线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一

一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分）

1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( )

2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( )

3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( )

4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( )

5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分)

1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= .

2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 .

3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 .

4、已知()⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==256,

102B A 则=AB .

5、若⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=1225A ，则=-1

A . 6、设矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则

b Ax =的通解为 .

7、()B A R + ()()B R A R +.

8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA .

9、设=A ⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-50021011

1t ，则当t 时，A 的行向量组线性无关.

10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)

1、已知4阶行列式1

61122121

2112401---=

D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2

，其中⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=101020101A ，求矩阵B .

四、(10分) 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-++=--+-=++-0

24220523020

432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解.

五、(10分) 设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+-+----22

)1)(1()2)(1(00)1(11

011λλλλλλλλλλ， 讨论当λ取何值时，b Ax =无解，有唯一解和有无穷多解，并在无穷多解时求出通解.

六、(10分) 判断向量组⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=16

22,4647,3221,1123:4321a a a a A 的线性相关性，如果线性相关，求一个最大无关组，并用它表示其余向量. 七、综合计算：（本题14分）

已知二次型31232221

321422),,(x x x x x x x x f --+= （1）求二次型所对应的矩阵A ，并写出二次型的矩阵表示； （2）求A 的特征值与全部特征向量；

（3）求正交变换PY X =化二次型为标准形, 并写出标准形； （4）判断该二次型的正定性。 八、证明题：(每小题5分，共10分)

1、已知向量321,,a a a 线性无关，证明 1333222115,4,32a a b a a b a a b +=+=+=线性无关.

2、某矿产公司所属的三个采矿厂321,,a a a ，在2011年所生产的四种矿石

54321,,,,b b b b b 的数量（单位：吨）及各种矿石的单位价格（万元/吨）如下表：

（1）做矩阵53⨯A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ； （2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值.

模拟试题二

一、 判断题（正确的打√，不正确的打⨯）（每小题2分，共10分） （ ） 1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （ ） 2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （ ） 3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；

（ ） 4、 若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+ 也是该方程组的解.

（ ） 5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 二、 填空题（每小题2分，共16分）

1、排列7623451的逆序数是 ；

2、设四阶行列式3

2142143143243214=D ，则=+++44342414432A A A A ，

其中ij A 为元素ij a 的代数余子式；

3、设A 、B 均为5阶矩阵，2,2

1

==

B A ，则=--1BA ； 4、)(5)(2)(3321α+α=α+α+α-α，其中T )3,1,5,2(1=α，T )10,5,1,10(2=α

T )1,1,1,4(3-=α，则=α ；

5、已知向量组:A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α12,221k ，向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=11b ，当k 时，b 可由A 线性表示，且表示法唯一；

6、设齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵通过初等行变换化为⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--000020103211，则此线性方程组的基础解系所含解向量的个数为 ； 7、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T

2,,2λ-正交，则λ= ；

8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征 值为 。

三、计算题（每小题8分，共16分）

1、设矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。 2、已知矩阵111211111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，236B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，660C ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

求矩阵方程AX B C -=。

四、 计算题（每小题8分，共16分）

1、已知向量组123120,2,2012k k k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

==+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

（1）k 取何值时，该向量组线性相关；

（2） k 取何值时，该向量组线性无关， 说明理由。

2、已知二次型323121232221

321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=， (1) 写出此二次型对应的矩阵A ;