概率论_练习题

一、简答题(每题8分, 共计40分)

1. 事件的独立性是否存在传递性? 即事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相

互独立，能否推知事件A 与事件C 相互独立？试举例说明.

解答 事件的独立性不存在传递性. (3分)

反例 独立地抛掷出一枚硬币和一个骰子，令三个事件如下

}{出现正面=A ，}6{点掷出第=B ，}{C 出现反面= (6分)

则事件A 与事件B 相互独立，事件B 与事件C 相互独立，但事件A 与事件C 不相互独立. (8分)

2. 给出多维随机变量相互独立和两两独立的概念，为什么说多维随机变量的独立性本质上是随机事件组的独立性？

解答 设n 维随机变量),,,(21n X X X 的联合分布函数为),,(21n x x x F ，若对所有实数组

),,(21n x x x 均有

)()()(),,(221121n n n x F x F x F x x x F =

成立, 称n X X X ,,,21 相互独立. (3分)

若对一切1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n 及),(21i i x x 都有)()(),(221211i i i i i x F x F x x F = 成立则n 维随机变量),,,(21n X X X 两两独立. (5分)

根据分布函数的定义, n 维随机变量),,,(21n X X X 相互独立即对任意实数向量(x 1 , x 2, …, x n ), n 个随机事件A k ={X k ≤ x k }, k =1,2, …, n ， 都相互独立. (8分)

3. 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：P {X =－1}= P {Y =－1}=21, P {X =1}= P {Y =1}=21

，试

计算概率P {X=Y }和P {解答 根据X 与根据随机变量X 与Y 有下表

(X , Y ) (－1, －1)

(－1, 1) (1, －1) (1, 1) p

41

41

41

41

可得 P {X=Y }=41+41=21, P {X+Y =0}=41+41=21

(8分)

注

4. 在区间[0, 2]上任意取两个数x , y ，试求两数满足不等式x y x 442

≤≤的概率.

解答 “任意选取两个数”意味x 和 y 在[0, 2]上 等可能被选取，即二维随机点( X , Y )在边长为2 的正方形上服从均匀分布， (3分)

所求概率为

.3

1

)41(41202=-=⎰dx x x p (8分)

5.

假设随机变量X 服从指数分布，试求 Y = min{X , 2}的分布函数，并讨论随机变量Y 是否为连

续型随机变量，为什么？

解 })2,{m in()(y X P x F X ≤= ⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤≤<=.2,1;20},{;0,

0y y y X P y (3分)

⎪⎩

⎪

⎨⎧≥<≤-<=-.2,1;20,1;0,

0y y e y y λ (6分) 连续型随机变量的分布函数处处连续,)(x F X 在y =2处不连续，故Y 非连续型随机变量 (8分) 二、 二、证明题 (12分)已知随机变量X 与Y 相互独立, 且X ~U (0,1), Y~B (1, p ). 证明X 2与

Y 2相互独立.

证明 需证 对任意的R y ∈及k = 0,1，随机事件}{2y X ≤与}{2k Y =相互独立. (3分) 因Y 与Y 2同分布，且X 与Y 相互独立, 当0≥y ，k =0,1 (5分) }{}{}{}{222y X P y X y P k Y y X y P k Y y X P ≤=≤≤-==≤≤-==≤ (9分)

当0

得 分

}{0}{222y X P k Y y X P ≤===≤ (12分)

故X 2与Y 2相互独立.

或证明 任意实数对(x , y ), (X 2, Y 2)联合分布函数G (x , y )满足

)()(),(22y F x F y x G Y X =

三、 (14分) 设电源电压)25,220(~2

N X （单位：V ），通常有三种状态：（a ）

电压 不超过200V ；（b ）电压在200V ~240V 之间；（c ）电压超过~240V . 在上述三种状态下，某电子元件损坏的概率分别0.1，0.001及0.2，试求1）该电子元件损坏的概率； 2）在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于什么状态？（附：8849.0)2.1(,7881.0)8.0(=Φ=Φ）

解 记 =1A {电压处于状态a }, =2A {电压处于状态b }, =3A {电压处于状态c },

B ={该元件损坏}，则321,,A A A 构成Ω的一个划分，且

1.0)(1=A B P ，001.0)(2=A B P ，

2.0)(3=A B P (3分)

2119.0)8.0()25

220

200(

}200{)(1=-Φ=-Φ=≤=X P A P ， 2119.0)8.0(1)25

220

240(

1}240{)(3=Φ-=-Φ-=≥=X P A P 5762.0)()(1)(312=--=A P A P A P (8分)

由全概率公式 0642.0)()()(3

1

==∑=i i

i

A B P A P B P (10分)

（2）由贝叶斯公式

3301.00642.01.02119.0)()()()(111=⨯==

B P A B P A P B A P ，0090.0)

()

()()(222==B P A B P A P B A P ，

6601.0)(3=B A P ， (12分)

在电子元件损坏的情况下，分析电压最可能处于状态（c ）. (14分)

四、(14分)设随机变量321,,X X X 相互独立且都服从参数为p 的0-1分布，已知矩阵

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡3221X X X X 为正定矩阵的概率为81

. 试求1)参数p 的值; 2) 随机变量3

221X X X X Y =的概

率}0{=Y P .

解 1) 因矩阵正定的充分必要条件是其所有顺序主子式都大于0, 故有 (3分)

)1(}1,0,1{}0,0{8

1232122311p p X X X P X X X X P -=====>->= 解得2

1

=

p . (7分) 2) 随机变量2

231X X X Y -=的全部取值为1,0,1-, (10分)

}0{}0{2

231=-==X X X P Y P