(完整word版)第1章复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解

1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)

i

231

+ 解：

()()()13

2349232323231231i

i i i i i -=+-=-+-=+

实部：13

3

231=

⎪⎭⎫

⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭

⎫

⎝⎛+i Im

共轭复数：1323231i

i +=

⎪⎭

⎫

⎝⎛+ 模：131

1323231

2

22=+=

+i

辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213

3132

2231231+⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) i

i i --

131 解：

()()()2

532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--

实部：2

3131=⎪⎭⎫

⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭

⎫

⎝⎛--i i i Im

共轭复数：253131

i i i i +=⎪⎭

⎫

⎝⎛-- 模：2

34

4342531312

22=

=+=

--i

i

i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg

3)

()()i

i i 25243-+

解：

()()()2

26722672

72625243i

i i

i i

i i --=

-+=

--=

-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+i i i Re

虚部：()()1322625243-=-

=⎪⎭

⎫

⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i

i i i +-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛-+ 模：

()()

292522627252432

2

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+i

i i

辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i i

i +-21

8

4

解：i i i i i

i 3141421

8-=+-=+-

实部：(

)1421

8=+-i i i Re 虚部：(

)3421

8-=+-i i

i Im

共轭复数：()

i i i i 314218+=+- 模：103142221

8

=+=+-i i

i

辐角：(

)()πππk arctg k arctg k i i i i i

i Arg 2321324421821

8

+-=+⎪⎭

⎫

⎝⎛-=++-=+-arg

2． 当x 、y 等于什么实数时，等式

()i i

y i x +=+-++13531成立？

解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有：

()()()i i i y i x 8235131+=++=-++

⎩⎨

⎧=-=+8321y x ⎩

⎨⎧==⇒111

y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

3． 证明虚数单位i 有这样的性质：i i i ==--1

证明：i i i i i

-===

-2

1

1 i i i i -=-=+=00 i i i ==-∴-1

4． 证明 1) z z z

=2

证明：设iy x z +=，则iy x z -=

()(

)22

2

2

22

2

y x

y

x iy x z +=+=

+=∴

()()22y x iy x iy x z z +=-+=

z z z =∴2

2) 2121z z z z ±=±

证明：设111iy x z +=，222iy x z +=，则有：

()()()()()()21212121221121y y i x x y y i x x iy x iy x z z ±-±=±+±=+±+=± ()()()()()()21212211221121y y i x x iy x iy x iy x iy x z z ±-±=-±-=+±+=± 2121z z z z ±=±∴

3) 2121z z z z = 证明：设1

11θi e

r z =，2

22θi e

r z =，则有：

()()21212121212121θθθθθθ+-+===i i i i e r r e r r e r e r z z ()21212121212121θθθθθθ+---==•=i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 4) 022

121

≠=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛z z z z z , 证明：设1

11θi e r z =，2

22θi e

r z =，则有：

()()21212

121212121θθθθθθ---===⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛i i i i e r r e r r e r e r z z