4-函数及其表示

()x A xf x x A A<=≥考点4 函数及其表示※考纲解读※● 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念.● 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. ● 了解简单的分段函数,并能简单的运用.※重点难点※● 函数的三种表示方法,利用集合与对应的语言来刻画函数. ● 了解简单的分段函数,并能简单的运用.※命题探究※● 函数是整个高中数学的重点,函数思想是最重要的数学思想方法,函数问题在历年高考中都占据相当大的比例,从近几年来看,对本部分内容的考查形势稳中求变,向着更灵活的方向发展.● 在高考中主要考查映射与函数的概念,例如求象、原象以及映射的个数等，另外，在高考中常以函数作为背景， 结合不等式、方程、数列等知识,考查学生处理综合问题的能力.● 在高考命题上仍以考查基本概念与基本计算为主,题型主要是选择和填空题,也有可能把定义一种新运算作为考 查的目的.● 本内容涉及的考点有：①求函数的解析式；②分段函数；③函数的综合应用。

※高考赏析※1.(2011·北京).根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（A ，c 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，16【解析】由条件可知，x A ≥时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)30604f c ==⇒=，()1516f A A A=⇒=，选D 。

2.(2010·陕西) 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为A. y 10x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B. 3y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. 4y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D. 5y 10x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】法一：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤<x m m x αα时当，所以选B 法二：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B3.(2009·辽宁) 若1x 满足225,xx +=2x 满足222log (1)5,x x +-=则1x +2x ＝A.52B.3C.72D.4【解析】由题意11225,xx += ① 22222log (1)5,x x +-= ② 所以11121252,log (52),x x x x =-=-即12122log (52),x x =- 令1272,x t =- 代入上式得22722log (22)22log (1),t t t -=-=+-2522log (1),t t ∴-=-与②式比较得2t x =于是12272x x =-，127.2x x ∴+=另法：数形结合法.故选C.X(年)4.(2005·湖南)设P 是△ABC 内任意一点,S △ABC 表示△ABC 的面积,λ1＝ABc PBC S S ∆∆,λ2＝ABCPCA S S∆∆,λ3＝ABCPAB S S ∆∆,定义123()(,,),f P λλλ=若G 是△ABC 的重心,111()(,,),236f Q =则A.点Q 在△GAB 内B.点Q 在△GBC 内C.点Q 在△GCA 内D.点Q 与点G 重合【解析】A5.(2006·陕西)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4,a b b c c d d +++例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7【解析】当接收方收到密文14，9，23，28时，则214292323428a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，解得6417a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，解密得到的明文为C ．※基础巩固※6.设集合A 和B 都是自然数集合N,映射f:B A →把集合A 中的元素n,映射到集合B 中的元n n +2,则在 映射 f 下,象20的原象是A.4B.3C.2D. 5【解析】A7.我校门前的磁卡电话收费标准为：前三分钟内收费0.4元，以后每分钟收费0.2元.某同学一次(或 多次)通话共7分钟，最低话费应是A.0.8元B.1元C.1.2元D.1.4元 【解析】B8.某集镇近20年来的常住人口y(千人)与时间x(年)的函数如右图,考虑下列说法:①前16年的常住人口是逐年增加的;②第16年后常住人口实现零增长;③前8年的人口增长率大于1； ④第8年到第16年的人口增长率小于1.在上述说法中,只有一种说法是错误的,这个错误的说法是A.①B.②C.③ D ④ 【解析】C.9.如果函数()f x 对任意实数x ,存在常数M,使得不等式|()|||f x M x ≤恒成立,那么就称函数()f x 为有界泛函,下面有4个函数:①1)(=x f ； ②2)(x x f =； ③x x x x f )cos (sin )(+=； ④1)(2++=x x x x f ．其中有两个属于有界泛涵，它们是．A.①，②B.③，④C.①，③D.②，④【解析】x x x x x f 2cos sin )(≤+=,取2=M ,所以③符合有界泛涵定义.x x x x x xx f 3443)21(1)(22≤++=++=,取34=M ,所以④符合有界泛涵定义.故选B.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变．化率．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克【解析】因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600t t M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），故选D. 11．定义在实数集上的函数，如果存在函数，使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.给出如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个 ②定义域和值域都是R 的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数； ④为函数的一个承托函数其中，正确的命题个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】C12.设函数()f n k =(其中*n N ∈),k 是π的小数点后的第n 位数字, 3.1415926535,π=则100{[(10)]}f ff f 个等于 .【解析】(10)5,(5)9,(9)3,(3)1,(1) 1.f f f f f =====从此后均为(1) 1.f =13.如图，一条直角走廊宽为1.5m ，一转动灵活的平板手推车其， 平板面为矩形，宽为1m ．问：要想顺利通过直角走廊，平板手 推车的长度不能超过 ．【解析】223－.14.)]()([21)2(:)(21212,1x f x f x x f R x x x f R +≤+∈都有对任意满足上的函数定义在,则称函数f (x )是R 上的凹函数.已知二次函数2()(,0).f x ax x a R a =+∈≠(1)求证：当0a >时，函数()f x 是凹函数；(2)如果[0,1]x ∈时，|()|1,f x ≤试求实数a 的取值范围.【解析】(1)对任意12,,0,x x R a ∈>]2)2([2)2(2)]()([212212221212121x x x x a x ax x ax x x f x f x f +++-+++=+-+ )]()([21)2x f( 0)(212121221x f x f x x x a +≤+∴≥-= ∴函数f (x )是凹函数. (2)111)(11|)(|2≤+≤-⇔≤≤-⇔≤x ax x f x f 由 当x =0时，a ∈R ；当x ∈(0，1)时，1.5m1.5m恒成立恒成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≤++-≥∴⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥41)211(41)211(112222x a x a x ax x ax 20a ∴-≤<. 综上，a 的范围是[2,0].-15.已知函数a a x f x 3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x f y -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称． （Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式；（Ⅱ）若函数)()()(1x g x f x F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，a 求的取值范围．【解析】（Ⅰ）由a a x f x 3)(+=（0>a ，1≠a ），得)3(log )(1a x x f a -=-又函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称，则)()(1x a fx a g --=+-，于是，)(log )2()(1a x x a f x g a ---=--=-．（a x -<）（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，有)(log )3(log )()()(1a x a x x g x fx F a a -+-=--=-．要使)(x F 有意义，必须⎩⎨⎧>->-.0,03a x a x 又0>a ，故a x 3>．由题设)(x F 在]3,2[++∈a a x 上有意义，所以a a 32>+，1<a 即．于是，10<<a ．※应用创新※16.某地区上年度电价为0.8元/kW ·h,年用电量为akW ·h,本年度计划将电价降到0.55元/kW ·h 至0.75元/kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW ·h ，经测算，下调电价后新增的用电量与实 际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k ）．该地区电力的成本价为0.3元/kW ·h ．(Ⅰ)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(Ⅱ)设k=0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)）【解析】(Ⅰ)设下调后的电价为x 元/,kWh ·依题意知用电量增至,0.4ka x +-电力部门收益).75.055.0)(3.0)(4.0(≤≤x x a x ky -+-=(Ⅱ)依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+--+-75.055.0%),201)](3.08.0([)3.0)(4.02.0(≤≤×≥x a x a x a整理,得2 1.10.30,0.550.75x x x ⎧-+⎨⎩≥≤≤ 解此不等式得0.600.75.x ≤≤故当电价最低定为0.60元/k 仍可保证电力部门的收益比上年增长W ·h20%。