体牵涉到：

几何：图形与证明——特殊的平行四边形；认识图形——视图与投影。

代数：方程——一元二次方程；函数——反比例函数。

概率：建立概率概念——概率的频率定义与多种求值方法。

⑵不同内容之间的联系（逻辑框架与方法）

1.本册内容与教材其他各册相关内容的联系：特殊的平行四边形；“一元二次方程”、“反比例函数”和“一元一次函数”、“一元二次函数”；“视图与投影”和“空间图形”、“平行”、“相似”；“频率与概率”与先前的概率实验等。

2.各部分内容的设计要点：（关于证明学习的要点说明——不能够仅仅将证明的教学基本目标定位成确认命题的正确性；还应当包括对证明本身的学习：证明的必要性，数学证明的含义，证明的基本过程，证明的基本方法，由证明而获得的理解和发现。）

第一章特殊的平行四边形：对“公理”意义的进一步理解；关注“证明的基本方法”、“获得证明策略的不同思路”、“由证明而导致的新发现”，特别地，对于“反证法”的逻辑合理性的理解。

（1）证明的思路与以前直观探索的联系；出现的新命题的探索及证明的思路。证明方法的学习、

获得证明的策略；

本册主要是对这些结论进行理论的证明。但这并不意味着我们在前几册中的直观探索就没有用

处了，事实上，前面学生借助折纸、画图等活动进行直观探索的过程和方法为本章的证明提供了铺垫，为学生提供了定理相应的证明思路。如在证明等腰三角形的两个底角相等时，教材先给出了证

明的思路，即由当时利用折纸来探索此结论的方法，而想到通过连接底边的中线构造全等三角形，

从而证明两个角相等。

除了学生已经直观探索过的命题外，教材中还涉及了一些学生没有探索过的新命题。这些命题

的获得有的是直接通过证明得到的，而有的则创设了一些问题情景，通过合情推理获得的，但此时

证明是必须的。要使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用，进一步发

展学生的推理证明意识和能力。如对于命题“直角三角形中，300所对的边等于斜边的一半”，教材

引导学生拼摆三角板，去发现其边之间的关系，但我们不能只满足于结论的获得，要积极探索证明

的思路和方法。事实上，探索的过程为证明时辅助线的添加提供了思路，为证明奠定了基础，这些

都希望教师在教学时能够充分的意识到。

教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，开阔学生的视野，培养学生的思维能力，如在一种证明结束后提出问题“你还有其他的证明方法吗？与同伴交流”。

此外，教材还注意渗透数学的思想方法，如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比、转化

的思想方法等。如在证明等腰梯形的两个底角相等时，教材在分析证明思路时指出将等腰梯形的两

个底角转化为等腰三角形的两个底角，从而证明其相等——明确方法的学习。

（2）关注命题的拓展、引申，引导学生发现规律，发展概括抽象的能力。证明加深理解

特殊的平行四边形的设计上注意到了对学生数学学习方法的指导和思维能力、水平的指导和培养，

为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间，希望通过命题的拓展，为学生创造深入思考数学问题的机会。比如在证明“等腰三角形两底角的平分线相等”并提出“等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？”等问题之后，教材在“议一议”中设置了相应的两个拓展问题，分别从角的变化和线段的变化两个角度出发，对前面已经讨论过的特殊结论进行了一般化的推广。对这种拓展型的命题，教师在教学时应当注意引导学生发现规律、对数学现象进行概括和抽象，并强化和渗透归纳、类比、转化等思想方法，从而提高学生的数学思维能力。

（3）对公理化方法的体会。

需要注意的是，依据标准的要求，在北师大版教材中，证明部分的内容可以看作是一个局部的公理体系，即从给定的6条公理及有关概念的定义出发，通过逻辑推理证明，得到平行线、三角形和平行四边形等基本图形的有关结论。因此特殊的平行四边形中所有的命题，其证明的前提只能是教材中提供的公理和已经证明过了的定理。而这也就是教材中为什么在P35例题中证明“等腰直角三角形的底角等于45°”和“有一个角等于45°的直角三角形是等腰三角形”这两个看似十分简单的结论的原因。

因此，教师在教学时要注意引导学生体会公理化的数学思想方法，发现直观探索和证明、合情推

理和演绎推理之间的区别，从而认识到合情推理与论证推理之间的相互依赖和相互补充的辨证关系。

通过对公理体系的了解，学生能够认识到在数学中证明的必要性和如何进行证明以及证明的基本

方法等，是我们讲授证明这几章的基本目的。

第二章：一元二次方程：延续处理方程的基本思路：模型——求解——应用（与函数的联系在后面谈）。如“花边有多宽”、“梯子的底端滑动多少米”等，创设贴近学生生活的现实情境，让学生从具体的实例出发，经历模型化的过程，然后在此基础上抽象出数学概念和数学问题。让学生在“问题情境——建立模型——应用”的过程中体会模型化的思想，从而感受到数学的应用价值。

在求解方程过程中关注数学思想方法——化归，理解在求解程序上具有一般意义的“配方法”的实质；同时，介绍求解方程的另一种思路——通过估算而获得近似解；对于方程的应用，仍然是突出运用数量关系建立适当的数学模型。

1.估计方程的解的意义。

本章与以往的方程内容有所不同，增加了估计近似解的内容。增加这一内容，一方面可以促

进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力；另一方面又为方程精确解的研究作了铺垫，

激发学生探求精确解的欲望，从而可以在此基础上自然地引入以后求精确解的内容。另外，教材中“地毯的花边”、“梯子的底端滑动多少米”等问题都是借助“夹逼”的方法逐步获得近似解的。应

当说，夹逼思想是近似计算的重要思想。所以，教师应当在教学中注意引导学生体会夹逼思想在数

学解题中的运用。

2.估算本身也是一种解某些方程的方法。

通过估算而获得近似解——有助于学生理解方程解的含义、体会借助计算机获得方程解的想法、发展估算能力；

3.方程的解法

一元二次方程的精确求解方法有配方法、公式法、分解因式法等。教材中先研究的是可应用于

求解任意一个一元二次方程的配方法、公式法。其中配方法可以说是公式法得来的根本，公式法中

根的一般表达式就是由配方法解一般的一元二次方程得到的。而公式法是配方法的一般化和程式化，

任意一个一元二次方程只要将方程化成一般形式，就可以直接代入公式求解。因此我们要求学生能