材料力学答案第十一章
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第十一章 能量方法
第十一章答案
11.1 图示桁架各杆的材料相同,截面面积相等。试求在F 力作用下,桁架的变形能。
12
,N N F F == 32
N F F = 2
2
22222()2222N F F l l F x V dx EA EA EA ε⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⎰
2234F l EA
=.
11.2计算图示各杆的应变能。 (a)
2223244F l F l F l V EA EA EA
ε=+=.
(b)
22
12/32/3120022e e l l M M x x l l V dx dx EI EI
ε⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰ /32/322221220023318l l e e M M l x x EIl EI ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
11.3 传动轴受力情况如图所示。轴的直径为40mm ,材料为45钢,E = 210GPa ,
G = 80GPa 。试计算轴的应变能。
由扭转引起的应变能:
2
0.2
20
80
0.0322p
V dx GI ε==⎰
由弯曲引起的应变能:
2
0.2
10
(531.4)20.0292x V dx EI
ε==⎰
120.061J V V V εεε=+=.
11.4 计算图示梁的应变能,并说明是否满足叠加原理及其原因。
223
0()26l
Fl Fx F l V dx EI EI
ε-==⎰
0.36kN
(b)
1kN
200
200 EI
Me=Fl
F
x
而
223
10()22l
Fl F l V dx EI EI
ε==⎰
223
20()26l
Fx F l V dx EI EI
ε-==⎰.
不满足叠加原理,因为应变能与内力的关系不是线性的。
11.5在外伸梁的自由端作用力偶矩
跨度中点C 的挠度w c 。 (见课本下册p40例12-4)
11.6 图示刚架的各杆的EI 皆相等,试求截面A 、B 的位移和截面C 的转角。
(a) A 点:在A 点加一个向下的单位力。M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=Fb
11()M x x =,22()M x Fx =,3()0M x = 3330
()()h
M x M x Fabh
dx EI EI
∆==-⎰
.
C 点:在C 加一个逆时针的力偶矩为1的单位力偶。2()1M x =, 3()1M x =
33
22230
0()()()()b
h M x M x M x M x dx dx EI EI
∆=+⎰
⎰22Fb Fbh EI EI =+.
(b) A 点:在A 点加一个向下的单位力。2()22ql qx M x x =-, 1
()2
M x x =
24/20122252384l qlx qx x ql dx EI EI
⎛⎫
- ⎪⎝⎭∆==⎰. B 点:在B 点加一个向右的单位力。()M x h =
2
30()2212l qlx qx h ql h dx EI EI
-∆==⎰. 11.7 图示桁架各杆的材料相同,截面面积相等。试求节点C 处的水平位移和
垂直位移。
杆号
1
2 3 4
5 F N
F
-F 2
F
N F 水平 0 0 2-1 0 N F 垂直 0
-1
l
l l
2
l l
水平位移:
2F
C B
A
D
F l
l
C
F B
A R
122 n
Ni Ni i i F F l EA Fl Fl EA EA =∆==--
∑
(122) 3.828Fl Fl
EA
+=-
=-.
垂直位移:
Fl EA
∆=-
. 11.8 图中绕过无摩擦滑轮的钢索的截面面积为76.36mm 2,E 索 = 177GPa 。F = 20kN ,(a) 假设横梁ABCD 为刚体,求C 点的垂直位移。(2) 若不把ABCD 假设为刚体,且已知其抗弯刚度为EI = 1440kN.m 2,试再求C 点的垂直位移。 (1) 4
20.87.891033F EA -⎫∆=
⨯=⨯ ⎪⎝⎭
m. (2) 2
0.4
40
47.89102Fx dx EI
-∆=⨯+⎰
4447.8910 1.48109.3710---=⨯+⨯=⨯m.
11.9 等截面曲杆BC 的轴线为四分之三的圆周。若AB 杆可视为刚性杆,试求在F 力作用下,截面B 的水平位移及垂直位移。
水平位移:M ()=FR cos
, ()sin M R θθ=
D C
F
A
B
60 ° 60 ° 800 400
400