4-函数及其表示

()x A x

f x x A A

<=≥

考点4 函数及其表示

※考纲解读※

● 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.

● 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. ● 了解简单的分段函数,并能简单的运用.

※重点难点※

● 函数的三种表示方法,利用集合与对应的语言来刻画函数. ● 了解简单的分段函数,并能简单的运用.

※命题探究※

● 函数是整个高中数学的重点,函数思想是最重要的数学思想方法,函数问题在历年高考中都占据相当大的比例,从近几年来看,对本部分内容的考查形势稳中求变,向着更灵活的方向发展.

● 在高考中主要考查映射与函数的概念,例如求象、原象以及映射的个数等，另外，在高考中常以函数作为背景， 结合不等式、方程、数列等知识,考查学生处理综合问题的能力.

● 在高考命题上仍以考查基本概念与基本计算为主,题型主要是选择和填空题,也有可能把定义一种新运算作为考 查的目的.

● 本内容涉及的考点有：①求函数的解析式；②分段函数；③函数的综合应用。

※高考赏析※

1.(2011·北京).根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为

()x A x

f x x A A

<⎪⎪=⎨

⎪≥⎪⎩（A ，c 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是

A. 75，25

B. 75，16

C. 60，25

D. 60，16

【解析】由条件可知，

x A ≥时所用时间为常数，所以组装第

4件产品用时必然满足第一个分段函数，即

(4)30604f c =

=⇒=，()1516f A A A

=⇒=，选D 。 2.(2010·陕西) 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为

A. y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

B. 3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

C. 4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

D. 5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

【解析】法一：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤

3.(2009·辽宁) 若1x 满足225,x

x +=2x 满足222log (1)5,x x +-=则1x +2x ＝

A.52

B.3

C.72

D.4

【解析】由题意1

1225,x

x += ① 22222log (1)5,x x +-= ② 所以11121252,log (52),x x x x =-=-

即12122log (52),x x =- 令1272,x t =- 代入上式得22722log (22)22log (1),t t t -=-=+-

2522log (1),t t ∴-=-与②式比较得2t x =于是12272x x =-，127.2

x x ∴+=另法：数形结合法.故选C.

X(年)4.(2005·湖南)设P 是△ABC 内任意一点,S △ABC 表示△ABC 的面积,λ1＝ABc PBC S S ∆∆,λ2＝ABC

PCA S S

∆∆,λ3＝

ABC

PAB S S ∆∆,定义123()(,,),f P λλλ=若G 是△ABC 的重心,111

()(,,),236f Q =则

A.点Q 在△GAB 内

B.点Q 在△GBC 内

C.点Q 在△GCA 内

D.点Q 与点G 重合

【解析】A

5.(2006·陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文

(解密),已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4,a b b c c d d +++例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7

【解析】当接收方收到密文14，9，23，28时，则214292323428

a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得6417a b c d =⎧⎪=⎪

⎨=⎪⎪=⎩，解密得到的明文为C ．

※基础巩固※

6.设集合A 和B 都是自然数集合N,映射f:B A →把集合A 中的元素n,映射到集合B 中的元n n +2,则在 映射 f 下,象20的原象是

A.4

B.3

C.2

D. 5

【解析】A

7.我校门前的磁卡电话收费标准为：前三分钟内收费0.4元，以后每分钟收费0.2元.某同学一次(或 多次)通话共7分钟，最低话费应是

A.0.8元

B.1元

C.1.2元

D.1.4元 【解析】B

8.某集镇近20年来的常住人口y(千人)与时间x(年)的函数如右图,考虑下列说法:

①前16年的常住人口是逐年增加的;

②第16年后常住人口实现零增长;

③前8年的人口增长率大于1； ④第8年到第16年的人口增长率小于1.

在上述说法中,只有一种说法是错误的,这个错误的说法是

A.①

B.②

C.③ D ④ 【解析】C.

9.如果函数()f x 对任意实数x ,存在常数M,使得不等式|()|||f x M x ≤恒成立,那么就称函数

()f x 为有界泛函,下面有4个函数:

①1)(=x f ； ②2)(x x f =； ③x x x x f )cos (sin )(+=； ④1

)(2

++=

x x x x f ．

其中有两个属于有界泛涵，它们是．

A.①，②

B.③，④

C.①，③

D.②，④

【解析】

x x x x x f 2cos sin )(≤+=,取2=M ,所以③符合有界泛涵定义.

x x x x x x

x f 3

4

4

3)21(1)(22≤++=++=,

取3

4=

M ,所以④符合有界泛涵定义.故选B.