平抛运动与斜抛运动

平抛运动与斜抛运动

知识点一平抛运动

1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动．

2．性质：平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线．

3．平抛运动的条件：(1)v0≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用．

4．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．5．基本规律(如图所示)

(1)速度关系

(2)位移关系

(3)轨迹方程：y＝

g

2v20x2

知识点二斜抛运动

1．定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．

2．性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．

3．研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动．

【基础自测】

1．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈，都能套中地面上同一目标．设铁圈在空中运动时间分别为t1、t2，则(D)

A．v1＝v2B．v1>v2

C．t1＝t2D．t1>t2

解析：根据平抛运动的规律h＝1

2gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t1>t2，所以选项C错误，D正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据x＝v t，可得v1

2．在同一水平直线上的两位置分别沿同方向水平抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力．要使两球在空中相遇，则必须(C)

A．先抛出A球B．先抛出B球

C．同时抛出两球D．使两球质量相等

解析：由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移h相同，由h＝1

2gt2可以判断两球下落时间相同，即应同时抛出两球，故选项C正确，A、B错误；下落时间与球的质量无关，故选项D错误．

3．如图所示，某物体自空间O点以水平初速度v0抛出，落在地面上的A点，其轨迹为一抛物线．现仿此抛物线制作一个光滑滑道并固定在与OA完全重合的位置上，然后将此物体从O点由静止释放，受微小扰动而沿此滑道滑下，在下滑过程中物体未脱离滑道．P为滑道上一点，OP连线与竖直方向成45°，则此物体(B)

A．由O点运动至P点的时间为2v0 g

B．物体经过P点时，速度的水平分量为25 5v0

C．物体经过P点时，速度的竖直分量为v0

D ．物体经过P 点时的速度大小为

22

5v 0

解析：OP 连线与竖直方向成45°，则平抛运动的竖直位移与水平位移相等，有v 0t ＝1

2gt 2，解得t ＝2v 0g ，而沿光滑轨道由

静止下滑的物体除受重力外，还受轨道的支持力，其运动不是平抛运动，所以下滑至P 的时间不为

2v 0

g

，故选项A 错误；平抛运动竖直方向分速度为v y ＝gt ＝2v 0，设瞬时速度方向与水平方向成θ角，则有tan θ＝v y

v 0＝2.由静止沿轨道下滑过程，由动

能定理得mgh ＝1

2m v 2，而平抛运动时v 2y ＝2gh ，解得v ＝2v 0，故选项D 错误；物体经过P 点时，速度的水平分量为v x ＝v cos θ＝2v 0×

55＝255v 0，竖直分量为v y ＝v sin θ＝2v 0×255＝45

5v 0

，故选项B 正确，C 错误． 4．如图所示，球网高出桌面H ，网到桌边的距离为L ，某人在乒乓球训练中，从左侧L

2处，将球沿垂直于网的方向水平

击出，球恰好通过网的上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( D )

A ．击球点的高度与网高度之比为2

1

B ．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2

1

C ．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为12

D ．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1

2

解析：因为水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左侧水平位移的两倍，所以网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h ＝1

2

gt 2可知，击球点的高度与网高之比为9

8，故选项A 、B 错误；球恰好通过网的上沿的时

间为落到右侧桌边缘的时间的1

3，竖直方向做自由落体运动，根据v ＝gt 可知，球恰好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧

桌边缘的竖直分速度之比为1

3，根据v ＝v 20＋v 2

y 可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1

2，故选项C 错

误；网右侧运动时间是左侧的两倍，Δv ＝gt ，所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为12，故选项D 正确．

知识点一 平抛运动的规律

1．基本规律 (1)速度关系

(2)位移关系

2．实用结论

(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．

(2)水平位移中点：因tanα＝2tanβ，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示．

1．在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(B)

A．速度和加速度的方向都在不断变化

B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小

C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等

D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等

解析：由于物体只受重力作用，做平抛运动，故加速度不变，速度大小和方向时刻在变化，选项A错误；设某时刻速度

与竖直方向(即加速度方向)夹角为θ，则tanθ＝v0

v y＝

v0

gt，随着时间t变大，tanθ变小，θ变小，故选项B正确；根据加速度定

义式a＝Δv

Δt＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，但速率的改变量不相等，故选项C错误；根据动

能定理，动能的改变量等于重力做的功，即W G＝mgh，对于平抛运动，在竖直方向上，相等时间间隔内的位移不相等，即动能的改变量不相等，故选项D错误．

2．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(C)

A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多

B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大

C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大

解析：发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝1

2gt2，可知两球下落相

同距离h所用的时间是相同的，选项A错误；由v2y＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度v y相同，选项B 错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝v t，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误．3．(2019·抚顺一模)如图所示，离地面高h处有甲、乙两个物体，甲以初速度v0水平射出，同时乙以初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下．若甲、乙同时到达地面，则v0的大小是(A)

A.gh

2 B.gh

C.2gh

2D．2gh

解析：甲做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝1

2gt2，得：t＝2h

g①

根据几何关系可知：x乙＝2h②

乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知：

a＝F合

m＝

mg sin45°

m＝

2

2g③

根据位移时间公式可知：x乙＝v0t＋1

2at2④

由①②③④式得：v0＝gh

2，所以A正确．

知识点二与斜面有关的平抛运动

平抛运动与斜面结合的问题，一般是研究物体从斜面顶端平抛到落回斜面的运动过程，解决这类问题一般仍是在水平和竖直方向上分解．求解的关键在于深刻理解通过与斜面的关联而给出的隐含条件．

常见运动情景的研究方法

典例如图所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，一小球以两种方式释放：第一种方式是在A点以速度v0平抛落至B点；第二种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑至B点，求：

(1)AB的长度多大？

(2)两种方式到达B点，平抛的运动时间为t1，下滑的时间为t2，t1

t2等于多少？

(3)以两种方式到达B 点的水平分速度之比

v 1x v 2x 和竖直分速度之比v 1y

v 2y

各是多少？ 【审题关键点】 物体从斜面上某一点水平抛出又落在斜面上，即满足平抛运动规律．在解答这类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而顺利解决问题．

【解析】 以两种方式释放，从A 到B 位移相同，设AB 长为L . (1)水平方向位移L sin α＝v 0t 1 ① 竖直方向位移L cos α＝1

2gt 21 ②

联立①②得L ＝

2v 20cos α

g sin 2α

. (2)将L 值代入①式可得t 1＝

2v 0

g tan α

. 物体下滑的加速度a ＝g cos α， 由L ＝12at 22，得t 2＝

2L a

. 将L 、a 代入得t 2＝

2v 0g sin α，则有t 1t 2＝cos α

1

. (3)平抛运动的水平分速度v 1x ＝v 0， 竖直分速度v 1y ＝gt 1＝

2v 0

tan α

； 下滑运动的水平分速度v 2x ＝v 2sin α， 竖直分速度v 2y ＝v 2cos α； 由于v 2＝2aL ＝

2v 0

tan α

， 所以v 2x ＝2v 0cos α，v 2y ＝2v 0cos 2α

sin α

； 则

v 1x v 2x ＝12cos α，v 1y v 2y ＝1cos α

. 【答案】 (1)2v 20cos α

g sin 2

α (2)cos α (3)12cos α 1cos α

4．(多选)如图所示，不计空气阻力，从O 点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P 处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ 做匀加速直线运动．下列说法正确的是( BC )

A ．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大

B ．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的小

C ．撤去斜面，小球仍从O 点以相同速度水平抛出，落地速率将不变

D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将不变

解析：小球做平抛运动时，加速度为重力加速度g，在斜面上运动时，加速度为a＝g sinα(α为斜面的倾角)，选项A错误，选项B正确；小球平抛后又紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，小球在斜面上所受的弹力对小球不做功，整个过程只有重力做功，而撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，整个过程也只有重力做功，两种方式小球机械能守恒，所以小球落地速率将不变，选项C正确；当在斜面上运动时，由运动的合成与分解知，小球在竖直方向的加速度小于重力加速度g，所以撤去斜面后，小球落地时间变短，选项D错误．

5．(多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A从斜面顶端以速率v0水平向右抛出，小球击中了斜面上的P点；将小球B从空中某点以相同速率v0水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中Q点．不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(BC)

A．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanθ＝2tanφ

B．若小球A在击中P点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tanφ＝2tanθ

C．小球A、B在空中运动的时间之比为2tan2θ1

D．小球A、B在空中运动的时间之比为tan2θ1

解析：由题图可知，斜面的倾角θ等于小球A落在斜面上时的位移与水平方向的夹角，由平抛运动的推论可知，tanφ＝2tanθ，选项A错误，选项B正确；设小球A在空中运动的时间为t1，小球B在空中运动的时间为t2，则由平抛运动的规律可

得tanθ＝1

2gt21

v0t1，tanθ＝v0

gt2，故

t1

t2＝2tan2θ，选项C正确，选项D错误．

知识点三求解平抛运动的五种方法

方法1以分解速度为突破口求解平抛运动问题

问题简述对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是从“分解速度”的角度来研究问题．

方法突破以初速度v0做平抛运动的物体，经历时间t速度和水平方向的夹角为

α，由平抛运动的规律得：

tanα＝v y

v x＝

gt

v0，从而得到初速度v0、时间t、偏转角α之间的关系，进而求解.

已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，则

(1)小球水平抛出的初速度v 0是多大？ (2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x 是多少？

(3)若斜面顶端高H ＝20.8 m ，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端？

解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以v y ＝v 0tan53°，v 2y ＝2gh ，则v y ＝4 m/s ，v 0＝3 m/s.

(2)由v y ＝gt 1得t 1＝0.4 s ，x ＝v 0t 1＝3×0.4 m ＝1.2 m.

(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a ＝g sin53°，初速度v ＝5 m/s.则H sin53°＝v t 2＋1

2at 22

，解得t 2＝2 s (或t 2＝－13

4 s 不合题意舍去．)

所以t ＝t 1＋t 2＝2.4 s.

答案：(1)3 m/s (2)1.2 m (3)2.4 s

方法2 以分解位移为突破口求解平抛运动问题

7．如图所示，在竖直面内有一个以AB 为水平直径的半圆，O 为圆心，D 为最低点．圆上有一点C ，且∠COD ＝60°.现在A 点以速率v 1沿AB 方向抛出一小球，小球能击中D 点；若在C 点以某速率v 2沿BA 方向抛出小球时也能击中D 点．重力加速度为g ，不计空气阻力．下列说法正确的是( A )

A ．圆的半径为R ＝2v 21

g

B ．圆的半径为R ＝4v 21

3g

C ．速率v 2＝32v 1

D ．速率v 2＝

33v 1

解析：从A 点抛出的小球做平抛运动，它运动到D 点时R ＝12gt 21，R ＝v 1t 1，故R ＝2v 21

g ，选项A 正确，选项B 错误；从C

点抛出的小球R sin60°＝v 2t 2，R (1－cos60°)＝12gt 22，解得v 2＝6

2v 1

，选项C 、D 错误． 方法3 利用假设法求解平抛运动问题

8.在b 点．斜坡上c 、d 两点与a 、b 共线，且ab ＝bc ＝cd ，不计空气阻力．第三颗炸弹将落在( A )

A ．bc 之间

B ．c 点

C ．cd 之间

D ．d 点

解析：如图所示，设第二颗炸弹的轨迹经过A 、b ，第三颗炸弹的轨迹经过P 、Q ；a 、A 、B 、P 、C 在同一水平线上，由题意可设aA ＝AP ＝x 0，ab ＝bc ＝L ，斜面的倾角为θ，三颗炸弹到达a 所在水平面时的竖直速度为v y ，水平速度为v 0，

对第二颗炸弹：水平方向：

x 1＝L cos θ－x 0＝v 0t 1， 竖直方向：y 1＝v y t 1＋1

2gt 21

.

对第三颗炸弹：水平方向：x 2＝2L cos θ－2x 0＝v 0t 2，

竖直方向：y2＝v y t2＋1

2gt22，

解得：t2＝2t1，y2>2y1.所以Q点在c点的下方，也就是第三颗炸弹将落在bc之间，故A正确，B、C、D错误．方法4利用重要推论求解平抛运动问题

推论Ⅰ：

做平抛运动的物体，任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中

点．

推论Ⅱ：做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为

α，位移与水平方向的夹角为θ，则tanα＝2tanθ.

9.

成β＝37°角，两者相距为d.假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离为多少．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)解析：设射出点P离墙壁的水平距离为L，飞镖甲下降的高度为h1，飞镖乙下降的高度为h2，根据平抛运动的重要推论

可知，两飞镖速度的反向延长线一定通过水平位移的中点Q，如图所示，由此得L

2cotβ－

L

2cotα＝d，代入数值得：L＝

24d

7.

答案：24d 7

方法5利用等效法求解类平抛运动问题

Q点离开斜面，则(C)

A．P→Q所用的时间t＝2

2l g sinθ

B．P→Q所用的时间t＝2l g

C．初速度v0＝b g sinθ2l

D．初速度v0＝b g 2l

解析：物体的加速度为：a＝g sinθ.根据l＝1

2at2，得：t＝

2l

g sinθ，故A、B错误；初速度v0＝

b

t＝

b

g

sinθ

2l，故C正确，

D错误．

体育运动中的平抛运动问题

在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量(尤其是球速)往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点．

11．[乒乓球的平抛运动问题]一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，

则v 的最大取值范围是( D )

A.L 12 g

6h

6h

B.L 14 g h

2)g

6h C.L 12 g 6h

2)g

6h D.L 14

g h

(4L 21＋L 2

2)g

6h

解析：设以速率v 1发射乒乓球，经过时间t 1刚好落到球网正中间．则竖直方向上有3h －h ＝12gt 21①，水平方向上有L 1

2＝v 1t 1②.由①②两式可得v 1＝L 1

4

g h .设以速率v 2发射乒乓球，经过时间t 2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h ＝12gt 22

③，在水平方向有 ()

L 2

2

2＋L 21＝v 2t 2

④.由③④两式可得v 2＝12

(4L 21＋L 2

2)g

6h

.则v 的最大取值范围为v 1

12．[足球的平抛运动问题]如图所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)．球员顶球点的高度为h .足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( B )

A ．足球位移的大小x ＝L 24

＋s 2 B ．足球初速度的大小v 0＝g 2h ()L 24

＋s 2

C ．足球末速度的大小v ＝

g 2h ()L

2

4

＋s 2

＋4gh D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L

2s

解析：根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h ，水平位移为x 水平

＝

s 2＋

L 2

4

，则足球位移的大小为：x ＝x 2水平

＋h 2＝

s 2＋

L 24＋h 2，选项A 错误；由h ＝1

2

gt 2，x 水平＝v 0t ，可得足球的初速度为v 0＝ g 2h ()

L 24

＋s 2

，选项B 正确；

对小球应用动能定理：mgh＝m v2

2－

m v20

2，可得足球末速度v＝v20＋2gh＝

g

2h(

)

L2

4＋s2＋2gh，选项C错误；初速度方向与

球门线夹角的正切值为tanθ＝2s

L，选项D错误．

13．[网球的平抛运动问题]一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出．第一只球飞出时的初速度为v1，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处．如图所示，第二只球飞出时的初速度为v2，直接擦网而过，也落在A点处．设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：

(1)网球两次飞出时的初速度之比v1v2；

(2)运动员击球点的高度H与网高h之比H h.

解析：(1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的．

由题意知水平射程之比为x1x2＝13，故平抛运动的初速度之比为v1v2＝1 3.

(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知DB段和OB段是相同的平抛运动，则两球下落相同高度(H－

h)后水平距离x1′＋x2′＝2x1，

根据公式H＝1

2gt21，H－h＝

1

2gt22，

而x1＝v1t1，x1′＝v1t2，x2′＝v2t2，

综合可得v1t2＋v2t2＝2v1t1，故t1＝2t2，

即H＝4(H－h)，解得H h＝4 3.

答案：(1)13(2)43

14．[排球的平抛运动问题]如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在网前3 m处正对球网跳起将球水平击出，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2.

(1)若击球高度为2.5 m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；

(2)当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？

解析：(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示， 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间： t 1＝

2h 0

g

＝2×2.510 s ＝1

2

s 由此得排球不越界的临界速度 v 1＝x 1t 1＝12

1/2

m/s ＝12 2m/s.

若球恰好触网，则球在网上方运动的时间： t 2＝

2(h 0－H )

g

＝2×(2.5－2)10 s ＝1

10

s. 得排球触网的临界击球速度值 v 2＝x 2t 2＝3

1/10

m/s ＝310 m/s.

要使排球既不触网又不越界，水平击球速度v 的取值范围为：310 m/s

(2)设击球点的高度为h ，当h 较小时，击球速度过大会越界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在边界线上．

由几何知识可得

x 1

2h g

＝x 2

2(h －H )g .

得h ＝

H 1－()

x 2

x

1

2＝

21－()

312

2

m ＝

3215

m. 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网． 答案：(1)310 m/s

3215

m