第十届中国东南地区数学奥林匹克试题

第十届中国东南地区数学奥林匹克

(第二天 2013年7月28日 上午8:00-12:00) 江西 鹰潭

()(){}2013

15.!1,3,5,,2013i x f x n f x n i =⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

∑ 设。对于整数，若关于x 的方程有实数解，则称n 为“好数”。试求集合中有多少个好数

1216.1,,,k n n p k k n p p p A A p x x

==∏ 设是大于的整数。将前n 个素数由小到大依次记为。

令，试求所有正整数x ，使得

是偶数，且恰恰有个正约数。 7.3322⨯⨯⨯把的正方形任一个角上的正方形挖去，剩下的图形称为“角形”。今在1010的方格表中放置一些两两不重叠的角形，要求角形的边界与方格表的边界或分格线重合。

试求正整数k 的最大值，使得无论以何种方式放置k 个角形之后，总能在方格表中再放入一个完整的角形。 ()()

()()()()()111

1

8.3,,0,1,,,01,2,...,,,,,01,2,...,,k k k n n n k k k k k k n k k k k k k k n a b c k n k a k b k c a b c k n k a b c αβγααββγγ

λλλ====≥∈>=+≤+≤+≤>=+≤∑∑∑∑设正整数，实数且若满足上述条件的，均有试求最小值。