复数的基本概念和运算

1、(c) 0
f (z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
f (z0 z) z
f (z0 )
2、(zn ) nzn1 n正整数
3、 f (z) g(z) f (z) g(z)
4、 f (z) g(z) f (z)g(z) f (z)g(z)
5、
f g
(z) (z)
f (z)g(z) f (z)g(z)
处
0
连
续
的
充
分
必
要
条
件为
：
lim
x x0
u( x,
y)
u( x0
,
y0
)
lim
x x0
v(
x,
y)
v(
x0
,
y0
)
y y0
y y0
定
理
四
、
如
果f
(
z
)，g(
z
)在z
处
0
连
续
，
下
列
函
数
在z0处
都
连
续
。
f (z) f (z) g(z), f (z) g(z), g(z) g(z0 ) 0, f [g(z)]
复平面内，下列各式连续：
w zn
多项 式：w= P(z) a0 a1z L an zn
有理式：w= P(z) 在Q(z) 0 Q(z)
9
3、导数 导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。
w
f (z)
定义在区域D内，z0
D，如果
lim
z 0
f (z0 z) z
f (z0 )
存在，称 f (z)在z0 可导
Arg(z1z2) Arg z1 Arg z2
商： 模相除；辐角相减
z1 z1 ei(q1 q2 ) z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
幂： 根：
z n r en inθ
w
n
z
1
rn
(cos q
2k
i sin q
2k
)
注意根的多
n k 0,1, 2,3L , (n 1)
A,
lim
g(z)
B
有
:
lim zz0
f
(z) g(z)
A B
z z0
z z0
f (z) A
lim
z z0
g
(
z)
B
8
2、连续性
如果 lim zz0
f
(z)
f (z0 ),
称f (z)在z0处连续。
如果f (z)在区域D内处处连续,称f (z)在D内连续。
定
理
三
、f
(
z
)在z
z1 z2
;
ii) z z;
iii) zz Re(z)2 Im(z)2 ;
iv) z z 2 Re(z)百度文库 z z 2i Im(z)
注意： (1) 2个复数不能比较大小; (2) 当且仅当实部、虚部分别相等时复数才相等。 1
2、复数的表示
y
• 直角坐标：z=x+iy
– 复平面与直角坐标平面上的点一一对应 0
n 得到n个不同的根。
值性！
5
区域的概念
区域：平面点集D称为区域, 必须满足下列两个条件： 1）D是一个开集。 2）D是连通的。
单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内 部总属于B，称B为单连通区域。
多连通域：不满足单连通域条件的区域。
单连通域
多连通域
不连通
6
复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定
复数的基本概念和运算
1、复数 z=x+iy或 z=x+yi
x, y为实数;i2 1
实部：Re (z) x;虚部为Im (z) y 若Im (z) 0，则z为实数； 若Re (z) 0，则z为纯虚数。
共轭 z x iy
i)
z1 z2 z1 z2 ,
z1z2
z1z2 ,
z1 z2
定理一：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0
lim
z z0
f
(z)
A的充分必要 条件：lim x x0
u ( x,
y)
u0
,
lim
x x0
v(x,
y)
v0
y y0
y y0
定理二：
lim f (z) g(z) A B
zz0
lim
f
(z)
• 向量表示
–模
| z | r x2 y2
– 幅角 q Argz arg z 2k
q0 arg z, q0
z=0时辐角不确定
y
q
O
• 三角表示： z r(cosq i sinq )
• 指数表示： z reiq eiq cosq i sinq
z x iy ( x,y )
x
P
z=x+iy x
2
y
辐角主值公式： arc tg y
2
x2
2
1
q0
x
3
4
arc
tg
y x
当 x 0, y 0 (1，4象限） 0
arc
tg
y x
当 x 0, y （ 0 2象限）
q0
arg
z
arc tg
y x
当 x 0, y （ 0 3象限）
2
当 x 0, y 0（y轴上） 0
g(z)2
6、 f [g(z)] f (w)g(z) w g(z)
7、f (z) 1 , w f (z)与z (w)是两个互为反函数的单值函数,且(w) 0.
( w)
10
4、解析 f (z)在z0及z0的邻域内处处可导,则w f (z)在点z0解析
4
乘积： 模相乘；辐角相加。
z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2),
z1z2=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]
于是: |z1z2|=|z1||z2|
Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2
z1z2 z1
z ei(q1 q2 ) 2
z z1 x1 iy1 x1x2 y1 y2 i y1x2 x1 y2 ,
z2 x2 iy2
x22 y22
x22 y22
z2 0
运算法则:
• z1+z2=z2+z1
• z1z2=z2z1
• z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3
• z1(z2z3)=(z1z2)z3
• z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
复变函数 w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)
单值函数：z 的一个值对应一个w值。 多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。 反函数：z=g(w)
复变函数的讨论 两个实变函数的讨论
7
1、极限
lim f (z) A
z z0
或
z z0，f (z) A
z z0的方式是任意的，即无论从哪个方向趋近； f (z)都要趋于同一个常数A。
当 x 0, y （ 0 x轴上）
0
当 x 0, y （ 0 x轴上） 3
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2 )
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)