对数型复合函数的单调区间选择题(3)
对数型复合函数的单调区间解答题(1)
1，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q .(1)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若PQ ϕ≠，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的方程()222log 22=+-x ax 在区间内有解，求实数a 的取值范围.答案：(1)()()4,02,a ∈-⋃+∞； (2)()+∞-∈,4a ； 解答：(1)设222+-=x ax t ，()t t f 2log =①0>a 时，由可得，2≥a ； ②0<a 时，由可得，04<<-a ； ()()+∞⋃-∈∴,20,4a ；(2)若φ=⋂Q P ，则在内，至少x 有一个使0222>+-x ax 成立，内，至少x 有一个使 ，所以()+∞-∈,4a ；(3)若关于x 的方程()222log 22=+-x ax 在区间则0222=--x ax 在区间知2．若b x x x f +-=2)(，且)10(2)(log ,)(log 22≠>==a a a f b a f 且， (1)求)(log 2x f 的最小值及相应 x 的值；(2)若)1()(log )1()(log 22f x f f x f <>且，求x 的取值范围． 答案：(1) )(log 2x f 有最小值(2)0<x<1.解答： (1)()22222 2(1)),2(f x x x b f log a log a log a b b log a a =+∴=-+=∴==-∴,,， 又()()()22224,42, 2log f a f a a a b b f x x x ==∴+=-∴=∴=+,－,，∴222log 0log 1024x x x x <>⎧⎨<-+<⎩或 ， ∴01212x x x <<>⎧⎨-<<⎩或 ， ∴ 0＜x ＜1. 3．已知函数)1,0)(3(log )(≠>-=a a ax x f a . (1)求函数)(x f 的定义域；(2)若函数)(x f 在[2,6]，求实数a 的值. 答案：解答：又⎩⎨⎧>-<<06310a a ，则4. (1)求m 的值；(2)判断)(x f 在),1(+∞上的单调性，并根据定义证明. 答案：(1)1m =-；(2)当01a <<时， ()f x 在(1,)+∞上单调增； 当1a >时， ()f x 在(1,)+∞上单调减. 解答：(1)由已知条件得()()0f x f x +-=，，21m ∴=，即1m =±， 当1m =时，无意义，故1m =舍去， (2)由(1) 1212121221(1)(1)2()0x x x x x x x x x x -+--+--=-<，且121210x x x x -+->， 121210x x x x +-->，当01a <<时，12()()0f x f x ->，由函数单调性定义知()f x 在(1,)+∞上单调增当1a >时，12()()0f x f x -<，由函数单调性定义知()f x 在(1,)+∞上单调减. 5其中01a <<. (1)(2). 答案：(1)见解答； (2) 解答：(1)12()()g x g x ∴< 又1201()()a f x f x <<∴>分)log (1a -101a a a x-<<< 从而 ， x ∴的取值范围是(,)1a a a-. 6．已知函数）m x x x f --++=|2||1(|log )(2．(1)当5=m 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，求m 的取值范围． 答案：(1)函数)(x f 的定义域为),3()2,(+∞--∞ ； (2)m 的取值范围是]1,(-∞． 解答：(1)由题设知：5|2||1|>-++x x ， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥5212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤52121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<5211x x x ， 解得函数)(x f 的定义域为),3()2,(+∞--∞ ； (2)不等式1)(≥x f 即2|2||1|+>-++m x x ，∵R ∈x 时，恒有3|)2()1(||2||1|=--+≥-++x x x x ， 不等式2|2||1|+≥-++m x x 解集是R ， ∴32≤+m ，m 的取值范围是]1,(-∞．7．已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--,0>a 且1≠a . (1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明；(3)当1a >时，求使()0f x >的x 的取值范围. 答案：(1) (2)略；(3) 解答：(1)解: ∵()log (1)log (1)a a f x x x =+--,∴10,10.x x +>⎧⎨->⎩解得11x -<<.(2)由(1)知()f x 的定义域为 且()log (1)log (1)a a f x x x -=-+-+ ，[]log (1)log (1)a a x x =-+--()f x =-,故()f x 为奇函数； (3)()()()()()011011a a a f x log x log x log x loga x >∴+-->∴+>-，，，因为当1a >时，y=log a x 在(0,+∞)内是增函数， 所以x+1>1-x ，所以x>0，又()f x 的定义域为，所以01x <<. 所以使()0f x >的x 的取值范围是8.答案：定义域为）+∞-∞,4()1,( ，值域是R ，单调区间是解答：045)(2>+-=x x x μ，解得4>x 或1<x ，∴）+∞-∞∈,4()1,( x . 当）+∞-∞∈,4()1,( x 时，+=+-=R x x }45|{2μμ，∴函数)(x μ的值域是+R .与45)(2+-=x x x μ复合而成，9．解不等式log (25)log (1)a a x x ->-． 答案：当1a >时，原不等式的解集为{}|4x x >； 当01a <<时，原不等式的解集为 解答：当1a >时，原不等式等价于250,10,251,x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩解得4x >．当01a <<时，原不等式等价于250,10,251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得综上，当1a >时，原不等式的解集为{}|4x x >； 当01a <<时，原不等式的解集为 10的值域为[]0,1，求b 和c 的值． 答案：22b c =⎧⎨=⎩或22b c =-⎧⎨=⎩解答：因为()f x 的值域为[]0,1，即2210,30,x bx c x bx c ⎧++-≥⎪⎨-+-≥⎪⎩ 21224(1)0,4(3)0,b c b c ⎧∆=--≥⎪⎨∆=--≥⎪⎩当且仅当120,0∆=⎧⎨∆=⎩时， 解方程组可得2,2b c =⎧⎨=⎩或2,2.b c =-⎧⎨=⎩11．设)1,0)(3(log )1(log )(≠>-++=a a x x x f a a ，且2)1(=f ． (1)求a 的值及)(x f 的定义域； (2)求)(x f 在区间. 答案：(1)2a =定义域为(31)-，； (2)2.解答：(1)∵2)1(=f ，∴24log =a ，∴2a =，则由1030x x +>⎧⎨->⎩，得3(1x ∈-，）所以)(x f 的定义域为(31)-，(2))3(log )1(log )(22x x x f -++=]4)1([log 22+--=x ，设2(1)4t x =--+，则2()log f x t =302x ≤≤，∴当1x =时，max 4t =， 而(0)3t =，，∴当0x =时，min 3t =，34t ∴≤≤，22log 3log 2t ∴≤≤所以)(x f 在区间上的最大值为212．已知函数()()()()log 1log 301a f x x x a =-++<<. (1)求函数()f x 的定义域；(2)若函数()f x 的最小值为-4，求实数a 的值.答案：(1){}|31x x -<<；解答：(1)要使函数有意义，则有103130x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩ 所以函数的定义域为{}|31x x -<<；(2)函数可化为()()()()()22log 13log 23log 14a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦，()()2231,0144,01,log 14log 4a a x x a x ⎡⎤-<<∴<-++≤<<∴-++≥⎣⎦，()min log 4a f x =，由，故实数a 的值为13．已知函数)16(log log )(3224x x x f a ⋅⋅=(1)若1=a ，求方程1)(-=x f 的解集。
《对数型复合函数单调性》专题
《对数型复合函数单调性》专题2014年（ ）月（ ）日 班级： 姓名 不经三思不求教，不动笔墨不读书。
定义)10(log ≠>=a a x y a 且 底数1>a 10<<a图象定义域 值域单调性在),0(+∞上 在),0(+∞上 共点性图象过点 ，即01log =a 函数值特征当x >1时y 当0<x <1时y 当x >1时y 当0< x <1时y 对称性 函数x y a log =与x y a1log =的图象关于x 轴对称【对数函数奇偶性】判断函数22()log (1f x x x =+的奇偶性【探究复合函数单调性】求函数22log y x =的单调区间。
我们发现：22log y x =可以看做：2log y u =且2u x =复合而成，我们把这种函数称为复合函数【规律】当内外函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当内外函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
“同增异减”例1 ⑴证明函数22()log f x x =在),0(+∞上是增函数⑵函数22()log f x x =在)0,(-∞上是减函数还是增函数？例2 ⑴证明函数)1(log )(22+=x x f 在),0(+∞上是增函数⑵函数)1(log )(22+=x x f 在)0,(-∞上是减函数还是增函数？例3 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明【当堂训练】1.求y=3.0log (2x -2x)的单调递减区间2.求函数y=2log (2x -4x)的单调递增区间3.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4.已知实数x 满足1213log 2x -≤≤-，求函数22log log 24x x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域5.求函数221144log log 5y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在24x ≤≤时的最大值与最小值。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
（2） y log 1 x 6 log 1 x 2. 3 3
1 1 （ 2） 递 增 区 间 为 ， ， 递 减 区 间 为 0， 。 + 27 27
答 案 ： （1） 递 增 区 间 为 - ， ， 递 减 区 间 为 3， ； -1 +
例 .已 知1 x 10， 且 xy =100， 求
2 2 2
(lgx) +(lgy) 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 并求其取最大值和最小值时相应 的 x和 y的 值 。
例 ： 设 f(x)=2（ log 2 x） 2 a log 2
2
1 x
b,
且x
1 2
时 ， f(x)有 最 小 值 8，
x
a 0且a 1；
; 函数的定义域为.
（2）y log 2
1
3 x 2 （1）当a 1时，函数的定义域为 log 2, ； 1 当0 a 1时，函数的定义域为 , log 2 ; (3) y log 2 ; x 1 3 2 （2） , ; (3) , 0 ; (4) 2 , .;
x x 2 x 1
( 2 )9 6 2
x x
指数、对数的单调性，奇偶性
, 2
例 ： 函 数 y log 1 6 x +12 的 递 增 区 间 是 _______.
2
例 ： 求 f (x) log 1 ( 3 2 x x )的 单 调 区 间 .
变 题 1： 已 知 函 数 f (x) （ (1)求 函 数 f (x)的 定 义 域 。 （ 2） 讨 论 f (x)的 奇 偶 性 （ 3） 求 证 f (x) 0
2021-2022学年吉林省松原市高一年级上册学期第三次质量检测数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省松原市高一上学期第三次质量检测数学试题一、单选题1．设集合{}1,3,5,7A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = A ．{1,3} B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【详解】试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【解析】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解.2．已知四边形ABCD 的两条对角线分别为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用菱形的判定定理和性质定理即可判断二者间的逻辑关系. 【详解】四边形ABCD 的两条对角线分别为AC ，BD ，若四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥；若AC BD ⊥，则四边形ABCD 不一定为菱形. 则“四边形ABCD 为菱形”是“AC BD ⊥”的充分不必要条件 故选：A3．命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定是（ ）A ．20,0x x x ∃>-≤B ．20,0x x x ∃>->C ．20,0x x x ∀>->D ．20,0x x x ∀≤->【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“20,0x x x ∀>-≤”的否定为：“20,0x x x ∃>->”. 故选：B.4．若0,0,2a b a b >>+=，则41y a b=+的最小值为（ ） A ．72B ．92C ．5D ．4【答案】B【分析】利用题设中的等式，把y 的表达式转化成()()241a b a b++展开后，利用基本不等式求得y 的最小值．【详解】解：2a b +=， ∴12a b+= ∴41415259()()222222a b b ay a b a b a b +=+=+=+++=（当且仅当2b a =时等号成立） 故选：B ．5．已知点(),8m 在幂函数()()1nf x m x =-的图像上，则m n -=（ ）A ．19B ．18C ．8D ．9【答案】A【解析】根据幂函数的系数为1可求得m 的值，再将点(),8m 的坐标代入函数()f x 的解析式，求出n 的值，进而可求得m n -的值.【详解】由于函数()()1n f x m x =-为幂函数，则11m -=，解得2m =，则()nf x x =，由已知条件可得()228n f ==，得3n =，因此，2139m n --==. 故选：A.6．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2）【答案】B【详解】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 【解析】本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．7．函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为（ ）A ．52，⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．()2-∞，【答案】B【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果. 【详解】由题意，2560x x -+>，解得：3x >或2x <，即函数212log (56)y x x =-+的定义域为：(2)(3)-∞⋃+∞，，， 因为函数212log (56)y x x =-+由12log y t =与256t x x =-+复合而成， 外函数12log y t=显然单调递减，要求212log (56)y x x =-+的单调减区间，只需256t x x =-+单调递增，又256t x x =-+是开口向上，对称轴为52x =的二次函数， 所以256t x x =-+在3()x ∈+∞，上单调递增， 即函数212log (56)y x x =-+的单调减区间为3()x ∈+∞，. 故选：B.【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型.8．若()()35,12,1a x x f x ax x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),0∞- B ．()0,3 C ．(]0,2 D ．()0,2【答案】C【分析】根据()f x 为R 上的减函数列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】()f x 为R 上的减函数， 1x ∴≤时， ()f x 递减，即30a -<，①， 1x >时， ()f x 递减，即0a >，②且()23151aa -⨯+≥ ，③ 联立①②③解得， 02a <≤. 故选：C.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.二、多选题9．若函数1()3(02xf x a a a ⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭，且1a ≠）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）A ．8a =B ．(0)3f =-C ．12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4a =【答案】AC【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．【详解】解：因为函数()f x 是指数函数，所以1312a -=，所以8a =，所以()8xf x =，所以()01f =，12182f ⎛⎫== ⎪⎝⎭B 、D 错误，A ．C 正确． 故选AC【点睛】本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题． 10．（多选）有下列说法，其中错误的是 A ．终边相同的角的同名三角函数值相等 B ．同名三角函数值相等的角也相等C ．终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等D ．不相等的角，同名三角函数值也不相等 【答案】BCD【分析】根据三角函数的定义即可得出选项． 【详解】对于A ，由诱导公式一可知正确； 对于B ，1sin 30sin1502==，但30150≠，所以B 错误； 对于C ，如60α=，120β=的终边不相同，但3sin 60sin1202==，所以C 错误； 对于D ，由C 中的例子可知D 错误.【点睛】本题考查三角函数的定义，除了掌握住对角的扩充，还要理解三角函数的定义． 11．下列与3cos π-2θ⎛⎫⎪⎝⎭的值相等的是 （ ）A ．()sin πθ-B ．()sin πθ+C ．πcos 2θ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．πcos 2θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据诱导公式化简，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为3cos π-sin 2θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，()sin πsin θθ-=； 对于B ，()sin πsin θθ+=-；对于C ，πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；对于D ，πcos sin 2θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭故选:BD.12．已知函数()21([2,2])f x x x =-+∈-，2()2([0,3])g x x x x =-∈，则下列结论正确的是（ ） A ．[2,2]x ∀∈-，()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞- B ．[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,3)-∞- C ．[0,3]x ∃∈，()g x a =，则a 的取值范围是[1,3]- D ．[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t = 【答案】AC【分析】利用函数的单调性讨论最值，再根据恒成立问题或能成立求解即可. 【详解】对于A ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以min ()3f x =-， 又因为()f x a >恒成立，则a 的取值范围是(,3)-∞-，故A 正确； 对于B ，因为()21([2,2])f x x x =-+∈-单调递减，所以max ()5f x =， 又[2,2]x ∃∈-，()f x a >，则a 的取值范围是(,5)-∞，故B 错误； 对于C ，2()2([0,3])g x x x x =-∈在[]0,1单调递减，(]1,3单调递增， 所以min max ()(1)1,()(3)3,g x g g x g ==-== 所以()[1,3]g x ∈-，因为[0,3]x ∃∈，()g x a =，所以a 的取值范围是[1,3]-，故C 正确； 对于D ，由上述过程可知[]()3,5f x ∈-，()[1,3]g x ∈-， 则不能保证[2,2]x ∀∈-，[0,3]t ∃∈，()()f x g t =，例如：当2x =-时，不存在[0,3]t ∈，()()f x g t =，故D 错误. 故选:AC.三、填空题133⨯=__________.【答案】8【分析】由已知代数式有意义确定x 的范围，结合根式的运算性质化简目标式求其值.310x -≥且30x -≤，故133x ≤≤，()3313331338x x x x ⨯=-+-=-+-=，故答案为：8.14．函数()()log 21(0a f x x a =-+>且1)a ≠的图象恒过的定点是_____________. 【答案】(3,1)【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为()()3log 3211a f =-+=， 所以该函数的图象恒过的定点是(3,1)， 故答案为：(3,1) 15．已知弧度数为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是__________. 【答案】23π 【分析】设圆的半径为r ，根据圆心角与弦长、半径关系求r ，再由弧长公式求圆心角所对的弧长. 【详解】若圆的半径为r ，则11sin 62r π==，可得2r =， ∴圆心角所对的弧长2233l r ππθ==⨯=. 故答案为：23π 16．已知函数()22log 1a a f x x x x =-+-在31,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒小于零，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由题意得出()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，然后对底数a 分1a >和01a <<两种情况讨论，结合图象找出关键点得出关于a 的不等式（组）求解，可得出实数a 的取值范围. 【详解】()()()()2222log 2log log 11log 11aa a a a f x x x x x a x x x x =-+=-+--=----， 则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1a >时，312x <<，则1012x <-<，此时()1log 1log log 102a a a x -<<=，则不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不成立；当01a <<时，如下图所示：由图象可知，若不等式()()2log 11a x x ->-对任意的31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则20113log 122aa <<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1116a ≤<. 因此，实数a 的取值范围是1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查对数不等式恒成立问题，解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论，并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式（组）求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题17．已知tan 2.α=求： (1)2sin cos sin 2cos αααα-+；(2)224sin 3sin cos 5cos .αααα--【答案】(1)34(2)1【分析】（1）分子分母同时除以cos α，化为2tan 1tan 2αα-+可得答案.（2）将目标表达式视为分母为22sin cos αα+的分式，再分子分母同时除以2cos α，化为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，可得答案.【详解】（1）2sin 12sin cos 2tan 1cos sin sin 2cos tan 22cos αααααααααα---==+++又tan 2α=，所以2tan 12213,tan 2224αα-⨯-==++故2tan 13tan 24αα-=+；（2）222222224sin 3sin cos 5cos 4tan 3tan 54sin 3sin cos 5cos sin cos tan 1ααααααααααααα------==++， 因为tan 2α=，所以22443254sin 3sin cos 5cos 141αααα⨯-⨯---==+， 所以224sin 3sin cos 5cos 1αααα--=. 18．已知函数4()log (41)x f x =- （1）求函数()f x 的定义域； （2）若122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的值域. 【答案】（1）()0,∞+；（2）[]40,log 15.【分析】（1）根据对数函数的真数大于零，得到不等式，解得；（2）令41x t =-根据122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出t 的取值范围，即可求出函数()f x 的值域. 【详解】解：（1）4()log (41)x f x =-410x ∴->解得0x >故函数()f x 的定义域为()0,∞+. （2）令41x t =-，122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]115t ∴∈，[]44()log 0,log 15f t t ∴=∈ []4()0,log 15f x ∴∈即函数()f x 的值域为[]40,log 15【点睛】本题考查对数函数的定义域值域的计算问题，属于基础题.19．某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（利润=总收入-成本）(1)求年利润y （万元）关于年产量x （百件)的函数关系式； (2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】(1)2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ (2)当年产量为100百件时，获利最大.【分析】（1）根据“利润=总收入-成本”求得y 关于x 的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量.【详解】（1）依题意，2500101002500,0301000050050145002500,30x x x x y x x x x ⎧---≤<⎪=⎨--+-≥⎪⎩ 2104002500,030100002000,30x x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当030x ≤<时，当()40020210x =-=⨯-时，y 取得最大值为210204002025001500-⨯+⨯-=万元.当30x ≥时，10000200020001800x x ⎛⎫-+≤- ⎪⎝⎭万元， 当且仅当10000,100x x x==百件时等号成立. 综上所述，当年产量为100百件时，获利最大. 20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (1)求()f x 的解析式(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数 (3)解不等式()()10f t f t -+< 【答案】(1)()21xf x x =+ (2)证明见解析(3)102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可； （2）不妨假设()1212,1,1,x x x x ∈-＜ ，判断()()12f x f x - 的符号即可；（3）根据()f x 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t 的范围. 【详解】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，得()00f =，即0b =，又∵2112225112af ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21xf x x =+； （2）设1x ∀，()21,1x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵210x x ->，1210x x -<，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()1,1-上是增函数；（3）由()f x 为()1,1-上的奇函数，如()()10f t f t -+<等价于()()1f t f t -<-．则由()f x 在()1,1-上是增函数，可得111111t t t t -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪-<-⎩，解得102t <<， 即不等式()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；综上，()21xf x x =+，()()10f t f t -+<的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.21．已知角α是第三象限角，且cos cos(2)tan()2()tan()sin()f παπααπααππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=----. （1）化简()f α；（2）若1sin()5απ-=，求()f α的值； （3）若2310α=-︒，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-；（2；（3【解析】（1）利用三角函数诱导公式化简()f α即可.（2）首先根据1sin()5απ-=得到1sin 5α=-，从而得到cos α=()f α的值. （3）首先计算cos cos150α︒==()f α的值. 【详解】（1）cos cos(2)tan()2()tan()sin()f παπααπααππα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=---- sin cos tan cos tan sin αααααα⋅⋅==--⋅. （2）∵1sin()5απ-=，∴1sin 5α=-， ∵α是第三象限角，∴cos α=，∴()cos f αα=-=. （3）∵()231012180150α︒︒︒=-=-⨯+，∴cos cos150α︒==，∴()cos f αα=-=22．已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围；（3）求函数()f x 在区间[]1,2上的最小值()h a .【答案】（1）()20,log 3；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩. 【分析】（1）当2a =时，可得出()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，解出2x 的取值范围，进而可求得原不等式的解集；（2）将所求不等式变形为221x a <+，求得当0x <时，()211,2x +∈，根据题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围；（3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，()221g t t at a =-++，则问题可等价转化为函数()g t 在[]2,4t ∈上的最小值，然后对实数a 的取值分类讨论，分析出函数()g t 在[]2,4t ∈上的单调性，由此可得出()h a 关于a 的表达式.【详解】（1）当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--， 由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<， 因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；（2）因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<， 0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，当0x <时，()211,2x +∈，21a ∴≤，解得12a ≤. 因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （3）当[]1,2x ∈时，令[]22,4x t =∈，则()221f x t at a =-++，令()221g t t at a =-++，则二次函数()g t 的图象开口向上，该函数的对称轴为t a =.当2a ≤时，()g t 在[]2,4上单调递增，()()min 253g t g a ==-；当24a <<时，()g t 在[]2,a 上单调递减，()g t 在[],4a 上单调递增，()()2min 1g t g a a a ==-++；当4a ≥时，()g t 在[]2,4上单调递减，则()()min 4177g t g a ==-.综上可得：()253,21,24177,4a a h a a a a a a -≤⎧⎪=-++<<⎨⎪-≥⎩. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性(专题训练)1.选择题1.函数f(x)的图象大致为（B）。
2.函数y=2x-1的单调递增区间是（B）。
3.函数f(x)=1/x的单调减区间为（D）。
4.已知函数在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（A）。
5.设函数f(x)=log2(x-a)+log2(x+a)，则使得f(x)≤f(2x-1)成立的x的取值范围是（A）。
6.已知函数f(x)=loga(3-x)，若f(-2)<f(0)，则此函数的单调递增区间是（C）。
7.函数y=|log2x|在区间(k-1,k+1)内有意义且不单调，则k的取值范围是（D）。
8.函数y=x-1在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（C）。
9.若函数y=x^2-2x+a有最大值，则a的取值范围为（A）。
10.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（B）。
11.函数f(x)=log0.5(2-x)+log0.5(2+x)的单调递增区间是（B）。
12.函数y=|log2|x-2||的单调递增区间为（C）。
2.填空题13.已知f(x)=(a^2-2a-2)x是增函数，则实数a的取值范围是(-∞,-1)或(2,+∞)。
14.函数y=(|x|-1)^-1的单调增区间为(-∞,-1)和(1,∞)。
15.函数f(x)=lg(x^2)的单调递减区间是(0,1)。
16.函数f(x)=(x-1)(x-5)的单调递减区间是(1,5)。
17.已知函数y=loga(ax^2-x)在区间[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是(0.5,1)。
18.函数y=(m^2-m-1)是幂函数且在(1,∞)上单调递减，则实数m的值为(φ-1)，其中φ为黄金比例。
19.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x。
若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(t)f(t+1)<0成立，则t的取值范围是(-∞,0)。
题目：已知函数f(x)与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，且f(x+t)≥g^3(x)恒成立，则实数t的取值范围是什么？解答：根据题目条件，可以得到f(x)与g(x)的图像在y=x这条直线上对称，即f(x)在y=x处的函数值等于g(x)在y=x处的函数值。
对数型复合函数的单调区间解答题(2)
1．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =．(1)求a 的值及()f x 的定义域；(2)求()f x 在区间答案：解答：(1)∵(1)2f =，∴log 42(0,1)a a a =>≠，∴2a =． 由10,30,x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-，∴函数()f x 的定义域为(1,3)-． (2)22222()log (1)log (3)log (1)(3)log [(1)4]f x x x x x x =++-=+-=--+， ∴当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数．函数()f x 在上的最大值是2(1)log 42f ==，函数()f x 在 ∴()f x 在区间2(1)当5a =时，求函数()f x 的定义域； (2)当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．答案：11,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭(2)(),4-∞.解答：(1)当5a =时，要使函数()f x 有意义，当1x ≤时，不等式①等价于210x -+>，即 当15x <≤时，不等式①等价于10->，∴无解；当5x >时，不等式①等价于2110x ->，即 综上，函数()f x 的定义域为11,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭(2)∵函数()f x 的定义域为R ，∴不等式1x -+当且仅当()()150x x --≥时取等号)a 的取值范围是(),4-∞.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.不等式的恒成立的问题.3，且当(],1x ∈-∞时()f x 有意义，求实数a 的取值范围． 答案：解答：欲使(),1x ∈-∞时，()f x 有意义，需1240x x a ++>恒成立，(1x ≤)恒成立． 在(),1-∞上是增函数， ∴当1x =时，时，满足题意，即a 的取值范围为 4(0a >且1a ≠)在()1,+∞上的单调性，并予以证明． 答案：当1a >时，()f x 在()1,+∞上为减函数；当01a <<时，()f x 在(1,)+∞上为增函数． 解答：，任取211x x >>，则∵11x >，21x >，∴110x ->，210x ->， 又∵12x x <，∴120x x -<．，即21u u <． 当1a >时，log a y x =是增函数，∴21log log a a u u <，即21()()f x f x <；当01a <<时，函数log a y x =是减函数，∴21log log a a u u >，即21()()f x f x >． 当01a <<时， 5．已知函数()log (3)a f x ax =-(0a >且1a ≠).(1)当[0,2]x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.答案：3(0,1)(1,)2； (2)不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.解答：(1)由于3y ax =-为减函数，所以要使函数()f x 在[0,2]上恒有意义，因此a 的取值范围是3(0,1)(1,)2； (2)由于3y ax =-为减函数，要使()f x 在[1,2]为减函数且最大值为1，则1a >，且max ()(1)log (3)1a f x f a ==-=，又3y ax =-在[1,2]上需恒大于零，故不存在实数a ，使()f x 在[1,2]上为减函数且最大值为1.6 (1) (2)对于[2,4]x ∈，恒成立，求m 的取值范围. 答案：(1))证明见解答；(2)(0,15)(45,)+∞. 解答：(1)，解得1x <-或1x >， ∴函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞. 当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞时，(2)由[2,4]x ∈时， ①当1a >时，∴对[2,4]x ∈恒成立， ∴0(1)(1)(7)m x x x <<+--在[2,4]x ∈恒成立.设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈ 则32()77g x x x x =-++-，∴当[2,4]x ∈时，'()0g x >， ∴()y g x =在区间[2,4]上是增函数，min ()(2)15g x g ==. ∴015m <<. ②当01a <<时，由[2,4]x ∈时，对[2,4]x ∈恒成立. ∴(1)(1)(7)m x x x >+--在[2,4]x ∈恒成立. 设()(1)(1)(7)g x x x x =+--，[2,4]x ∈， 由①可知()y g x =在区间[2,4]上是增函数，max ()(4)45g x g ==，∴45m >. ∴m 的取值范围是(0,15)(45,)+∞.7．已知函数()()24log 23f x ax x =++. (1)已知()11f =,求()f x 单调递增区间;(2)是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0？若存在, 求出a 的值; 若不存在, 说明理由. 答案：(1)()1,1-；解答：(1)()()24log 23f x ax x =++且()()2411,log 12131,54,1f a a a =∴+⨯+=∴+=∴=-,可得函数()()24log 23f x x x =-++, 2230,x x -++>∴函数的定义域为()1,3-， 令()222314t x x x =-++=--+可得,当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数,底数为41,>∴函数()()24log 23f x x x =-++单调递增区间为()1,1-. (2)设存在实数a ,使()f x 最小值为0. 由于底数为41>,可得真数2231t ax x =++≥恒成立, 且真数t 最小值恰好是1.8．已知函数()()()22lg 32215f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦，如果函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.答案：解答：令()()()2232215g x m m x m x =-++-+， 如果函数()f x 的值域为R ，则()g x 能取到任意的正数,当2320m m -+=时，即1m =或2.经验证当2m =时适合当2320m m -+≠时据二次函数知识知要使的函数值取得所有正在值只需23200m m ⎧-+>⎨∆≥⎩解之得综上可知满足题意的m 的取值范围是 9．已知函数mx x f x ++=)14(log )(2．(1)若)(x f 是偶函数，求实数m 的值；(2)当0>m 时，关于x 的方程上恰有两个不同的实数解，求m 的范围．答案：解答： (1)若)(x f 是偶函数，则有)()(x f x f =-恒成立，即mx mx x x ++=-+-)14(log )14(log 22，即是x mx 22-=对R x ∈恒成立，故1-=m ；(2)当0>m 时，)14(log 2+=x y ，在R 上单增，mx y =在R 上也单增，所以mx x f x ++=)14(log )(2在R 上单增，且1)0(=f ；又)(x f 单增，得令4222++-=t t y ，又0>m ，故10(1)当7m =时，求函数()f x 的定义域；(2)若关于x 的不等式()2f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．答案： (1) ),4()3,(+∞⋃--∞； (2) ]1-,(-∞解答：(1)不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>-++≥7212x x x ，或⎩⎨⎧>+-+<≤72121x x x ，或⎩⎨⎧>+---<7211x x x 解得函数)(x f 的定义域为),4()3,(+∞⋃--∞；(2)不等式2)(≥x f 即R x ∈ 时，恒有R ，m m ,34≤+∴的取值范围是 ]1-,(-∞11．已知a ∈R ，函数 (1)当5a =时，解不等式()0f x >；(2)若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设0a >，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.答案：()0,⎫+∞⎪⎭； (2)(]{}1,23,4；解答：(1)()0,⎫+∞⎪⎭． ，()()24510a x a x -+--=， 当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意．当3a ≠且4a ≠时，，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当，即2a >； 2x 是原方程的解当且仅当，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．(3)当120x x <<时， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．即()2110at a t ++-≥，对任意因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间时，y故a 的取值范围为12(1)若函数内单调递增，求a 的取值范围；(2)求函数在区间[1，2]上的最小值．答案：(1)[)1,+∞；(2) 当1a ≥时，()min 0f x =.解答：(1)由已知，得上恒成立，即 又当 (2)当时，在(1，2)上恒成立， 这时在[1，2]上为增函数(1，2)上恒成立，这时在[1，2]上为减函数),1[)(+∞在区间x f )(x f ),1[0)(+∞≥'在x f 1≥a 0)(>'x f )(x f 0)1()(min ==∴f x f )(x f综上，在[1，2]上的最小值为③当13．已知函数22()lg (32)(1)1f x m m x m x ⎡⎤=-++-+⎣⎦的定义域为R ，求实数m 的取值范围．答案： 1m ≤或解答：∵函数()f x 的定义域为R ，∴对于任意x R ∈，恒有22(32)(1)10m m x m x -++-+>①若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为10>，符合题意，当2m =时，不等式即为210x +>，不恒成立，∴2m =不合题意，舍去．②若2320m m -+≠，由题意得 222320(1)4(32)0m m m m m ⎧-+>⎨∆=---+<⎩，解得，即1m <或综上可得，m 的取值范围是1m ≤或 14．已知函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ，且1)2()3(=-f f ．(1)若)52()23(+<-m f m f ，求实数m 的取值范围；(2)成立的x 的值． 答案：)(x f 0)(,1min =≥x f a 时解答：定义域0+∞（，）上单调递增，所以可得： 3202503225m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-<+⎩，解得(2)15 (1)求函数)(x f 的定义域；(2)求函数)(x f 的值域.答案：(1)(p ,1)；(2)见解答：.解答：(1)要使求函数)(x f 有意义，则得1>x 且p x <， 又因为函数的定义域为非空数集，所以1>p ，所以函数)(x f 的定义域是(p ,1)；，其中p x <<1，，即31≤<p 时， 因为)(x h 在],1[p 上单调递减，且0)1(2)1(>-=p h ，0)(=p h ， 所以)1(log 1)1(2log )(22-+=-<p p x f ； ，即3>p 时， ，0)(=p h ， 所以当p x <<1时，时，即1-<p ，这与1>p 矛盾. 综上所述当31≤<p 时，函数)(x f 的值域是()()1log 1,2-+∞-p ；当3>p 时，函数)(x f 的值域是()]21log 2,(2-+-∞p .16 (1)判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若对于[2,4]x ∈，恒有成立，求m 的取值范围． 答案：(1)详见解答；(2)当1>a 时，150<<m ； 当10<<a 时，16>m ．解答：(1)解得11x x <->或所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞ 函数()f x 为奇函数，证明如下：由(I)知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为所以函数()f x 为奇函数(2) 对[2,4]x ∈恒成立 当10<<a 时，对[2,4]x ∈成立．即(1)(7)x x m +⋅->成立，所以015m << 同理当10<<a 时，，解得16m > 综上所述：当1>a 时，150<<m ,当10<<a 时，16>m17．已知函数2()lg(2)f x ax ax =++ (∈a R )．(1)若1a =-，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．答案：(1) ()f x 的单调增区间为(2) 08a ≤<．解答：(1)当1a =-时，2()lg(2)f x x x =--+ 220x x --+>，即220x x +-<，解得：21x -<< 所以函数()f x 的定义域为(2,1)-设2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-，则()lg f x t =关于t 在(0,)t ∈+∞为增函数． 由复合函数的单调性，()f x 的单调区间与2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-的单调区间一致．二次函数2()2,(2,1)t x x x x =--+∈-的对称轴为所以()t x 在所以()f x 的单调增区间为(2)当0a =时，()lg 2f x =为常数函数，定义域为R ，满足条件． 当0a ≠时，()f x 的定义域为R 等价于220ax ax ++>恒成立． 于是有2080a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：08a << 综上所述，实数a 的取值范围是08a ≤<．18．已知函数()ln(3)ln(3)f x x x =++-．(1)求函数()y f x =的定义域；(2)判断函数()y f x =的奇偶性；(3)若(21)()f m f m -<，求m 的取值范围．答案： (1)()3,3-；(2)函数()f x 为偶函数； 或12m <<． 解答：(1)303330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，所以定义域为()3,3-； (2))()3ln()3ln()(x f x x x f =++-=-)(x f ∴为偶函数；(3)因为()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x=++-=- 可知)(x f 在]3,0[上为减函数，又为偶函数则原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧>-<<-<-<-|||12|333123m m m m 解得或12m <<．。
对数型复合函数的单调区间解答题(3)
1．已知20.5()log ()f x x mx m =--．(1)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间上是增函数，求实数m 的取值范围． 答案：(1)0m ≥或4m ≤-；解答：(1)∵()f x 值域为R ，令2()g x x mx m =--，则()g x 取遍所有的正数，240,0m m m ∴∆=+≥∴≥或4m ≤-；(2)2．已知函数9()log (91)()xf x kx k R =++∈是偶函数.(1)求k 的值；(2)的图象与()f x 的图象有且只有一个公共点，求a 的取值范围.答案： (2){3}(1,)-+∞.解答：令3x t =，则(0,)t ∈+∞，有且只有一个正实根t ，当10a -≠时，若0∆=，则3a =-或 时，根20t =-<，舍去.3a =-时，根为 若0∆>，则120t t <，解得1a >， 从而所求a 的范围是{3}(1,)-+∞.考点：函数的奇偶性，换元法，一元二次方程根的分布．3. (1)求m 的值，并求f (x)的定义域； (2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明；(3)是否存在实数λ,使得不等式若存在,求出实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案： (1))1,1(-；(2))(x f 在定义域内单调递增；(3)解答：(1)为奇函数，)()(x f x f -=-∴在定义域内恒成立，111-==-=∴m m m （舍去），即或，故函数的定义域是)1,1(-； ，任取1121<<<-x x ，∵1121<<<-x x ，0)()(21<-x u x u ，∴)(lg )(lg 21x u x u >，),()(21x f x f <∴即)(x f 在定义域内单调递增；由(1)，(2)知当θ=0时成立； sinθ=t,4(1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，求函数的最小值；(3)是否存在非负实数m 、n,的定义域为[]n m ,，值域为[]n m 2,2，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．答案：(3)2,0==n m ．2(2)g mx x m ++R m []1,1x ∈-[]2()2()3y f x af x =-+)(a h m n解答：令 ,当,的定义域为，不成立； 当，R ，∴，解得，综上所述，，对称轴为，当 时，a t =时，()2min 3a y a h -==； 当2>a 时，2=t 时，()a y a h 47min -==．由题意，知⎩⎨⎧==n n m m 2222解得⎩⎨⎧==20n m ，∴存在2,0==n m ，使得函数的定义域为，值域为．m x mx u ++=22时0=m x u 2=），（∞+0时0≠m ⎩⎨⎧<-=∆>04402m m 1>m 1>m ]1,1[-∈x a t =]2,0[]4,0[5(0>a ，1≠a )． (1)当1>a 时，讨论()f x 的奇偶性，并证明函数()f x 在()1,+∞上为单调递减； (2)当(),2∈-x n a 时，是否存在实数a 和n ，使得函数()f x 的值域为()1,+∞，若存在，求出实数a 与n 的值，若不存在，说明理由． 答案：(1)奇函数，证明见解答：；解答：(1)()f x 的定义域为{}|11x x x ><-或关于原点对称， ，∴()f x 为奇函数， 法1：当1a >时，设121x x <<，则()(()(1111x x +-又1a >，，()()12f x f x ∴>，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 法2：当1a >时，设121x x <<，令，所以12log log a a t t >，∴函数()f x 在(1,)+∞上为减函数 (2)，(),2∈-x n a①当1a >时，要使()f x 的值域为(1,)+∞，则须(,)t a ∈+∞，②当01a <<时，(0,)t a ∈，则，当(),2∈-x n a 时，函数()f x 的值域为()1,+∞．6．已知函数()2log 1f x x =-的定义域为[]1,16，函数()()()222g x f x af x =++⎡⎤⎣⎦． (1)求函数()y g x =的定义域； (2)求函数()y g x =的最小值；(3)若函数()y g x =的图象恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围． 答案： (1)[]1,4；(2)()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩； (3)()1,3a ∈-． 解答：(1)2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，14x ∴≤≤，即函数()y g x =的定义域为[]1,4． (2)()()()()222222log 22log 3g x f x af x x a x a =++=+--+⎡⎤⎣⎦．令[]2log ,0,2t x t =∈，则()()22222212y t a t a t a a a =+--+=---++⎡⎤⎣⎦．当1a ≥时，y 在[]0,2上是增函数，所有min 0,3t y a ==-； 当-11a <<时，y 在[]0,1a -上是减函数，[]1,2a -上是增函数，所有2min 1,2t a y a a =-=-++；当1a ≤-时，y 在[]0,2上是减函数，所有min 2,33t y a ==+．综上，()2min3-,12,1133,1a a g x a a a a a ≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩． (3)由题知，()0g x >恒成立，即()min 0g x >()min 0g x >． 当1a ≥时， min 30,13y a a =->∴≤<；当-11a <<时， 2min 20,11y a a a =-++>∴-<<；当1a ≤-时， min 330,y a a =+>∴无解 综上，()1,3a ∈-．7．已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数(1)求实数a 的值； (2)(3)的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围． 答案：(1)1a =；解答：(1)函数()g x 的图像恒过定点A ，A 点的坐标为(2，2)，又因为A 点在()f x 上，图象与直线b y 2=021b << ，故b 的取值范围为8．已知函数2()log (1)f x x =+，当点(,)x y 在函数()y f x =的图象上运动时，函数()y g x =(的图象上运动． (1)求函数()y g x =的解析式； (2)求函数()()()F x f x g x =-的零点．(3)函数()F x 在(0,1)x ∈上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由． 答案：解答：解得0x =或1x =，∴函数()F x 的零点0x =或1x =； (3)设31m x =+，由(0,1)x ∈得(1,4)m ∈，函数在(1,2]上递减，在[2,4)上递增，当2m =时有最小值4，无最大值，∴t 有最小值∴函数()F x 在(0,1)x ∈内有最小值9 (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若对于任意的[)()()1,,1x f x a x ∈+∞≥-恒成立，求a 的范围． 答案：(1)()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增； (2)2a ≤． 解答：， ()f x 在()1,+∞上递增；()()'0,1f x 在递增,()()()()''120,0,1f x f f x <=-<在上递减，所以()f x 在()0,1上递减,在()1,+∞上递增．(2) ()()()()()()1,1ln ,11ln 10x f x x x f x a x x x a x ≥=+≥-⇔+--≥由(1)知,()()'1,g x +∞在上递增,()()''12g x g a ≥=- 若20,2a a -≥≤即,()()[)'01,g x g x ≥+∞，在上递增,()()10,g x g ∴≥=所以不等式成立2a >若,存在()()001,,'0x g x ∈+∞=使得,当0[1,)x x ∈时,综上所述，2a ≤．10(1)当4=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若对任意的R x ∈，都有2)(≥x f 成立，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}11|>-<x x x 或；解答： (1)，即2-<x，即1>x 综上所述，函数()x f 的定义域为{}11|>-<x x x 或 (2)11(1)(2)若关于x 的不等式()()2520f x ax f x a -++++<对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．答案： (1)7m =；解答：(1)由()f x 是奇函数得：()()f x f x -=-，所以 即227m =，7m =±； 得定义域为()7,7-．∴7m =． 是增函数，∴()f x 在()7,7-是增函数．又()f x 为奇函数，∴()()252f x ax f x a -->+，∴27257x a x ax -<+<--<对任意实数 []2,3x ∈恒成立；对于225x a x ax +<--，即()252x x a x -->+，20x +>，∴(23x ≤≤)， 设2t x =+，则2x t =-，且45t ≤≤，对于72x a -<+，()2h x x a =+在[]2,3上递增，∴()()min 2227h x h a ==+>-，则对于257x ax --<，即()2F 120x x ax =--<，∴()()F 2280F 3330a a =--<⎧⎪⎨=--<⎪⎩，则1a >-； 综上，a 的取值范围是 12．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x的一个上界．已知函数(1)若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，求函数()g x 在区间(3)若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 答案： (1)1a =-； (2)[3,)+∞； (3)[7,3]-．解答：(1)因为函数()g x 为奇函数， 所以()()g x g x -=-，即 ，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-．(2)由(1)，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增，上的值域为[3,1]--，所以|()|3g x ≤，故函数()g x 在区间上的所有上界构成集合为[3,)+∞．(3)由题意知，|()|5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， ，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．。
SX2020A042复合对数函数的单调性问题解析
复合对数函数的单调性问题一、求复合对数函数的单调区间常借助于复合函数的单调性规律“同增异减”来求其单调区间.例1.求函数()2log 32a y x x =+-的单调区间.分析: 可视函数()2log 32a y x x =+-由外函数log a y u =和内函数232u x x =+-复合而成, 其中外函数的单调性不确定，需讨论; 内函数处在真数位置，函数值只能取正数.解: 函数的定义域为{}2|320x x x +->,即()1,3-.内函数232u x x =+-在区间()1,3-上的增区间为(-1,1],减区间为[1,3).外函数log a y u =的单调性由a 决定.当a>1时,外函数log a y u =单调增,此时原函数的增区间为(-1,1],减区间为[1,3);当0<a<1时,外函数log a y u =单调减,此时原函数的增区间为[1,3),减区间为(-1,1].评注: 研究单调性，首先应考察函数的定义域.二、已知复合对数函数的单调性求参数 ()()2121log ,,.2f x x ax a a ⎛⎫=---∞- ⎪⎝⎭例2.函数在区间上是增函数求实数的取值范围 分析: 根据题意,需保证函数()2g x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减且有意义,即函数值恒大于零. ()2:,g x x ax a =--解令由()()12log f x g x =在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上为增函数, 可得函数g(x)在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上为减函数,且g(x)>0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立. 故1221,1.1202a a g ⎧≥-⎪⎪-≤≤⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩解得故实数a 的取值范围是[-1,1].2 评注: 1.处理此类问题时,通常先保证单调性,后保证有意义.对本题而言,若先保证()2g x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上有意义,即函数值恒大于零,则需通过分类讨论来保证g(x)的最小值大于零,比较麻烦; 2.12g ⎛⎫- ⎪⎝⎭并不是函数()2g x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上的最小值, 而是极小值, 故需保证10.2g ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭例3.是否存在实数a,使函数()()2log a f x ax x =-在区间[2,4]上是增函数？如果存在,求出a 的变化范围;如果不存在,请说明理由.分析:本题属存在性问题,通常假设存在,再结合条件分析,若得出矛盾,则不存在;若无矛盾,则可得出结果. ()()()[]()[]()()()[]()[]()22222:,log 2,4,2,421,,1224201log 2,4,2,44416a a g x ax x a ax x g x ax x a a g a a ax x g x ax x g =-=-=-⎧≤⎪>>⎨⎪=->⎩∴>=-=-≥=解设假设符合条件的存在.当a>1时,为使函数f x 在区间上是增函数只需在区间上恒正且单调递增,1x=故应满足2a 解得又当0<a<1时,为使函数f x 在区间上是增函数只需在区间上恒正且单调递减,1x=故应满足2a ()()[]2,40log 2,4a a ax x ⎧⎪⎨⎪->⎩=-此不等式组无解.综上可知,当a>1时函数f x 在区间上为增函数.评注: 例3比例2更具一般性. ()9log 8[1,),.a f x x a x ⎛⎫=+-+∞ ⎪⎝⎭例4.函数在上单调递增求实数的取值范围 ()()()()()()()9:log 8[1,)0[1,)8[1,)01,938[1,)a f x x x a x x a a x x ⎛⎫=+-+∞ ⎪⎝⎭⎧>+∞⎪⎪⎨⎪=+-+∞⎪⎩⎧>⎪⎪<⎨⎪=+-+∞⎪⎩解要使函数在上单调递增,a x+8-在上恒成立,x 只需保证g x 在上单调递增,a 1+8-,1即解1得g x 在上单调递增2, ()()()()()()12121212121212121212121,88100,10,1,,143,4:1,9).a a a x x g x g x x x x x x x x x a x x a x x x x x x a x x a a ⎛⎫⎛⎫≤<-=+--+-=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-<∴+>>-≤<>-≥-设则即要使恒成立只要由得的范围是[- 评注: 1.本题应用单调性的定义来保证函数()8a x x =+-g x [1,)+∞在上单调递增,将其转化为恒成立问题; 2.也可以借助于函数()a h x x x=-(分a>0,a<0,a=0三种情况)的单调性规律来求a 的范围.。
对数函数常见题型(解析版)
4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。
2021年人教A版高一数学必修1：第3章对数函数比较大小及复合函数的单调性 Word版含答案
对数函数比较大小及复合函数的单调性一、单选题(共10道，每道10分)1.设，则( )A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：基本初等函数值大小的比较2.设，则( )A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：基本初等函数值大小的比较3.已知，则( )A.a＝b<cB.a<b<cC.a＝c>bD.a>c>b答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：基本初等函数值大小的比较4.设，，，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数值大小的比较5.已知函数是定义在上的偶函数，当时，是减函数，若，则( )A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：基本初等函数值大小的比较6.已知函数在上是增函数，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性7.函数上为减函数，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性8.函数的单调递增区间是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性9.若函数有最小值，则a的取值范围是( )A.0<a<1B.0<a<2且a≠1C.1<a<2D.a≥2答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性10.定义在上的偶函数在上递增，，则满足的x 的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：对数函数图象与性质的综合应用。
复合函数的单调性
复合函数的单调性一、复合函数的概念如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的函数(())y f g x =叫做函数()y f u =和()u g x =的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212xy += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
二、复合函数单调性判定方法：在复合函数 (())y f g x =中，若()u g x =在区间[],a b 上是单调增（减）函数，()y f u =在区间[](),()g a g b 上（或在区间[](),()g b g a 上）是单调增（减）函数，那么复合函数(())y f g x =在区间[],a b 上一定是单调函数，它的增减性如下表：规律：同增异减三、基本初等函数的单调性、1一次函数 y=kx+b （k ≠0）的单调区间是 。
2.反比例函数(0)ky k x=≠的单调区间是 。
3．二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的单调区间是 。
4、指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1）的单调区间是 。
5、对数函数log a y x =（a ＞0，a ≠1）的单调区间是 。
例1 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)例2 求下列复合函数的单调区间： y=log 31 (2x －x 2)例3 求y=267x x --的单调区间.例4求y=122)21(--x x 的单调区间练习题求下列复合函数的单调区间.1.y=log 3(x 2－2x);2.y=log 21(x 2－3x+2)；3.y=652-+-x x , 4.y=x17.0;5.y=232x-; 6.y=3)31(+x , 7.y=x2log 3； 8.y=)4(1log 2x x -π；9.y=426x x -； 10.y=227x x -；函数的基本性质一、典型选择题 1．在区间上为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．（考点：基本初等函数单调性）2．函数是单调函数时，的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ．（考点：二次函数单调性） 3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ． 没有最小值（考点：函数最值） 4．函数，是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．不具有奇偶函数D ．与有关（考点：函数奇偶性） 5．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定（考点：抽象函数单调性） 6．函数在区间是增函数，则的递增区间是 （ ）A ．B ．C ．D ．（考点：复合函数单调性）7．函数在实数集上是增函数，则（）A．B．C． D．（考点：函数单调性）8．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）A． B．C．D．（考点：函数奇偶、单调性综合）9．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（）A． B．C． D．（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题1．函数在R上为奇函数，且，则当，.（考点：利用函数奇偶性求解析式）2．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 . （考点：函数单调性，最值）三、典型解答题1．（12分）已知，求函数得单调递减区间.（考点：复合函数单调区间求法）2．（12分）已知，，求.（考点：函数奇偶性，数学整体代换的思想）。
对数型复合函数相关问题
令 =_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_ >0 ∴ _x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_>0 _x001A_−1_x001B_<0<2
=_x001A_2−_x001B__x001A_−1_x001B_
令 =−1 (4<<28)
−3<<−1
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_3_x001B__x001B__x001B__x001A_−1_x001B_ (4<<28) _x001B_
1，先求出函数定义域
01
1−_x001B__x001A_+3_x001B_><<1
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B__x001A_1_x001B_2_x001B__x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4)_x001B_
定义域
内函数
外函数
复合函数
=_x001A__x001A_log_x001B_3_x001B__x001B_(−_x001A__x001B_2_x001B_+4+5)_x001B_
在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0当 0＜x＜1 时，y＞0
复合函数值域求解
复合函数单调性求解
）
01
单击添加标题
单击此处添加正文
02
单击添加标题
单击此处添加正文
对数型复合函数的单调性
对数型复合函数的单调性高考数学左老师2017-08-27 07:31有一类所谓的复合函数问题，尤其令人挠头.示例如下：你听过复合材料，复合型人才，什么叫“复合函数”呢？以本题为例，函数f(x)是对数函数吗？不是，只是有点像.是二次函数吗？也不是.我们无法把它归为学过的基本函数之一.但是，它和我们学过的对数函数、二次函数有部分相似的地方.通俗地讲，u是一座桥梁，或者说是一个中间人，通过它，y和x建立了对应关系.把一个复杂的函数看成由两个简单函数复合而成（本题对数函数和二次函数都是我们熟悉的，方便研究它们的性质），体现了数学的转化与化归思想----即把一个陌生的问题转化为熟悉的问题来处理.下面给出复合函数的高大上的定义.比如，上面这个例子童鞋们比较困惑的可能是内层函数、外层函数、复合函数的自变量、函数值是一样的吗？细心的读者一定会发现：u充当了外层函数的自变量，也充当了内层函数的函数值.为了解决本题，需要说说复合函数的单调性规律，这就是大家熟知的“同增异减”规律.也就是说，如果外层函数和内层函数单调性相同，则原函数单调递增；如果外层函数和内层函数单调性相反，则原函数单调递减.(为表述简洁，单调性的描述没有说“在某某区间上”，童鞋们自己要体会到)我把这个规律概括为“家和万事兴”--------内层、外层都是家庭的成员，不在乎它们自个儿是升迁还是降职，只要意见一致，保持团结，这个家庭就是蒸蒸日上的.回到本题.外层函数是对数函数，单调性由a确定，a与1的大小关系未知，需要分类讨论.内层函数是二次函数，单调性由开口方向、对称轴和定义域共同决定，也需要分类讨论.画出内层函数的草图，研究其为增函数的条件.仅仅这样还是不够的.这里的易错点在于，容易忽略外层函数定义域的要求，即必须保证u>0.再次强调，不要忽略真数部分恒为正数的前提条件.下面讨论0<a<1的情况.答案选B.小结：对数型复合函数单调性处理办法把复合函数拆为常见函数，熟悉常见函数的单调性规律；单调性规律：同增异减，也称为“家和万事兴”；必须确保真数部分始终为正数.。
对数函数的单调区间_专题含答案
对数函数的单调区间 专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若log 2a <0，(12)b >1，则（ ） A.a >1，b >0B.0<a <1，b >0 C .a >1，b <0 D.0<a <1，b <02. 函数f(x)=|log 2X|的单调递增区间是（ ）A.(0, 12]B.(0, 1]C.(0, +∞)D.[1, +∞)3. 已知函数f(x)=log 2(x 2−2x −3)，则使f(x)为减函数的区间是（ ）A.(−∞, −1)B.(−1, 0)C.(1, 2)D.(−3, −1)4. 设函数f(x)=|log a x|(0<a <1)的定义域为[m, n](m <n)，值域为[0, 1]，若n −m 的最小值为13，则实数a 的值为（ ） A.13或23B.23或34C.14或13D.14或34 5. 函数f(x)=log a (1−ax)在(1, 3)上递增，则a 的取值范围是（ ）A.(0, 1)B.(0,13)C.(13,1)D.(0, 13]6. 函数f(x)＝(x 2−9)的单调递增区间为() A.(0, +∞)B.(−∞, 0)C.(3, +∞)D.(−∞, −3)7. 已知函数f(x)=log 13(2x 2+x)，则f (x)的单调递增区间为（ ） A.(−∞, −14) B.(−14, +∞) C.(0, +∞) D.(−∞, −12)8. 若定义域为区间(−2, −1)的函数f(x)=log （2a−3）(x +2)，满足f(x)<0，则实数a 的取值范围是（ ）A.(32, 2)B.(2, +∞)C.(32, +∞)D.(1, 32)9. 函数f(x)=log a (1−ax)在(1, 3)上递增，则a 的取值范围是（ ）A.(0, 1)B.(0,13)C.(13，1)D.(0,13]10. 若函数f(x)=log a (2x 2+x)(a >0,a ≠1)，在(0,12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为（ ）A.(−∞,−12)B.(−14,+∞)C.(0,+∞)D.(−∞,−14)11. 函数y =log 12(−x 2+6x−5)在区间(m, m +1)上为减函数，则m 的取值范围为________．12. 函数y =lg x 的递增区间是________．13. 函数f(x)=ln (4+3x −x 2)的单调递减区间是________．14. 函数f(x)=lg (3+x)+lg (1−x)的单调增区间为________．15. 若函数y =log （a+2）(x −1)是增函数，则实数a 的取值范围是________．16. 函数y =log 12(−x 2+6x +5)的单调递减区间是________．17. 函数f(x)=lg (34−x −x 2)，则f(x)的单调递减区间是________．18. 函数f(x)=log 13(x 2−9)的单调递减区间为________．19. 已知函数f(x)=log 2x −1，对于满足0<x 1<x 2的任意实数x 1、x 2，给出下列结论：①[f(x 2)−f(x 1)](x 1−x 2)<0；②x 2f(x 1)>x 1f(x 2)；③f(x 2)−f(x 1)>x 2−x 1；④f(x 1)+f(x 2)2<f(x 1+x 22)．其中正确结论的序号是________．20. 函数y =|lg (x +1)|的单调增区间为________．21. 已知a >0且a ≠1，f(log a x)=a(x 2−1)x(a 2−1)．试判断f(x)在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．22. 已知函数f (x )=log a (a x +t )(a >0,a ≠1)，其定义域为D .(1)若D =R ，求实数t 的取值范围；(2)若存在[m 2,n 2]⊆D ，使得f (x )在[m 2,n 2]上的值域为[m,n ]，求实数t 的取值范围．23. 若函数 f(x)=log a (x 2−2ax +a 2+4)(a >0， 且a ≠1) 有最大值，且最大值不小于−1，则a 的取值范围为A.(0,14]B.(0,12]C.[14,12]D.(0,14]∪(1,+∞)24. 已知函数f(x)=log a (1a x −1)(a >0, a ≠1)．（1）求函数f(x)的定义域；（2）讨论函数f(x)的单调性（不需证明）．25. 已知函数f (x )=log 12(x 2−2ax +3)． (1)若a =1，求不等式f (x )≥log 123的解集；(2)若f (−1)=−3，求f (x )的单调区间．26. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+2x +3)，求该函数的定义域和值域，并指出其单调区间．27. 已知函数f(x)=ln (1+x)+a ln (1−x)(a ∈R)的图象关于原点对称．(1)求定义域．(2)求a的值．28. 已知函数f(x)=log x−2x+2(Ⅰ)求函数f(x)的定义域，再判断奇偶性并说明理由；(Ⅱ)试探究函数f(x)在区间(2, +∞)上的单调性，并证明你的结论．29. 已知f(x)=log21+x．1−x（1）求函数f(x)的定义域；（2）判断函数奇偶性并给予证明；（3）求函数f(x)的单调区间．(x+1)≥m2−3m恒成立，30. 已知m∈R，命题p:对任意x∈[0++,+8]，不等式log13)，使不等式2sin2x+2sin x cos x≤√2m(sin x+cos x)成立．命题q:存在x∈(0++,+2π3（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若p∧q为假，p∨q为真，求m的取值范围．参考答案与试题解析对数函数的单调区间 专题含答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】对数函数的单调区间【解析】根据指数函数与对数函数的图象和单调性直接解出a ，b 即可．【解答】解：依题意，根据指数函数与对数函数的图象和单调性知0<a <1，b <0， 故选D2.【答案】D【考点】对数函数的单调区间【解析】由题，函数y =|log 2x|与函数y =log 2x 图象的关系是可由函数y =log 2x 的图象x 轴下方的部分翻到X 轴上面，x 轴上面部分不变而得到，结合函数y =log 2x 的性质， 即可得到函数y =|log 2x|的单调递增区间【解答】解：由对数函数性质知，函数y =log 2x 是一个增函数，当x ∈(0, 1]时，函数值小于等于0函数y =|log 2x|的图象可由函数y =log 2x 的图象x 轴下方的部分翻到x 轴上面，x 轴上面部分不变而得到由此知，函数y =|log 2x|的单调递增区间是[1, +∞)故选：D3.【答案】A【考点】对数函数的单调区间【解析】由x 2−2x −3>0求出函数的定义域，在根据对数函数和二次函数的单调性，由“同增异减”法则求出原函数的减区间．【解答】解：由x 2−2x −3>0解得，x >3或x <−1，则函数的定义域是(−∞, −1)∪(3, +∞)，令y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，即函数y 在(−∞, −1)是减函数，在(3, +∞)是增函数，∵ 函数y =log 2x 在定义域上是增函数，∴ 函数f(x)的减区间是(−∞, −1)．故选A ．4.【答案】B【考点】对数函数的单调区间【解析】通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：①若1≤m <n ，则f(x)=−log a x ，∵ f(x)的值域为[0, 1]，∴ f(m)=0，f(n)=1，解得m =1，n =1a ， 又∵ n −m 的最小值为13，∴ 1a −1≥13，及0<a <1，当等号成立时，解得a =34． ②若0<m <n <1，则f(x)=log a x ，∵ f(x)的值域为[0, 1]，∴ f(m)=1，f(n)=0，解得m =a ，n =1， 又∵ n −m 的最小值为13，∴ 1−a ≥13，及0<a <1，当等号成立时，解得a =23．③若0<m <1<n 时，不满足题意．故选B ．5.【答案】D【考点】对数函数的单调区间【解析】先将函数f (x )=log a (1−ax )转化为y =log a t,t =1−ax ，两个基本函数，再利用复合函数求解．【解答】令y =log a t,t =1−ax:a >0:t =1−ax 在(1,3)上单调递减．f (x )=log a (1−ax )(a >0a ≠1)在区间(1,3)内单调递增∴ 函y =log a t 是减函数，且t (x )>0生(1,3)上成立∴ {0<a <1t (3)=1−3a ≥0∴ 0<a ≤13故选D ．6.【答案】D【考点】对数函数的单调区间【解析】根据对数的真数大于0，解出函数定义域为(−3,3) ．再由复合的单调性，可得所求函数的单调增区间．【解答】x 2−9>0是减函数，u =x 2−9在(−∞,−3)上递减，在(3,+∞)上递增，所以增区间故答案为：D ．7.【答案】D【考点】对数函数的单调区间【解析】先求出对数函数的定义域，然后再定义域内找出对数函数的单调增区间（即真数大于0时的真数的减区间）．【解答】解：由2x 2+x >0，得 x >0，或x <−12，令ℎ(x)=2x 2+x ，则ℎ(x)的单调减区间为(−∞, −14)． 又∵ x <−12，∴ f(x)的单调递增区间为(−∞, −12)．故选D8.【答案】A【考点】对数函数的单调区间【解析】根据函数的定义域，结合对数函数的性质，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵ 定义域为区间(−2, −1)的函数f(x)=log （2a−3）(x +2)，∴ −2<x <−1，0<x +2<1，要使f(x)<0，则0<2a −3<1，即32<a <2， 故实数a 的取值范围是(32, 2)，故选：A9.【答案】D【考点】对数函数的单调区间【解析】先将函数f(x)=log a (1−ax)转化为y =log a t ，t =1−ax ，两个基本函数，再利用复合函数求解．【解答】解：令y =log a t ，t =1−ax ，∴ t =1−ax 在(1, 3)上单调递减∵ f(x)=log a (1−ax)(a >0a ≠1)在区间(1, 3)内单调递增∴ 函y =log a t 是减函数，且t(x)>0在(1, 3)上成立∴ {0<a <1t(3)=1−3a ≥0∴ 0<a ≤13． 故选D ．10.【答案】A【考点】对数函数的单调区间【解析】本题考查复合函数的单调性．【解答】解：因为当x ∈(0,12)时，2x 2+x ∈(0,1)．又当x ∈(0,12)时，f(x)>0，所以0<a <1，所以f(x)的增区间即为函数u(x)=2x 2+x =2(x +14)2−18的减区间．由2x 2+x >0得x >0或x <−12，所以由二次函数的图象与性质知函数f(x)单调增区间为(−∞,−12)． 故选A ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）11.【答案】[1, 2]【考点】对数函数的单调区间【解析】题目给出了对数型的复合函数，内层函数是二次函数，外层函数是对数函数，因对数的底数小于1，所以外层函数为减函数，要使复合函数为减函数，需要内层函数为增函数，同时需要函数的真数要大于0．【解答】解：令t =−x 2+6x −5，由t >0得：x ∈(1, 5)，因为y =log 12t 为减函数，所以要使y =log 12(−x 2+6x −5)在区间(m, m +1)上为减函数，则需要t =−x 2+6x −5在区间(m, m +1)上为增函数，又函数t =−x 2+6x −5的对称轴方程为x =3，所以{m ≥1m +1≤3，解得1≤m ≤2． 故答案为[1, 2]．12.【答案】(0, +∞)对数函数的单调区间【解析】直接利用对数函数的单调性写出结果即可．【解答】解：函数y =lg x 是对数函数，由对数函数的单调性可知，函数的递增区间是(0, +∞)． 故答案为：(0, +∞)．13.【答案】[32，4) 【考点】对数函数的单调区间【解析】设u(x)=4+3x −x 2则f(x)=ln u(x)，因为对数函数的底数e >1，则对数函数为单调递增函数，要求f(x)函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．【解答】解：函数f(x)的定义域是(−1, 4)，令u(x)=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254的减区间为[32，4)， ∵ e >1，∴ 函数f(x)的单调减区间为[32，4)．故答案为：[32, 4).14.【答案】(−3, −1)【考点】对数函数的单调区间【解析】首先求出原函数的定义域，然后求原函数的导函数，运用导函数大于0可求函数的单调增区间．【解答】解：要使原函数有意义，则{3+x >01−x >0，所以−3<x <1， 因为函数f(x)=lg (3+x)+lg (1−x)，所以f ′(x)=1(3+x)ln 10−1(1−x)ln 10 =1ln 10(13+x +1x−1)，由f ′(x)>0，得：2(x+1)(x+3)(x−1)>0，即−3<x <−1，所以原函数的单调增区间为(−3, −1)．故答案为(−3, −1)．15.a>−1【考点】对数函数的单调区间【解析】根据对数函数y=logax的图象与性质，得出不等式a+2>1，解出不等式即可．【解答】解：∵函数y=log（a+2）(x−1)是增函数，∴a+2>1，解得a>−1；∴实数a的取值范围是a>−1．故答案为：a>−1．16.【答案】(1, 3]【考点】对数函数的单调区间【解析】由−x2+6x−5>0，先求函数的定义域(1, 5)由复合函数的单调性可知只需求出t(x)=−x2+6x−5的单调递增区间，最后于定义域取交集可得答案．【解答】解：由−x2+6x−5>0解得，1<x<5，即函数的定义域为(1, 5)函数y=log12(−x2+6x−5)可看作y=log12t，和t(x)=−x2+6x−5的复合．由复合函数的单调性可知只需求t(x)的单调递增区间即可，而函数t(x)是一个开口向下的抛物线，对称轴为x=−62×(−1)=3，故函数t(x)在(−∞, 3]上单调递增，由因为函数的定义域为(1, 5)，故函数y=log12(−x2+6x5)的单调递减区间是(1, 3]．故答案为(1, 3]．17.【答案】(−12，12)【考点】对数函数的单调区间【解析】由34−x−x2>0求出函数的定义域，再由二次函数和对数函数的单调性，以及“同增异减”法则求出原函数的减区间．【解答】解：由题意知，34−x−x2>0，即4x2+4x−3<0，解得−32<x<12，故函数的定义域是(−32, 12 )，令y =−x 2−x +34=−(x +12)2+1，则函数y 在(−32, −12)上是增函数，在(−12, 12)上是减函数，又∵ y =lg x 在定义域上是增函数， ∴ f(x)的单调递减区间是(−12，12)．故答案为：(−12，12)． 18.【答案】 【考点】对数函数的单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 19.【答案】 ④【考点】对数函数的单调区间 【解析】根据对数函数的图象结合函数的性质分别进行判断即可得到结论． 【解答】解：对于①．因为函数f(x)=log 2x −1是(0, +∞)上的增函数，所以△x =x 2−x 1>0⇒△y =y 2−y 1>0所以①不正确． 对于②．x 2f(x 1)>x 1f(x 2)⇒f(x 1)x 1>f(x 2)x 2⇒f(x)x为(0, +∞)上的减函数，即g(x)=log 2x−1x为(0, +∞)上的减函数，而g′(x)=(log 2x−1x )′=1ln 2−log 2x+1x =log 22e−log 2xx ⇒0<x <2e 时g ′(x)>0，g(x)为增函数，或者取x 2=8，x 1=12代入得8f(12)=(8log 212−8)=−16，12f(8)=12log 28−12=1， 显然8f(12)<12f(8)所以②不正确．对于③．f(x 2)−f(x 1)>x 2−x 1⇒f(x 2)−x 2>f(x 1)−x 1，即说明函数g(x)=f(x)−x =log 2x −x −1是(0, +∞)上的增函数，而 g′(x)=(f(x)−x)′=1x ln 2−1在区间(log 2e ，+∞)上g ′(x)<0，所以③不正确． 对于④.f(x 1)+f(x 2)2=log 2(x 1x 2)2−1=log 2√x 1x 2−1，f(x 1+x 22)=log 2x 1+x 22−1，又x 1+x 22>√x 1x 2(∵ 0<x 1<x 2)，所以log 2x 1+x 22>log 2√x 1x 2，即f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)．所以④正确故答案为：④．20.【答案】[0, +∞)【考点】对数函数的单调区间【解析】先化简函数的表达式，求函数的定义域，然后利用复合函数的单调性，求出函数的单调减区间即可．【解答】解：函数y=|lg(x+1)|={lg(x+1),x≥0−lg(x+1),−1<x<0，函数的定义域为x>−1，根据复合函数的单调性，所以函数y=|lg(x+1)|的单调增区间是[0, +∞)，故答案为：[0, +∞)．三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）21.【答案】解：是增函数．证明如下：设t=logax，则x=a t，∴f(t)=aa2−1⋅a2t−1a t，即f(t)=aa2−1(a t−a−t)．∴f(x)=aa2−1(a x−a−x)．∵f(x)的定义域为R，设x1<x2，则f(x1)−f(x2)=aa2−1[(a x1−a−x1)−(a x2−a−x2)]=aa2−1⋅(a x1−a x2)(1+a x1a x2)⋅．∵a>0，a≠1，∴a x1a x2>0，1+a x1a x2>0．若0<a<1，则a x1>a x2，a x1−a x2>0．此时aa2−1<0，∴f(x1)<f(x2)．同理，若a>1，则f(x1)<f(x2)．综上所述，当a>0且a≠1时，f(x)在R上单调递增．【考点】函数单调性的判断与证明对数函数的单调区间【解析】先通过换元法，等价转化函数为f(x)=aa2−1(a x−a−x)，用函数的单调性定义证明．解：是增函数．证明如下： 设t =log a x ，则x =a t ， ∴ f(t)=aa 2−1⋅a 2t −1a t，即f(t)=a a 2−1(a t −a −t )．∴ f(x)=a a 2−1(a x −a −x )． ∵ f(x)的定义域为R ， 设x 1<x 2，则 f(x 1)−f(x 2)=a a 2−1[(a x 1−a −x 1)−(a x 2−a −x 2)]=a a 2−1⋅(a x 1−a x 2)(1+a x 1a x 2)⋅．∵ a >0，a ≠1，∴ a x 1a x 2>0，1+a x 1a x 2>0．若0<a <1，则a x 1>a x 2，a x 1−a x 2>0． 此时aa 2−1<0，∴ f(x 1)<f(x 2)．同理，若a >1，则f(x 1)<f(x 2)．综上所述，当a >0且a ≠1时，f(x)在R 上单调递增． 22.【答案】解：(1)因为f (x )的定义域为R ， 所以a x +t >0恒成立， 所以t >−a x 恒成立， 因为−a x <0， 所以t ≥0，所以t 的取值范围[0,+∞)；(2)f (x )在[m 2,n 2]上的值域为[m,n ]，且函数是单调递增的，所以{f (m2)=m,f (n 2)=n,即f (x2)=x 有两个解，所以m ，n 是a x −a x2−t =0的两个根， 设u =a x 2(u >0)，因为m <n ，所以u 2−u −t =0有2个不等的正实数根， 所以Δ=1+4t >0且两根之积等于−t >0， 解得−14<t <0，则实数t 的取值范围是(−14,0).对数函数的定义域 指、对数不等式的解法 对数函数的单调区间 对数函数的值域与最值 根与系数的关系【解析】(1)根据函数的定义域为R ，可得a x +t >0恒成立，即把问题转化为t >−a t 恒成立，再进一步求解即可；(2)根据题目条件，f (x )在[m 2,n2]上的值域为[m,n ]，且函数是单调递增的，相当于f (x2)=x 有两个解，求出t 的范围即可． 【解答】解：(1)因为f (x )的定义域为R ， 所以a x +t >0恒成立， 所以t >−a x 恒成立， 因为−a x <0， 所以t ≥0，所以t 的取值范围[0,+∞)；(2)f (x )在[m 2,n2]上的值域为[m,n ]，且函数是单调递增的，所以{f (m2)=m,f (n 2)=n,即f (x2)=x 有两个解，所以m ，n 是a x−a x 2−t =0的两个根， 设u =a x2(u >0)，因为m <n ，所以u 2−u −t =0有2个不等的正实数根， 所以Δ=1+4t >0且两根之积等于−t >0， 解得−14<t <0，则实数t 的取值范围是(−14,0). 23.【答案】 A【考点】函数的最值及其几何意义 对数函数的单调区间二次函数的应用二次函数的性质【解析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求出a的范围．【解答】解：因为g(x)=x2−2ax+a2+4=(x−a)2+4有最小值，函数f(x)=loga (x2−2ax+a2+4)=logag(x)（a>0，且a≠1）有最大值，且最大值不小于−1，所以，0<a<1，所以，f(x)max=log a4≥−1，∴ 1a≥4．因为a>0，所以0<a≤14．故选A．24.【答案】解：（1）∵f(x)=loga (1a x−1)，∴1a x−1>0，即a x<1，当a>1时，解得x<0，当0<a<1，解得x>0，故函数的定义域为，当a>1时，为(−∞, 0)，当0<a<1，为(0, +∞)（2）设t=1a x−1当a>1时，函数t=1a −1为减函数，y=logat为增函数，故函数f(x)为减函数，当0<a<1时，函数t=1a x −1为增函数，y=logat为减函数，故函数f(x)为减函数，综上所述函数f(x)为减函数．【考点】对数函数的单调区间函数的定义域及其求法【解析】（1）需要分类讨论，根据指数函数和对数函数即可求出定义域，（2）根据复合函数的单调性，得到函数f(x)的单调性．【解答】解：（1）∵f(x)=loga (1a x−1)，∴1a x−1>0，即a x <1，当a >1时，解得x <0， 当0<a <1，解得x >0，故函数的定义域为，当a >1时，为(−∞, 0)， 当0<a <1，为(0, +∞) （2）设t =1a x−1当a >1时，函数t =1a x −1为减函数，y =log a t 为增函数， 故函数f(x)为减函数， 当0<a <1时，函数t =1a x−1为增函数，y =log a t 为减函数，故函数f(x)为减函数，综上所述函数f(x)为减函数． 25. 【答案】解：(1)当a =1时， f (x )=log 12(x 2−2x +3)．∵ x 2−2x +3=(x −1)2+2>0， ∴ f (x )的定义域为R ． ∵ f (x )≥log 123，∴ log 12(x 2−2x +3)≥log 123，∴ x 2−2x +3≤3， 解得0≤x ≤2.∴ 若a =1，f (x )≥log 123的解集为[0,2]．(2)∵ f (−1)=−3，即log 12(2a +4)=−3，∴ 2a +4=(12)−3，解得a =2，∴ f (x )=log 12(x 2−4x +3)，令x 2−4x +3>0，可得x <1或x >3，即定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)， 设g (x )=x 2−4x +3=(x −2)2−1 ，则g (x )图象的对称轴为x =2. ∴ g (x )在(−∞,1)上为减函数，在(3,+∞)上为增函数， ∴ f (x )在(−∞,1)上为增函数，在(3,+∞)上为减函数．即f (x )的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(3,+∞)． 【考点】指、对数不等式的解法 复合函数的单调性 二次函数的性质 对数函数的单调区间 【解析】（1）先求出函数的定义域，利用对数函数的单调性转化为x 2−2x +3≤3，然后求解不等式即可；（2）利用复合函数的单调性即可求解. 【解答】解：(1)当a =1时， f (x )=log 12(x 2−2x +3)．∵ x 2−2x +3=(x −1)2+2>0， ∴ f (x )的定义域为R ． ∵ f (x )≥log 123，∴ log 12(x 2−2x +3)≥log 123，∴ x 2−2x +3≤3， 解得0≤x ≤2.∴ 若a =1，f (x )≥log 123的解集为[0,2]．(2)∵ f (−1)=−3，即log 12(2a +4)=−3，∴ 2a +4=(12)−3，解得a =2， ∴ f (x )=log 12(x 2−4x +3)，令x 2−4x +3>0，可得x <1或x >3，即定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)， 设g (x )=x 2−4x +3=(x −2)2−1 ，则g (x )图象的对称轴为x =2. ∴ g (x )在(−∞,1)上为减函数，在(3,+∞)上为增函数， ∴ f (x )在(−∞,1)上为增函数，在(3,+∞)上为减函数．即f (x )的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(3,+∞)． 26.【答案】解：由−x 2+2x +3>0，解得−1<x <3，所以函数f(x)的定义域为(−1, 3)， 令t =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，则0<t ≤4，所以f(x)=g(t)=log 2t ≤log 24=2，因此函数f(x)的值域为(−∞, 2]，函数的单调递增区间(−1, 1]，递减区间为[1, 3)． 【考点】复合函数的单调性 对数函数的定义域 对数函数的单调区间【解析】由−x 2+2x +3>0，求得函数f(x)的定义域，令t =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，则0<t ≤4，可得f(x)=log 2t 的值域，再结合二次函数的性质求得f(x)的单调递区间． 【解答】解：由−x 2+2x +3>0，解得−1<x <3，所以函数f(x)的定义域为(−1, 3)， 令t =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，则0<t ≤4，所以f(x)=g(t)=log 2t ≤log 24=2，因此函数f(x)的值域为(−∞, 2]，函数的单调递增区间(−1, 1]，递减区间为[1, 3)． 27. 【答案】解：(1)由函数的解析式可得(1+x >01−x >0)，求得−1<x <1，故函数的定义域为(−1, 1)．(2)由题意可得，函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，即ln (1−x)+a ln (1+x)=−[ln (1+x)+a ln (1−x)]，即(1+a)ln (1−x)+(a +1)ln (1+x)=0，故(1+a)ln (1−x 2)=0恒成立，∴ a =−1． 【考点】对数函数的单调区间 【解析】（1）由函数的解析式可得{1+x >01−x >0，由此求得函数的定义域．（2）由题意可得，函数f (x )为奇函数，f (−x )=−f (x ) ，即(1+a )ln (1−x )+(a +1)ln (1+x )=0，即(1+a )ln (1−x 2)=0恒成立，由此可得a 的值． 【解答】 此题暂无解答 28. 【答案】解：(Ⅰ)由x−2x+2，得x <−2或x >2，∴ 函数f(x)=log 12x−2x+2的定义域为(−∞, −2)∪(2, +∞)；而f(−x)+f(x)=log 12−x−2−x+2+log 12x−2x+2=log 12(−x−22−x ×x−2x+2)=log 124−x 24−x 2=log 121=0，∴ f(−x)=−f(x)． ∴ 函数f(x)=log 12x−2x+2为定义域上的奇函数；(Ⅱ)函数f(x)在区间(2, +∞)上是减函数． 事实上， 令t =x−2x+2(x >2)，设x 1，x 2∈(2, +∞)，且x 1<x 2， 则t (x 1)−t (x 2)=x 1−2x 1+2−x 2−2x 2+2=4(x 1−x 2)(x1+2)(x 2+2)．∵ x 1，x 2∈(2, +∞)，且x 1<x 2，∴ x 1+2>0，x 2+2>0，x 1−x 2<0， 则4(x 1−x 2)(x1+2)(x 2+2)<0．即t(x 1)<t(x 2)，则t =x−2x+2(x >2)为增函数， 又y =log g 12t 为减函数，由复合函数的单调性得： 函数f(x)在区间(2, +∞)上是减函数． 【考点】对数函数的单调区间【解析】（Ⅰ）由对数式的真数大于0求解分式不等式得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性；（Ⅱ）利用函数单调性的定义证明真数为定义域内的增函数，然后结合复合函数的单调性可得函数if(x)在区间(2,+∞)上的单调性．【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）要使函数有意义，则1+x1−x>0，解得−1<x<1，即函数f(x)的定义域为(−1, 1)，（2）函数为奇函数，∵函数的定义域关于原点对称，∴f(−x)=log21−x1+x=f(x)=log2(1+x1−x)−1=−log21+x1−x=−f(x)，故函数f(x)是奇函数；（3）设t=1+x1−x =−x+1x−1=−x−1+2x−1=−1−2x−1．则当−1<x<1时，函数t=1+x1−x 单调递增，而函数y=log2t单调递增．则根据复合函数单调性之间的关系可知此时函数f(x)=log21+x1−x单调递增，故函数的单调递增区间为(−1, 1)．【考点】对数函数的单调区间【解析】（1）求根据对数函数的性质即可求函数f(x)的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数奇偶性；（3）根据复合函数单调性之间的关系即可求函数f(x)的单调区间．【解答】解：（1）要使函数有意义，则1+x1−x>0，解得−1<x<1，即函数f(x)的定义域为(−1, 1)，（2）函数为奇函数，∵函数的定义域关于原点对称，∴f(−x)=log21−x1+x=f(x)=log2(1+x1−x)−1=−log21+x1−x=−f(x)，故函数f(x)是奇函数；（3）设t=1+x1−x =−x+1x−1=−x−1+2x−1=−1−2x−1．则当−1<x<1时，函数t=1+x1−x 单调递增，而函数y=log2t单调递增．则根据复合函数单调性之间的关系可知此时函数f(x)=log21+x1−x单调递增，故函数的单调递增区间为(−1, 1)．30. 【答案】解：令f (x )=log 13(x +1)，则f (x )在(−1，+∞)上为减函数，因为x ∈[0，8]，所以当x =8时，f (x )min =f (8)=−2不等式log 13(x +1)≥m 2−3m 恒成立，等价于−2≥m 2−3m ，解得1≤m ≤2解：不等式2sin 2x +2sin x cos x ≤√2m (sin x +cos x ) 即2sin x (sin x +cos x )≤√2m (sin x +cos x )，∵ x ∈(0，2π3)，∴ sin x +cos x =√2sin (x +π4)>0，所以m ≥√2sin x ，∵ x ∈(0，2π3)，∴ 0<sin x ≤1即命题q:m >0．若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 中有且只有一个是真的 若p 为真，q 为假，那么{1≤m ≤2m ≤0，则无解；若p 为假，q 为真，那么{m⟨1或m⟩2m >0，则0<m <1或m >2．综上所述，0<m <1或m >2． 【考点】对数函数的图象与性质 对数函数的单调区间【解析】（1）构造函数f (x )，结合对数函数单调性，计算最值，建立关于m 的不等式，计算范围，即可得出答案．（2）分类讨论，探究这两种情况下对应m 的范围，建立不等式，即可得出答案． 【解答】 此题暂无解答。
对数型复合函数的单调区间选择题(1)
1．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2[a a ，上的最大值是最小值的3倍，则a 等于( )A B C D 答案：A解答：因10<<a ,故函数)10(log )(<<=a x x f a 是单调递减函数, 所以a a f x f a f x f a 2log )2()(,1)()(min max ====,即a a =3)2(,应选A.2( ) A ．]2,(--∞ B ．),2[+∞- C ．]2,(-∞ D ．),2[+∞ 答案： A解答：当且仅当11=-x ,即2=x 时取等号), 故应选A. 3 A C 答案： A解答：令()()2231211x x x x t -+=--=，则函数．令t 1，故函数y x>1}．本题即求t=(2x -1)(x -1)在区间(-∞∪(1，+∞)上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t 在函数y 的定义域内的增区间为(1，+∞)， 4．8log 4log 2log 1)(32x x x x f +++=，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( ) A ．BC ．)1,0(D ．),1(+∞ 答案： A解答：5A 答案：A解答：所以不等式6．已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(]4,4-B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(],4-∞ 答案：C解答：对数的底0.5∈(0，1)，得相应的对数函数是减函数，由此得23t x ax a =-+是区间[2，+∞)上的增函数，且在[2，+∞)上t>0总成立，建立关于a 的不等式并解之，可得a 的取值范围．令23t x ax a =-+，∵0.5∈(0，1)，∴函数y=log0.5t 是关于t 的减函数结合题意，得23t x ax a =-+是区间[2，+∞)上的增函数，又∵在(2，+∞)上t>0总成立，C. 7．函数()20.5log 65y x x =-+- 在区间(),1m m +上递减，则实数m 的取值范围是( )A ．[]3,5B ．[]2,4C ．[]1,2D ．[]1,4 答案： C解答：令2650t x x =-+->，解得15x <<， 故函数的定义域为()1,5，且0.5log y t =，利用二次函数的性质求得函数2265(3)4t x x x =-+-=--+ 在定义域()1,5是的增区间为()1,3，故函数()20.5log 65y x x =-+-在区间()1,3上单调递减，根据函数()20.5log 65y x x =-+-在区间(,1)m m +上单调递减， 故有113m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得12m ≤≤，故选C ．8．函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()3,1 C ．(]3,1 D ．[)+∞,3 答案：B 解答：函数由u y a log =，ax u -=6构成，因为0>a ，所以ax u -=6是减函数， 那么外层函数u y a log =就是增函数，所以1>a ，因为[]2,0为定义域的子集，所以当2=x 时，ax u -=6取得最小值， 所以02-6>a ，即3<a ，所以31<<a ．9．已知函数()f x =2(2)3,1log ,1a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩的值域为R ,则实数a 的取值范围是 A ．(1,2)- B ．[1,2)- C ．(,1]-∞- D ． {1}- 答案：B 解答：当1x ≥时2log 0y x =≥,所以要使()f x 的的值域为R ,需满足()()23g x a x a =-+在1x <时的值域中包含所有负数,所以()2010a g -<⎧⎨≥⎩ ,解得12a -≤<,故选B.10．函数的单调递减区间为( )A. B. C.(),1-∞- D. 答案： C解答：由题意可得：求函数()()2ln 23f x x x =--的单调递减区间应满足：⎩⎨⎧<>--10322x x x 即⇒⎩⎨⎧<-<>113x x x 或1-<x ，所以应选C 11．已知函数()2log ,0f x x m n =<<，且()()f m f n = ，若函数()f x 在区间2[m ,n]上的最大值为2，则2m =( ) A ．14 B C ．32 D ．12答案： A解答：由题设知 因为2m m <且函数在()0,1上为减函数， 所以()()()2f mf m f n >=，所以，()2f m =2，所以，22log2m -= 故选A.11(,m n 为正整数)，值域为[0,2]，则满足条件的整数对(,)m n 共有( )A ．1个B ．7个C ．8个D ．16个 答案： B解答：得，1x =；由得，4x =或()()2ln 23f x x x =--(),1-∞()1,+∞()3,+∞域为[0,2]，由于,m n 为正数对(,)m n 有7个，选.B12．已知函数()()ax x f a-=3log 在[]20，上是减函数，则a 的取值范围是 ()答案：A解答：因为0a >，所以()3u x ax =-为减函数，由复合函数单调性要求()log a f x u =在[]20，上为增函数，所以需要满足1a >，且当02x ≤≤时()30u x ax =->，即320a ->， 13( )A ．]1,-(∞B ．),1[+∞C D答案： C解答：C 正确. 14．不等式1)2(log 22>++-x x 的解集为( )A.()0,2-B.()1,1-C.()1,0D.()2,1 答案：C 解答：要使原式有意义需满足：220x x -++>，解得12x -<<原式可化为222log (2)log 2x x -++>函数2log y x =在[0,)+∞是单调递增函数∴222x x -++>01x ∴<<12x -<<∴不等式22log (2)1x x -++>的解集为(0,1)故选C15，若0)(>-a af ,则实数a 的取值范围是 ( )A.）（）（1,00,1⋃-B.），（），（∞+⋃-∞-11C.），（）（∞+⋃-10,1D.）（），（1,01⋃-∞-答案：A解答： 若0a >，则若0a <，则22()log ()0log ()00110af a a a a a a -=->⇒-<⇒<-<⇒-<<； 综上得，选A16．已知函数20.5()log (4)f x x ax a =-+在),2[+∞单调递减，则的取值范围( )A.]4,(-∞B.),4[+∞C. [2,4]-D. (2,4]- 答案：D 解答：令24t x ax a =-+，则函数24t x ax a =-+在区间[2，+∞)内单调递增，且恒大于0，由此可得不等式，从而可求a 的取值范围. 故选D.17得到在()0,∞-，()+∞,0上是减函数，类比上述作法，研究xx y =()0>x 的单调性，则其单调增区间为( )A.()1,0B.()+∞,1 答案： C解答：a ()x f设()ln ln x h x x x x ==，因为 单调递增，所以函数xx y =()0>x 的单调增区间为18[0，1]，则a =( )D.2 答案： A解答：因为x x =1 19( )A ．(－∞，1)B ．(2，+∞)C ．(－∞D ．+∞) 答案： A解答：由232>0x x -+得：2x x ><或1，20．函数2234log ()y x x =--的单调增区间是( )A. (4,)+∞B. (,1)-∞-C.D. 答案： A解答： 因为函数2234log ()y x x =--，那么定义域x >4,x <-1,因此结合复合函数的性质可知，外层是增函数，内层的增区间为(4,)+∞，故选A 21．函数()()lg 13y x x ⎡⎤=+-⎣⎦的单调减区间为( )A.B. C. D. 答案： C解答：因为函数()()lg 13y x x ⎡⎤=+-⎣⎦的定义域-1<x<3,根据复合函数的单调性可孩子，单调减区间(1,3)，选C.22．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间[]a a 2,上的最大值是最小值的3倍，则a答案：A解答：由题意知)10(log )(<<=a x x f a 在区间[]a a 2,上是减函数，所以max min ()()1,()(2)log 21a f x f a f x f a ====+,]1,1(-]1,(-∞)3,1[),1[+∞。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．已知函数()31xxf x e x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若实数a 满足，()()()20.5log log 21f a f a f +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭答案： C解答：()()f x f x -=故函数为偶函数，()()()()20.52log log 2log 21f a f a f a f +=≤，即()()2log 1f a f ≤，故21log 1a -≤≤，解得1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 2．如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有1122()()x f x x f x +1221()()x f x x f x >+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②32(sin cos )y x x x =--；③1x y e =+；④()ln ||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，其中“H 函数”的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案： C解答：∵对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式1122()()x f x x f x +1221()()x f x x f x >+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，即函数f(x)是定义在R 上的增函数． ①31y x x =-++；'231y x =-+，则函数在定义域上不单调；②32(sin cos )y x x x =--；y'=3-2(cosx+sinx)=3-sin(x+4π)＞0，函数单调递增，满足条件；③1xy e =+为增函数，满足条件；④()ln ||00x x f x x ≠⎧=⎨=⎩，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H 函数”的函数为②③，故选C.3．设()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上递增，若1()02f =，14(log )0f x <，那么x的取值范围是( ) A.122x << B.2x > C.112x << D.2x >或112x << 答案： A解答：由()f x 是R 上的偶函数，得()()()f x f x f x =-=，则1144log log f x f x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由1()02f =，14(log )0f x <，得141log 2f x f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即141log 2f x f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 因为函数在[)0,+∞上递增，所以141log 2x <，解得122x <<.故选A. 4．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-<⎪⎩，，≤≤，设方程()()2xb x b f R -+∈=的四个实根从小到大依次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为( ) A ．122x x += B ．1219x x << C ．()()340661x x <--< D ．34925x x << 答案：D解答：不妨令0b =,函数f(x)图象与函数2xy -=的图象如图，则方程()()2xb x R f -∈=的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知123401,12,35,56x x x x <<<<<<<<，2x 可能大于2，所以A 错误, 又()122112122lg ,2lg ,22lg 0x x x x x x x x ----=-=-=<，所以1201x x <<，所以B 错误；()()()()334434342lg 6,2lg 6,22lg 660x x x x x x x x ----=-=---=-->⎡⎤⎣⎦，所以()()34661x x -->，则C 错误，综上可知选D ．5．函数2()log ()a af x x=(0,1)a a >≠在区间[]2,3上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．12a <≤B ．102a << C ．1132a << D ．01a <<或3a ≥ 答案： B解答：因为(0,1)a a >≠，所以ay x=为[]2,3上的减函数，所以要是()f x 为[]2,3上增函数，则021a <<，即102a <<． 6．设函数λ，若对任意给定的1121,222n n n n S S +=-=-，都存在唯一的2n ≥，满足11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，则正实数1n =的最小值是 ( )A ．2B ．12C ．14D ．18答案： B解答：当0x ≤时，()2xf x =，值域为(0,1]，所以2(())log 2x f f x x ==； 当01x <≤时，2()log f x x =，值域为(,0]-∞，所以2log (())2xf f x x ==；当1x >时，2()log f x x =，值域为(1,)+∞，则22(())log (log )f f x x =，故22,1(())log (log ),1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩， 当1x ≤时，(())f f x 值域为(,1]-∞,当1x >时，(())f f x 值域为(,)-∞+∞， 因为0a >，所以222211()22()48g t a t at a x a =+=+-，对称轴为1024t a=-<<， 故()g t 在(1,)+∞上是增函数，则()g t 在上1121,222n n n n S S +=-=-的值域为((1),)g +∞，即2(2,)a a ++∞)，有题意知，221a a +≥，解得12a ≥，故正实数a 的最小值为12；7．已知函数2()2log x f x x =+，2()2log 1xg x x =+，2()2log 1x h x x =-的零点分别为,,a b c ，则 ,,a b c 的大小关系为 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c << 答案： A解答：对于函数2()2log x f x x =+，令22log 0x x +=，得2log 2xx =-，因为0x >，所以21x >，所以21x -<-，所以2log 1x <-， 即102x <<，即102a <<； 对于函数2()2log 1xg x x =+，令22log 10x x +=，即21log 2xx =-， 所以21log 0x -<<，即112x <<，即112b <<； 对于函数2()2log 1x h x x =-，令22log 10xx -=，即21log 2x x =， 所以2log 0x >，即1x >，即1c >.所以a b c <<.故应选A .8．将函数()lg f x x =的图象向左平移1个单位，再将位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折得到函数()g x 的图象，若实数(),m n m n <满足1()()2n g m g n +=-+则的值是()答案：C解答：据题意得()|lg(1)|g x x =+，111()|lg(1)||lg ||lg(2)|222n n g n n n n ++-=-+==++++，()|lg(1)|g m m =+. 因为m n <，所以112m n +<<+，由1()()2n g m g n +=-+得lg(1)lg(2),(1)(2)1m n m n -+=+∴++=， 所以121n m =-+， 1610621106(2)2110(1)11011m n m m m m ++=+-+=++-≥>++.所以6(10621)lg[10(1)11]1g m n m m ++=++-++. 由得6210(1)1116,15m m m ++-+=∴=-+(0舍去)，13n =-， 所以115m n -=-. 9．已知函数()224log ,021512,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .A ．(16,21)B ．()16,24C ．(17,21)D ．(18,24) 答案：B解答：如图所示，由图形易知01a <<，12b <<，则()224log 4log f a a a ==-，()24log f b b =24log b =，()()f a f b =，22log log a b ∴-=，1ab ∴=，令2lg 4)21610(=++n m g n m -2lg 4)21610(=++n m g2151202x x -+=，即210240x x -+=， 解得4x =或6x =，而二次函数215122y x x =-+的图象的对称轴为直线5x =，由图象知，24c <<，点()(),c f c 和点()(),d f d 均在二次函数2110833y x x =-+的图象上，故有52c d+=， 10d c ∴=-， ()211010abcd cd cd c c c c ∴=⨯==-=-+，()2525c =--+，24c <<，()21652524c ∴<--+<，即1624abcd <<.10．若不等式12(1)3lg (1)lg33x xa x ++-≥-对任意的(,1]x ∈-∞恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,0]-∞B ． [1,)+∞C ．[0,)+∞D ．(,1]-∞ 答案： D解答：∵12(1)3lg (1)lg33x x a x ++-≥-，∴12(1)33lg lg 33x x xa ++-≥，∴12(1)3333x x x a ++-≥，∴min 12()3x x a +≤，而1212()()333x x x x y +==+为减函数，∴当1x =时，函数123xxy +=取得最小值，最小值为1，∴1a ≤. 11．函数()()22log 01xg x x x =>+，关于方程()()2230g x m g x m +++= 有三个不同实数解，则实数的取值范围为( ) A.((),4427,-∞-++∞ B. (4-+mC. 32(,)43--D. 34(,]23-- 答案： D解答：试题分析：函数()()22log 01xg x x x =>+，根据()g x 的图象，设()g x t =，∵关于x x 的方程()()2230g x m g x m +++=有有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根，且一个在()0,1上，一个在[)1,+∞上．设()223h t t mt m =+++，①当有一个根为1时，()1123h m m =+++，43m =-，此时另一根为13，符合题意．②当没有根为1时，则：()()023011230h m h m m =+>⎧⎪⎨=+++<⎪⎩，解得3423m -<≤-，综上可得，m 的取值范围是34(,]23--．12．函数的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[a ，b]上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称函数()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()(0,1)xc f x c t c c =+>≠是“成功函数”，则t 的取值范围为( )A.(0,)+∞B.1(,)4-∞C.1(,)4+∞D.1(0,)4答案：D解答：因为函数()()()log ,0,1xc f x c t c c =+>≠ 在其定义域内为增函数，则若函数()y f x =为“成功函数”，且 ()f x 在[],a b 上的值域为 ,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()22a f a b f b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩ 即：()()log 2log 2ac b ca c tbc t ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ∴，方程()12f x x =必有两个不同实数根，∵()21log 2xxx c c t x c c t +=⇔=+等价于20x x c c t -+=，∴方程20m m t -+=有两个不同的正数根，∴140010t t ∆=->⎧⎪>⎨⎪>⎩，∴10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选D. 13．若实数x ，y 满足11ln0x y--=，则y 关于x 的函数的图象大致形状是( ) A. B. C. D.答案： B解答：原式化为11lnx y -=，两边取指数得：11x e y -=得：11x y e-=，所以图形大致是：关于1x =对称的两边随x 轴的延伸，无限接近0的图形，故选B ．14．若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞B ．(4,4]-C ．(,4)[2,)-∞+∞D ．[4,4)-答案： D解答：由题意得230x ax a -->在区间(,2]-∞-上恒成立且22a≥-，即2(2)(2)30a a ---->且4a ≥-，解得实数a 的取值范围是[4,4)-，选D ．15．函数20.4log (34)y x x =-++的值域是( )A ．(]0,2-B ．[)2,-+∞C ．(],2-∞-D ．[)2,+∞答案： B解答：2232534()24x x x -++=--+254≤，即2250344x x <-++≤，所以2040.425log (34)log 24x x -++≥=-．故选B ． 16，若互不相等，且，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 答案：C解答：C.17．已知函数()()212log 2218,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦,若()f x 在[),a +∞上为减函数,则a 的取值范围为( )A ．(],2-∞B ．4,23⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．4,13⎛⎤- ⎥⎝⎦答案：D解答：令()()()22218,0g x x a x g x =--+>，对称轴为21,1x a a a =-≤≤.另一方面，()()2422180,,23g a a a a a ⎛⎫=--+>∈-⎪⎝⎭，综上所述，4,13a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 18．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，对任意给定的()2,y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足()()222f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是( ),,a b c ()()()f a f b f c ==abc (1,10)(5,6)(10,12)(20,24)A ．14 B ．12C ．2D ．4 答案： A解答： 首选写出()()ff x 表达式，当0x ≤时，()()()2log 2x f f x x ==；当01x <≤时，()()2log 2x f f x x ==；当1x >时，()()()22log log f f x x =，考虑到题目说的要求x 的唯一性，即当取某个y 值时，()()ff x 的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内，因此我们要先求出()()ff x 在每段区间的值域，当0x ≤时，()()0f f x ≤；当01x <≤时，()()01f f x <≤；当1x >时，()()f f x R ∈，从中可以发现，上面两段区间的值包含在最后一段区间内，换一句话就是说假如()()ff x 取在小于等于1的范围内的任何一个值，则必有两个x 与之对应，因此，考虑到x 的唯一性，则只有使得()()1ff x >，因此题目转化为当2y >时，恒有2221ay ay +>，因此令()2221g y a y ay =+-，题目转化为2y >时，恒有()0g y >，又()()()211g y ay ay =-+，为了要使其大于0，则12ay >或1ay <-，考虑到题目要求a 是正实数，则1ay <-不考虑，因此11,22ay a y >>，在y 大于2的情况下恒成立，因此1124a a y >⇔≥，所以正实数a 的最小值为14，故选A ． 19．已知()2log ax a y -=在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()0,2D ． [2,)+∞ 答案： B解答：由题已知0,2a t ax >=-为减函数，又()2log axa y -=在[]0,1为减函数，则可得：，.120a a >⎧⎨->⎩，解得a 的取值范围是(1，2) 20．函数20.8()log (23)f x x ax =-+ 在()1,-+∞为减函数，则a 的范围( )A.(]5,4--B.(),4-∞-C.[]54--，D.(],4-∞- 答案： C解答： 由,32log )(28.0⎩⎨⎧+-==⇔ax x u u y x f 因为u y 8.0log =在定义域上为减函数，且复合函数)(x f 在),1(+∞-上为减函数，所以322+-=ax x u 在),1(+∞-上必为增函数，C ．。