A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法汇总

手拉手模型

要点一:手拉手模型

特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点

结论:(1）△ABD ≌△A ＥC （２)∠α＋∠BOC=1８0° （3)ＯA 平分∠B ＯC 变形：

例１．如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ,证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =

(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //

变式精练１:如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与

CD ,

证明（１）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =

（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60

（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆,连结AE 与CD , 证明(1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =

(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60

(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

例2:如图，两个正方形ABCD 与DEFG ，连结CE AG ,,二者相交于点H

（2）AG 是否与CE 相等?

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度? （4）HD 是否平分AHE ∠?

例3:如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问:（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立? （2)AG 是否与CE 相等?

(3）AG 与CE 之间的夹角为多少度? (4）HD 是否平分AHE ∠?

例4:两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ，连结AE 与CD ,

(2)AE是否与CD相等？

（3）AE与CD之间的夹角为多少度？

∠?

（4）HB是否平分AHC

例5:如图,点A．Ｂ． C在同一条直线上,分别以AB、BC为边在直线ＡＣ的同侧作等边三角形△AＢD、△BCE.连接AＥ、DC，AE与ＤC所在直线相交于Ｆ,连接FＢ.判断线段FB、FE与FＣ之间的数量关系,并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ＡBＣ和三角形CDＥ都是等边三角形，点A，Ｅ,D,同在一条直线上,且角ＥBD=6２°，求角AEＢ的度数

倍长与中点有关的线段

倍长中线类

☞考点说明:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的:将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。

【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线

△ＡBC 中

方式1: 延长A Ｄ到

E ， AD 是ＢC 边中线

使DE=A Ｄ,

连接ＢＥ

方式2:间接倍长

作CF ⊥AD 于Ｆ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于 使DN=MD,

连接BE 连接CD

【例1】 已知:ABC ∆中,AM 是中线.求证:1

()2

AM AB AC <+．

M

C

B

A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，

,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？

【练２】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ,使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +.

F E C

B

A

【练3】如图，在等腰三角形AB Ｃ中,AB=A Ｃ,D 是ＡＢ上一点,F 是AC 延长线上的一点,且B Ｄ=ＣF,连结D Ｆ交BC 于E.求证：DE=ＥＦ（倍长中线、截长补短)

【例2】 如图,已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求

证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =,延长BE 交AC 于F ,

求证：AF EF =

F

E

D

C

B

A

【练２】如图，在△ABC 中，AB>AC ，E 为BC 边的中点,AD 为∠B ＡC 的平分线，过Ｅ作A Ｄ的平行线,交AB 于F ，交CA 的延长线于Ｇ. 求证：B Ｆ=C Ｇ．

【练3】如图，在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证:AD 为ABC ∆的角平分线．

G

F

E

D

C

B

A

【练4】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上.DE CD =,EF AC =.

求证：EF ∥AB

F

A C

D E B

【例3】已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．

F

E

M

C

B

A

【练1】在Rt ABC ∆中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别在边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=︒．若3AD =,4BE =，

则线段DE 的长度为＿____＿_＿＿．