高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)

高中数学必修3和必修5综合检测试卷

总分共150分，时间120分钟

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于 （ ）

Ａ．99

Ｂ．100

Ｃ．96

Ｄ．101

2.ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ） A ．

2

1

B ．23 D.3

3.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 101

4.已知0x >，函数4

y x x

=

+的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6

5.在等比数列中，112a =，12q =，132

n a =，则项数n 为 （ ） A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

6.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么 （ ） A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>

7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪

≤⎨⎪≥-⎩

,则3z x y =+的最大值为 （ ）

A ． 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ）

9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）

2A.

3 2B.-3 1C.-3 1D.-4

10.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）

A 、63

B 、108

C 、75

D 、83

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11.在ABC ∆

中，0

45,B c b ===， 那么A ＝_____________;

12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则 此数列的通项公式为________

13.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的 分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，

则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是 ．

13．有一个简单的随机样本：10, 12, 9, 14, 13，则样本平均数x =______ ，样本方差2

s =______ 。

14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2

n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________

三、解答题 (本大题共6个小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分) 已知等比数列{}n a 中，4

5

,106431=

+=+a a a a ，求其第4项及前5项和. 17.（12分） 围建一个面积为360m 2

的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。 （1）将y 表示为x 的函数：

（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

18．(12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b

是方程220x -+=的两个根， 且2()1coc A B +=。 求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。

19．(13分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，

(1) 求a 的值；

(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.

20．（14分）如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺 时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行．为了确定船位，在B 点处

A

C

观测到灯塔A 的方位角为︒122．半小时后，货轮到达C 点处，观测到灯塔A 的方位角为︒32．求此时货轮与灯塔之间的距离．

21.（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记

*4()1n

n n

a b n N a +=

∈-。 （I ）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；

（II ）设数列{}n b 的前n 项和为n R ，是否存在正整数k ，使得4n R k ≥成立若存在，找出一个正整数k ；若不存在，请说明理由；

（III ）记*

221()n n n c b b n N -=-∈，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意正整数n 都有32

n T <

；

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参考答案

一．选择题。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C

D

B

C

A

C

C

D

A

二．填空题。

11． 15o 或 75o 12．n a =2n －3 13．1

{2}3

x x -<< 14． 15.n a =2n

三．解答题。

15.解：设公比为q ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分

由已知得 ⎪⎩⎪

⎨⎧=

+=+45105

131211q a q a q a a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3分 即⎪⎩⎪

⎨⎧=+=+

45)1(①

10)1(2

3121ΛΛΛΛΛq q a q a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分 ②÷①得 2

1

,813

==q q 即 ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分 将2

1

=

q 代入①得 81=a ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分 1)21(833

14=⨯==∴q a a ， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分

2312

11)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡

-⨯=--=

q q a s ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分 16. 解：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则2

y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a -360 由已知xa=360,得a=

x

360

, ②