高数下册重要知识点

高等数学（下）知识点
大小： a
b
sin
，方向： a,b , c
符合右手规则
1） a a 0
i j k a b ax ay az
2） a // b a b 0
bx by bz
运算律：反交换律 b a a b
（三） 曲面及其方程
1、 旋转曲面：
yoz 面上曲线 C : f ( y, z) 0 ，（非重点）
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模： r
x2 y2 z2 ；
2） 两点间的距离公式： AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角, ,
4）
方向余弦： cos
x r
,
cos
y r
,
cos
z r
（重点）
cos2 cos2 cos2 1
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高等数学下册知识点
第六章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 单位向量，零向量，向量平行；
2、 线性运算：加减法、数乘；
3、 向量的坐标分解式；
4、
利用坐标做向量的运算：设 a
( ax
,ay ,az ) ， b
(bx ,by ,bz )
，
则 a b (ax bx , ay by , az bz ) , a ( ax , ay , az ) ；（重点）
即求 Fx 时，视 y , z 为常数，其余类似。
第三步．切平面的法向量 n (Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0, z0 ), Fz (x0, y0, z0 ))
第四步：切平面方程为
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
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x x0 mt
3、
参数式方程：
y
y0
nt
z z0 pt
4、 两直线的夹角： s1 (m1, n1, p1) ， s2 (m2 , n2 , p2 ) ，
cos
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
2） f (x, y)ds f (x, y)ds f (x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).
3）在 L 上，若 f (x, y) g(x, y)，则
f (x, y)ds
L
g(x, y)ds.
L
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4）
ds l
L
( l 为曲线弧 L 的长度) （重点）
（二） 性质
1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：（重点）
1
2
偏导数连续
函数可微
偏导数存在
充分条件
必要条件
4
定义
2
3
函数连续
2、 微分法
1） 定义：
2） 复合函数求导：链式法则（重点）
例：若 z f (u, v),u u(x, y), v v(x, y) ，则
z x
z u
y0 , z0 ) （对应参数为 t0
）处的
z z(t)
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切线方程为：
x x0 x(t0 )
y y0 y(t0 )
z z0 z(t0 )
法平面方程为： x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
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即求 Fx 时，视 y , z 为常数，其余类似。
第三步． z Fx x Fz
z Fy y Fz
（三） 应用
1、 极值
1） 无条件极值：求函数 z f (x, y) 的极值（重点）
fx 0
解方程组
f y 0
求出所有驻点，对于每一个驻点 (x0 , y0 ) ，令
（五） 平面及其方程（重点）
1、 点法式方程： A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
法向量： n (A, B,C) ，过点 (x0 , y0 , z0 )
2、 一般式方程： Ax By Cz D 0
截距式方程：
x a
y b
z c
1
3、 两平面的夹角： n1 ( A1, B1,C1) ， n2 ( A2 , B2 ,C2 ) ，
2） 曲面的切平面与法线（重点）
曲面 : F ( x, y, z) 0 ，则 上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程求法：
第一步．构造函数 F F( x, y, z) ,
第二步．求 Fx Fy Fz ，求 Fx , Fy , Fz 时，均视 x , y , z 为地位平等的自变量。
f l
f cos f cos
x
y
其中 ,
为 l 的方向角。
7、 梯度： z f (x, y) ，则 gradf (x0, y0 ) fx (x0, y0 )i f y (x0, y0 ) j 。（重点）
8、
掌握计算全微分：设 z
f
(x, y) ，则 dz
z dx x
z y
dy
（wk.baidu.com点）
cos
A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
1 2 A1A2 B1B2 C1C2 0
1 // 2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
4、 点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax By Cz D 0 的距离：
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2
（六） 空间直线及其方程（重点）
A1x B1 y C1z D1 0 1、 一般式方程：
A2 x B2 y C2 z D2 0
2、
对称式（点向式）方程：
x x0 m
y y0 n
z z0 p
方向向量： s (m, n, p) ，过点 (x0 , y0 , z0 )
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3、 计算：（重点）
x (t),
设
f
(x,
y)
在曲线弧
L
上有定义且连续，
L
的参数方程为
y
(t),
( t ) ，
则
f (x, y)ds
f [(t), (t)]
2 (t) 2 (t)dt
,
( )
L
（二） 对坐标的曲线积分
1、 定义（理解）： P(x, y)dx Q(x, y)d y L
u x
z v
v x
，
z y
z u
u y
z v
v y
3） 隐函数求导（重点）
ux
z
vy
由方程 F x, y, z 0 确定 z z(x, y) ，求 z , z 等。
x y
方法：第一步．构造函数 F F( x, y, z) ,
第二步．求 Fx Fy Fz ，求 Fx , Fy , Fz 时，均视 x , y , z 为地位平等的自变量。
A f xx (x0 , y0 ) ， B f xy (x0 , y0 ) ， C f yy (x0 , y0 ) ， ① 若 AC B2 0 ， A 0，函数有极小值，
若 AC B2 0 ， A 0 ，函数有极大值；
② 若 AC B2 0 ，函数没有极值；
③ 若 AC B2 0 ，不定。
x) a
y x
2 b
(
x)
，
D
f (x, y)dxdy
b
dx
2 (x) f (x,y) d y
a
1 ( x)
Y-型：
D
(x,
y) 1( y) c
x y
2 d
(
y)
，
D
f (x, y)dxdy
d
dy
2 ( y) f (x,y) d x
c
1 ( y)
2） 极坐标
D
(,
L1 // L2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，
Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
L // Am Bn Cp 0
L
A BC mn p
第七章 多元函数微分法及其应用
（一） 基本概念
1、 多元函数： z f (x, y) 的定义域（重点）
法线方程为：
x x0 fx (x0 , y0 )
y y0 f y (x0 , y0 )
z
z0 1
第八章 重积分
（一） 二重积分
1、 性质
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2、 几何意义：曲顶柱体的体积。
3、 二重积分计算（重点）：
1） 直角坐标
X-型：
D
(x,
y)
1(
第二步．求 Fx Fy Fz ，求 Fx , Fy , Fz 时，均视 x , y , z 为地位平等的自变量。
即求 Fx 时，视 y , z 为常数，其余类似。
第三步．切平面的法向量 n ( fx (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 ),1)
第四步：切平面方程为
fx (x0 , y0 )(x x0 ) f y (x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
4、 两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为
L：x y
(t) (t)
，
L
上点
(x,
y)
处的切向量的方向角为：
, ， cos
(t) 2(t) 2(t)
， cos
(t) 2(t) 2(t) ，
则 L Pdx Qdy L (P cos Q cos )ds .
（三） 格林公式（重点）
0
x x(t)
x a cos t
2、
参数方程：
y
y(t
)
，如螺旋线：
y
a sin t
z z(t)
z bt
3、 空间曲线在坐标面上的投影
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F
( x,
y,
z)
0
，消去
z
，得到曲线在面
xoy
上的投影
H
( x,
y)
0
G(x, y, z) 0
z 0
2） 条件极值：求函数 z f (x, y) 在条件(x, y) 0 下的极值（重点）
令： L(x, y) f (x, y) (x, y) ——— Lagrange 函数
Lx 0
解方程组
Ly
0
(x, y) 0
2、 几何应用
1） 曲线的切线与法平面
x x(t)
曲线
:
y
y(t) ，则 上一点 M (x0 ,
法线方程为：
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
Fz
z z0 (x0 , y0 , z0 )
曲面 : z f ( x, y) ，则 上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程求法：
第一步．构造函数 F z f ( x, y) ,
2、 极限： lim f (x, y) A ( x, y)( x0 , y0 )
3、
连续： lim ( x, y)( x0 , y0 )
f (x, y)
f (x0, y0 )
4、 偏导数定义
5、 计算偏导数以及二阶偏导数（重点）
6、 方向导数：（重点：记住公式）
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5）
投影： Pr
jua
a
cos
，其中
为向量
a
与
u
的夹角。
（二） 数量积，向量积（重点）
1、 数量积： a b a b cos
1） a a
a
2
2） a b a b 0
a b axbx ayby azbz
2、 向量积： c a b
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2、 性质：
用 L 表示 L 的反向弧 ,
3、 计算：（重点）
则
F(x, y) dr
L
F(x, y) dr （重点）
L
设 P(x, y) , Q(x, y) 在有向光滑弧 L 上有定义且连续, L 的参数方程为
x (t),
(t : ) ，
y (t),
则 L P(x, y)d x Q(x, y)d y {P[(t), (t)](t) Q[(t), (t)] (t)}dt
)
1( )
2 (
)
f (x, y)dxdy
d
2 ( ) f ( cos , sin ) d
D
1 ( )
3） 交换积分次序（重点）
第九章 曲线积分与曲面积分
（一） 对弧长的曲线积分
1、 定义的理解
2、 性质：
1） L[ f (x, y) (x, y)]ds L f (x, y)ds L g(x, y)ds.
（重点）绕 y 轴旋转一周： f ( y, x2 z 2 ) 0
（重点）绕 z 轴旋转一周： f ( x2 y 2 , z) 0
2、 柱面：
F (x,
y)
0
表示母线平行于
z
轴，准线为
F (x,
y)
0
的柱面
z 0
（四） 空间曲线及其方程
F (x, y, z) 0
1、
一般方程：
G(
x,
y, z)