小学奥数题_等比数列

《小学奥数教程：等比数列》专项突破
（附答案详解）
奥校小学数学竞赛教研中心
一、单选题
1.一种水草生长很快，一天增加一倍。

如果第一天往池子里投一棵水草，第二天发展为两棵，第28天恰好长满池塘，问如果一天投入四棵，几天可以长满池塘？（）
A. 23天
B. 24天
C. 25天
D. 26天
2.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）．若这种细菌由1个分裂成16个，这个过程要经过（）
A. 1小时
B. 2小时
C. 3小时
D. 4小时
二、填空题
3.孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟，如果要变化出7个孙悟空，最短需要
________秒钟。

4.小吉参加了一次数学测试．计分规则是：每答对1题得5分，时间是1小时．她答对了所有她回答的问题．如果她回答第一题用了1秒钟，第二题用了2秒钟，第三题用了4秒钟…，如此下去，每一题都用了前一题答题时间的2倍，则小吉得了________ 分．
5.1只蚂蚁外出觅食，发现一大块面包．它立刻回洞唤来10个伙伴，可是抬不动．每只蚂蚁回洞各找来10只伙伴，大家再抬，还是不行．于是，每只蚂蚁又回洞各找来10只伙伴，但仍然抬不动．于是，所有蚂蚁又都回去搬兵，每只蚂蚁又叫来10个伙伴．这次，终于把大面包抬回洞里．那么抬这块面包的蚂蚁一共有________ 只．
6.一只猴子发现了一片小桃林，它立刻回去叫来10个同伴，可还是摘不完，于是，每只猴子回去分头叫来10只猴子，还是摘不完，于是，猴子们又回去叫同伴，每只猴子又叫来10个同伴，这次，终于将桃子摘完了．那么，摘桃子的猴子一共有________ 只．
7.有一个七层塔，每一层所点灯的盏数都等于上一层的2倍，一共点了381盏灯．求顶层点了________ 盏灯．
8.一座六层塔，顶层3盏灯，每层灯数是上层灯数的3倍，这座塔共有________ 盏灯．
9.这家事务所的小春香有着一碰到水就会增殖的特性（一个小春香碰到水后就会以每秒钟一个的速度增殖出一个新的小春香），小春香的本体碰到水就会增值，她的增殖体，诞生出1秒钟后，碰到水也会开始增
殖，现在把小春香扔到水池里，12秒后会有________ 个小春香．
10.一只小蜜蜂发现了一处蜜源，它立刻回巢招来10个同伴，可还是采不完．于是，每只蜜蜂回去分头各找来10只蜜蜂，大家再接着干，还是剩下很多蜜没有采．于是，蜜蜂们又回去叫同伴，每只蜜蜂又叫来10个同伴，但仍然采不完．蜜蜂们再回去，每只蜜蜂又叫来10个同伴．这一次，终于把这一片蜜源采完了．你来算一算采这块蜜源的蜜蜂一共有________ 只．
11.某集团炒股票，以每天增加一倍的速度欠银行的资金．在第三天时欠资金1200万，到第七天时，欠银行的资金________ 万．
12.一只蚂蚁“侦察兵”在洞外发现了食物，它立刻回到蚁穴通知同伴．假设一只蚂蚁在一分钟内可以把信息传达给4个同伴，那么，不超过________ 分钟，蚁穴里的全部2000只蚂蚁都知道了这个消息．（结果取整数）
13.计算：22003﹣22002﹣22001﹣…﹣22﹣2=________ ．
14.一个细胞，一分钟后变成2个，10分钟后细胞的个数是________ ．
三、计算题
15.下面有一种特殊数列的求和方法
要求数列1，2，4，8，16，…，512，1024的和，设和为S，方法如下：
S=1+2+4+16+…+512+1024
2S=2+4+16+…+512+1024+2048
用下面的式子减去上面的式子就得到：
S=2048﹣1=2047
即：数列1，2，4，8，16，…，512，1024的和是2047．
仔细阅读上面的求和方法，然后利用这种方法求下面数列的和：
1，3，9，27，…，729，2187．
16.1﹣﹣﹣﹣…﹣．
17.+4.21++5.79
18.1×3+2×32+3×33+4×34+…+100×3100．
19.有6个数排成一列，从第2个数起每个数都是前一个数的2倍，且这个数的和是78.75，求第2个数．
20.计算：
1+3+32+33+ (3100)
四、解答题
21.请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．
五、应用题
22.小明同学想登陆到学校的网站，查看自己的期未考试成绩，可他却忘了登陆网站的密码，但他记得密码是隐含在下面的诗里的：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增．共计三百八十一，请问底层几盏灯？”请你根据诗的意思，帮小明找回密码．（提示：底层的灯数就密码）
23.某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生产整数个乒乓球，请问：第一周的总产量至少是多少？
24.科学家在培植一种细菌时，第一秒繁殖1个，第二秒繁殖2个，第三秒繁殖4个，第四秒繁殖8个．请同学们算一算，照这样计算，15秒总共繁殖多少个细菌？
25.某珍宝旅游车司机分别到五间酒店接旅客到香港迪斯尼乐园游玩，每间酒店都有旅客上车．很奇怪，每间酒店上车人数都是前一间酒店上车人数的三分之一．问到达迪斯尼乐园时，旅游车上最少有旅客多少位？
26.远望巍巍塔七层，红灯点点倍增加．有灯三百八十一，请问尖层几盏灯？
27.南通灯具厂的一位退休工人为迎接上海世博会的召开特地制作了一盏名为东方名珠的七层宝塔，共用彩灯381盏，从塔顶向下，每下一层灯的盏数都是上一层的2倍，问塔的顶层装几盏灯？
28.一个球被人从12米高的地方扔到地上．它落到地方后，反弹的高度是落下高度的一半，然后又再次落下，反复如此，每次反弹的高度都是前一次落下高度的一半．请问，这个球在它第5次到达地面的时候，它一共经过了多长的距离？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：1×2=2，2×2=4，28-2=26天，所以如果一天投入四棵，26天可以长满池塘。

故答案为：D。

【分析】两种情况下，水草的生长情况一样，都是前一天的2倍，所以先求出第一次投放四棵稻草是在第几天，然后用第一次恰好长满池塘用的天数减去几即可。

2.【答案】B
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：由题意可知，
其分裂的个数构成一比数列：2，22，23…，
16=24，即经过4次分裂后，种细菌由1个分裂成16个，
而每半小时分裂一次，
即这个过程要经过：0.5×4=2小时．
故选：B．
【分析】由题意可知，一个分裂成两个，2个则分裂成2×2=4个，…，由此可发现其分裂的个数构成一个比值为2的等比数列，即其分列的个数为2，22，23…，16=24，即经过4次分裂后，种细菌由1个分裂成16个，而每半小时分裂一次，即这个过程要经过0.5×4=2小时．
二、填空题
3.【答案】6
【考点】等比数列
【解析】【解答】孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变成一个孙悟空，每次变化需要的时是2秒钟，如果要变化出7个孙悟空，最短需要6秒钟。

故答案为：6。

【分析】第一个2秒拔出1根毫毛变出1个孙悟空，孙悟空总数为1+1=2（个），第二个2秒拔出2根毫毛变出2个孙悟空，孙悟空总数为2+2=4（个），第三个2秒拔出4根毫毛变出4个孙悟空，孙悟空总数为4+4=8（个），2+2+2=6秒据此解答即可。

4.【答案】55
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：由题意可得：1+2+4+8+…+2n﹣1=答题所用时间＜3600秒，
由于答最后一题所用时间答前边所有时间的和，最后一项是2n﹣1，
3600÷2=1800，又210=1024，211=2048，2048×2=4096＞3600，
所以小吉共答了11道题，用时1024×2=2048秒．
共得分11×5=55分．
故答案为：55．
【分析】由题意可知，她所用时间分别是1，2，4，8，16…秒，构成一个公比为2的等比数列，又一小时=3600秒，由此可得1+2+4+8+…+2n﹣1=答题所用时间＜3600秒，又由此可以发现，每从第三项开始，每项都是前边所有项的和，则答最后一题所用时间答前边所有时间的和，最后一项是2n﹣1，
3600÷2=1800，又210=1024，211=2048，2048×2=4096＞3600，所以小吉共答了11道题，用时1024×2=2048秒．共得分11×5=55分．
5.【答案】14641
【考点】等比数列
【解析】解：根据题意可知，每次的蚂蚁的数目构成一个比值为（10+1）的等比数列，
所以第四次招唤后的蚂蚁数应是（10+1）的4次方，即114=14641（只）．
故答案为：14641．
【分析】根据题意可知，第一次招唤后一只蚂蚁唤来10个伙伴后有1+10=11个蚂蚁，第二次11只蚂蚁每只招来10后共有11×11只蚂蚁，第三次共有11×11×11只蚂蚁，由此可得，每次的蚂蚁的数目构成一个比值为11有等比数列，即1只，11只，11×11只，…，所以第四次招唤后的蚂蚁数应是11的4次方．6.【答案】1331
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：根据题意可知，每次的猴子的数目构成一个比值为（10+1）的等比数列，
所以第次叫来后的猴子数应是（10+1）的3次方，即113=1331（只）；
答：摘桃子的猴子一共有1331只；．
故答案为：1331．
【分析】根据题意可知，第一次叫来后每只猴子又叫来10个同伴后有1+10=11个猴子，第二次11只猴子每只叫来10后共有11×11只猴子，第三次共有11×11×11只猴子，由此可得，每次的猴子的数目构成一个比值为11的等比数列，即1只，11只，11×11只，…，由此求出摘桃子的猴子一共有的只数．
7.【答案】3
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：假设顶层是1盏，则七层共有1+2+4+8+16+32+64=127（盏），
381÷127=3，即现在所点的灯都是原设的3倍．
所以顶层点了3盏．
故答案为：3．
【分析】因为381是一个奇数，而每一层都是上一层的2倍，所以顶层一定是一个奇数，如果顶层是1盏灯，那么1+2+4+8+16+32+64不够，顶层是3盏的话，3+6+12+24+48+96+192=381．
8.【答案】1092
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：3×（1﹣36）÷（1﹣3），
=3×（﹣728）÷（﹣2），
=1092（盏），
答：这座塔共有1092盏灯．
故答案为：1092．
【分析】根据题意知道此数列是首项为3，项数是6，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的求和公式求出灯的总数．
9.【答案】377
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：开始有1个，1秒后变为2个，2秒后变为3个，3秒后是5个，4秒后是8个，5秒后是13个，可以发现从第3秒开始个数都是前两秒的个数和，继而得到一个数串2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377．所以
12秒后有377个．
故答案为：377．
【分析】开始有1个，1秒后变为2个，2秒后变为3个，3秒后是5个，4秒后是8个，5秒后是13个，可以发现从第3秒开始个数都是前两秒的个数和，继而得到一个数串2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377，问题得以解决．
10.【答案】14641
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：根据题意可知，每次的蜜蜂的数目构成一个比值为（10+1）的等比数列，
所以第四次招唤后的蜜蜂数应是（10+1）的4次方，即114=14641（只）．
故答案为：14641．
【分析】根据题意可知，第一次招唤后一只蜜蜂唤来10个伙伴后有1+10=11个蜜蜂，第二次11只蜜蜂每只招来10后共有11×11只蜜蜂，第三次共有11×11×11只蜜蜂，由此可得，每次的蜜蜂的数目构成一个比值为11有等比数列，即1只，11只，11×11只，…，所以第四次招唤后的蜜蜂数应是11的4次方．11.【答案】19200
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：1200×2（7﹣3）=1200×16，
=19200（万）；
答：到第七天时，欠银行的资金19200万；
故答案为：19200．
【分析】因为以每天增加一倍的速度增长，也就是增长2倍，第三天是1200元，则第四天就是1200×2，第五天就是1200×22，第六天就是1200×23，第七天就是1200×24，计算即可．
12.【答案】5
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：据题意可知，每增加一分钟知道消息的蚂蚁都是前一分钟的蚂蚁数的5倍，
4分钟后，知道的蚂蚁数为54=625（只），5分钟后有625×5只，625×5一定大于2000，
所以，不超过5分钟蚁穴里的全部蚂蚁都知道了这个消息．
故填：5．
【分析】据题意可知，只蚂蚁在一分钟内可以把信息传达给4个同伴，则一分钟后就有1+4=5（只）蚂蚁知道消息，两分钟后有5×5=25（只），即每增加一分钟知道消息的蚂蚁都是前一分钟的蚂蚁数的5倍，由此可得随着时间的增加，知道消息的蚂蚁数构成一个等比数列，4分钟后，知道的蚂蚁数为54=625（只），5分钟后有625×5只，625×5一定大于2000，所以，不超过5分钟蚁穴里的全部蚂蚁都知道了这个消息．
13.【答案】2
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：设22003﹣22002﹣22001﹣…﹣22﹣2=S①，
在等号的两边同时乘2，则22004﹣22003﹣22002﹣22001﹣…﹣23﹣22=2S②，
②﹣①，
22004﹣22003﹣22003+2=S，
所以S=2，
故答案为：2．
【分析】设22003﹣22002﹣22001﹣…﹣22﹣2=S，在等号的两边同时乘2，则22004﹣22003﹣22002﹣22001﹣…﹣23﹣22=2S，将两式相减求出S的值．
14.【答案】1024
【考点】等比数列
【解析】【解答】解：10分钟个数是：
2×2×…×2=210=1024（个）．
故答案为：1024．
【分析】据题意可知，一个细胞，一分钟后变成2个，两分钟后则变为2×2=4个，三分钟后，2×2×2=8个，…，即其分裂的个数构成一个等比数列，所以10分钟后分裂的个数为210=1024个．
三、计算题
15.【答案】解：2S=3S﹣S，
=（3+9+27+…+2187+6561）﹣（1+3+9+…+729+2187），
=6561﹣1，
=6560；
S=6560÷2=3280；
1，3，9，27，…，729，2187的和3280．
【考点】等比数列
【解析】【分析】由题意可知：
S=2S﹣S=（2+4+16+…+512+1024+2048）﹣（1+2+4+16+…+512+1024），
=2048﹣1，
=2047；
原来数列的第二个数，是后一个数列的第一个数，原来数列的第三个数，是后一个数列的第二个数，依此类推，那么后来数列的和减去原来数里的和就是后来数量的末项减去原来数列的首项；1，3，9，27，…，729，2187这些数的3倍是3，9，27…2187，6561；
求出3S﹣S=2S，然后再除以2即可．
16.【答案】1﹣﹣﹣﹣…﹣
=1﹣（+++…）
=1﹣
=1﹣
=1﹣×
=1﹣
=．
【考点】等比数列
【解析】【分析】（1）根据加法交换律和结合律简算；
（2）先根据减法的性质，把算式变成1﹣（+++…），再看括号内的各个加数，这是一个首项是，末项是的等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可．
17.【答案】解：+4.21++5.79
=（+）+（4.21+5.79）
=1+10
=11；
【考点】等比数列
【解析】【分析】根据加法交换律和结合律简算；
18.【答案】【解答】解：S100=1×3+2×32+3×33+4×34+…+100×3100，（1）
两边×3得：
3S100=1×32+2×33+3×34+4×35+…+100×3101，（2）
（1）﹣（2）得：
﹣2S100=（3+32+33+…+3100）﹣100×3101，
﹣2S100=3×（1﹣3100）÷（1﹣3）﹣100×3101，
﹣2S100=3×（1﹣3100）÷（﹣2）﹣100×3101，
两边同时除以（﹣2）得：
S100=（1﹣3100）+50×3101．
答：1×3+2×32+3×33+4×34+…+100×3100=（1﹣3100）+50×3101．
【考点】等比数列
【解析】【分析】先将算式两边同时乘3，再利用错位相减的方法用原来的等式减乘3之后得到的等式，得到﹣2S100=（3+32+33+…+3100）﹣100×3101，再利用等比数列求和公式计算即可得到﹣2S100=3×（1﹣3100）÷（﹣2）﹣100×3101，等式两边再同时除以﹣2即可得解．
19.【答案】解：78.75÷（1+2+4+8+16+32）
=78.75÷63
=1.25
1.25×2=
2.5．
答：第2个数是2.5．
【考点】等比数列
【解析】【分析】把第一个数看作单位“1”，因为从第2个数起每个数都是前一个数的2倍，所以其它数分别表示为“2、4、8、16、32”，又知这个数的和是78.75，所以用除法即可求出单位“1”，即第一个数，进而求出第二个数是多少．
20.【答案】解：1+3+32+33+…+3100
=
=．
【考点】等比数列
【解析】【分析】等比数列求和公式为：S n=（q≠1），代入数据计算即可求解．
四、解答题
21.【答案】解：要使两位数组成的等比数列越长，
则首项、公比应越小，
所以首项为10，公比为2，
因此这个最长的等比数列是10、20、40、80．
【考点】等比数列
【解析】【分析】要使两位数组成的等比数列越长，则首项、公比应越小，所以首项为10，公比为2，据此求出这个最长的等比数列即可．
五、应用题
22.【答案】解：设顶层的红灯有x盏，则
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
127x=381
127x÷127=381÷127
x=3
64×3=192（盏）
答：底层有192盏灯，登陆网站的密码的密码是192．
【考点】等比数列
【解析】【分析】根据题意，假设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x 盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程即可求出顶层灯的数量，进而求出底层有多少盏灯即可．
23.【答案】解：设第一天生产出了x个，则第二天生产出了x个，第三天生产出了个，…第七天生产了x个，
根据每天都生产整数个乒乓球，可得第一天的产量至少为26个，
则其余6天的产量分别是96、144、216、324、486、729，
第一周的总产量至少是：
64+96+144+216+324+486+729=2059（个）
答：第一周的总产量至少是2059个．
【考点】等比数列
【解析】【分析】设第一天生产出了x个，则第二天生产出了x个，第三天生产出了个，…第七天生产了x个，根据每天都生产整数个乒乓球，可得第一天的产量至少为26个，分别求出其余6天的产量，求和，求出第一周的总产量至少是多少即可．
24.【答案】解：1×（1﹣215﹣1）÷（1﹣2），
=215﹣1﹣1，
=32767（个）；
答：照这样计算，15秒总共繁殖32767个细菌．
【考点】等比数列
【解析】【分析】把每秒繁殖数可以看作是一个等比数列：首项是1，末项是215﹣1，公比是2，然后根据等比数列的求和公式列式为：1×（1﹣215﹣1）÷（1﹣2），然后解答即可求15秒总共繁殖多少个细菌．
25.【答案】解：1+1×3+1×3×3+1×3×3×3+1×3×3×3×3
=1+3+9+27+81
=121（人）
答：旅游车上最少有旅客121位．
【考点】等比数列
【解析】【分析】由于求至用有多少，则应让最后一间酒店人数尽量少，为1人，又每间酒店上车人数都是前一间酒店上车人数的三份之一，则第四间酒店上车人数是1×3人，第三间是1×3×3人，据此再求出第二间与第一间酒店上车人数后，将各酒店上车人数相加即可．
26.【答案】解：假设尖层的红灯有x盏，由题意得：
x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
127x=381
x=3
答：尖层3盏灯．
【考点】等比数列
【解析】【分析】根据题意，假设尖层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出等式，解方程，即可得解．
27.【答案】解：设塔的顶层装x盏灯，
则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是2x、4x、8x、16x、32x、64x，
所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381
127x=381
x=381÷127
x=3
答：塔的顶层装3盏灯．
【考点】等比数列
【解析】【分析】设塔的顶层装x盏灯，则根据每下一层灯的盏数都是上一层的2倍，分别求出每一层灯的数量，然后求和，根据它们的和是381解答即可．
28.【答案】解：12+（12÷2+12÷22+12÷23+12÷24）×2
=12+（6+3+1.5+0.75）×2，
=12×11.25×2，
=34.5．
答：它一共经过了34.5的距离．
【考点】等比数列
【解析】【分析】据题意可知，每次落下后再弹起的高度是前次的，即其弹起高度构成比值为2的等
比数列，所以所有弹起的高度为：12+12÷2+12÷22+12÷23+12÷24，又弹起后又落下，其落下的高度构成同样的等比数列，所以经过的总距离为：
12+（12÷2+12÷22+12÷23+12÷24）×2．。