【数学课件】 第3课时 平方根
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平方根
课件说明
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根．
学习重点： 平方根的概念．
活动一 复习回顾 引入新知
(1)什么是算术平方根?怎样表示?
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正 数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为: a a 0
∴的平方根是±0.5.
活动三
探究性质 深化概念
平方根的性质
1.一个正数有几个平方根？ 它们有什么特点？
有几个平方根？是多少？ 3.负数呢？
1.正数正的平数方有根2个有平两个方，根它，们它互们为互相为反数相.
2.0有一反0个的数平平；方方根根，是它0是；0本身. 3.负数负没有数平没方有根平. 方根.
⑶6 1
4
⑷ 256
（5） 212
(1) 0.040.2
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
(4) 25616,164 (5) 212 21
活动四 巩固练习 检测反馈
3.如果一个正数的平方根是a-1和a+3,则a=_-_1__，
这个正数是＿4＿.
4.计算下列各式的值：
(1) 169; (2)- 0.0049; (3) 64. 81
活动二 探索归纳 引入概念
平方根定义
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果 x2=a，那么x叫做a的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
填空： 求平方
求平方根
1 1
1
2 2
4
课件说明
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根．
学习重点： 平方根的概念．
活动一 复习回顾 引入新知
(1)什么是算术平方根?怎样表示?
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正 数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为: a a 0
∴的平方根是±0.5.
活动三
探究性质 深化概念
平方根的性质
1.一个正数有几个平方根？ 它们有什么特点？
有几个平方根？是多少？ 3.负数呢？
1.正数正的平数方有根2个有平两个方，根它，们它互们为互相为反数相.
2.0有一反0个的数平平；方方根根，是它0是；0本身. 3.负数负没有数平没方有根平. 方根.
⑶6 1
4
⑷ 256
（5） 212
(1) 0.040.2
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
(4) 25616,164 (5) 212 21
活动四 巩固练习 检测反馈
3.如果一个正数的平方根是a-1和a+3,则a=_-_1__，
这个正数是＿4＿.
4.计算下列各式的值：
(1) 169; (2)- 0.0049; (3) 64. 81
活动二 探索归纳 引入概念
平方根定义
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果 x2=a，那么x叫做a的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
填空： 求平方
求平方根
1 1
1
2 2
4
人教版七年级下册数学公开课《平方根》PPT课件(精)
二次方程在实际问题中的应用
01
02
03
04
面积问题
通过二次方程可以求解一些与 面积相关的问题，例如求解矩 形、三角形、梯形等的面积。
利润问题
在商业活动中，经常需要计算 利润和成本等问题，这些问题 可以通过建立二次方程进行求 解。
行程问题
在物理和数学问题中，经常涉 及到速度、时间和距离等概念 ，这些问题可以通过建立二次 方程进行求解。
其他问题
除了以上几种类型的问题外， 二次方程还可以应用于其他领 域的问题求解，例如金融、工 程、科学计算等。
06
课程总结与拓展
课程重点与难点回顾
1 2
平方根的定义和性质
回顾平方根的定义，强调正数有两个平方根，它 们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 。
平方根的运算
总结平方根的运算法则，包括平方根与乘除、加 减运算的结合，以及分母有理化的方法。
计算圆的面积
已知圆的半径，利用平方 根和π计算面积。
勾股定理的应用
求解直角三角形
已知直角三角形两条边， 利用勾股定理和平方根求 解第三条边。
计算两点间距离
在平面直角坐标系中，已 知两点坐标，利用勾股定 理和平方根计算两点间距 离。
判断三角形形状
已知三角形三边长度，利 用勾股定理和平方根判断 三角形是否为直角三角形 。
平方根的性质
正实数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数 没有平方根。
平方根在数学中的应用
解方程
平方根在解一元二次方程时起到关键作用，通过开 平方可以求得方程的解。
几何应用
在几何学中，平方根用于计算长度、面积和体积等 ，如勾股定理中的边长计算。
数学建模
平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
《平方根》ppt课件
那么这个数叫做a的平方根 （1）－9的平方根是－3 (
)
判断一个数有没有平方根，只要看这个数的符号。
一个数的平方根的表示方法：
那么x叫做a 平方根。
（4）1 的平方根是 1 （
）
01的平方根是 （ ）
例如： 3 =9；（－3） =9； 2 即：若x2=a，那么x叫做a平方根。
∴（
）
2
（1）－9的平方根是－3 (
+1
-1
1
1
+1 -1
+2 -2
4
4
+2 -2
+3
9
9
-3
+3 -3
注意：开平方运算的结果往往不是唯一的 4
填空：
16 25 49 81
如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根
5
概念：
如果一个数的平方等于a a是x的2次幂
（1）－9的平方根是－3 (
)
即：若x2=a，
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。
（2）∵ （0.3）2 = 0.09
∴ （C）
（A）0.09 是 0.3的平方根. （B）0.09是0.3的3倍. （C）0.3 是0.09 的平方根. （D）0.3不是0.09的平方根.
10
1. 判断下列说法是否正确：
× （1）－9的平方根是－3 (
)
× （2）49的平方根是7 (
)
√ （3）（－2）2的平方根是±2 （
）
× （4）1 的平方根是 1 （
）
√ （5）－1 是 1的平方根 （
）
× （6）7的平方根是±49 (
)
× （7）若X2 = 16, 则X = 4 （
《平方根》PPT课件
5-2. 已知 2.06 ≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1)0.020 6；解：∵ 2.06≈1.435，∴(1) 0.020 6≈0.143 5； (2)206； (2) 206≈14.35； (3)20 600. (3) 20 600≈143.5.
知识点 3 平方根
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数 的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键， 再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这 个数的算术平方根(或其近似值).
特别解读 ●求一个正数(非平方数) 的算术平方根的近似值，通常有
三种方法： 一是用计算器； 二是查平方根表； 三是估算. ●计算器上显示的数值许多都是近似值.
(1) 1600; (2)－ 2 14；
25
(3) －22；
(4) 0.0036.
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，
人教版七年级下册数学《平方根》实数PPT教学课件
想一想
1. 121的平方根是什么？ 11
2. 0的平方根是什么？
0
3.
16 49
的平方根是什么？
4 7
4. -9有没有平方根？为什么？
问题：(1)正数有几个平方根？ (2)0有几个平方根？ (3)负数呢？
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
归纳总结
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有
一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 a ，而算术平
方根表示为 a .
随堂练习
1.“± a ”的意义是（ C ） A．a的平方根 B．a的算术平方根 C．当a≥0时，± a 是a的平方根 D．以上均不正确
开平方及相关运算
例 a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ， a= 9 。
练一练
1.分别求下列各数的平方根：
（1）36 ; （2）295 ;
（3）1.21 .
2. 若一个数的平方等于5，则这个数等于 ___5___．
3.下列说法正确的是__①__④__⑤___ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.
4.下列说法不正确的是___B___ A.0的平方根是0 B. 22 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ，a= 9 . 2.81的平方根是___9_， 81 的算术平方根是__3__ . 3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根 是__1_和_-_1_，这个数是_1__.
《平方根》实数精品课件
定义描述数学表达式存在的条件030201对于任意实数a，它的平方根√a是非负的，即√a≥0。
非负性平方与开平方互逆乘积的平方根商的平方根对于非负数a，有(√a)²=a；反之，若a≥0，则√a²=a。
对于正实数a和b，有√(ab)=√a·√b。
对于正实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
与其他运算的关系在数学中的应用平方根在实数系中的位置1 2 3非负数有平方根平方与开平方互为逆运算平方根的计算方法平方根的运算规则数学函数计算误差控制最优化算法数值计算中的平方根应用物理学工程学经济学金融学平方根在实际问题中的应用绝对值联系对于任意实数a，其平方根的平方等于a的绝对值，即sqrt(a)^2 = |a|。
这一点揭示了平方根与绝对值之间的紧密关系。
方程中的应用平方根在解一元二次方程时发挥着关键作用。
通过平方根的性质，我们可以求解形如ax^2+bx+c=0的方程，其中涉及到平方根的求解。
平方根与绝对值、方程的联系定义区别运算性质联系平方根与开方、立方的区别与联系平方根的复数定义：在复数系中，任意非零复数z都可以表示为r(cosθ +isinθ)，其平方根可以定义为sqrt(r)(cos(θ/2) + isin(θ/2))。
这一定义将平方根的概念扩展到了复数领域。
多值性问题：在复数系中，由于存在多值性问题，一个给定的复数可能有多个平方根。
这与实数范围内的平方根存在区别，需要特别注意。
通过以上内容，我们可以更深入地理解平方根与其他数学概念之间的联系与区别，以及在复数系中的扩展。
这些知识将有助于我们更好地掌握平方根的概念和应用。
平方根在复数系中的扩展平方根的课堂教学策略利用直观模型激活学生的前知注重实际应用逐步抽象化从具体的数值和实例出发，逐渐引导学生抽象出平方根的一般概念和解题基于实际问题引入讲述古代数学家如何发现和使用平方根的故事，增加学生对这一知识点的兴趣。
数学史话引入案例分析平方根的引入与案例分析学生易错点及注意事项易错点101易错点202注意事项03。
统编人教版七年级数学下册优质课件 第3课时 平方根
解：（1）∵（±5）2 = 25，∴x = ±5;
（2）∵（±9）2 = 81，∴x = ±9;
（3）x2 = 36 .∵（ ± 6）2 = 36.
∴x = ± 6.25
5
25
5
5.根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5
x2
256
259.2 262.4 265.6 268.9 272.2
因为02 = 0，并且任何一个不为0的数的 平方都不等于0，所以0的平方根是0.
正数的平方是正数，0的平方是0，负数 的平方也是正数，即在我们所认识的数中， 任何一个数的平方都不会是负数，所以负数 没有平方根.
➢ 正数有两个平方根，它们互为相反数； ➢ 0的平方根是0； ➢ 负数没有平方根.
正数a的算术平方根可以用 a 表示；
第3课时 平方根
R·七年级下册
• 学习目标： （1）知道什么叫平方根？用符号如何表示
它？有哪些性质？ （2）能利用开平方与平方互为逆运算求某些
非负数的平方根.
情景导入
思考
如果一个数的平方等于9，这个 数是多少？
探究新知 知识点1 平方根的概念
3的平方是9. 除了3之外，还有没有别的 数的平方也等于9呢？
a ，– a的意义 ，他们分别表示a的平方根， a的算术平方根，a的负的平方根，解题时， “ a ”的前面是什么符号，对计算结果是有 影响的.
基础巩固
随堂演练
1. 下列各式：① 3 ；② 3 ；
③
(3)2 ;④
1 中，有意义的有（ C ） 102
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 下列各式中正确的是（ C ）
优秀课件平方根第三课时
[活动3] 变式训练 活动3
巩固新知
题组一
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。 、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。 （1）±12 , 144 ）
是
（2）±0.2 , 0.04 是 ）
2、选择题 （1） 0.01的平方根是 （ B ） 、 ） 的平方根是 （A）0.1 ） （B）±0.1 ）
2
（C）0.0001 （D）±0.0001 ） ）
∴ （C ） 的平方根. （A）0.09 是 0.3的平方根 （B）0.09是0.3的3倍. ） 的平方根 ） 是 的 倍 的平方根. （C）0.3 是0.09 的平方根 ） 不是0.09的平方根 的平方根. （D）0.3不是 ） 不是 的平方根
（2）∵ （0.3） = 0.09 ） ）
符号表示
如果一个数X的平方等于a =a， 如果一个数X的平方等于a，即X2 =a， 那么这个数X叫做a的平方根（二次方根） 那么这个数X叫做a的平方根（二次方根） a的平方根表示为 的平方根表示为
±a
读读：一，一的负a
a
（ a
± a 2= a x
表表a的的的的的的 的
表表a的的的的的的的的的一 的
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。 a的一个平方根是3，则另一个平方根 -3 9 是 ，a= 。 3a-22和2a-3是m的两个平方根， 试求m的值。
开平方： 开平方： 求一个数a(a≥0)的平方根的运算， a(a≥0)的平方根的运算 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平 开平方运算是已知指数 指数和 底数。 方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。 是不是所有的数都能进行开平方运算？ 是不是所有的数都能进行开平方运算？ 不是，只有正数和零才能进行开平方运算。 不是，只有正数和零才能进行开平方运算。 由于平方与开平方互为逆运算， 由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通 互为逆运算 过开平方运算来求一个数的平方根， 过开平方运算来求一个数的平方根，也可以通过 平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。 检验一个数是不是另一个数的平方根 平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
人教版七年级数学下册《6.1 平方根 第三课时》课件ppt
1.开平方：
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方, a 叫做被开方数.
2.要点精析： (1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、除、乘方 一样是一种运算，即： 运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)． 运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)．
边长是多少？.
解：正方形的面积是边长的平方，根据算术平方根
的定义可得：正方形的边长是 A (A＞0)．
2 如果x 2＝a，那么下列说法错误的是( B ) A. 若x 确定，则a 的值是唯一的 B. 若a 确定，则x 的值是唯一的 C. a 是x 的平方 D. x 是a 的平方根
3 4的平方根是（ C ） A．16 C．±2
1. 定义：若x2=a，则x 叫做a 的平方根.
2. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数， 0的平方根是0，负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系： (1)开平方是求平方根的运算； (2)平方根是开平方运算的结果.
求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a 的平方根，就是要把平方后等于a 的 数找出来，从而求出a 的所有平方根；
因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
(2)
2 1 9 44
.因为
3 2
2
9 4
，
所以
2 1 4
的平方根是±
3 2
.
因为
3 2
2
9 4
，所以 2 1 4
的算术平方根是
3 2.
(3)因为
1
2 3
2
1
2 3
2
，
所以
1
求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方, a 叫做被开方数.
2.要点精析： (1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、除、乘方 一样是一种运算，即： 运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)． 运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)．
边长是多少？.
解：正方形的面积是边长的平方，根据算术平方根
的定义可得：正方形的边长是 A (A＞0)．
2 如果x 2＝a，那么下列说法错误的是( B ) A. 若x 确定，则a 的值是唯一的 B. 若a 确定，则x 的值是唯一的 C. a 是x 的平方 D. x 是a 的平方根
3 4的平方根是（ C ） A．16 C．±2
1. 定义：若x2=a，则x 叫做a 的平方根.
2. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数， 0的平方根是0，负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系： (1)开平方是求平方根的运算； (2)平方根是开平方运算的结果.
求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a 的平方根，就是要把平方后等于a 的 数找出来，从而求出a 的所有平方根；
因为152＝225，所以225的算术平方根是15.
(2)
2 1 9 44
.因为
3 2
2
9 4
，
所以
2 1 4
的平方根是±
3 2
.
因为
3 2
2
9 4
，所以 2 1 4
的算术平方根是
3 2.
(3)因为
1
2 3
2
1
2 3
2
，
所以
1
《平方根》第3课时参考PPT课件
6.1 3）
思考
如果一个正数的平方等于9，
这个正数是多少？ 3
3叫做9的算术平方根或9的算术平方根是3
如果一个数的平方等于 9，这 个数是多少？
3 或 －3
x2
1
16 36
49 4
25
x
+1 -1
+4 -4
+6 -6
+7
-7
2 +5
2 -
5
一般的，如果一个数的平方等于 a ，那
么这个数叫做 a 的 平方根 或 二次方根。
即如果 x2 = a，那么x 叫做 a 的平方根。
如：3和－3是9的平方根，简记为±3 是9
的平方根。
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
平方
开平方
+1
1
-1
+1
1
-1
+2
4
-2
+2
4
-2
+3
9
-3
9
+3
-3ห้องสมุดไป่ตู้
开平方与平方互为逆运算。
练习
1.填表
x
8
－8
3 5
3 5
11 －11 0.6 －0.6
解： (1) 因为122 = 144，所以 144 = 12
(2) 因为0.92 知=0道.81一，所个以数的算0.术81 0.9
(3)
因为平出什方它么1141根的？2 ，负119就的261 平可，所方以以根立。即 为写119261
11 14
2.计算下列各式的值： 13
－0.07
8 9
练习
3.平方根概念的起源与几何中的正 方形有关。如果一个正方形的面 积为A，那么这个正方形的边长是 多少？
思考
如果一个正数的平方等于9，
这个正数是多少？ 3
3叫做9的算术平方根或9的算术平方根是3
如果一个数的平方等于 9，这 个数是多少？
3 或 －3
x2
1
16 36
49 4
25
x
+1 -1
+4 -4
+6 -6
+7
-7
2 +5
2 -
5
一般的，如果一个数的平方等于 a ，那
么这个数叫做 a 的 平方根 或 二次方根。
即如果 x2 = a，那么x 叫做 a 的平方根。
如：3和－3是9的平方根，简记为±3 是9
的平方根。
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。
平方
开平方
+1
1
-1
+1
1
-1
+2
4
-2
+2
4
-2
+3
9
-3
9
+3
-3ห้องสมุดไป่ตู้
开平方与平方互为逆运算。
练习
1.填表
x
8
－8
3 5
3 5
11 －11 0.6 －0.6
解： (1) 因为122 = 144，所以 144 = 12
(2) 因为0.92 知=0道.81一，所个以数的算0.术81 0.9
(3)
因为平出什方它么1141根的？2 ，负119就的261 平可，所方以以根立。即 为写119261
11 14
2.计算下列各式的值： 13
－0.07
8 9
练习
3.平方根概念的起源与几何中的正 方形有关。如果一个正方形的面 积为A，那么这个正方形的边长是 多少？
人教版初一数学 6.6.1 平方根 第3课时PPT课件
2.七彩作业.
第六章
实数
6.1 平方根
第3课时 平方根
学习目标
1.了解平方根的概念,能用符号正确地表示一个数的平方
根,建立符号意识.
2.理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,明确平方
根和算术平方根之间的联系和区别,提升推理能力.
3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程,提高抽象
能力.
学习重难点
学习重点：平方根的概念和求一个数的平方根.
C.-1.2是(-1.2)2的算术平方根
D.0.9的平方根是0.3
当堂训练
81
(2)
的平方根是( C )
Hale Waihona Puke 169A.±4
9
B.
4
3
C.±
2
3
D.
2
当堂训练
2.认真填一填.
(1)121的平方根是 ±11 ,5是
25 的一个平方根.
(2)若一个正数的平方根是2a-2和-a+2,则a=
正数为
4 .
0 ,这个
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
回顾反思
1. 平方根的性质是什么？
2. 怎么表示一个非负数的平方根？
3. 怎样求一个非负数的平方根？
当堂训练
1.精心选一选.
(1)以下叙述中正确的是( B )
A.-16的算术平方根是4
5 25
B. 是 的一个平方根
6 36
7 2 49
49
7
(3)因为
= ,所以±
=± .
3
9
9
3
拓展应用
①④⑤
1.下列说法正确的是_________.
第六章
实数
6.1 平方根
第3课时 平方根
学习目标
1.了解平方根的概念,能用符号正确地表示一个数的平方
根,建立符号意识.
2.理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系,明确平方
根和算术平方根之间的联系和区别,提升推理能力.
3.经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程,提高抽象
能力.
学习重难点
学习重点：平方根的概念和求一个数的平方根.
C.-1.2是(-1.2)2的算术平方根
D.0.9的平方根是0.3
当堂训练
81
(2)
的平方根是( C )
Hale Waihona Puke 169A.±4
9
B.
4
3
C.±
2
3
D.
2
当堂训练
2.认真填一填.
(1)121的平方根是 ±11 ,5是
25 的一个平方根.
(2)若一个正数的平方根是2a-2和-a+2,则a=
正数为
4 .
0 ,这个
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
回顾反思
1. 平方根的性质是什么？
2. 怎么表示一个非负数的平方根？
3. 怎样求一个非负数的平方根？
当堂训练
1.精心选一选.
(1)以下叙述中正确的是( B )
A.-16的算术平方根是4
5 25
B. 是 的一个平方根
6 36
7 2 49
49
7
(3)因为
= ,所以±
=± .
3
9
9
3
拓展应用
①④⑤
1.下列说法正确的是_________.
平方根ppt课件
1．下列说法正确的是( C ) A．16的算术平方根是±4 C．－1是1的一个平方根
B．任何数都有两个平方根 D．0.01的平方根是0.1
2．若一个数的平方是81，则这个数为( D )
A．3
B．－9
C．9
D．±9
3．填空：
(1)－ 121 ＝__－__1_1___；
(2)± 1－34 ＝___±_12____；
例 2 填空：
(1)± 16 ＝__±__4____；
(2)
4 25
2 ＝____5____；
(3)－ 62 ＝__－__6____；
(4) 81 的平方根是___±__3___．
训练 2.填空： (1)± 36 ＝__±__6____； (2)－ 0.01 ＝__－__0_._1__； (3)± （－3）2 ＝__±__3____； (4) 100 的平方根是__±__1_0___．
6．【分类讨论】已知一个正数m的平方根是3a－4和2a－1. 推理探究：(1)当3a－4与2a－1相等时，求m的值；
解：由题意，得3a－4＝2a－1. 解得a＝3. 所以3a－4＝5. 所以m＝(3a－4)2＝52＝25.
(2)当3a－4与2a－1互为相反数时，求m的值； 归纳总结：(3)m的值为__2_5_或__1__．
±1.2
9 100
±130
11 (－7)2
± 11
±7
算术平方根
0
5 1.2
3 10 11
7
1.正数有____两____个平方根，它们互为__相__反__数__；0的平方根 是____0____；负数__没__有____平方根． 2.平方根与算术平方根的区别与联系：(1)区别：正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根．(2)联系：正数的两个平方根中正的平方根就 是它的算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0；只有非负数才有 平方根和算术平方根．
平方根(第3课时)教学课件全
(3) ∵(±0.5)2＝0.25，
∴100的平方根是±10； ∴0.25的平方根是±0.5.
(2)
∵(±
3 4
)2＝ 9
16
，
∴ 9 的平方根是±3 ；
16
4
巩固练习
列说法是否正确：
（1）0的平方根是0；
（√ ）
（2）1的平方根是1；
（× ）
（3）-1的平方根是-1;
（×）
（4）0.01是0.1的一个平方根.（ × ）
( )2 9
9平方分米
显然，括号里应是±3，但－3不符 题意. ∴方桌面的边长应是3分米.
你还能得到什么问题呢？
？分米
探究新知
问题: 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9 ，
所以这个数是3或-3.
想一想：3和-3有什么特征？ 3和-3互为相反 数，会不会是 巧合呢?
探究新知
做一做,想一想:
探究新知
1. 121的平方根是什么？ 11
2. 0的平方根是什么？ 0
16
3. 49
的平方根是什么？
4 7
4. -9有没有平方根？为什么？
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
探究新知
通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的 平方是负数？
(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是__4___.
(2)
2 5
的平方等于
4 25
，那么
4 25
的算术平方根就是__52__.
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为_7__m.
平方根ppt课件
平方根ppt课件
目 录
• 引言 • 平方根的基本概念 • 平方根的运算规则 • 平方根的应用 • 练习与思考 • 总结与回顾
01
引言
什么是平方根
01
平方根是一个数学术语，它指的 是一个数的二次方根。
02பைடு நூலகம்
平方根通常用符号“√”表示，例 如，4的平方根是2。
平方根的重要性
平方根在数学中有着重要的应用，例 如在解决几何问题、计算面积和体积 等方面。
平方根的概念也是进一步学习数学的 基础。
02
平方根的基本概念
平方的概念
定义
一个数乘以其自身所得的结果称 为这个数的平方。
例子
4的平方是16，因为4乘以其自身 等于16。
应用
平方的概念在生活和科学计算中都 有广泛的应用，如计算面积和体积 等。
平方根的符号和读法
01
02
03
符号
一个数的平方根可以用符 号“√”表示，读作“根 号”。
算术根是平方根中的一个特例，它只取非负的那 一根；而平方根则包含正负两个方向。
平方根与指数幂的关系
平方根和指数幂是互为逆运算。一个数的平方根 等于该数的指数幂的倒数。
3
平方根的应用
平方根在现实生活中有着广泛的应用，如测量、 工程设计、物理学等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
√16表示16的平方根，读 作“根号16”。
注意
平方根的符号和算术平方 根的符号不同，算术平方 根的符号是“√( )”。
平方根与算术平方根
定义
一个非负数a的平方根有两个， 它们是互为相反数的数，分别 称为a的平方根和负平方根。
例子
目 录
• 引言 • 平方根的基本概念 • 平方根的运算规则 • 平方根的应用 • 练习与思考 • 总结与回顾
01
引言
什么是平方根
01
平方根是一个数学术语，它指的 是一个数的二次方根。
02பைடு நூலகம்
平方根通常用符号“√”表示，例 如，4的平方根是2。
平方根的重要性
平方根在数学中有着重要的应用，例 如在解决几何问题、计算面积和体积 等方面。
平方根的概念也是进一步学习数学的 基础。
02
平方根的基本概念
平方的概念
定义
一个数乘以其自身所得的结果称 为这个数的平方。
例子
4的平方是16，因为4乘以其自身 等于16。
应用
平方的概念在生活和科学计算中都 有广泛的应用，如计算面积和体积 等。
平方根的符号和读法
01
02
03
符号
一个数的平方根可以用符 号“√”表示，读作“根 号”。
算术根是平方根中的一个特例，它只取非负的那 一根；而平方根则包含正负两个方向。
平方根与指数幂的关系
平方根和指数幂是互为逆运算。一个数的平方根 等于该数的指数幂的倒数。
3
平方根的应用
平方根在现实生活中有着广泛的应用，如测量、 工程设计、物理学等领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
例子
√16表示16的平方根，读 作“根号16”。
注意
平方根的符号和算术平方 根的符号不同，算术平方 根的符号是“√( )”。
平方根与算术平方根
定义
一个非负数a的平方根有两个， 它们是互为相反数的数，分别 称为a的平方根和负平方根。
例子
七年级下册数学平方根课件
平方根与不等式的关系
不等式中的平方根
在不等式中，平方根可以作为比较大小的依据，例如 $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ 当且仅当 $a > b$。
平方根不等式的性质
平方根不等式具有一些重要的性质，如 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{2ab}$（当且仅当 $a = b$ 时取等号）。
02
金融计算
在金融计算中，需要使用平方根来计算投资回报 率、风险等参数。
04
平方根的拓展知识
平方根与方程的关系
平方根方程
形如 $ax^2 = b$ 的方程，可以通 过平方根性质转化为 $x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}$。
方程的解
通过平方根性质，可以求出方程的解 ，特别是当 $a > 0$ 时，方程有两个 实数解。
基础练习题
• 题目1：求下列各数的平方根
基础练习题
1. 9 01
2. 16 02
3. 25 03
基础练习题
01 答案 02 1. 3 02 2. 4
基础练习题
3. 5
答案：9a^2
题目2：已知一个正数的 平方根是3a，则这个正数 是多少？
提高练习题
• 题目1：求下列各数的平方根，并用符号表示
平方根的减法运算
总结词
化简表达式
详细描述
在平方根的减法运算中，我们需要将表达式化简为最简形式。例如，对于√5 - √5 = 0。
平方根的乘法运算
总结词
同底数相乘
详细描述
在平方根的乘法运算中，我们可以将同底数的平方根相乘，得到的结果是原数 的平方根乘以2。例如，对于√5 × √5 = 5。
平方根(第三课时)课件-2021-2022学年人教版数学七年级下册
14．根据平方根的定义解方程：
(1)x2＝
1 100
；
(2)7x2－343＝0；
解：x＝±110 .
解：x＝±7.
(3)(x－2)2－64＝0； 解：x＝－6 或 10.
(4)72－2(x＋1)2＝0. 解：x＝－7 或 5.
15．已知 x－1 的算术平方根为 2，3x＋y－1 的平方根 为±4，求 3x＋5y 的平方根． 解：由题意，得 x－1＝22，3x＋y－1＝(±4)2. 解得 x＝5，y＝2. ∴3x＋5y＝25. ∴3x＋5y 的平方根为±5.
Байду номын сангаас
16．小明打算用一块面积为 900 cm2 的正方形木板，沿 着边的方向裁出一个面积为 588 cm2 的长方形桌面，并 且长宽之比为 4∶3，你认为能做到吗？如果能，计算 出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 解：能做到．理由如下：
设桌面的长和宽分别为 4x cm、3x cm.
根据题意得 4x·3x＝588.
4．设 a 是 25 的平方根，b＝( 5 )2，则 a 与 b 的关系是
(A)
A．a＝±b
B．a＝b
C．a＝－b
D．以上结论都不对
5．下列说法或算式中，正确的有
① 0.4 ＝0.2；
②
17 9
＝±
4 3
；
③－22 的平方根是±2；
④ 32 的算术平方根是－3；
⑤±76
是1
13 36
的平方根．
A．1 个
3 4
)2，0，－2，－|－3|，－(－3.14)，
24，－(－4)2，其中有平方根的数共有
(B)
A．3 个
B．4 个
C．5 个
《平方根》课件PPT人教版3
解：设正方形边长为X,则 X2=2
X= 2
谢谢大家的精彩表现！ 再见！
(1)
；
因为没有一个数的平方是负数,
(4)∵ = ，
即 =3.
2、已知
，求a。
2、已知
，求a。
1、25的算术平方根是
，0.
规定：0的算术平方根等于0
折纸游戏
如下图,是一个面积为4的正方形纸片.
(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形? (2)你能折出面积为2的小正方形吗? (3)折出面积为2的小正方形的边长为多少?
(2)你能折出面积为2的小正方形吗?
无意义的是 4、若m的算术平方根是3，则m=
。
2、已知
，求a。
4、若m的算术平方根是3，则m=
。
3
练习：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
(1)
；
规定：0的算术平方根等于0
那么这个正数X叫做a的算术平方根.
3、负数没有算术平方根。
2、0的算术平方根是0。
跟我练
4、若m的算术平方根是3，则m=
。
课外活动： 那么这个正数X叫做a的算术平方根.
2、(-3)2的算术平方根是
.
1、已知
，求( x + y ) 2。
(4)∵ = ，
(4)
；
怎样用面积为1的两个小
正方形拼成面积为2的一 3、负数没有算术平方根。
练习：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
个大正方形？ 他想裁出一块面积为25dm2的正
( x + y ) 2= 1
(4)
；
(1)
；
(1) 16 _4___.
（2）16的算术平方根是 __4__. 2、已知
X= 2
谢谢大家的精彩表现！ 再见！
(1)
；
因为没有一个数的平方是负数,
(4)∵ = ，
即 =3.
2、已知
，求a。
2、已知
，求a。
1、25的算术平方根是
，0.
规定：0的算术平方根等于0
折纸游戏
如下图,是一个面积为4的正方形纸片.
(1)你能否利用此折出面积为1的小正方形? (2)你能折出面积为2的小正方形吗? (3)折出面积为2的小正方形的边长为多少?
(2)你能折出面积为2的小正方形吗?
无意义的是 4、若m的算术平方根是3，则m=
。
2、已知
，求a。
4、若m的算术平方根是3，则m=
。
3
练习：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
(1)
；
规定：0的算术平方根等于0
那么这个正数X叫做a的算术平方根.
3、负数没有算术平方根。
2、0的算术平方根是0。
跟我练
4、若m的算术平方根是3，则m=
。
课外活动： 那么这个正数X叫做a的算术平方根.
2、(-3)2的算术平方根是
.
1、已知
，求( x + y ) 2。
(4)∵ = ，
(4)
；
怎样用面积为1的两个小
正方形拼成面积为2的一 3、负数没有算术平方根。
练习：下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
个大正方形？ 他想裁出一块面积为25dm2的正
( x + y ) 2= 1
(4)
；
(1)
；
(1) 16 _4___.
（2）16的算术平方根是 __4__. 2、已知
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
做一做 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根； （4）64的平方根是±8； （5）-16的平方根是-4．
典例精析 例1 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4， 求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1. 平方根的性质： 如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有
且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数.
试一试
1. 144的平方根是什么？
12
2. 0的平方根是什么？ 0
4 25
3.的平方根是什么？2 54. -4有没有平方根？为什么？
没有，因为一个数的平方不可能是负数
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1 .
三、平方根的数学符号表示
一个非负数的平方根的表示方法：
a 表示a的正的平方根(算术平方根)
a 表示a的负的平方根
记作 a
a﹙a≥0﹚的平方根表示为 a
说一说
7
7
7 各表示什么意义？
表示7的正 的平方根 （即算术平 方根）
121 196
课堂小结
平方根的概念 平方根 平方根的性质
开平方及相关运算
想一想 通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的 平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以 负数没有平方根，也没有算术平方根.
要点归纳
平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
区别：
当堂练习
1.下列说法正确的是_①__④__⑤____
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36 的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64 的算术平方根是8. 2.下列说法不正确的是__B____ A.0的平方根是0
B. 22的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3. 判断下列说法是否正确.
（1）75
是
25 49
的一个平方根；
（2）6 是6的算术平方根；
正确. 正确.
（3）16 的值是±4； （4）(-4)2的平方根是-4.
不正确，是 4.
不正确，是 ±4.
36，295 ，1.21.
（1）36 36有是两正个数 平方根
解 由于62=36， 因此36的平方根是6与-6. 即 ± 36 =± 6 .
（2） 25 9
有两个平方根
解:
由于 =
5
2
3
25 9
，
因此
25 9
的平方根是
53与-
5 3
.
即±
25 9
=±
5 3
.
（3）1.21
有两个平方根
解: 由于1.12=1.21，
第六章 实 数
6.1 平方根
第3课时 平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系; 2.会求非负数的平方根．（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 1.什么叫做算术平方根？
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有， 请求出它们的算术平方根. 100；1； 36 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25；
121
3. 填空
（1）32= 9 ，（－3）2= 9 ；
（2） 32
2
4 9
，
2
2
3
4 9
；
（3）0.82= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 .
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这 个数？
讲授新课
平方根的定义及性质
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9 ， 3和-3互为相反数，
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
想一想：3和-3有什么特征？
填一填1
(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是__4___
(2)
2 5
的平方等于
4 25
，那么
4 25
2
的算术平方根就是_5___
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为_7__m.
问题：平方等于16，245 ，49的数还有吗？
表示7的负 的平方根
表示7的 平方根
典例精析 例3 求下列各式的值：
（1） 36 ； （2） 0.81； （3）
49 ． 9
解：（1） 36 6 ；
（2） 0.81 0.9 ；
（3） 49 7 . 93
归纳总结 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种.
4. 分别求 64，4891 ，6.25的平方根.
解: 64的平方根是8与-8，4891
的平方根是
7 9
与 -7 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
9
5.求下列各式的值：
（1） 144 （2） 0.81
解:（1） 144 12
（2） 0.81 0.9
（3）
121 11 196 14
（3）
填一填2
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8 -8
？64
3
4
-
3 4
11 ？
-11 ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
？9 16
121 0.36
0 -4
一、平方根的概念 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平
方等于给定的数.我们抽象出下述概念：
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作 a的一个平方根，也叫作二次方根.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数.
回顾平方的概念 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
平方
+1
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
二、开平方的概念 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
？运算
+1
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
典例精析
例2 分别求下列各数的平方根：