线性代数模拟试题(4套)
线性代数模拟试题
线性代数模拟试题1. 矩阵A的转置已知矩阵 A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求其转置矩阵 AT。
解答：设矩阵 B 为 A 的转置矩阵，即 B = AT。
则矩阵 B 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 j 行第 i 列元素，即 Bij = Aji。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 的转置矩阵 B = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 矩阵相乘已知矩阵 A = [1 2; 3 4]，矩阵 B = [5 6; 7 8]，求矩阵 A 乘以矩阵 B的结果 AB。
解答：设矩阵 C 为 A 乘以 B 的结果，即 C = AB。
矩阵 C 的第 i 行第 j 列元素等于矩阵 A 的第 i 行与矩阵 B 的第 j 列的对应元素相乘再相加，即Cij = ∑(Aik * Bkj) (k=1 to n)。
根据以上规律，可以得到矩阵 A 乘以矩阵 B 的结果 C = [19 22; 43 50]。
3. 矩阵的逆已知矩阵 A = [2 -1; 4 3]，求其逆矩阵 A-1。
解答：逆矩阵 A-1 的定义为 A * A-1 = I，其中 I 为单位矩阵。
设矩阵 B 为A 的逆矩阵，即 B = A-1。
可以通过求解线性方程组的方式来求解矩阵A 的逆矩阵。
首先，构造增广矩阵 [A I]，其中 I 为 2 阶单位矩阵。
经过初等行变换，将矩阵 A 转化为单位矩阵的形式，此时 [I B] 的形式就是矩阵 A的逆矩阵。
经过计算，可以得到矩阵 A 的逆矩阵 B = [3 1; -4 2]。
4. 矩阵的特征值和特征向量已知矩阵 A = [3 -2; 1 4]，求其特征值和对应的特征向量。
解答：特征值λ 是矩阵 A 满足方程 |A - λI| = 0 的根，其中 I 为单位矩阵。
特征向量 v 是非零向量 x 满足方程 (A - λI)x = 0。
首先，计算矩阵 A - λI 的行列式，即 |A - λI|。
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一一、判断题:（正确：√,错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………（ ）2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆。
……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ）4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ,则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合。
…………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分）1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 。
2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 。
3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 。
4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 。
7、()B A R + ()()B R A R +。
8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关。
10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=,则B 的特征值为 . 三、计算:(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+。
2、设矩阵A 和B 满足B AE AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B 。
四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、（10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ, 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解。
线性代数模试题试题库(带)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题 (每题 4 分，共 24 分 )1、 若 a 1i a 23a 35a 5 j a 44 是五阶队列式中带正号的一项，则i1 , j2 。
令 i1, j2 ， (12354) (13524) 134 ，取正号。
2、 若将 n 阶队列式 D 的每一个元素添上负号获得新队列式D ，则 D = ( 1)n D。
即队列式 D 的每一行都有一个 (-1)的公因子，因此 D = ( 1)n D。
3、设 A1 1 , 则 A 100 = 1 100 。
0 1 0 1A21 1 1 11 2 , A31 21 11 3 01 0 1 0 1 0 1 010 , L 可得14、设 A 为 5 阶方阵，A5 ，则 5A5n 1。
由矩阵的队列式运算法例可知：5 A 5n A 5n 1 。
5、 A 为 n 阶方阵 , AA TE 且 A 0,则 A E。
由已知条件： AA TEAA T A A T2E1A 1, A1，A而：A E A AA TAE A TA A EA EA E0 。
2 0 06、设三阶方阵 A0 x y 可逆，则 x, y 应知足条件 3x2y 。
0 2 32 0 0可逆，则队列式不等于零：A0 x y 2 (3 x 2 y)3x2 y 。
0 2 3二、单项选择题 (每题4 分，共 24 分)a11a12a 13，则队列式2a 112a 122a 137、设a 21a 22a 23M0 2a 31 2a 322aA。
33a31a32a332a 212a 22 2a 23A ． 8MB ． 2MC ． 2MD ． 8M2a 11 2a 12 2a 13a11a12a 13a11a 12a132a31 2a 32 2a 332 3 aa32 a8 ( 1) aaa23 8M3133 21 22因为2a 212a 222a 23a21a22a23a31a32a338、设 n 阶队列式 D n ，则 D n0 的必需条件是D。
[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc
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(1)是否有AB～BA；
(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
24设α为n维非零列向量， (1)证明：A可逆并求A-1；(2)证明：α为矩阵A的特征向量．
25
26设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2一3A=0，设(1，1，一1)T为A的非零特征值对应的特征向量．(1)求A的特征值；(2)求矩阵A．
（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B
2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
（A）A无负特征值
（B）A是满秩矩阵
（C）A的每个特征值都是单值
（D）A*是正定矩阵
3下列说法正确的是( )．
（A）任一个二次型的标准形是唯一的
（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵
43设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：(1)二次型XTAX的标准形；(2)｜E+A+A2+…+An｜的值．
44设A为n阶实对称可逆矩阵， (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
（A）可逆矩阵
（B）实对称矩阵（C）正定矩阵Fra bibliotek（D）正交矩阵
线性代数习题及模拟题
习题选作Ch1 行列式一、填空题1．____________)4637251(=τ。
2设行列式1112131112132122233132333132332122233333333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a = ，则 等于 。
3．四阶行列式00000000000dc b a = 。
4．行列式222333ab ca b c a b c =___。
5．行列式3214214314324321中第1行第4列元素的代数余子式的值等于 。
6．三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。
7．若01400200345678910=x ，则=x 。
8． 如果行列式D=12334152--a中第二行第一列的代数余子式A 12=5，则a= 。
9．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ=10．4阶行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=中第一列各元素的代数余子式之和=+++41312111A A A A 。
0二．判断题1．任意一个n 级排列都可以经过一系列的对换变成排列1 2 3 …n 。
（ ） 2．每作一次对换改变排列的奇偶性。
( )3．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有两行成比例。
（ ） 4．如果n （n>1）阶行列式的值等于零，则行列式中必有一行全为零。
（ ）5．设D=|a ij |是n 阶行列式，如果D 的元素中0的个数多于 n(n-1), 则D 的值为零。
（ ）．6．交换一个行列式的两行（或两列），则行列式值改变符号( ).7．333332222211111e d c b a e d c b a e d c b a ++++++=333222111d b a d b a d b a +333222111e c a e c a e c a 。
线性代数期末模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则 111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11 。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的线性关系是 。
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
线性代数模试题试题库(带答案)
第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、若12335544ija aa a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********AA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555nn A A +==。
5、A 为n 阶方阵,TAAE =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T T AA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-，而 ：0TT A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：20002(32)032023A xy x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设0333231232221131211≠=M a a a a a a a a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a aA 。
A ．M 8B ．M 2C ．M 2-D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M aa a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
线性代数模拟试题及答案
3、
1 1 =__________。 2 2 é 2 3ù é - 1ù ú ê ú =__________。 ë - 1 0û ë 3 û
4、矩阵 ê
5、若 A，B 为 n 阶矩阵，则 ( A + B )( A - B ) =__________。 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A = 4, B = 2 ，则 2( B* A-1 ) = 7、若 A 是可逆矩阵，则 ( A¢ ) -1 =__________。 .
æ- 2 0 0 ö æ1 0 0 ö ÷ ç ç ÷ A - 3E = ç - 2 2 - 2 ÷ ~ ç 0 1 - 1÷ ç - 2 4 - 4÷ ç0 0 0 ÷ ø è è ø æ0ö ç ÷ ì x 2 - x3 = 0 从而解得基础解系 p1 = ç 1 ÷ 得对应的方程组为 í î x1 = 0 ç1÷ è ø
.
A+ B = A + B
A. 若矩阵 A, B 满足 AB = O ，则有 A = O 或 B = O B. 若矩阵 A, B 满足 AB = E ，则矩阵 A, B 都可逆。 C. 若 A* 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A* = A D. 若 A ¹ O ，则 A ¹ 0
7．下列说法不正确的是（ ） 。
æ1 ç 0 8.设矩阵 A = ç ç0 ç ç0 è
2 0 0ö ÷ 1 0 0÷ -1 ，则 A = ÷ 0 3 3 ÷ 0 2 1÷ ø
.
9 、 在 线性方程组 AX = O 中，若 末知 量的个数 n=5 ， r ( A) = 3 ，则方程组的一 般 解中 自由末知 量的个数为 _________。 10. 设向量组 a1 , a 2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1 + a 2 , a1 + a2 + a3 （填线性相关，线性无关） 。
线性代数模拟试题及答案
可以由向量唯一的线性表示。
《线性代数期末模拟试题一》1•设det （a j ）为四阶行列式 若M 23表示元素a 23的余子式，A 23表示元素a 23的代数余子式，则M 23 + A 23 =（填成立或不成立）。
厂2,〉3均为3维列向量，记矩阵A =（：1,：2,：3）,记矩阵3•设〉1 （填行或列）初等变换而得到。
6•设向量组 0102,4304，若 只（01,。
203）=2只（。
2巴3,。
4）=3,贝U 。
1 一定、填空（本题20分每小题2分）2•三阶行列式a 110 0 a 22 a 31 0 a i3 0 a 33 三阶行列式的所有项中有中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该项不为零，这一结论对n 阶行列式 ‘2 1、 4.设矩阵A =0 3B = <_1 2」 7 -2 5 4丿且矩阵C 二AB ，所以矩阵 C 一定可以由矩阵B 经过1,一2, 5 •设矩阵A 可逆,1 4 27 2 0 -1 3 1B =(〉1 -2〉2, >2 • >3, >1 一 >37 •非齐次线性方程组Ax = b有唯一的解是对应的齐次方程组Ax = O只有零解的充分但不必要条件。
8•设3阶矩阵A的行列式A =0，贝U矩阵A一定有一个特征值9. n阶矩阵A有n个特征值1, 2,…,n , n阶矩阵B与A相似，则B -10.向量组: P：；1,山2］；1,(填是或不是)向量空间R2一个规范正交基、单项选择(本题10分，每小题2分)注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效!1.设矩阵A为n阶方阵，则关于非齐次线性方程组Ax二b的解下列说法() 不正确(A)若方程组有解，则系数行列式A=0;(B)若方程组无解，则系数行列式 A =0;(C)若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解。
线性代数模拟测试题(3)
《线性代数》模拟试题一、填空题（30分）1.设A 是n 阶方阵（2n ≥）,且||1A = 则|2|A =2.1301n⎛⎫= ⎪⎝⎭3．10m n 齐次线性方程组A 有非零解的充要条件是⨯⨯=n X4．线性表示式为，由），（则）（），（212134,1,1,12ααβααTT T =-==5．线性），，（），，（），，（向量组TT T 242,020,101321===ααα 6．的矩阵表示是）（二次型23312121321242,,x x x x x x x x x f +-+= 7.若向量组12,,s ααα可由向量组12,,t βββ线性表示, 则有1212(,,,,,)s t r αααβββ 12(,,)t r βββ8．实对称矩阵A 的不同特征值对应的特征向量一定9．三阶行矩阵的三个特征值分别为1， 2，3，则1-A =______ 10．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A, 则B 2=二、单项选择题（10分）11．A B C ，，为同阶矩阵，若ABC E =，则下列各式成立的是 ( ).A.1A BC -=B.111C A B ---=C. 111A B C E ---=D.1B AC -= 12．设1234(1,0,0),(0,1,0),(2,2,0),(1,1,1)αααα====则对向量组1234,,,αααα说法正确的是（ ）A. 相关B. 无关C. 秩为4D.相互正交 13．n 阶矩阵A 经过若干次初等变换后化为A 为B ,则（ ）A.||||A B =B.()()r A r B =C.,A B 相似D.,A B 合同 14．n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（ ）A.有n 个线性无关的特征向量.B.A 有n 个不同的特征值.C.A 的n 个列向量线性无关.D.A 有n 个非零的特征值.15. 二次型3222212132142),,(x x x x x x x x x f +++=的秩等于 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D. 3三、计算题（54分）16．计算n 阶行列式0321021301321 ------n n n17．已知2111011,,001A A AB E B -⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭求．18．设有线性方程组123123123(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解. 19．给定向量组123(1,1,1,1),(3,1,1,3),(1,1,0,2)ααα=--==；12(2,0,1,1),(3,1,2,0)ββ==- 请求出123,,ααα和12,ββ的秩，并用123,,ααα表示12,ββ。
线性代数模拟试卷及答案4套
线性代数模拟试卷（一）一、 填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）1、四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为___________2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则AB -1=_________3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则t =_________4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时，)21 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、 单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()nn ija ⨯，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（ ） (A)0111=∑=ni i i A a(B)0111≠∑=ni i i A a(C)n A ani i i =∑=111(D)n A ani i i ≠∑=1112、若A -1+ E, E+A, A 均为可逆矩阵，E 为单位矩阵，则(A -1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A -1+ E (D) A(A+E)-13、设A, B 为n 阶方阵 ，A*,B*分别为A, B 对应的伴随矩阵，分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 00 A C ，则C 的伴随矩阵C* =( )(A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A B 0 0 *B A (B) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B A 0 0 *A B(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*B B 0 0 *A A (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*A A 0 0 *B B 4、若向量组 , ,,21m ααα 的秩为r ，则（ ）(A) 必有 r<m (B)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 (C) 向量组中任意 r 个向量线性无关(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关5、已知 ,,321ααα是四元非齐次线性方程组AX=B 的三个解，且r(A)=3, 已知)3 2, 1, ,0( , )4 3, 2, ,1(321'=+'=ααα，C 为任意常数，则AX=B 通解X=( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321C (B)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32104321C(C) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54324321C (D) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛65434321C6、设A 为三阶方阵，有特征值λ1=1，λ2= -1， λ3=2，其对应的特征向量分别为 ,,321ααα，记P=(132 ,ααα)，则P -1AP=( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1 2 1- (B)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1- 1 2(C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1- 1 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 1 1-三、计算下列行列式 （12分）1、 D=1- 3 3- 131 1 41- 3 0 5-21- 1 3 2、D n = n1 1 1 1.....................1 1 3 1 111 12 111 1 1 1四、已知A 、B 同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E 可逆（2）若B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2 0 00 2 10 2- 1 ，求A五、求向量组 )1 1, 1,- ,1( , )3 2, 1, ,1(21'='=αα， , )6 5, 2,- ,4( , )1 3, 3, ,1( 43'='=αα)7- 4,- 1,- ,3(5'-=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（10分）六、已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=+++-=+-=+-+bx x x x x ax x x x x x x x x x 432143214314321 6 - 17231 4 032 ，讨论参数a 、b 为何值方程组有解，在有解时，求出通解 （12分）七、用正交变换化二次型323121232221321222333),,(x x x x x x x x x x x x f ---++=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、已知 ,,,4321αααα是AX = 0的一个基础解系，若322211,ααβααβt t +=+=，144433,ααβααβt t +=+=,讨论t 为何值， ,,,4321ββββ是AX = 0的一个基础解系 （8分）线性代数模拟试卷(二)三、 填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）1、j i a a a a a 53544231是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____2、设n 阶方阵A 满足A 2 =A ，则A+E 可逆且（A+E ）-1=_______________(E 为n 阶单位阵)3、已知向量组)0 6, 1,- ,1( , )2k - k,- ,3 ,1( , )2- 2, 1, ,1(321'='='=ααα 若该向量组的秩为2，则k =_________4、已知四阶方阵A 相似于B ，A 的特征值为2，3，4，5，E 是单位阵，则=- E B _________5、 向量α=（4，0，5）′在基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,1( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη下的坐标为_________四、 单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）1、 设 A 是三阶方阵A 的行列式，A 的三个列向量以γβα ,,表示，则 A =（ ） (A)αβγ (B) γβα---(C)αγγββα+++ (D) γβαβαα+++2、设A, B ，C 为n 阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB3、 A, B 均为n 阶方阵, A*为A 的伴随矩阵， 3B 2, -==A ，则21-*B A = ( )(A) 32 12--n (B) 32 1--n (C) 23 12--n (D) 23 1--n4、已知向量组 , ,,4321αααα线性无关，则向量组（ ） (A)14433221 , , ,αααααααα++++线性无关(B)14433221 , , ,αααααααα----线性无关(C)14433221 , , ,αααααααα-+++线性无关 (D)14433221 , , ,αααααααα--++线性无关5、若A ～ B ，则 有 ( )(A) A 、B 有相同的特征矩阵 (B) B =A(C) 对于相同的特征值λ，矩阵A 与B 有相同的特征向量 (D) A 、B 均与同一个对角矩阵相似三、计算下列行列式 （13分）2、 D=2- 3 0 112 1 - 121 0 331- 2 1 4、D n = 11 1 111 x 1 1 (1)1 1 1 x 1 1 1 1 x x ++++a)设B= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 0 0 01- 1 0 00 1- 1 00 0 1- 1 ，C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 0 0 01 2 0 03 12 043 12 ,且矩阵A 满足 E C B C E A =''--)(1, 试将关系式化简并求A (12分)b)求向量组, )4 1,- 2, ,1(1'=α )2 3, 1, ,0( 2'=α， , )14 0, 7, 3,(3'=α , )10 1, 5, 2,( 4'=α)0 2,- 2, ,1(5'=α的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）六、k 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++---=+++=+++kx x x x x k x x x x x x x x x x x 9 10 5 - 3)5(2 31 6 3 13 2 4321432143214321 有无穷多个解并求出通解 （14分）七、用正交变换化二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f +-+=为标准形，并写出相应的正交变换 （16分）八、若矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0y 10 1- 01 x0 有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0线性代数模拟试卷(三)一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。
线性代数模拟题及答案
模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1．n 阶行列式D 的值为c, 若将D 的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101 ，矩阵X 满足 E AX + = X A +2 ，则X = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2010301023．设n 阶矩阵A 满足 E A A 552+- = 0 ，其中E 为n 阶单位阵，则 1)2(--E A =4．设A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则EA +*= .5．当 λ 满足条件 时线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-++-=-++-=+--00004321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x λλλλ 只有零解．二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共20分)1．131211232221333231333231232221131211222333 d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=则=( ).① 6d ② ―6d ③ 4d ④ ―4d 2. 向量组 s ααα,,,21 的秩为s 的充要条件是（ ）。
① 向量组不含零向量② 向量组没有两个向量的对应分量成比例 ③ 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 ④向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 ),4,5( , )5,2,3( , )0,1,2(321t ===ααα线性相关。
① 5 ② 10③ 15 ④ 204．已知向量组α1，α2，α3线性无关，则向量组（ ）线性无关。
① α1+2α2+α3, 2α1+4α2+α3, 3α1+6α2 ② α1, α1+α2, α1+α2+α3 ③ α1+α2, α2+α3, α1+2α2+α3 ④ α1-α2, α2-α3, α3-α15. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=63322211t A , B 为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). ① 当t = 4时,B 的秩必为1 ② 当t = 4时,B 的秩必为2 ③ 当t ≠ 4时,B 的秩必为1 ④ 当t ≠ 4时,B 的秩必为26．设非齐次线性方程组A X = b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 ．① r = m 时，方程组A X = b 有解 ② r = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ③ m = n 时，方程组A X = b 有唯一解 ④ r ＜ n 时，方程组A X = b 有无穷多解7． 设矩阵A 和B 等价，A 有一个k 阶子式不等于零，则B 的秩（ ）k.① < ② = ③ ≥ ④ ≤8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. ① 个数唯一 ② 个数不唯一③ 所含向量个数唯一 ④ 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). ① 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 ② 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 ③ 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 ④ 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21（ ）。
线性代数模拟题
线性代数模拟题一一填空题（每空3分，共30分）1、设 1231231232D a a ab b bc c c== 则213121321336322a a ab b bD c c c==2、设A 是3阶矩阵，且3,A =-则3A -=3、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3211254321A ，则=--1)2(A4、设A 是45⨯矩阵，()2R A =.则线性方程组0AX =的基础解系含有 个解向量5、设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组AX b =的解，若1122313ηληληη=++也是AX b =的解，则12λλ+=6、设），，（a 21=α，），，（01b =β，若α与β正交，则a 、b 所满足的关系为7、二次型()2221231231223,,246fx x x x x xx x x x =+---的矩阵A =8、设4阶方阵A 的特征值分别为1,2,3,2.-则A A +2的特征值为9、设157222203D = , 则313233A A A ++= 10、设()()1,2,1,1,3,2,1,1,22,αβγαβ=-=-+= 则γ=二 、计算行列式11111000000002211n n a a a a a a ---（10分） 三 、设301110,2014A AB A B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭. 求矩阵B .（12分）四、设向量组 ），，，，（432111-=α， ），，，，（1398732-=α， ），，，，（330313----=α， ），，，，（636914-=α ，求此向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.（14分）五、求下列非齐次线性方程组的一般解（12分）1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩ 六、已知实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020212022A ， 1.求A 的特征值与特征向量. 2.求一正交矩阵T ，使得1T AT -为对角阵.（16分） 七、设21λλ≠，且21λλ，为A 的特征值，21αα，为它们对应的特征向量，证明21αα，线性无关．（6分）线性代数模拟题二一. 填空题（每题3分，共30分）1. 设A 是3阶矩阵，且3,A =-则3A -=2. 设1,2,3ηηη是非齐次线性方程组A X b =的解，若1122313ηληληη=++也是A X b =的解，则12λλ+=3. 211132xx D x x=中x 的系数为 4. 设四元线性方程组AX b =的系数矩阵的秩为2，已知AX b =有解1,2,3,ηηη则AX b =的一般解为5. 设(1,1,0,2),(,1,1,1),k αβα=-=-与β正交，则k =6. 设二元方阵,A B 的逆分别是11532,,1414A B --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则1()AB -= 7. 设3阶方阵A 的特征值为2，-1，3，则2A =8. 设A 为4⨯5矩阵，若A 的每个行向量都不能用其余的行向量来线性表示，则A 的秩为9. 设134213,473ij A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为A 中第I 行第j 列的元素的代数余子式，则21222334A A A ++=10. 二次型2221,23123121323(,)246f x x x x x x x x x x x x =++--+所对应的矩阵为二. 计算行列式 （10分）1234234134124123D =三.已知132301111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2A AB E -=，求B （10分）四.求解方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩（12分）五.设向量组12345,,,,ααααα中12345(1,3,1,1),(1,7,3,9),(2,8,0,6),(3,9,3,3),(4,13,3,6)ααααα=-=----==-=-（1）求向量组的秩.（2）求向量组的一个极大无关组.（3）将其余向量用极大无关组线性表示 （14分）六.设A =124242421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭.（1）求A 的特征值.（2）求A 的特征向量（3）求正交矩阵T ，使得1T AT -为对角阵.（16分）七.证明：若非零向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，且表达唯一，则12,,,m ααα 线性无关. （8分）线性代数模拟题三一、 判断题：（10分）1、两个n 维向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等； ................. （ ）2、两两正交的非零向量组一定是线性无关的向量组； ................... （ ）3、矩阵A 、B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组有唯一解当且仅当R （A ）=R （B ）； .......................... （ ）4、n 阶方阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似； ............ （ ）5、n 阶方阵A 与B 的特征值相同的充分必要条件是A 与B 相似。
线性代数模拟试题及答案
...《 线性代数期末模拟试题一 》一、填空（本题20分每小题2分） 1．设)det(ij a 为四阶行列式,若23M 表示元素23a 的余子式，23A 表示元素23a 的代数余子式，则23M +23A = 。
2．三阶行列式3331221311000a a a a a 中只有位于两条对角线上的元素均不为零， 则该三阶行列式的所有项中有 项不为零，这一结论对n 阶行列式（填成立或不成立）。
3．设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,,(321ααα=A 记矩阵),,2(313221αααααα-+-=B ，若6=B ，则=A 。
4．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=458271,131027241,213012C B A ，则=-C B A T2。
5．设矩阵A 可逆，且矩阵AB C =，所以矩阵C 一定可以由矩阵B 经过（填行或列）初等变换而得到。
6．设向量组43,21,,,αααα，若,3),,(,2),,(432321==ααααααR R 则1α一定可以由向量唯一的线性表示。
得分阅卷人...7．非齐次线性方程组b Ax =有 唯一的解是对应的齐次方程组0=Ax 只有零解的充分但不必要条件。
8．设3阶矩阵A 的行列式0=A ，则矩阵A 一定有一个特征值。
9．n 阶矩阵A 有n 个特征值1，2，, n ，n 阶矩阵B 与A 相似，则=B 。
10．向量组：[][]1,121,1,12121-==p p（填是或不是）向量空间2R 一个规范正交基。
二、单项选择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效！1．设矩阵A 为n 阶方阵，则关于非齐次线性方程组b Ax =的解下列说法（ ）不正确（A ） 若方程组有解，则系数行列式0≠A ; （B ） 若方程组无解，则系数行列式0=A ;（C ） 若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解;...（D ） 系数行列式0≠A 是方程组有唯一解的充分必要条件. 2. 设A 为n 阶可逆矩阵，下列正确的是（ ） （A ） (2)2T T A A =； (B) 11(2)2A A --=； (C) 111[()][()]T T A A ---=；(D) 111[()][()]T T T A A ---=。
全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》（共五套）
全国高等教育自学考试模拟试题《线性代数》（共五套）全国高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：本卷中，A T 表示矩阵A 转置，det(A )表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，(α，β)表示向量α，β的内积，E 表示单位矩阵．一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 是4阶方阵，且det(A )=4，则det(4A )=( ) A ．44 B ．45 C ．46D ．472．已知A 2+A +E =0，则矩阵A -1=( ) A ．A +E B ．A -E C ．-A -ED ．-A +E 3．设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =( ) A ．A -1CB -1 B ．CA -1B -1 C ．B -1A -1CD ．CB -1A -14．设A 是s×n 矩阵(s ≠n)，则以下关于矩阵A 的叙述正确的是( ) A ．A T A 是s×s 对称矩阵 B ．A T A =AA TC ．(A T A )T =AA TD ．AA T 是s×s 对称矩阵5．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( ) A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关 B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出6．设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量X 均满足AX =0，则( ) A ．A =0 B ．A =E C ．秩(A )=nD ．0<秩(A )<n< p="">7．设矩阵A 与B 相似，则以下结论不正确．．．的是( ) A ．秩(A )=秩(B )B ．A 与B 等价C ．A 与B 有相同的特征值D ．A 与B 的特征向量一定相同8．设1λ，2λ，3λ为矩阵A=200540093的三个特征值，则1λ2λ3λ=( )A ．10B ．20C ．24D ．309．二次型f (x 1，x 2，x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．设A ，B 是正定矩阵，则( ) A ．AB 一定是正定矩阵 B ．A +B 一定是正定矩阵 C ．(AB )T 一定是正定矩阵D ．A -B 一定是负定矩阵二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数模拟题
矩阵A的特征值为 4、设3×3矩阵 的特征值为 × 矩阵 的特征值为2,3,1，则|A|= 6 . |A-1|= . ， 阶方阵， 的伴随矩阵， 5、设A是n阶方阵，且|A|=a,而A*是A的伴随矩阵，则 是 阶方阵 而 的伴随矩阵 | A* |= an-1 . 练习题： 阶方阵， 练习题：设A为n阶方阵，且detA=2,则 为 阶方阵 则
x 4 0 2 0
练习题： 练习题：设有线性方程组 λ x1 + x2 + x3 =1 x1 +λ x2 + x3 =λ x1 + x2 +λ x3 =λ 2
问λ取何值时,此方程组 取何值时 此方程组 (1)有惟一解； 有惟一解； 有惟一解 (2)无解； 无解； 无解 (3)有无限多解？并在有无限多解时求其通解 有无限多解？ 有无限多解 并在有无限多解时求其通解.
三、计算下列各题
1 + a1 1 L 1 1 1 + a2 L 1 1、(8)计算 阶行列式 计算n阶行列式 、 计算 , 其其a1a2 Lan ≠ 0 M M M 也可用加边法 1 1 L 1 + an
(1 + a1 + a1 a +L+ 1 )a2a3 Lan a2 an
练习题： 练习题：
x a a L a a x a L a a a x L a M M M M a a a a x
1 −1 0 3.(8分)设A = 0 1 − 1 , AX = 2 X + A，求X . −1 0 1 0 1 − 1 矩阵方程 −1
2 0 0 1 − 1 1 3.′求解矩阵方程 X 0 2 5 = 2 − 3 1 0 3 8 3 − 4 1 λ2 λ3 λ4
线代模拟测试4-答案
上式左乘 An1 ，得 k1An x = k1 0. 同理，得 k2 k3 kn 0 ，由定义知，向量组 x, Ax, A2 x, , An x 线性无关. 又 x, Ax, A2 x, , An x 为 n 1个 n 维向量，故必线性相关，矛盾，假设不成立. 因 此 An x ，故（II）的解必是（I）的解.
因为 AA* A E 0, 故 A* 的列向量均为 Ax 0 的解，又 A11 0 ，故可取 A* 的
第一列 A11, A12 , , A1n T 为基础解系，从而 Ax 0 的通解为 k A11, A12 , , A1n T ， k 为任意常数.
三、解答题
（10）【解析】(Ⅰ)因为 AB O ，又 B O, 故 Ax 0 有非零解，则
2020 班模考试卷解析
线性代数模拟测试题（4）
参考答案与解析
一、选择题
（1）【答案】（A）.
【解析】方程组 Ax b 无解 r( A) r( A,b), 又
1 2 1 1 1 2 1 1
(
A,b )
2
3
a2
3
0
1
a
1
1 a 2 0 0 a 2 3 1
1 2
1
1
0
1
a
1 .
12 1
A 1 a 2 a 1 a a 2 0 a 0或2.
1 a 2 2a 3
1 2 1 1 2 1
2
（Ⅱ）当 a
0
时，A
1
2
1
0
0
1
,
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模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( )2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分)1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .4、已知()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==256,102B A 则=AB .5、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1A . 6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 .7、()B A R + ()()B R A R +.8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .9、设=A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-500210111t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关.10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1611221212112401---=D ，求4131211132A A A A +-+.2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0242205230204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011λλλλλλλλλλ， 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.六、(10分) 判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1622,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）已知二次型31232221321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。
八、证明题：(每小题5分，共10分)1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.模拟试题二一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （ ） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （ ） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（ ） 4、 若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.（ ） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。
二、 填空题（每小题2分，共16分）1、排列7623451的逆序数是 ；2、设四阶行列式32142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，其中ij A 为元素ij a 的代数余子式；3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,21==B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=αT )1,1,1,4(3-=α，则=α ；5、已知向量组:A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α12,221k ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T2,,2λ-正交，则λ= ；8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。
三、计算题（每小题8分，共16分）1、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵方程AX B C -=。
四、 计算题（每小题8分，共16分）1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）k 取何值时，该向量组线性相关；（2） k 取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。
2、已知二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;(2) 判断该二次型是否正定二次型，说明理由。
五、 计算题（每小题10分，共20分）1、设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----43333320126624220121.求：（1）矩阵A 秩；（2）矩阵A 的列向量组的一个最大线性无关组。
．2、求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++522132243143214321x x x x x x x x x x x 所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
六、（12分）设矩阵131011002A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(1) 求矩阵A 的特征值和全部的特征向量；(2) 求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ（其中Λ是对角矩阵），并写出对角矩阵Λ。
七、（5分）证明题设方阵A 满足2A A E O +-=，证明：A 可逆并求它的逆矩阵。
八、（5分）应用题假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：21商店商店 梨橘子苹果 21人员人员梨橘子苹果⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10.020.015.010.015.010.0 21人员人员⎥⎦⎤⎢⎣⎡5351045 21城镇城镇⎥⎦⎤⎢⎣⎡100050020001000 设第一个矩阵为A ，第二个矩阵为B ，而第 三个矩阵为C 。
（1）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？ （2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？模拟试题三一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）1、B A ,为n 阶方阵则 BA AB = （ ）2、设A 为)n m (n m <⨯矩阵，则b Ax =有无穷多解。
（ ）3、向量组1A 是向量组A 的一部分，向量组1A 线性无关，则向量组A 一定线性相关； （ ）4、设21,λλ是方阵A 的特征值，则21λλ+也是方阵A 的特征值。
（ ） 5、4个3维向量一定线性相关。
（ ） 二、填空题：(每空2分，共20分)1、已知A 为3阶方阵，且2A =-，则2A -= ；2、六阶行列式中某项645342362115a a a a a a 带有的符号为 ；3、设A 为n 阶方阵，满足2A A E -=，则1A -= ；4、设12,ξξ是n 元非齐次线性方程组Ax b =的两个解，且A 的秩()R A 1=-n ，则Ax b =的通解x = ；5、设非齐次线性方程组的增广矩阵为B =2102-1101-3000001-)1k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（，则k = 时方程组无解， 当k = 时方程组有无穷解，此时该方程组对应的齐次线性方程组的基 础解系中有 个向量。
6、二次型xz z y xy x f 44642222+--+-=的秩为 ，正定性为 （请选正定、负定、不定之一）。
7、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 322-+=，则B 的特征值为 。
三、计算：(每小题8分，共16分)1、已知4阶行列式1111201212112101---=D ，求4131211122A A A A +++2、已知111121113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试判断A 是否可逆。
若可逆，求1-A ，若不可逆，求A 的伴随矩阵A *四、计算：(每小题10分，共20分)1、求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++-=--+-=++-034220222402024321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解。
2、已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=---=++a z y x z y x z y x 223320有解，求a ，并求全部解；五、 (10分)判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1210,1012,0212,11014321αααα 的线性相关性，并求它的一个最大无关组，并用最大无关组表示该组中其它向量。
六、综合计算：（本题14分）二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=（1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示 （2）求A 的特征值与全部特征向量；（3）求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角形矩阵。