函数及其表示

合 热
点
对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个 元素 x，在集合 B 中都有
考 向
聚
集
唯一确定 的元素 y 与之对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 高
效
的一个映射，记作： f：A→B .
课 时
作
业
考
点
3．分段函数
自 主
若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别
整 合
热
用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
合
热
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
点 考 向
聚
解法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1
集
高
效
＝( x＋1)2－1，
课 时
作
∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，
业
即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
考
点
自
主
【点评】 ①题(1)的求解是利用待定系数法，待定系数法的关
整 合
热
键是设出某种类型的函数，列出方程组求待定系数；
点 考
向
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ，其值域
聚 集
高
等于各段函数的值域的 并集 ，分段函数虽由几个部分组成，但
效 课
时
它表示的是 一个 函数．
作 业
考
点
自
4．复合函数
主 整 合
如果 y 是 u 的函数，记为 y＝f(u)，u 又是 x 的函数，记为 u＝g(x)，
热 点
考
且 g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集不空，则确定了一个 y 关于 x 的
考
点
列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其依据一般是：①
自 主
整
分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数非负；③y＝x0 中 x≠0； 合
热
点
④对数式的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；⑤实际问题中，函
考 向
聚
数定义域要考虑实际意义．
集
高
效
(2)求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．
也不超过 4 吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过 4 吨，乙的
用水量不超过 4 吨，
考 点
自
主
即 3x≤4，且 5x＞4 时，
整 合
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
热 点
考
当乙的用水量超过 4 吨，即 3x＞4 时，
向 聚
集
y＝2×4×1.8＋3[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
考 点
自
主
整
合
热 点 考 向
聚 集
高 效 课 时 作 业
考
已知定义域为 R 的函数 f(x)满足
点 自
主
f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.
主 整 合
热
即 log2 2≤log2x≤log24，
点 考
向
∴ 2≤x≤4.故函数 f(log2x)的定义域为[ 2，4]．
聚 集
高
【答案】 (1){x|－ 6＜x＜－ 5或－ 5＜x＜ 5或 5＜x＜ 6}
效 课
时
作
(2)[ 2，4]
业
【点评】 (1)求函数的定义域，其实质就是函数解析式有意义，
1
，则
log1（2x＋1）
f(x)的定义域为(
2
A．(－12，0)
B．(－12，0]
C．(－12，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：根据题意得 log1(2x＋1)＞0， 2
即 0＜2x＋1＜1，
解得 x∈(－12，0)．
答案：A
)
考 点 自 主 整 合
热 点 考 向 聚 集
高 效 课 时 作 业
热点考向二 求函数的解析式
向 聚
集
函数 y＝f(g(x))，这时 y 叫做 x 的复合函数，其中 u 叫做中间变量，y
高 效
课
＝f(u)叫做外层函数，u＝g(x)叫做内层函数．
时 作
业
考
点
自
主
整
1．函数 f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )
合
热
点
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
考 向
聚
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
集
考 向
聚
集
＝ax＋5a＋b，
高
效
即 ax＋5a＋b＝2x＋17 不论 x 为何值都成立．
课 时
作
业
∴ba＋＝52a，＝17， 解得ba＝＝72，，
∴f(x)＝2x＋7.
(2)解法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)．
考
点
代入原式有
自 主
整
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
考
点
自
主
整 合
函数及其表示
热
点
考 向
聚 集
高 效 课 时 作 业
考 点 自 主 整 合
热 点 考 向 聚 集
高 效 课 时 作 业
考
点
自
1．函数的有关概念
主 整
合
(1)函数的概念：设 A、B 是非空的 数集 ，如果按照某种确定的对 热 点
应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一
考
点
自
主
整
合
热 点 考 向
聚 集
高 效 课 时 作 业
(1)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x
＋17，求 f(x)的解析式；
考
点
自
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式．
主 整
合
【解析】 (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
热
点
则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
点
(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数
考 向
聚
集
的定义域，使之必须有实际意义．
高
效
课
时
作
业
3． (1)已知函 数
f(x)
＝
x2＋1，x≥0， 1，x<0，
则满足不 等式 f(1－
考 点 自
主
整
x2)>f(2x)的 x 的取值范围是________．
合
热 点 考 向
聚 集
高 效 课 时 作 业
高
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
效 课 时
作
业
5．已知函数 f(x)＝x32x＋＋a2x，，xx＜≥11，， 若 f(f(0))＝4a，则实数 a＝
考 点 自 主 整
合
________.
热
点
解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2a＝4a，解得
考 向
聚
集
a＝2.
高
效
答案：2
A．30% C．3%
B．10% D．不能确定
考
点
自
主
解析：小波食品开支为 30＋40＋100＋80＋50＝300(元)，则小波总
整 合
热
开支为3300%0 ＝1 000 元，
点 考 向 聚
集
∴1 30000×100%＝3%.
高 效 课
时
作
答案：C
业
考
(2)(2011 年浙江)设函数 f(x)＝1－4 x，若 f(α)＝2，则实数 α＝
向
解析：由11－＋xx≠＞00得 x＞－1 且 x≠1，即函数 f(x)的定义域为(－
聚 集
高 效
课
1，1)∪(1，＋∞)．
时 作
业
答案：C
考
点
自
4．(北京西城区 2012 年 1 月高三期末考试)函数 f(x)＝log12x的定
主 整 合
热
义域是________．
点 考
向
聚
解析：由 log2x≠0，得 x＞0，且 x≠1，∴x∈(0，1)∪(1，＋∞)． 集
考 向
聚
集
A．1 个
B．2 个
高
效
C．3 个
D．4 个
课 时
作
业
解析：只有①正确，②③④错误，故选 A.
答案：A
3．(2011 年广东)函数 f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是(
)
考 点
自
主
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
整 合
C．(－1，1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
热 点
考
点 考
向
②求函数解析式的常用方法有：1°配凑法；2°换元法；3°待定系
聚 集
高
数法；4°消元法等．
效 课
时
作
业
2．(1)(2012 年江西卷)小波一星期的总开支分布图如 1 图所示， 考
点
自
一星期的食品开支如图 2 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支
主 整
合
的百分比为( )
热
点
考
向
聚
集
高 效 课 时 作 业
高
效
解析：要使函数 f(x)有意义，则 x－1>0，即 x>1，故选 B.
课 时
作
业
答案：B
2．给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝
x－3＋ 2－x是函数；③函数 y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)
考 点
自
＝xx2与 g(x)＝x 是同一个函数．
主 整 合
热
点
其中正确的有( )
点 自 主 整
合
________.
热
点
考
解析：∵f(α)＝1－4 α＝2，
向 聚 集
高
∴α＝－1.
效 课
时
作
答案：－1
业
热点考向三 分段函数问题
考 点 自 主 整 合
热 点 考 向 聚 集
高 效 课 时 作 业
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 考
点
自
吨时，每吨为 1.80 元，当用水 超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元．某
答案：(－1， 2－1)
(2)(2011 年北京)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的
考
cx，x＜A，
点 自 主 整
时间(单位：分钟)为
f(x)＝
cA，x≥A
(A，c 为常数)．已知工人组
合
热 点 考
向
装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c
聚 集
主 整
合
月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为 热
点
考
5x,3x(吨)．
向 聚
集
(1)求 y 关于 x 的函数；
高
效
课
(2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该
时 作
业
月的用水量和水费．
【解析】 (1)当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5x≤4，乙的用水量
解析：当 x<－1 时有 1>1，∴无解．
当－1≤x<0 时，有(1－x2)2＋1>1，∴x≠±1，
考
点
自
∴－1<x<0.
主 整
合
当 0≤x≤1 时，有(1－x2)2＋1>(2x)2＋1，
热
点
考
∴0≤x< 2－1.
向 聚
集
当 x>1 时有 1>(2x)2＋1，
高
效
课
∴无解．
时
作
业
综上：－1<x< 2－1.
聚 集
高
效
所以甲户用水量为 5x＝7.5 吨，
课 时
作
业
付费 S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为 3x＝4.5 吨，
付费 S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
考
点
【点评】
(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析
自 主 整
合
式，同时要求出函数的定义域(一般情况下，都要受实际问题的约束)． 热
课 时
作
业
1．(1)函数 f(x)＝ lo|xg－2x2－|－11的定义域为________．
考 点 自 主
百度文库
整
合
|x－2|－1≥0 x≥3或x≤1，
热 点
解析：由x－1>0
得x>1，
解得 x≥3，
考 向
x－1≠1
x≠2，
聚 集
高
所以函数的定义域为[3，＋∞)．
效 课
时
作
答案：[3，＋∞)
业
(2)(2011 年江西)若 f(x)＝
考
点
自
(2)函数的三要素有： 定义域 、 值域 和 对应关系 ．
主 整
合
(3)函数的表示方法有： 解析法 、 图象法 、 列表法 ．
热 点
考
(4)相等函数
向 聚
集
如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致， 高
效
课
则这两个函数为相等函数．
时 作
业
考
点
自
2．映射的概念
主 整
映射：设 A，B 是两个 非空的集合 ，如果按照某一个确定的
考 向 聚
集
确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个 高
效
函数 ，记作 y＝f(x)(x∈A)．其中，x 叫做 自变量 ，x 的取值范
课 时 作
业
围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函
数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 ，显然，值域是集合 B 的 子集 ．
热 点
考
向
应有l6g－6x－2＞x20≠，0，
聚 集
高 效
课
∴66－－xx22≠＞10，， 解之得－ 6＜x＜ 6且 x≠± 5，
时 作 业
所以函数的定义域是{x|－ 6＜x＜－ 5或－ 5＜x＜ 5或 5＜
x＜ 6}．
(2)∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1，
考
点
自
∴12≤2x≤2，∴函数 y＝f(log2x)中12≤log2x≤2.
高
和 A 的值分别是( )
效 课
时
A．75，25
B．75，16
作 业
C．60，25
D．60，16
考
点
自
解析：因为组装第 A 件产品用时 15 分钟，所以 c ＝15，所以
主 整 合
A
热
点
必有 4＜A，且 c4＝2c＝30，解得 c＝60，A＝16，故选 D.
考 向
聚 集
答案：D
高 效
课
时
作
业
热点考向四 综合应用
课 时
作
业
热点考向一 求函数的定义域
考 点 自 主 整 合
热 点 考 向 聚 集
高 效 课 时 作 业
(1)函数 f(x)＝lg6－1 x2的定义域是________；
(2)已知函数 f(2x)的定义域是[－1,1]，则 f(log2x)的定义域是
考 点
自
________．
主 整
合
【解析】 (1)要使函数有意义，
高
效
课
时
14.4x，
0≤x≤45，
作 业
所以 y＝20.4x－4.8，
45＜x≤43，
24x－9.6， x＞43.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当 x∈[0，45]时，y≤f54＜26.4；
考 点 自 主
整
合
当 x∈[45，43]时，y≤f34＜26.4；
热 点
考
向
当 x∈34，＋∞时，令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5.