2018-2019 上海建桥学院 第一学期阶段测验试卷 高等数学(1)经管类 参考答案及评分标准

2 x2
−1) −
A lim
3x2
， （5 分）
x→
x→
x→ 1+ 4x4
即 A = lim x2 ( − 2 ) − A lim
x→
x2
x→
3 ，故 A = −2 − 3 A
1 x4
+
4
2
A = − 4 lim f (x) = − 4
5
x→
5
（7 分）
（9 分）
（10 分）
3. 设 f (x)＝x2,
x
1
−
c x

2
=
lim
x→
1
+
c x

1
−
c x
−
x c
x c
2
−
c 2
c
=
e2
−c
e2
= ec = 5


c = ln 5
（3 分）
（注：其他解答方法可参考以上方法给出步骤分）
（7 分）
（9 分） （10 分）
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2.
已知 lim
f
(x)
存在,且
f
(x)
=
x
2
(e
−
2 x2
−1) −
3x2
lim f (x) ，求 lim f (x) ．
x→
1+ 4x4 x→
x→
解.
令 lim
f
(x)
=
A
，则
f
(x)
=
x
2
(e
−
2 x2
−1) −
3x2
A
x→
1+ 4x4
（3 分）
从而 lim
f
(x)
=
lim
x
2
−
(e
.
(( )) 解.
dy
dy dx
=
dt dx
=
t −t3

t
= 1− 3t2
1− t2 −2t
dt
t
(2 分) (5 分)
dy dx
=
d dy dt dx
dx
1− 3t2
=
−2t
t
−2t
=
3 2
+
1 2t 2
− 2t
来自百度文库
=
−
3t2 + 4t 3
1
dt
(7 分)
= lim ax +1− a −1
x→1+
x −1
= lim a(x −1) x→1+ x −1
=a
故 a=2， b = −1 （10 分）
4. 设 y = (1+ 2x2 )cosx ，求 y .
（8 分）
解法一. 方程两边同取对数得 ln y = cos x ln(1+ 2x2) （3 分）
上式两边同时对
− sin
x
ln(1+
2x2 )
+
cos
x

1
4x + 2x
2

（3 分）
（8 分）
( ) =
1+ 2x2
cos
x

4x cos x 1+ 2x2
−
sin
x
ln(1 +
2
x2
)
（10 分）
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5.
设
x y
=1−t2 = t −t3
，求
dy dx
及
d2y dx2
x
求导得
y y
=
− sin
x ln(1+
2x2)
+
cos
x

1
4x + 2x
2
（8 分）
( ) 故 y =
1+ 2x2
cos x

4x cos x 1+ 2x2
−
sin
x
ln(1 +
2x2
)
（10 分）
( ) 解法二.
y =
ecos xln(1+2 x2 )

=
ecos xln(1+2 x2 )
式；（2）边际利润函数 L(x) ；（3）当需求量 x = 100 时的边际利润.
解. （1）成本函数为 C(x) = 3000 + 20x ，收入函数为 R(x) = P(x) x = (80 − 0.1x)x = 80x − 0.1x2 ，
利润函数 L(x) = R(x) − C(x) = 80x − 0.1x2 − (3000 + 20x) = −0.1x2 + 60x − 3000 ，（x>0） （5 分）
SJQU-QR-JW-406（ A0）
上海建桥学院 2018-2019 学年第 一 学期阶段测验
18 级 经管类各 专业 本科 高等数学（1）试卷
参考答案及评分标准
一．单项选择题：（每小题 5 分，共 15 分）
1.
设函数
f (x) =
x2
x2 −1 − 3x +
2
，则
x
=
1
为
f (x) 的（
A ）．
x=1
=
−
1 2
y =1
（8 分）
所以所求切线方程为 y −1 = − 1 (x −1) ，即 x + 2y − 3 = 0 （10 分） 2
四．应用题：（本题 10 分） 设某产品的需求函数为 P(x) = 80 − 0.1x ，（ P 为该产品价格，单位：元， x 为需求量），而
生产该产品的固定成本为 3000 元，单位产品变动成本为 20 元，求：（1）利润函数 L(x) 的解析
1
1. 已知当 x → 0 时, (1+ kx)2 −1与 ln(1+ x) 是等价无穷小，则常数 k = 2
.
2. 设 f (x) = earctan x ，则 lim f (1+ x) − f (1) =
x→0
x
1

e4
.
2
3．函数 f (x)＝x3 在0，1 上满足拉格朗日中值定理的 ＝ 3 / 3
(10 分)
6. 求由方程 xy + ln y = 1确定的函数 y = f (x) 在点 M (1,1) 处的切线方程.
解. 方程两边同时对 x 求导，得
y + xy + 1 y = 0 y
（5 分）
解得 y = − y2 xy +1
点 M (1,1) 处的切线斜率为
y
x=1 y =1
=
− 12 11+1
．
三．解下列各题：（每小题 10 分，共 60 分）
x
1.
已知
lim
x→

x x
+ −
c c

2
= 5 ，求 c .
解.
方法一：
x
x
lim
x→

x x
+c −c
2
=
lim
x→
1
+
2c x−c
2
=
lim
x→
1 +
2c x−c
x−c
2c
（2）边际利润 L(x) = −0.2x + 60 （8 分）
（3）当需求量 x = 100 时，边际利润为 L(100) = −0.2100 + 60 = 40 （10 分）
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x→1−
x→1−
x→1−
x→1−
又
因为
f−(1)
=
lim
x→1−
f (x) − f (1) x −1
= lim x→1−
x2 −1 = lim(x +1) = 2
x −1 x→1−
f+(1)
= lim x→1+
f (x) − f (1) x −1
= lim ax + b −1 x→1+ x −1
c
1 +
2c x−c
c
2
=
ec
=
5
c = ln 5
（3 分）
（7 分） （9 分） （10 分）
c
x
方法二：
lim
x→

x x
+ −
c c
x
2
=

1+
lim
x→ 1−
c
x c
2


x
x
=
lim
x→
1
+
c x
2
（A）可去间断点； （B）跳跃间断点； （C）无穷间断点；
2. 设 y＝f (cos2 x) ，其中 f (u) 可导，则 dy = （
C
）．
（D）连续点.
（A）f (cos2 x) ； （B）−2sin xf (cos2 x) ； （C）− sin 2xf (cos2 x) ； （D）sin 2xf (cos2 x) ．
3．已知某商品的需求函数为 Q = 16 − P ， Q 为需求量， P 为价格，当 P = 16 时，需求价格弹性 3
的经济解释为：若价格上涨1% ，则需求量将（
D
）．
（A）增加 50% ；
（B）减少 50% ；
（C）增加 0.5% ；
（D）减少 0.5% .
二．填空题：（每小题 5 分，共 15 分）
x 1, 在 x = 1 处可导，求 a,b 的值.
ax + b, x 1,
解.
f(x)在
x=1
处可导，则
f−(1) =
f+(1) ，且
f(x)在
x=1
处连续，从而 lim x→1−
f
(x)
=
lim
x→1+
f
(x) =
f
(1)
=1
（1 分）
（2 分）
因为 lim f (x) = lim x2 = 1， lim f (x) = lim(ax + b) = a + b （4 分） 故 a+b=1， b=1- a （6 分）