重庆大学--数学模型--数学实验作业七

重庆大学--数学模型--数学实验作业七
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2015年11月25日
课程名称数学实验实验
项目
名
称
医用薄膜渗
透率的确定
——数据拟
合
实验项
目类型
验证演示综合设计其他
指导教师肖剑成
绩
实验目的
[1] 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；
[2] 掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；
[3] 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。

[4] 了解各种参数辨识的原理和方法；
[5] 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；
通过该实验的学习，掌握几种基本的参数辨识方法，了解拟合的几种典型应用，观察不同方法得出的模型的准确程度，学习参数的误差分析，进一步了解数学建模过程。

这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

实验内容
1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；
2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，
作出误差图；
3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。

应用实验（或综合实验）
1.旧车价格预测
一、问题重述
某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。

试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
表1
x
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
i
26
15 19
43
14
94
10
87
76
5
53
8
48
4
29
22
6
20
4
二、数学模型的建立与求解
先作出散点图分析其应该是一个二次函数，可以采用polyfit线性拟合。

编辑程序Untitled1.m:
clc
x=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
y=[2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204];
plot(x,y,'+')
hold on
a=polyfit(x,y,2)
y1=polyval(a,x);
plot(x,y1,'r')
t=4.5;
cost=polyval(a,t)
三、实验结果及分析
a =1.0e+03*
0.0361 -0.6508 3.1523
t =4.5000
cost =955.7047
4.5年后价格为95
5.7047。

2.机器人识别定形工具柄问题
一．问题重述
机器人在不同层次上应用于工业生产、水下探测、核点开发、军事研究等领域和部门。

当一个机器人工作时，经常需要识别那些从外形上看来是圆形或椭圆形的仪器或工具柄等基本设备，以便执行进一步的操作。

通常在所需操纵的工具柄上放置适当数量的传感器，这些传感器不断向四周发射电信号，机器人身上安置有接收电信号的硬件装置，根据这些信号，机器人将估算出各个传感器当时所在的位置，然后，再利用这些数据获得工具柄的位置。

由于硬件设备的限制和测量的随机偏差，所获得的传感器位置数据是有误差的。

因此，为了增强识别的准确性和可靠性，工具柄上放置的传感器应多于确定该定形曲线所需的最少点数。

（能否获得比较
准确的工具柄位置，对机器人能否有效抓握、操作该工具柄起着关键的作用。

）
现有一个圆形工具柄，其边缘上放置了6个传感器，一机器人在某一个时刻测得这些传感器的位置坐标为：(1,7),(2,6),(5,8),(7,7),(9,5),(3,7),如何确定该圆形工具柄的圆心坐标和半径。

二．问题分析
此题很难写出显式表达式，故可用regress回归分析求解函数表达式。

三．数学模型的建立与求解
圆的函数表达式都具有x²+y²+Ax+By+C=0的形式，即Ax+By+C=-x²-y².则圆心为O（-A/2，-B/2）,半径的平方为R²=（A²/4+B²/4-C）故编辑程序Untitled2.m:
clc
x1=[1;2;5;7;9;3];
y1=[7;6;8;7;5;7];
y=-x1.^2-y1.^2;
D=ones(6,1);
x=[x1,y1,D];
b=[];
b=regress(y,x)
ezplot('x^2+y^2-9.4847*x-7.6702*y+20.3160',[-4,14,-1,9])
hold on
plot(x1,y1,'.')
disp('圆心O 半径R')
O=[9.4847/2,7.6702/2]
R=((9.4847/2)^2+(7.6702/2)^2-20.3160)^(1/2)
四、实验结果及分析
得到圆心O=（4.7424，3.8351），半径R=4.1088.
3．经济增长模型
一．问题重述
增加生产、发展经济所依靠的主要因素有增加投资、增加劳动力以及技术革新等，在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时，由于技术水平不像资金、劳动力那样容易定量化，作为初步的模型，可认为技术水平不变，只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。

在科学技术发展不快时，如资本主义经济发展的前期，这种模型是有意义的。

用Q，K，L分别表示产值、资金、劳动力，要寻求的数量关系Q(K,L)。

经过简化假设与分析，在经济学中，推导出一个著名的Cobb-Douglas生产函数：
Q(K,L) = aKαLβ，0<α,β<1 （*）式中α,β，a要由经济统计数据确定。

现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据，如下表，试用数据拟合的方法，求出式（*）中的参数α,β，a。

表2
t Q K L
t Q
K L
1900 1.05 1.04 1.05 1901 1.18 1.06 1.08 1902 1.29 1.16 1.18 1903 1.30 1.22 1.22 1904 1.30 1.27 1.17 1905 1.42 1.37 1.30 1906 1.50 1.44 1.39 1907 1.52 1.53 1.47 1908 1.46 1.57 1.31
1909 1.60 1914 2.01 3.24 1.65 1915 2.00 3.24 1.62 1916 2.09 3.61 1.86 1917 1.96 4.10 1.93 1918 2.20 4.36 1.96 1919 2.12 4.77 1.95 1920 2.16 4.75 1.90 1921 2.08 4.54 1.58 1922 2.24 4.54 1.67
1923 2.56
2.05 1.43 1910 1.69 2.51 1.58 1911 1.81 2.63 1.59 1912 1.93 2.74 1.66 1913 1.95
2.82 1.68 4.58 1.82 1924 2.34 4.58 1.60 1925 2.45 4.58 1.61 1926 2.58 4.54 1.64
二．问题分析
由于（*）式对参数α,β，a 是非线性的，因此，可以有两种方式进行拟合，一是直接使用MATLAB 软件中的曲线或曲面拟合命令。

另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式，使用线性函数拟合。

线性拟合很简单，在此选择用lsqnonlin 来拟合。

三．数学模型的建立与求解
首先建立函数m 文件f.m:
function y=f(p)
Q=[1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.54];
K=[1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54];
L=[1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64]; y=(p(1).*K.^p(2)).*L.^p(3)-Q;
在命令行窗口引用p=lsqnonlin('f',[0,0,0])即可。

四、实验结果及分析
得到p =1.2230 0.4560 -0.1145
即a=1.2230 α=0.4560 β=0.1145
教师签名
年月日。