对数型复合函数的单调区间选择题(3)

1．已知函数()3

1x

x

f x e x e ⎛⎫=-

⎪⎝

⎭

，若实数a 满足，()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,

2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭

B ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞

⎥⎝⎦

C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭

答案： C

解答：

()()f x f x -=故函数为偶函数，()()()()20.52log log 2log 21f a f a f a f +=≤，

即()()2log 1f a f ≤，故21log 1a -≤≤，解得1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

. 2．如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有1122()()

x f x x f x +1221()()x f x x f x >+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②

32(sin cos )y x x x =--；③1x y e =+；④()ln ||0

0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个

数是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 答案： C

解答：

∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式1122()()x f x x f x +1221()()x f x x f x >+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，

即函数f(x)是定义在R 上的增函数． ①31y x x =-++；'2

31y x =-+，则函数在定义域上不单调；

②32(sin cos )y x x x =--；y'=3-2(cosx+sinx)=3-sin(x+

4

π

)＞0，函数单调递增，满足

条件；

③1x

y e =+为增函数，满足条件；

④()ln ||0

0x x f x x ≠⎧=⎨

=⎩，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．

综上满足“H 函数”的函数为②③，故选C.

3．设()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上递增，若1

()02

f =，14

(log )0f x <，那么x

的取值范围是( ) A.

122x << B.2x > C.112x << D.2x >或1

12

x << 答案： A

解答：

由()f x 是R 上的偶函数，得()()()f x f x f x =-=，则1

144log log f x f x ⎛⎫⎛

⎫

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

；

由1()02f =，14(log )0f x <，得141log 2f x f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，即

141log 2f x f ⎛⎫⎛⎫

< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； 因为函数在[)0,+∞上递增，所以14

1log 2x <

，解得1

22

x <<.故选A. 4．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，

≤≤，设方程()()2x

b x b f R -+∈=的四个实根从小

到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为( ) A ．122x x += B ．1219x x << C ．()()340661x x <--< D ．34925x x << 答案：

D

解答：

不妨令0b =,函数f(x)图象与函数2x

y -=的图象如图，

则方程()()2

x

b x R f -∈=的根即为两个函数图象交点的横坐标，

由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<，2x 可能大于2，所以A 错误, 又()1

22112122

lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<，所以1201x x <<，所以B 错误；

()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦，

所以()()34661x x -->，则C 错误，综上可知选D ．

5．函数2()log ()a a

f x x

=(0,1)a a >≠在区间[]2,3上是增函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．12a <≤

B ．102

a << C ．

11

32

a << D ．01a <<或3a ≥ 答案： B

解答：

因为(0,1)a a >≠，所以a

y x

=

为[]2,3上的减函数，所以要是()f x 为[]2,3上增函数，则021a <<，即102

a <<

． 6．设函数λ，若对任意给定的

11

21,222

n n n n S S +=-=-，都存在唯一的2n ≥，满足11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，则正实数1n =的最小值是 ( )

A ．2

B ．12

C ．14

D ．18

答案： B