高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)
高一数学必修3、5综合试卷

高一下学期数学必修二、五综合复习试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.) 1.下列命题正确的是( )A. 经过三点确定一个平面B. 经过一条直线和一个点确定一个平面C. 三条平行直线必共面D. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 2.已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l 对称,则直线l 的方程为(A) x +y =0 (B) x -y =0 (C) x +y -6=0 (D) x -y +1=0 3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π4.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从A 到B 的路径中,最短路径的长度为A. B. C. D. 25.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, E 为线段11A C 的中点,则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为( )A.3π B. 4π C. 6πD. 12π6.若直线l 过点()0,A a ,斜率为1,圆224x y +=上恰有1个点到l 的距离为1,则a 的值为( )A. 32B. 32±C. 2±D. 2±7.在△ABC 中,45,2==A a ,若此三角形有两解,则b 的范围为( ) A .222<<b B .b > 2 C .b<2 D .221<<b8.在△ABC 中,若sinC+sin (B ﹣A )=sin2A ,则△ABC 的形状为( ) A .等腰三角形 B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形9.设,x y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A. B. C. D.10.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是A. B.C. D.11.甲船在岛A 的正南方B 处,10AB =千米,甲船以每小时千米的速度向正北航行,同时乙船自出发以每小时千米的速度向北偏东的方向驶去,当甲,乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟 12.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中,我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且,则122a b--的上确界为( ) A .92 B .92- C .41D .4-二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.如图,正方形''''A B C D 的边长为(0)acm a >,它是一个水平放置的平面图形的直观图,则它的原图形ABCD 的周长是__________2cm .14.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________. 15.已知直线(1)20k x y +++=恒过定点C ,且以C 为圆心,5为半径的圆与直线3410x y ++=17.已知圆C 的方程:224x y +=和直线l 的方程:34120x y ++=,点P 是圆C 上动点,直线l 与两坐标轴交于A 、B 两点.(1)求与圆C 相切且垂直于直线l 的直线方程; (2)求ABC ∆面积的取值范围。
(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案

.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷(选择题)一、单选题1.数列的一个通项公式是( )0,23,45,67⋯A .B . a n =n -1n +1(n ∈N *)a n =n -12n +1(n ∈N *)C .D .a n =2(n -1)2n -1(n ∈N *)a n =2n2n +1(n ∈N *)2.不等式的解集是( )x -12-x ≥0A .B .C .D . [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3.若变量满足 ,则的最小值是( )x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A .B .C .D . 4-5-314.在实数等比数列{a n }中,a 2,a 6是方程x 2-34x +64=0的两根,则a 4等于( )A . 8B . -8C . ±8D . 以上都不对5.己知数列为正项等比数列,且,则( ){a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A . 1B . 2C . 3D . 46.数列前项的和为( )11111,2,3,4,24816n A . B . C .D .2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7.若的三边长成公差为的 等差数列,最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为( )A .B .C .D .1541534213435348.在△ABC 中,已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A . 30°B . 60°C . 30°或150°D . 60°或120°9.下列命题中正确的是( )A . a >b ⇒ac 2>bc 2B . a >b ⇒a 2>b 2C . a >b ⇒a 3>b 3D . a 2>b 2⇒a >b.10.满足条件,的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A . 1个B . 2个C . 无数个D . 不存在11.已知函数满足:则应满足( )f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A .B .C .D .-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312.已知数列{a n }是公差为2的等差数列,且成等比数列,则为( )a 1,a 2,a 5a2A . -2B . -3C . 2D . 313.等差数列的前10项和,则等于(){a n }S 10=15a 4+a 7A . 3B . 6C . 9D . 1014.等差数列的前项和分别为,若,则的值为( ){a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A .B .C .D . 3547581219第II 卷(非选择题)二、填空题15.已知为等差数列,且-2=-1,=0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16.在中,,,面积为,则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17.已知中,,, ,则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18.若数列的前n 项和,则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19.直线下方的平面区域用不等式表示为________________.x -4y +9=020.函数的最小值是 _____________.y =x +4x -1(x >1)21.已知,且,则的最小值是______.x ,y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22.解一元二次不等式(1) (2)-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.(1)求边上的中线的长;BC AD (2)求△的面积。
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新人教版高中数学必修3 全册同步测试题及解析答案篇一:高一数学必修3全册各章节课堂同步习题(详解答案)第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念班次姓名[自我认知]:1.下面的结论正确的是().A.一个程序的算法步骤是可逆的B. 一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D. 设计算法要本着简单方便的原则2.下面对算法描述正确的一项是(). A.算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同,结果必然不同3.下面哪个不是算法的特征()A.抽象性B.精确性C. 有穷性D.唯一性4.算法的有穷性是指()A.算法必须包含输出B.算法中每个操作步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限D.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(lOmin)、听广播(8min)几个步骤,从下列选项中选最好的一种算法()A.S1洗脸刷牙、S2 刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 B.S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 C. S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播、S2泡面;S3烧水同时洗脸刷牙;S4刷水壶6.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是()A.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x2?l?0有两个实根D.求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步:①计算c?a,b的值;③输出斜边长c的值,其中正确的顺序是()A.①②③B.②③①C.①③②D.②①③[课后练习]:8.若f?x?在区间?a,b?内单调,且f?a??f?b??O,则f?x?在区间?a,b?内()A.至多有一个根B.至少有一个根C.恰好有一个根D.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为:第一步:取A=89 ,B=96 ,C=99;第二步:①;第三步:②;第四步:输出计算的结果.10.写出求1+2+3+4+5+6+7+100的一个算法.可运用公式l+2+3+?+n= 第一步①;第二步②;第三步输出计算的结果.11.写出Ix2x3x4x5x6的一个算法.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法. n(n?l)直接计算.21.1. 2程序框图[自我认知]:1 •算法的三种基本结构是()A.顺序结构、条件结构、循环结构B.顺序结构、流程结构、循环结构C.顺序结构、分支结构、流程结构D .流程结构、循环结构、分支结构2 .程序框图中表示判断框的是()A.矩形框B.菱形框D.圆形框D.椭圆形框3.如图⑴、(2),它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图,那么应分别补充的条件为()(1)33(2)3A.⑴n>1000 ? (2)n<1000 ?B.⑴n<1000 ?⑵n>1000 ?C.(Dn<1000?⑵n>1000 ?D. (l)n<1000 ?(2)n<1000?4.算法共有三种逻辑结构,即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构,下列说法正确的是()A.—个算法只能含有一种逻辑结构B.一个算法最多可以包含两种逻辑结构C. 一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.—个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合[课后练习]:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示),该程序框图的功能是()A.求输出a,b,c三数的最大数B.求输出a,b,c三数的最小数3333C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图(如上图所示),能判断任意输入的数x 的奇偶性:其中判断框内的条件是A.m?O?B.x?O ?C.x?l ?D.m?l?7.在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断,并根据结果进行不同处理的是哪种结构()A.顺序结构B.条件结构和循环结构C.顺序结构和条件结构D.没有任何结构?x2?l(x?0)8.已知函数f?x???,设计一个求函数值的算法,并画出其程序框图(x?0)?2x?l1.1.2程序框图(第二课时)[课后练习]:班次姓名1 . 如图⑴的算法的功能是.输出结果i=,i+2=.2.如图⑵程序框图箭头a指向①处时,输出s=.箭头a指向②处时,输出s=.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132,则判断中应填A、i>10? B、i>ll? C、i<ll?D、i>12? 4.如图⑶程序框图箭头b指向①处时,输出s=.箭头b指向②处时, 输出S= _________5、如图⑸是为求1-1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图,将空白处补上。
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12.D 【解析】 【分析】
选项 D 中,因为当 a2>b2 时,比如 a=-2,b=0,的不满足 a>b,故错误,排除法只有选 C.
考点:本试题主要考查了不等式的性质的运用。
点评:解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。 10.B
【解析】
解:因为满足条件a
=
4,b
=
3
2,A
=
45
∘
,利用余弦定理可知得到关于
参考答案
【解析】
【分析】 观察数列分子为以 0 为首项,2 为公差的等差数列,分母是以 1 为首项,2 为公差的等差数 列,故可得数列的通项公式.
【详解】 观察数列分子为以 0 为首项,2 为公差的等差数列,分母是以 1 为首项,2 为公差的等差数 列,
2(n - 1)
故可得数列的通项公式 an= 2n - 1 (n∈Z*).
1 11 1 6.数列1 , 2 , 3 , 4 ,前 n 项的和为( )
2 4 8 16
1 n2 n
1 n2 n
1 n2 n
A.
B.
1
C.
D.
2n 2
2n 2
2n 2
1 2n1
n2 2
n
试卷第 1 页,总 6 页
3
7.若ΔABC的三边长a,b,c成公差为2的 等差数列,最大角的正弦值为 2 ,则这个三角形
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检查.若某车间这一天生产 128 件产品,
则从 该车间 抽取 的产品 件数
为
.
14.Sn 为等差数列 an 的前 n 项和, S2=S6,
a4=1 则 a5=
.
15.设 a>0,b>0,若 a+b=4 ,则 的
最小值为
.
16.如图,在一个半径为 3,圆心角为 的 3
扇形内画一个内切圆,
若向扇形内任投一点,则该点落在该内切 圆内的概率是
由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q4=0 ,解得 q= ﹣ 2,
【专题】 计算题.
【分析】 设公比为 q> 0,由题意可得
=2
,a1q=2,由此
求得 a1 的值.
【解答】 解:设公比为 q>0,由题意可得
=2
,a1q=2,
解得 a1= =q,
故选 C.
【点评】 本题主要考查等比数列的通项公 式的应用,属于基础题.
10.已知等比数列 {an} 的公比为正数,且
a3a9=2a52,a2=2,则 a1= (
)
A. B. C. D .2
11.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn=3n﹣2,
n∈N* ,则(
)
A.{a n} 是递增的等比数列 B.{a n} 是递增数列,但不是等比数列
C.{a n} 是递减的等比数列 D . {an} 不是等比数列,也不单调
A. B. C. D .
6.已知 a< 0,﹣ 1< b< 0,那么( )
A.a>ab>ab2 B.ab2>ab> a C.ab>a >ab2 D .ab>ab2>a
7.等差数列中, a1+a2+a3= ﹣24, a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于 ()
高中数学人教A版必修3综合测试题及答案 5

必修3综合模块测试(人教A 版必修3)一、选择题(每小题各5分, 共60分)1.设x 是10021,,,x x x 的平均数,a 是4021,,,x x x 的平均数,b 是1004241,,,x x x 的平均数,则下列各式中正确的是 ( )A. 4060100a b x +=B. 6040100a b x +=C. x a b =+D. 2a bx +=2.在样本的频率分布直方图中,共有5个长方形,若正中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的14,且样本容量为100,则正中间的一组的 频数为 ( ) A .80 B .0.8 C .20 D .0.23.某大学自主招生面试环节中,七位评委为考生A 打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为85, 复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x )无法 看清,若统计员计算无误,则数字x 应该是 ( ) A .5 B .6 C .7 D .9 4. 下列各数中与)4(1010相等的数是 ( ) A .)9(76 B .)8(103 C .)3(2111 D .)2(10001005. 某算法的程序框如图所示,若输出结果为12,则输入的实数x 的值是 ( )A .32- B .2 C .52 D .4 6. 在长为10的线段AB 上任取一点P ,并以线段AP 为一条边作 正方形,这个正方形的面积属于区间]81,36[的概率为( )A.209 B.15 C.310D.257. 从高一(9)班54名学生中选出5名学生参加学生代表大会,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从54人中剔除4人,剩下的50人再按系统抽样的方法抽取5人, 则这54人中,每人入选的概率( )A .都相等,且等于101 B .都相等,且等于545C .均不相等D .不全相等8. 把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一 个。
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(1)求∠B 的大小;
(2)若 a =4, S 5 3 ,求 b 的值。
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)
A.7
B.8
C.9
D.10
3、若不等式 8x 9 7 和不等式 ax 2 bx 2 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为( )
22.一辆货车的最大载重量为30 吨,要装载 A 、 B 两种不同的货物,已知装载 A 货物每吨收入 40 元, 装载 B 货物每吨收入 30 元,且要求装载的 B 货物不少于 A 货物的一半.请问 A 、 B 两种不同的货物分别
装载多少吨时,载货得到的收入最大?并求出这个最大值.
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20、解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.
23.数列{an}的前 n 项和为 Sn , Sn 2an 3n ( n N * ).
B.a = 60,c = 48,B = 100° D.a = 14,b = 16,A = 45°
13.若 0 x 2 ,则 x(8 3x) 的最大值为______________.
C. ( , 2]
D. ( , 4) 3
2. m , 2n 的等差中项为 4, 2m , n 的等差中项为 5,则 m , n 的等差中项为( )
9
A.8
B.-8
C.±8
D.
8
x 4y 3 0 8、目标函数 z 2x y ,变量 x, y 满足 3x 5y 25 ,则有( )
x 1
17、在 R 上定义了运算“ ”: x y x(1 y) ;若不等式 x ax a 1 对任意实数 x 恒成立,
必修3与必修5综合测试有答案

必修3与必修5综合测试一、选择题1.(2014·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S na n =( )A .4n -1 B .4n -1 C .2n -1 D .2n -1 答案 D2.(2014·江西七校模拟)已知数列{a n }是等比数列,其中a 4,a 6是关于x 的方程x 2-2x sin α-3sin α=0的两根,且(a 4+a 6)2=2a 2a 8+6,则锐角α的值为( )A.π6B.π4C.π3D.5π12 答案 C3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知(a -c )(sin A +sin C )=(b -c )sin B ,则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3 答案 C4.(2014·厦门模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧21-x ,x ≤1,1-log 2x ,x >1,则不等式f (x )≤2的解集是( )A .[0,+∞)B .[-1,2]C .[0,2]D .[1,+∞) 答案 A5.(2014·湖北)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则( )A .p 1<p 2<p 3B .p 2<p 1<p 3C .p 1<p 3<p 2D .p 3<p 1<p 2 答案 C6.如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =2,AC =1,D 是边BC 上一点,DC =2BD ,则AD →·BC →=( )A .-112B .-83C .-75 D .-27答案 B7.(2014·四川)执行如图所示的程序框图,如果输入的x ,y ∈R ,那么输出的S 的最大值为( )A .0B .1C .2D .3 答案 C8. (2014·重庆)若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是( )A .6+2 3B .7+2 3C .6+4 3D .7+4 3 答案 D9. (2013·山东)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0.则当z xy 取得最小值时,x +2y -z 的最大值为( )A .0 B.98 C .2 D.94答案 C10.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≥0,a 1x +a 2y -3≥0,x ≤3,(其中a 1,a 2是等比数列{a n }的前两项,且a 1a 2>0),若z =3x -2y 的最大值为9,最小值为-2,则等比数列{a n }的前n 项和S n 为( )A.12(3n -1)B.13(3n -1)C.13(2n -1)D.12(2n -1) 答案 A解析 由于直线z =3x -2y 的斜率大于直线x -y +1=0的斜率,且z =3x -2y 取最大值时在y 轴上的截距最小,取最小值时在y 轴上的截距最大.故在直线a 1x +a 2y -3=0与x =3的交点处z 取最大值9,在直线x -y +1=0与a 1x +a 2y -3=0的交点处z 取最小值-2(如图所示),解得两个交点的坐标分别是(3,0)和(0,1),从而解得a 1=1,a 2=3.因此公比q =3,S n =1-3n1-3=12(3n-1). 二、填空题1.函数y =x +2x -1的值域是________.答案 (-∞,1-22]∪[1+22,+∞)2.在数列{a n }中,已知a 1=1,a n +1=-1a n +1,记S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 014=________.答案 -2 01123.(2014·郑州质量预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x (元) 4 5 6 7 8 9 销售y (件)908483807568由表中数据,求得线性回归方程为y ^=-4x +a ^.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线左下方的概率为_________答案134.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若1+tan A tan B =2cb ,b+c =4,则△ABC 面积的最大值为________.答案35.(2014·威海质检)执行如图所示的程序框图,若输出a 的值大于2 014,判断框内为k ≤m ,则整数m 的最小值为________.答案 10 三、解答题1.(本小题满分12分)某制造商3月生产了一批乒乓球,随机抽样100个进行检查,测得每个球的直径(单位:mm),将数据分组如下表:分组 频数 频率 频率/组距[39.95,39.97) 10 [39.97,39.99) 20 [39.99,40.01) 50 [40.01,40.03]20 合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在上图中画出频率分布直方图;(2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为40.00 mm,试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm 的概率;(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).解析(1)分组频数频率频率/组距[39.95,39.97)100.10 5[39.97,39.99)200.2010[39.99,40.01)500.5025[40.01,40.03]200.2010合计100 1频率分布直方图如下:(2)误差不超过0.3 mm,即直径落在[39.97,40.03]范围内,其概率为0.2+0.5+0.2=0.9.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20≈40.00 mm.2.(本小题满分12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了2013年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下表:日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差x(℃)101113128的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率;(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y 关于x 的线性回归方程y ∧=b ∧x +a ∧;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠?解析 (1)记从12月1日至12月5日这5组数据分别用1,2,3,4,5表示.设抽到不相邻的两组数据为事件A ,因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).每种情况都是可能出现的,事件A 包括的基本事件有6种:所以P (A )=610=35.所以选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是35.(2)由数据,求得x =12,y =27.由公式,求得b ∧=52,a ∧=y -b ∧ x =-3.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=52x -3.(3)当x =10,y ^=52×10-3=22,|22-23|<2;同样,当x =8时,y ^=52×8-3=17,|17-16|<2;所以回归方程是可靠的. 3.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X 表示.甲组 乙组⎪⎪⎪9 9 1 1⎪⎪⎪ 0 1X 8 9(1)如果X =8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(2)如果X =9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率.(注:方差s 2=1n[(x 1-x -)2+(x 2-x -)2+…+(x n -x -)2],其中x -为x 1,x 2,…,x n 的平均数)解析 (1)当X =8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10, 所以平均数为:x -=8+8+9+104=354;方差为:s 2=14[(8-354)2+(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116.(2)记甲组四名同学为A 1,A 2,A 3,A 4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B 1,B 2,B 3,B 4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个:(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 1,B 4), (A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 2,B 4), (A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 3,B 4), (A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),(A 4,B 4).用C 表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C 中的结果有4个,它们是:(A 1,B 4),(A 2,B 4),(A 3,B 2),(A 4,B 2).故所求概率为P (C )=416=14.4.(2014·辽宁)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC →=2,cos B =13,b =3.求a 和c 的值、△ABC 面积及△ABC 外接圆面积.解析 由BA →·BC →=2,得c ·a cos B =2. 又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B . 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13.解⎩⎪⎨⎪⎧ ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2.因a >c ,所以a =3,c =2. 5.(本小题满分14分)各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n = 14a 2n +12a n +14(n ∈N *). (1)求a n ;(2)设函数f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧a n ,n 为奇数,f ⎝⎛⎭⎫n 2,n 为偶数,c n =f (2n +4)(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n =14a 2n +12a n +14,① 得,当n ≥2时,S n -1=14a 2n -1+12a n -1+14.②由①-②化简,得(a n +a n -1)(a n -a n -1-2)=0.(3分) 又∵数列{a n }各项为正数,∴当n ≥2时,a n -a n -1=2. 故数列{a n }成等差数列,公差为2. 又a 1=S 1=14a 21+12a 1+14, 解得a 1=1,∴a n =2n -1.(6分)(2)由分段函数f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧a n ,n 为奇数,f ⎝⎛⎭⎫n 2,n 为偶函数,可以得到c 1=f (6)=f (3)=a 3=5,c 2=f (8)=f (4)=f (2)=f (1)=a 1=1.(8分)当n ≥3,n ∈N *时,c n =f (2n +4)=f (2n -1+2)=f (2n -2+1)=2(2n -2+1)-1=2n -1+1.(10分) 故当n ≥3时,T n =5+1+(22+1)+(23+1)+…+(2n -1+1)=6+4(1-2n -2)1-2+(n -2)=2n +n .∴T n =⎩⎪⎨⎪⎧5,n =1,2n+n ,n ≥2.(14分)。
高中数学必修1、2、3、4、5综合试卷及答案详解(优秀经典测试卷)

XXX 中学数学必修1-5测试卷一、选择题(共12个,每个5分,共60分)1.若集合A={1,3,x},B={1,2x },A ∪B={1,3,x}则满足条件的实数x 的个数有( ) (A ) 1个 (B ) 2个 (C )3个 (D ) 4个2.若函数y=f (x )的定义域是[2,4],则y=f (12log x )的定义域是( )(A ) [12,1] (B ) [4,16] (C )[116,14] (D )[2,4 ] 3.设偶函数f (x )的定义域为R ,当[0,)x ∈+∞时f (x )是增函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是( )(A )()f π>(3)f ->(2)f - (B )()f π>(2)f ->(3)f - (C )()f π<(3)f -<(2)f - (D )()f π<(2)f -<(3)f - 4.0.7log 0.8a =, 1.1log 0.9b =,0.91.1c =,那么( )(A )a <b <c (B )a <c <b (C )b <a <c (D )c <a <b 5、已知点(1,2),(3,1)A B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A .524=+y x B .524=-y x C .52=+y x D .52=-y x6、 两直线330x y +-=与610x my ++=平行,则它们之间的距离为( ) A .4 B .21313 C .51326 D .710207.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为( )(A)22(B)4 (C)24(D)28、a ,b ,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若a ∥M ,b ∥M ,则a ∥b ;②若b ⊂M ,a ∥b ,则a ∥M ;③若a ⊥c ,b ⊥c ,则a ∥b ;④若a ⊥M ,b ⊥M ,则a ∥b .其中正确命题的个数有( )A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 9.如图是计算12+14+16+…+120的值的一个程序框图,其中在判断框中应填入的条件是( )A .i <10B .i>10C .i <20D .i >20 10.若P (A ∪B )=1,则事件A 与B 的关系是( )A .A 、B 是互斥事件 B .A 、B 是对立事件C .A 、B 不是互斥事件D .以上都不对11.、在等比数列{}n a 中,117a a ⋅=6,144a a +=5,则1020a a 等于( ) A .32B .23 C .23或32 D .﹣32或﹣2312、△ABC 中,已知()()a b c b c a bc +++-=,则A 的度数等于( )A .120B .60C .150D .30 二.填空题(共4个,每个5分,共20分)13.数列{}n a 的前n 项和*23()n n s a n N =-∈,则5a =14、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为15.已知函数()sin()cos()f x x x =+θ++θ是偶函数,且[0,]2πθ∈,则θ的值为 .16.下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =,2k k Z π∈}. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数3sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π得到3sin 2y x =的图像.⑤函数sin()2y x π=-在[0]π,上是单调递减的.其中真命题的序号是 . 三、解答题(共6题,总分70分 17.已知函数213()cos sin cos 1,22f x x x x x R =++∈.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)求函数()f x 在[,]124ππ上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ,23n n S a n =-(*n N ∈).(Ⅰ)证明数列{3}n a +是等比数列,求出数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设3n n nb a =,求数列{}n b 的前n 项和n T ;19、△ABC 中,c b a ,,是A ,B ,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且cos cos 2B bC a c=-+ (1)求∠B 的大小; (2)若a =4,35=S ,求b 的值。
新课标人教版必修5高中数学综合检测试卷附答案解析

解题技巧
认真审题,理解 题意
运用所学知识, 分析问题
结合实际,联系 生活
细心计算,确保 答案准确
易错点提醒
计算错误:学生可 能因为粗心或计算 能力不足而犯错
概念混淆:学生对 相关概念理解不清 晰,导致填空题答 案错误
逻辑推理错误:学生 在解题过程中,可能 因为逻辑推理不严密 而导致答案错误
审题不清:学生可能因 为审题不仔细,导致理 解题意出现偏差,从而 影响答案的准确性
难度分布:试卷难度适中,注重基础知识的考查,同时也有一定的难度和区分度。
题型设计:本试卷包括选择题、填空题、解答题等多种题型,考查学生的不同能力。
考查重点:本试卷重点考查学生的数学基础知识和应用能力,以及学生的数学思维和解题技 巧。
难度分析
基础题占比: 40%
中档题占比: 40%
难题占比:20%
题目设计注重考查 学生的数学析
题目类型:单项选择题
题目数量:10道
题目难度:中等
解析:对每道题目进行详细的 解析,包括解题思路、方法、 答案等
解题技巧
掌握基础知识:选择题通常考察基础知识点,应熟练掌握相关概念和公式。 仔细审题:读懂题目要求,找出关键信息,避免因误解而选错答案。
排除法:对于一些难以确定答案的选择题,可以采用排除法,排除明显错误的选项。
善于利用选项:有些选择题的答案可以通过代入选项进行验证,从而快速找到正确答案。
易错点提醒
选项中涉及到的知识点是否准确掌握 选项中的陷阱和迷惑性词语是否能够识别 计算和分析过程中是否有遗漏或错误 解题思路和方法是否正确且符合题意
题目类型及解析
题目类型:填空题 题目难度:中等 题目数量:10道 解析:针对每道题目给出详细的解题思路和答案解析
高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)

高中数学必修3和必修5综合检测试卷总分共150分,时间120分钟一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.由11a =,3d =确定的等差数列{}n a ,当298n a =时,序号n 等于 ( )A.99B.100C.96D.1012.ABC ∆中,若︒===60,2,1B c a ,则ABC ∆的面积为 ( ) A .21 B .23 C.1 D.33.在数列{}n a 中,1a =1,12n n a a +-=,则51a 的值为 ( ) A .99 B .49 C .102 D . 1014。
已知0x >,函数4y x x=+的最小值是 ( )A .5B .4C .8D .65.在等比数列中,112a =,12q =,132n a =,则项数n 为 ( )A. 3B. 4C. 5 D 。
6 6。
不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ,那么 ( )A 。
0,0a <∆<B 。
0,0a <∆≤C 。
0,0a >∆≥D 。
0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 ( )A . 5B 。
3 C. 7 D 。
-88.若一组数据a 1,a 2,…,a n 的方差是5,则一组新数据2a 1,2a 2,…,2a n 的方差是( )A.5 B 。
10 C.20 D 。
509。
在△ABC 中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,那么cos C 等于 ( )2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A 、63 B 、108 C 、75 D 、83二、填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)11。
在ABC ∆中,045,3B c b ===,那么A =_____________;12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ,则 此数列的通项公式为________图30.0400.025 0.020 0.010 0.00545 55 65 75 85 9513。
人教A版高中数学必修五第三章综合素质能力检测(Word有详解答案).doc

第三章综合素质能力检测一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的.) 1.a、b∈R,下列命题正确的是( )A.若a>b,则a2>b2B.若|a|>b,则a2>b2C.若a>|b|,则a2>b2D.若a≠|b|,则a2≠b22.设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有( )A.M>N B.M≥NC.M<N D.M≤N3.不等式x2-2x-5>2x的解集是( )A.{x|x≥5或x≤-1}B.{x|x>5或x<-1}C.{x|-1<x<5}D.{x|-1≤x≤5}4.若a>b>0,全集U=R,A={x|ab<x<a},B={x|b<x<a+b2},则(∁U A)∩B为( )A.{x|b<x≤ab} B.{x|ab<x<a+b 2}C.{x|b<x<a+b2} D.{x|x<a+b2或x≥a}5.不等式x+(a-1)y+3>0表示直线x+(a-1)y+3=0( ) A.上方的平面区域B.下方的平面区域C .当a >1时表示上方的平面区域,当a <1时表示下方的平面区域D .当a <1时表示上方的平面区域,当a >1时表示下方的平面区域6.已知方程x 2+2x +2a =0和x 2+2(2-a )x +4=0有且只有一个方程有两个不相等的实根,则实数a 的取值范围是( )A .a <12或a >4B .0≤a <12或a >4C .0<a ≤12或a ≥4D.12<a ≤4 7.已知a >0,b >0,m =a b +ba ,n =a +b ,p =a +b ,则m 、n 、p 的大小顺序是( )A .m ≥n >pB .m >n ≥pC .n >m >pD .n ≥m >p8.(2011·福州模拟)设f (x )=3ax -2a +1,若存在x 0∈(-1,1),使f (x 0)=0,则实数a 的取值范围是( )A .-1<a <15B .a <-1C .a <-1或a >15D .a >159.不等式(x +5)(3-2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-1,或x ≥92B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-1≤x ≤92C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-92或x ≥1D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-92≤x ≤110.设a >b >0,m =a -b ,n =a -b ,则( ) A .m <n B .m >n C .m =nD .不能确定11.若x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y x +y ≤1y ≥-1,则z =-2x +y 的最大值为( )A .1B .-12C .2D .-512.已知f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,a ,b ∈R +,A =f ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2,G =f (ab ),H =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a +b ,则A 、G 、H 的大小关系是( ) A .A ≤G ≤H B .A ≤H ≤G C .G ≤H ≤A D .H ≤G ≤A二、填空题(本大题共4个小题,每个小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上)13.不等式x 2-px -q <0的解集是{x |2<x <3},则不等式qx 2-px -1>0的解集是__________________.14.若点(x ,y )在第一象限,且在直线2x +3y =6上移动,则log 32x +log 32y 的最大值是__________.15.不等式(m +1)x 2+(m 2-2m -3)x -m +3>0恒成立,则m 的取值范围是__________.16.在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +4y <12x -2y <05x -4y >0x 、y ∈N下,目标函数z =x +5y 的最大值为__________.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分12分)求函数f (x )=x+5x +2x +1(x <-1)的最大值及相应x 的值.18.(本小题满分12分)若a <1,解关于x 的不等式axx -2<1 .19.(本小题满分12分)某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数x (x ∈N *)的关系为二次函数(如图所示),则每辆客车营运多少年,其营运的年平均利润最大?20.(本小题满分12分)已知x 、y 都是正数,则满足x +2y +xy=30,求xy 的最大值,并求出此时x 、y 的值.21.(本小题满分12分)已知实数a 、b 、c 满足ab +bc +ca =1,求证:a 2+b 2+c 2≥1.22.(本小题满分14分)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-3,y ≥-4,-4x +3y ≤12,4x +3y ≤36,(1)求目标函数z =2x +3y 的最小值与最大值. (2)求目标函数z =-4x +3y -24的最小值与最大值. 详解答案 1[答案] C[解析] 由不等式的可乘方性质知a >|b |≥0⇒a 2>b 2. 2[答案] A[解析] M -N =(2a 2-4a +7)-(a 2-5a +6) =a 2+a +1=(a +12)2+34>0,∴M >N .3[答案] B[解析] 不等式化为x 2-4x -5>0, ∴(x -5)(x +1)>0,∴x <-1或x >5. 4[答案] A[解析] ∵a >b >0,∴b <ab <a +b2<a ,∵∁U A ={x |x ≤ab 或x ≥a },B ={x |b <x <a +b2},∴(∁U A )∩B ={x |b <x ≤ab }5[答案] C[解析] 根据B 值判断法知,a -1的符号与不等号一致时,表示直线的上方,故a >1时,表示直线上方,因此选C ;也可以取特值检验,a =2时,x +y +3>0表示直线x +y +3=0上方区域(或a =0时,x -y +3>0表示直线x -y +3=0下方区域),故排除A 、B 、D ,选C.6[答案] B[解析] △1=4-8a ,△2=4(a -2)2-16,由题设条件知,⎩⎪⎨⎪⎧△1>0△2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧△1≤0△2>0,∴0≤a <12或a >4.7[答案] A[解析] 取a =1,b =4,检验,m =4.5,n =3,p =5,∴m >n >p 排除C ,D ;又n 2-p 2=a +b +2ab -(a +b )=2ab >0,∴n >p ,∴选A.8[答案] C[解析] 由题意知f (-1)f (1)<0, ∴(-5a +1)(a +1)<0,∴a <-1或a >15.9[答案] D[解析] 解法1:取x =1检验,满足排除A ;取x =4检验,不满足排除B ,C ;∴选D.解法2:直接求解化为:2x 2+7x -9≤0,即(x -1)(2x +9)≤0 ∴-92≤x ≤1.10[答案] A[解析] ∵a >b >0,∴m >0,n >0,且b <ab .m 2-n 2=(a +b -2ab )-(a -b )=2(b -ab )<0∴m 2<n 2,∴m<n .11[答案] A[解析] 作出可行域如下图,当直线y =2x +z 平移到经过可行域上点A (1,-1)时,z 取最大值,∴z max =1.12[答案] A[解析] ∵a ,b ∈R +∴a +b2≥ab ,∴aba +b2≤1,即2ab a +b ≤1,两边同乘以ab ,则2aba +b ≤ab , ∴a +b2≥ab ≥2ab a +b >0.又∵f (x )=(12)x是减函数,∴f (a +b2)≤f (ab )≤f (2aba +b )即:A ≤G ≤H .13[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-12<x <-13[解析] 由条件知,2和3是方程x 2-px -q =0的根, ∴p =5,q =-6,∴不等式qx 2-px -1>0化为6x 2+5x +1<0 ∴(2x +1)(3x +1)<0 ∴-12<x <-13.14[答案] 1[解析] 由题意x >0,y >0,2x +3y =6,∴u =log 32 x +log 32 y =log 32 (x ·y )=log 32 [16(2x ·3y )]≤log 32[16(2x +3y 2)2]=1,等号在2x =3y =3,即x =32,y =1时成立.[点评] 也可以消元,用二次函数最值求解. 15[答案] [-1,1)∪(1,3)[解析] m +1=0时,m =-1,不等式化为:4>0恒成立;m +1≠0时,要使不等式恒成立须⎩⎪⎨⎪⎧m +1>0△<0,即⎩⎪⎨⎪⎧m +1>0m 2-2m -32-4m +1-m +3<0,∴-1<m <3且m ≠1. 综上得-1≤m <3且m ≠1. 16[答案] 13[解析] 可行域如图,A (2,2.5),B (4,2).由于x ,y ∈N 故可行域内整点有:(1,1),(2,2),(3,2) .可见经过(3,2)点时z 取最大值,z max =13.17[解析] ∵x <-1,∴x +1<0.∴f (x )=x +5x +2x +1=x 2+7x +10x +1=x +12+5x +1+4x +1=(x +1)+4x +1+5=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤-x -1+4-x -1+5 ≤-2-x -1·4-x -1+5=-4+5=1.当且仅当-x -1=4-x -1,即x =-3时取等号.所以当且仅当x =-3时,f (x )=x +5x +2x +1最大,最大值为1.18[解析] a =0时,x ∈R 且x ≠2;a ≠0时,ax x -2<1⇔a -1x +2x -2>0 ⇔[(a -1)x +2](x -2)>0. ∵a <1,∴a -1<0. ∴化为(x -21-a )(x -2)<0,当0<a <1时,21-a >2,∴不等式的解为2<x <21-a ;当a <0时,1-a >1,∴21-a <2,∴不等式解为21-a<x <2,∴当0<a <1时,不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <21-a ;当a <0时,不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21-a <x <2;当a =0时,解集为{x ∈R |x ≠2}. 19[解析] 设二次函数为y =a (x -6)2+11(a <0). 又x =4时,y =7,∴a =-1. ∴二次函数为y =-x 2+12x -25. 设年平均利润为z ,则z =y x =-(x +25x)+12≤-2x ·25x+12=2.当且仅当x =25x,即x =5时取等号.故每辆客车营运5年,年平均利润最大.20[解析] 解法1:∵x >0,y >0,∴x +2y ≥22·xy 又x +2y +xy =30,令xy =t ,则22t +t 2≤30,∵t >0∴0<t ≤32,∴0<xy ≤18.当xy =18时,∵x =2y .∴x =6,y =3. 因此当x =6,y =3时,xy 取最大值18. 解法2:由x +2y +xy =30得y =30-xx +2,∵y >0,x >0,∴0<x <30 ∴xy =30-x x x +2=-x 2-30xx +2=-x x +2-32x +2+64x +2=-(x -32)-64x +2=-[(x +2)+64x +2]+34≤-264+34=18,等号在x +2=64x +2即x =6时成立,此时y=30-66+2=3.故当x =6,y =3时,xy 取最大值18. 21[解析] ∵a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,a 2+c 2≥2ac , ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +bc +ca ), ∵ab +bc +ca =1, ∴a 2+b 2+c 2≥1.22[解析] (1)作出可行域(如图A 阴影部分).令z =0,作直线l :2x +3y =0.当把直线l 向下平移时,所对应的z =2x +3y 的值随之减小,所以,直线经过可行域的顶点B 时,z =2x +3y 取得最小值.从图中可以看出,顶点B 是直线x =-3与直线y =-4的交点,其坐标为(-3,-4);当把l 向上平移时,所对应的z =2x +3y 的值随之增大,所以直线经过可行域的顶点D 时,z =2x +3y 取得最大值.顶点 D 是直线-4x +3y =12与直线4x +3y =36的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧-4x +3y =12,4x +3y =36.可以求得顶点D 的坐标为(3,8).所以z min =2×(-3)+3×(-4)=-18,z max =2×3+4×8=38. (2)可行域同(1)(如图B 阴影部分).作直线l 0:-4x +3y =0,把直线l 0向下平移时,所对应的z =-4x +3y 的值随之减小,即z =-4x +3y -24的值随之减小,从图B 可以看出,直线经过可行域顶点C 时,z =-4x +3y -24取得最小值.顶点C 是直线4x +3y =36与直线y =-4的交点,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-4,4x +3y =36,得到顶点C 的坐标(12,-4),代入目标函数z =-4x +3y -24,得z min =-4×12+3×(-4)-24=-84.由于直线l 0平行于直线-4x +3y =12,因此当把直线l 0向上平移到l 1时,l 1与可行域的交点不止一个,而是线段AD 上的所有点.此时z max =12-24=-12.讲评备选练习1.已知a 1,a 2∈(0,1),记M =a 1a 2,N =a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( )A .M <NB .M >NC .M =ND .不确定[答案] B[解析] M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1) =a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)(a 2-1). 又a 1,a 2∈(0,1),则a 1-1<0,a 2-1<0, 则(a 1-1)(a 2-1)>0,则M >N .2.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≤0,3x -y +1≥0,x -y -1≤0,则z =2x+y 的最大值为( )A .1B .2C .3D .4 [答案] B[解析] 画出可行域,如图中的阴影部分所示,由图知,z 是直线y =-2x +z 在y 轴上的截距,当直线y =-2x +z 经过点A (1,0)时,z 取最大值,此时x =1,y =0,则z 的最大值是2x +y =2+0=2.3.当x ∈R 时,不等式kx 2-kx +1>0恒成立,则k 的取值范围是( )A .(0,+∞)B .[0,+∞)C .[0,4)D .(0,4)[答案] C[解析] k =0时满足排除A 、D ;k =4时,不等为4x 2-4x +1>0,即(2x -1)2>0,显然当x =12时不成立.排除B ,选C.[点评] 也可以分k =0与⎩⎪⎨⎪⎧k >0Δ<0讨论.4.设c >1,a =c +1-c ,b =c -c -1,则有( ) A .a >b B .a <bC .a =bD .a 、b 的关系与c 的值有关 [答案] B[解析] a =1c +1+c ,b =1c +c -1,∵c >1,∴c +1+c >c +c -1>1, ∴a <b .5.(2011·德州高二检测)若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |-12<x <13},则a -b 的值为( ) A .-10 B .-14 C .10 D .14[答案] A[解析] 由根与系数的关系知,⎩⎪⎨⎪⎧-12+13=-b a ,-12×13=2a,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =-12b =-2,∴a -b =-10.6.(2010·天津理,8)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x , x >0,log 12-x , x <0.若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)[答案] C[解析] 解法1:由图象变换知函数f (x )图象如图,且f (-x )=-f (x ),即f (x )为奇函数,∴f (a )>f (-a )化为f (a )>0,∴当a ∈(-1,0)∪(1,+∞)时,f (a )>f (-a ),故选C.解法2:当a >0时,由f (a )>f (-a )得,log 2a >log 12a ,∴a >1;当a <0时,由f (a )>f (-a )得,log 12(-a )>log 2(-a ),∴-1<a <0,故选C.7.若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y +1≤0,x >0,则yx -1的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-∞,-1)D .[1,+∞) [答案] B[解析] 可行域为图中阴影部分,yx -1的几何意义是区域内点与点A (1,0)连线的斜率.当过点A 的直线与l 平行时,斜率k =1;当直线过点A 和B (0,1)时,斜率k =-1,故欲使过点A 的直线与可行域有公共点,应有k >1或k <-1,故yx -1>1或yx -1<-1.8.不等式axx -1<1的解集为{x |x <1,或x >2},则a 的值为_____.[答案] 12[解析] 由题意知x =2是方程axx -1=1的根, ∴a =12.9.已知x ,y 为正实数,且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为___________.[答案] 18[解析] 由2x +8y -xy =0得2x +8y =xy , ∴2y +8x=1.∴x +y =(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x +2y =10+8y x +2x y=10+2⎝ ⎛⎭⎪⎫4y x +x y ≥10+2×2×4y x ·x y=18.当且仅当4y x =xy,即x =2y 时取等号,又2x +8y -xy =0,∴x =12,y =6.∴当x =12,y =6时,x +y 取最小值18. [点评] 可以消元,消去y =2xx -8再用基本不等式求解. 10.已知a +b +c =0,求证ab +cb +ca ≤0.[证明] 若a =b =c =0原结论成立;否则至少有两个不为0,则必至少一正,至少一负,不妨设a >0,c <0由于b =-(a +c ),∴ab +bc +ac =b (a +c )+ac =-(a +c )2+ac <0.综上可知ab +bc +ac ≤0成立.反馈练习一、选择题1.已知P :⎩⎪⎨⎪⎧x >a ,y >b,Q :⎩⎪⎨⎪⎧x +y >a +b ,x -ay -b >0,则( )A .若P 成立,则Q 成立B .若Q 成立,则P 成立C .P 与Q 等价D .P 是否成立与Q 无关系 [答案] C[解析] 若⎩⎪⎨⎪⎧x >ay >b ,由同向可加性得x +y >a +b ,又x -a >0,y -b >0,∴(x -a )(y -b )>0;若(x -a )(y -b )>0,则x -a 与y -b 同号,又x +y >a +b即(x -a )+(y -b )>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x -a >0y -b >0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x >a y >b.2.设x >0,y >0,M =x +y 2+x +y ,N =x 2+x +y2+y,则M 、N 的大小关系是( )A .M >NB .M ≥NC .M <ND .M ≤N[答案] C[解析] N =x 2+x +y2+y >x 2+x +y +y2+x +y=x +y 2+x +y=M . 3.不等式(1+x )(1-|x |)>0的解集是( ) A .{x |0≤x <1} B .{x |x <0且x ≠-1 C .{x |-1<x <1} D .{x |x <1且x ≠-1}[答案] D[解析] (1+x )(1-|x |)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥01-x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <01+x2>0⇔x <1且x ≠-1.[点评] 也可以用检验的方法:令x =0满足排除B ;令x =-2满足排除A ,C .4.设a >0,b >0,则下列不等式中正确的有几个( ) (1)a 2+1>a ; (2)(a +1a )(b +1b)≥4;(3)(a +b )(1a +1b)≥4;(4)a 2+9>6a ; (5)a 2+1+1a 2+1>2.A .1B .2C .3D .4[答案] D[解析] ∵a >0,b >0,∴a 2+1≥2a >a ,∴①正确; (a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(b a +ab)≥2+2=4,等号在a =b 时成立,∴②正确;(a +b )(1a +1b )=2+b a +ab≥4.等号在a =b 时成立,∴③正确;∵a 2+9-6a =(a -3)2≥0,∴a 2+9≥6a .等号在a =3时成立,∴④错误;a 2+1+1a 2+1≥2.等号在a =0时成立,但a >0,∴a 2+1+1a 2+1>2,∴⑤正确.故正确的不等式有4个.5.表示图中阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥-1,2x -y +2≥0B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥-1,2x -y +2≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,y ≥-1,2x -y +2≥0D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,y ≥-1,2x -y +2≤0[答案] C[解析] 取平面区域内的点(-12,0)检验知,满足y ≥-1,和2x -y +2≥0,又x ≤0,排除A 、B 、D ,∴选C.6.若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈(0,12]成立,则a 的最小值为( )A .0B .-2C .-52D .-3[答案] C[解析] ∵x ∈(0,12],∴a ≥-x 2-1x =-x -1x.由于函数y =x +1x 在(0,12]上单调递减,∴在x =12处取得最小值52.∴-(x +1x )≤-52.∴a ≥-52.7.设M =a +1a -2 (2<a <3),N =log 0.5(x 2+116)(x ∈R )那么M 、N 的大小关系是( ) A .M >N B .M =N C .M <N D .不能确定[答案] A[解析] ∵2<a <3,∴a -2>0,M =a +1a -2=a -2+1a -2+2>4,N =log 0.5(x 2+116)≤log 0.5116=4,∴M >N .8.已知f (x )是R 上的增函数,A (0,-1)、B (3,1)是其图像上的两点,那么| f (x +1)|<1的解集是( )A .(-1,2)B .(1,4)C .(-∞,1]∪[4,+∞)D .(-∞,-1]∪[2,+∞)[答案] A[解析] 由题设知f (0)=-1,f (3)=1,不等式|f (x +1)|<1化为-1<f (x +1)<1, 即f (0)<f (x +1)<f (3)∵f (x )在R 上单调递增,∴0<x +1<3,∴-1<x <2.9.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x x >1-1x ≤1,则不等式xf (x )-x ≤2的解集为( )A .[-2,2]B .[-1,2]C .(1,2]D .[-2,-1]∪(1,2][答案] B[解析] 不等式xf (x )-x ≤2化为:Ⅰ.⎩⎪⎨⎪⎧x >1x 2-x ≤2或Ⅱ.⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1-x -x ≤2由(Ⅰ)得1<x ≤2.由(Ⅱ)得-1≤x ≤1.∴原不等式的解为-1≤x ≤2.10.已知log 2(x +y )=log 2x +log 2y ,则x +y 的取值范围是( ) A .(0,1] B .[2,+∞) C .(0,4] D .[4,+∞)[答案] D[解析] 由题设log 2(x +y )=log 2(xy ), ∴x +y =xy 且x >0,y >0,∴y =xx -1>0,∴x >1,∴x +y =x +xx -1=x -1+1x -1+2≥4,等号在x -1=1x -1即x =2时成立.11.设O 为坐标原点,点M 坐标为(2,1),若点N (x ,y )满足不等式组:⎩⎪⎨⎪⎧x -4y +3≤0,2x +y -12≤0,x ≥1.则使OM →·ON →取得取大值的点N 的个数是( )A .1B .2C .3D .无数个[答案] D[解析] OM →=(2,1),ON →=(x ,y ),z =OM →·ON →=2x +y .画出可行域如图,当直线2x +y -z =0与直线2x +y -12=0重合时,z 取最大值,此时N 点有无数个.12.下列函数中,最小值是4的函数是( ) A .y =x +4xB .y =sin x +4sin x (0<x <π)C .y =e x +4e -xD .y =log 3x +log x 81 [答案] C[解析] 当x <0时,y =x +4x≤-4,排除A ;∵0<x <π,∴0<sin x <1.y =sin x +4sin x ≥4.但sin x =4sin x 无解,排除B ;e x >0,y =e x +4e -x ≥4.等号在e x =4ex 即e x =2时成立.∴x =ln 2,D 中,x >0且x ≠1,若0<x <1,则log 3x <0,log x 81<0,∴排除D.二、填空题13.若关于x 的不等式ax 2-6x +a 2<0的解集是(1,m ),则m =________.[答案] 2[解析] 由题意知a >0且1是方程ax 2-6x +a 2=0的一个根,∴a =2,∴不等式为2x 2-6x +4<0,即x 2-3x +2<0, ∴1<x <2,∴m =2.14.(2012·山东理,13)若不等式|kx -4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3},则实数k =________.[答案] 2[解析] 本题考查了绝对值不等式的解法.由|kx -4|≤2可得-2≤kx -4≤2,即2≤kx ≤6,而1≤x ≤3,所以k =2.掌握好绝对值不等式的常见解法.[点评] 也可把不等式转化为方程来解决,如由题意可知x =1,x =3是方程|kx -4|=2的两根,则⎩⎪⎨⎪⎧|k -4|=2|3k -4|=2,解得k =2.15.某超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折;(3)一次性购物超过300元的一律八折,有人两次购物分别付款80元,252元.如果他一次性购买与上两次相同的商品,则应付款_______.[答案] 当第二次购物费超过300元时,应付316元; 当第二次购物费不超过300元时,应付288元.[解析] 该人一次性购物付款80元,据条件(1)、(2)知他没有享受优惠,故实际购物款为80元;另一次购物付款252元,有两种可能,其一购物超过300元按八折计,则实际购物款为2520.8=315元.其二购物超过100元但不超过300元按九折计算,则实际购物款为2520.9=280元.故该人两次购物总价值为395元或360元,若一次性购买这些商品应付款316元或288元.16.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x +3y +8>0x <0y <0表示的平面区域内的整点坐标是__________.[答案] (-1,-1)[解析] 作出不等式组表示的平面区域如下图,可见整点只有(-1,-1).三、解答题17.设a ,b ,c ∈R 且a +b +c =1,求证a 2+b 2+c 2≥13.[解析] ∵a +b +c =1,∴1=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac )≤3(a 2+b 2+c 2),∴a 2+b 2+c 2≥13.18.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>02x 2+2k +5x +5k <0的整数解只有-2,求k 的取值范围.[分析] 不等式组的解集是各个不等式解集的交集,因此,分别求解两个不等式,就其交集中只有整数-2,求k .[解析] 由x 2-x -2>0,得x <-1或x >2.方程2x 2+(2k +5)x +5k =0有两个实数解x 1=-52,x 2=-k .(1)当-52>-k ,即k >52时,不等式2x 2+(2k +5)x +5k <0的解为-k <x <-52,显然-2∉⎝⎛⎭⎪⎫-k ,-52.(2)当-k =-52时,不等式2x 2+(2k +5)x +5k <0解集为∅.(3)当-52<-k ,即k <52时,不等式2x 2+(2k +5)x +5k <0的解为-52<x <-k .∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <-1,-52<x <-k ,或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,-52<x <-k 确定.∵原不等式组只有整数解-2,∴⎩⎪⎨⎪⎧k <52,-k >-2,-k ≤3.∴-3≤k <2.故所求k 的取值范围是{k |-3≤k <2}.[点评] -k >-2保证不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <-1-52<x <-k 的解集中只含有整数-2;-k ≤3保证⎩⎪⎨⎪⎧x >2-52<x <-k 的解集中不含有整数,才能实现原不等式解集中只有整数-2.19.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应的提高比例为0.75x ,同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内?[解析] (1)依题意得y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1000×(1+0.6x )(0<x <1).整理,得:y =-60x 2+20x +200(0<x <1). ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y =-60x 2+20x +200(0<x <1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y - 1.2-1×1000>00<x <1,即⎩⎪⎨⎪⎧-60x 2+20x >00<x <1,解得:0<x <13,所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应满足0<x <13.20.已知△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且3sin 2B +3sin 2C -2sin B sin C =3sin 2A ,a =3,求AB →·AC →的最大值.[解析] ∵3sin 2B +3sin 2C -2sin B sin C =3sin 2A ,由正弦定理得3b 2+3c 2-2bc =3a 2,即3b 2+3c 2-3a 2=2bc ,再由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =13.∵a =3,∴3b 2+3c 2-2bc =9≥6bc -2bc =4bc , ∴bc ≤94,当且仅当b =c 时等号成立.∴AB →·AC →=c ·b ·cos A =bc 3≤34,故AB →·AC →的最大值为34.21.设z =2x +y ,变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -4y ≤-33x +5y ≤25x ≥1,求z的最大值与最小值.[解析]满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x -4y ≤-33x +5y ≤25x ≥1的可行域如图,将目标函数z =2x +y 变形为y =-2x +z ,直线y =-2x +z 是斜率k =-2的平行线系,z 是它们的纵截距.作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值.由⎩⎪⎨⎪⎧x -4y +3=03x +5y -25=0得A (5,2),由⎩⎪⎨⎪⎧x =1x -4y +3=0得B (1,1),将A 、B 点坐标代入z =2x +y 中得,过A 点时z max =12,过B 点时z min =3.22.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0),方程f (x )-x =0的两个根x 1,x 2满足0<x 1<x 2<1a.(1)当x∈(0,x1)时,求证:x<f(x)<x1;(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称,求证:x0<x1 2.[证明](1)令F(x)=f(x)-x.∵x1,x2是方程f(x)-x=0的根,∴F(x)=a(x-x1)(x-x2).当x∈(0,x1)时,由于x1<x2,得(x-x1)(x-x2)>0.又a>0,得F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x).x1-f(x)=x1-[x+F(x)]=x1-x+a(x1-x)(x-x2)=(x1-x)[1+a(x-x2)].∵0<x<x1<x2<1a,∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0. 得x1-f(x)>0.由此得f(x)<x1.∴x<f(x)<x1.(2)依题意知x0=-b2a .∵x1、x2是方程f(x)-x=0的根,即x1、x2是方程ax2+(b-1)x +c=0的根,∴x1+x2=1-b a,x0=-b2a =a x1+x2-12a=ax1+ax2-12a.∵ax2<1,∴x0<ax12a=x12.。
人教A版高中数学必修五 必修三综合测试.docx

高中数学必修三必修五综合测试时间:120 分值:150一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) (1)《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 1/3是较小的两份之和,问最小一份为(A )10 (B )5 (C )6 (D )11(2)不等式()()12-+x x >0的解集为(A ){x x <—2或x >1} (B ){x —2<x <—1} (C ){x x <—1或x >2} (D ){x —1<x <2}(3)在△ABC 中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若B b A a sin cos =,则 B A A 2cos cos sin +等于 (A )21-(B )21 (C )—1 (D )1(4)数列{n a }满足n a =)1(2+n n ,若前n 项和n S >35,则n 的最小值是(A )4 (B )5 (C )6 (D )7(5)已知a >0,b >0,1=+b a ,则ba 221--的最大值为 (A )—3 (B )—4 (C )41- (D )29-(6)某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示,如图,则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为(A )20、18 (B )13、19 (C )19、13 (D )18、20 (7)数列{n a }的通项公式n a =2cos 41πn +,其前n 项和为n S ,则2012S 等于 (A )1006 (B )2012 (C )503 (D )022011≤--≥+-≥y x y x x 若y ax +的最小值为3,则a 的值为(8)已知点()y x M ,满足 (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 (9)如图,程序框图所进行的求和运算是 (A )201...614121++++(B )191...51311++++ (C )181...41211++++(D )103221...212121++++ (10)函数)(x faxex x 1223++ 在[﹣2,3]上的最大值为2,则实数a 的 取值范围是(A )⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,ln 312 (B )⎥⎦⎤⎢⎣⎡2ln 31,0(C )(]0,∞- (D )⎥⎦⎤⎝⎛∞-2ln 31,(11)在R 上定义运算⊗:b a ab b a ++=⊗2,则满足0)2(<-⊗x x 的实数x 的取值范围为(A )()2,0 (B )()2,1- (C )()()+∞-∞-,12,U (D )()1,2- (12)数列{n a }中,若11=a ,nnn a a a 211+=+,则这个数列的第10项=10a(A )19 (B )21 (C )191 (D )211 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)(13)锐角三角形的三边分别为3,5,x ,则x 的范围是___________(14)y x ,满足 (15)已知x 与y 之间的一组数据: 则y 与x 的线性回归方程______ (16)若函数tx xt x tx x f ++++=222sin 2)(()0>t 的最大值为M ,最小值为N ,且4=+N M ,则实数t 的值为 .三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)(17) (本小题满分10分)已知函数R x x a x x f ∈-+-=,21)( x 0 1 2 3 y1357x (>0)第9题图(Ⅰ)当25=a 时,解不等式10)(+≤x x f (Ⅱ)关于x 的不等式a x f ≥)(在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.(18) (本小题满分12分)已知等差数列{n a }首项11=a ,公差为d ,且数列{n a2}是公比为4的等比数列 (1)求d ;(2)求数列{n a }的通项公式n a 及前n 项和n S ;(3)求数列{1.1+n n a a }的前n 项和n T(19) (本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得 到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间,,内的频率之比为4:2:1.(20) (本小题满分12分)在△ABC 中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且满足C a A c cos sin =(1)求角C 的大小;(2)求)cos(sin 3C B A +-的取值范围.(21) (本小题满分12分)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估。
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高中数学必修3和必修5综合检测试卷总分共150分,时间120分钟一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.由11a =,3d =确定的等差数列{}n a ,当298n a =时,序号n 等于 ( )A.99B.100C.96D.1012.ABC ∆中,若︒===60,2,1B c a ,则ABC ∆的面积为 ( ) A .21B .23 D.33.在数列{}n a 中,1a =1,12n n a a +-=,则51a 的值为 ( ) A .99 B .49 C .102 D . 1014.已知0x >,函数4y x x=+的最小值是 ( ) A .5 B .4 C .8 D .65.在等比数列中,112a =,12q =,132n a =,则项数n 为 ( ) A. 3B. 4C. 5D. 66.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ,那么 ( ) A. 0,0a <∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>7.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 ( )A . 5 B. 3 C. 7 D. -8 8.若一组数据a 1,a 2,…,a n 的方差是5,则一组新数据2a 1,2a 2,…,2a n 的方差是( )9.在△ABC 中,如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =,那么cos C 等于 ( )2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48,前2n 项和为60,则前3n 项和为( )A 、63B 、108C 、75D 、83二、填空题(本题共5小题,每小题5分,共25分)11.在ABC ∆中,045,B c b ===, 那么A =_____________;12.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ,则 此数列的通项公式为________13.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的 分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到频率分布直方图如图3,则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 .13.有一个简单的随机样本:10, 12, 9, 14, 13,则样本平均数x =______ ,样本方差2s =______ 。
14.已知数列{a n }的前n 项和2n S n n =+,那么它的通项公式为a n =_________三、解答题 (本大题共6个小题,共75分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(10分) 已知等比数列{}n a 中,45,106431=+=+a a a a ,求其第4项及前5项和. 17.(12分) 围建一个面积为360m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位:元)。
(1)将y 表示为x 的函数:(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
18.(12分)在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b是方程220x -+=的两个根, 且2()1coc A B +=。
求:(1)角C 的度数; (2)AB 的长度。
19.(13分)若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ,(1) 求a 的值;(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.20.(14分)如图,货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺 时针转到目标方向线的水平角)为︒152的方向航行.为了确定船位,在B 点处AC观测到灯塔A 的方位角为︒122.半小时后,货轮到达C 点处,观测到灯塔A 的方位角为︒32.求此时货轮与灯塔之间的距离.21.(14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的正整数n ,都有51n n a S =+成立,记*4()1nn na b n N a +=∈-。
(I )求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式;(II )设数列{}n b 的前n 项和为n R ,是否存在正整数k ,使得4n R k ≥成立若存在,找出一个正整数k ;若不存在,请说明理由;(III )记*221()n n n c b b n N -=-∈,设数列{}n c 的前n 项和为n T ,求证:对任意正整数n 都有32n T <;高中数学必修3和必修5综合检测试卷参考答案一.选择题。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B CDBCACCDA二.填空题。
11. 15o 或 75o 12.n a =2n -3 13.1{2}3x x -<< 14. 15.n a =2n三.解答题。
15.解:设公比为q , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分由已知得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45105131211q a q a q a a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3分 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+45)1(①10)1(23121ΛΛΛΛΛq q a q a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 5分 ②÷①得 21,813==q q 即 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7分 将21=q 代入①得 81=a , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8分 1)21(83314=⨯==∴q a a , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10分231211)21(181)1(5515=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯=--=q q a s ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12分 16. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m 则2y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a -360 由已知xa=360,得a=x360, ②所以y=225x+)0(3603602φx x- (II)108003602252360225,022=⨯≥+∴xx x φΘ 104403603602252≥-+=∴xx y .当且仅当225x=x 2360时,等号成立.即当x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.17. 解:(1)()[]()21cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C =120°┄┄┄5分 (2)由题设:232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分︒-+=•-+=∴120cos 2cos 222222ab b a C BC AC BC AC AB ()()102322222=-=-+=++=ab b a ab b a ┄13分10=∴AB ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 18.(1)依题意,可知方程2520ax x +-=的两个实数根为12和2,┄┄┄┄┄┄2分 由韦达定理得:12+2=5a - ┄4分解得:a =-2 ┄6分(2)1{3}2x x -<< ┄┄┄12分19.在△ABC 中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o,∠A=180o-30o-60o=90o, ┄┄┄5分 BC =235, ┄┄7分 ∴AC=235sin30o=435. ┄┄13分答:船与灯塔间的距离为435n mile .┄┄┄14分20.【解析】(I )当1=n 时,111151,4=+∴=-a S a 又1151,51++=+=+Q n n n n a S a S11115,4即+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列{}n a 是首项为114=-a ,公比为14=-q 的等比数列,∴1()4=-n n a ,*14()4()11()4+-=∈--nn n b n N …………………………3分(II )不存在正整数k ,使得4n R k ≥成立。
证明:由(I )知14()5441(4)11()4+-==+----nn nn b 212212555201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)--⨯-+=++=+-=-<-----+-+Q k k k k k k k k k b b∴当n 为偶数时,设2()n m m N *=∈∴1234212()()()84n m m R b b b b b b m n -=++++++<=L 当n 为奇数时,设21()n m m N *=-∈∴1234232221()()()8(1)4844n m m m R b b b b b b b m m n ---=+++++++<-+=-=L ∴对于一切的正整数n ,都有4n R k <∴不存在正整数k ,使得4n R k ≥成立。
…………………………………8分 (III )由54(4)1n n b =+--得2122212255151615161516154141(161)(164)(16)3164(16)16n n n n n n n n n n n n n nc b b --⨯⨯⨯=+=+==<=-+-++⨯-又1221343,,33b bc ==∴=, 当1=n 时,132T <, 当2n ≥时,2223211[1()]41114161625()2513161616311614693162513482116n n n T --<+⨯+++=+⨯-<+⨯=<-L ………………………14分。