高等数学(理工类一)A

高等数学一 试题

（ 理工科 专业 用） 闭卷

注意：学号、姓名和所在年级班级不写、不写全或写在密封线外者，试卷作

废。

一、填空题（每空3分，共15分）

1、=+→)sin 11sin (lim 0x x

x x x 2、()x y 2sin =，则='y

3、若C e x dx x xf x +=⎰2

)(，其中C 为任意常数，则)(x f = 4、⎰-+π

πdx x x 2cos 1= 5、微分方程x y y ='+''3的阶数是

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

6、)(x f 在0x x =点连续是)(x f 在0x 点可导的（ ）

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、既非必要条件也非充分条件

7、函数104)(2

+-=x x x f 在区间[]4,0上是（ ） A 、递减函数 B 、递增函数 C 、先递减后递增 D 、先递增后递减

8、下列等式中正确的是（ ）

A 、⎰=)()('x f dx x f

B 、⎰=)()(x f x df

C 、⎰=)(])([x f dx x f d

D 、⎰

=dx x f dx x f d )(])([ 9、设⎰=1

0dx e a x ，⎰=10

dx e b x ，则a 与b 的关系为（ ） A 、b a < B 、b a = C 、b a > D 、不确定

10、微分方程()0='+y y x 的通解为（ ）

A 、x y -= 或C y =

B 、

C y = C 、x y -=

D 、1=y

三、计算题（每小题8分，共56分）

11、x x x --→11lim 0 12、x

e e x x x tan lim 0-→-

13、设)1ln(2x x y ++=求'y 14、

⎰-12x dx

15、

⎰10dx xe x 16、计算微分方程043=-'-''y y y 的通解.

17、求微分方程02=+xdx dy 满足初始条件12==x y 的特解.

四、应用题（每小题7分，共14分）

18、求由抛物线2

x y =,1=x ,0=y 所围图形的面积.

19、用一块边长为1m 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起90°，做成一个无盖的方形容器，问截掉的小正方形边长为多长时，所得容器的容积最大？

成人高等教育课程考试《高等数学一》课程考试

A 卷参考答案及评分标准

高等数学（一） 课程 A 卷

答案及评分标准

一、 填 空 题（5×3分）

1、1

2、x 2cos 2

3、()x e x 2+

4、0

5、2

二、选 择 题（5×3分）

6、A

7、C

8、D

9、B 10、B

三、 解 答 题（7×8分）：

11、原式=()

x x x x ---+→11)11(lim 0 ----------3分 = ()

x x -+→11lim 0 ----------3分 =2 --------- 2分

12、原式=x

e e x

x x -→-0lim ----------3分 1

lim 0x

x x e e -→+= ----------3分 =2 --------- 2分

13、()

'++++=22111x x x

x dx dy ----------4分 222111111x x x x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= ----------4分 14、令tdt dx t ，x x t =+=-=,2

1122 -----------3分 原式C x C t dt t

t +-=+==⎰12 ----------5分 15、原式=dx e xe de x x x x ⎰⎰-=1

1010| ----------5分 1|10=-=x e e ----------3分 16、解：所给方程的特征方程为

0432=--r r ----------2分

特征根为 11-=r ，42=r ， ----------2分

因此所求通解为

x x e C e C y 421+=- ----------4分 17、分离变量得 x x dy d 2-=, ----------2分 两边积分得C x y +-=2, ----------2分 将初始条件12==x y 代入通解得5=C ，即特解为52+-=x y -----4分

四、应用题（2×7分）

18、所围图形的面积为3

131

03

102==⎰x dx x ----------7分 19、解：设截掉的小正方形边长为x cm ，则做的容器的底边长为x 21-cm ，故容积

为：

()()300,212

<<-=x x x y ----------3分 令0='y ，得驻点5.0,6

121==x x 舍掉。 ----------2分 由于容器的最大容积在()5.0,0内一定存在，且只有一个驻点，所以当边长为

61m 时容积最大 ----------2分