不等式易错点剖析
不等式易错点分析
不等式易错点分析易错点一：忽视字母之间的联系性，使字母范围扩大例1.已知函数c ax x f -=2)(满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的最大值与最小值．典型错解：由题意得⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ⎩⎨⎧≤-≤-≤-≤=54141c a a c ，同向不等式相加可得 930≤≤a ，即30≤≤a ，又由41≤-≤a c ，可得71≤≤c ．∴2790≤≤a ，17-≤-≤-c ，即2697≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(， ∴)3(f 的最大值是26，最小值是 —7．错因分析：在26)3(7≤≤-f 中，当且仅当1,3==c a 时，右等号成立；当且仅当7,0==c a 时，左等号成立，这两组字值均不满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，因此26)3(7≤≤-f 中的左右等号均不能成立，故26、－7不是要求的最值．究其原因，是将a 、c 的范围扩大了．正确解答：由c a f -=)1(，c a f -=4)2(，c a f -=9)3(， 可设)2()1()3(nf mf f +=，则c a c a n c a m -=-+-9)4()(，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=--=+3835194n m n m n m ，∴)2(38)1(35)3(f f f +-=，而1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ， ∴320)1(3535≤-≤f ，340)2(3838≤≤-f ，∴20)2(38)1(351≤+-≤-f f ， 即20)3(1≤≤-f ，当⎩⎨⎧=--=-544c a c a ，即⎩⎨⎧==73c a 时，右边等号成立；当⎩⎨⎧-=--=-141c a c a ，即⎩⎨⎧==10c a 时，左边等号成立；两组值均满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，故)3(f 的最大值是20，最小值是1-.易错点二：忽视一元二次不等式中二次项系数的符号 例 1.已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213|x x x 或 典型错解：由题意知，31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，因此由根与系数的关系得a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=．∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，即0135322>-+x x ，解得213>-<x x 或，故选D ． 错因分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的判断．根据给出的解集，除知道31-和2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解答：由于不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，可知0<a ，且31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=．∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，由于0<a∴0135322<-+x x ，即03522<-+x x ，解得213<<-x ． ∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x ，选C ． 易错点三：忽视基本不等式中定值的条件例2.已知正数a ，b 满足3222=+b a ，求12+b a 的最大值．典型错解：∵)1(211222++≤+b a b a ，等号成立的条件是12+=b a ，122+=b a ，又3222=+b a ，∴342=a ，312=b ，∴12+b a 的最大值为34． 错因分析：)1(2122++b a 并不是定植，利用基本不等式求定值时，定值是前提，先有定值后相等，并不是先相等后求值．正确解答：)12(2122122212222++⨯≤+⨯=+b a b a b a 2)13(42=+⨯=，当且仅当122+=b a ，且3222=+b a 时，等号成立． 解得12=a ，12=b ，即1==b a 时，12+b a 有最大值2．易错点四：忽视基本不等式中等号成立的一致性 例3. 已知0,0x y >>，且12=+y x ，求yx 11+的最小值． 典型错解：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴)2)(1111y x yx y x ++=+（ 2422112=⋅⋅≥xy yx ，∴y x 11+的最小值为24．错因分析：错解的原因是连续两次使用基本不等式时，忽视了等号成立的一致性．实际上，第一个取“＝”的条件为yx 11=，即y x =，而第二个取“＝”的条件为y x 2=，这样前后就矛盾了．正确解答：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴)2)(1111y x yx y x ++=+（ 22322323+=⋅+≥++=yxx y y x x y ，当且仅当y x x y =2，且12=+y x ， 即12-=x ，221-=y 时，等号成立，yx 11+的最小值为223+． 易错点五：该分类讨论的不分类讨论，或能分类讨论但不能做到“不重不漏”例4.已知关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围．典型错解：根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0)4(4)2(04222a a a解得562<<-a ，∴所求的实数a 的取值范围是562<<-a ． 错因分析：只把不等式当做x 的一元二次不等式，而忽视其它情形，也就是对2x 的系数该分类的不分类，也就使得解法有漏洞．正确解答：当2=a 时，不等式为014≥-x ，解集非空； 当2-=a 时，不等式为01≥-，解集为空集；当2±≠a 时，根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0)4(4)2(04222a a a ，解得562<<-a ． 综上可得，所求的实数a 的取值范围是562<≤-a ． 不等式问题常见思维误区的归纳与总结：在解决不等式的问题时，易错点还是比较多的，除了上述五个易错点外，易错点还有：不能正确运用不等式的性质；在解不等式或证明不等式时不能对不等式进行等价转化；线性规划中不能正确画图、识图，找不准最优解；利用基本不等式时忽视应用的三个条件缺一不可，等等．了解这些易错点可以帮助我们引以为戒、拨乱反正、健步前冲．。
初三数学不等式易错点高频考点总结
初三数学不等式易错点高频考点总结在初三数学的学习中，不等式是一个重要的章节，也是考试中的高频考点。
然而，很多同学在这一部分容易犯错。
本文将针对初三数学不等式的易错点进行总结，帮助大家巩固知识，提高解题能力。
一、不等式的性质及易错点1.不等式的性质（1）如果a>b，那么b<a；（2）如果a>b，b>c，那么a>c；（3）如果a>b，那么对于任何正数k，ka>kb；（4）如果a>b，那么对于任何负数k，ka<kb。
2.易错点（1）在应用不等式的性质时，容易忽略乘以或除以负数的情况；（2）在解不等式时，容易忽略分母为0的情况；（3）在求解过程中，容易将不等式的方向弄反。
二、一元一次不等式的解法及易错点1.解法（1）移项：将不等式中的项移至等式的一边；（2）合并同类项：将不等式中的同类项合并；（3）化简：将不等式化简至最简形式；（4）求解：根据不等式的性质，求解未知数的取值范围。
2.易错点（1）在移项时，容易忘记改变不等式的方向；（2）在合并同类项时，容易忽视符号的变化；（3）在求解时，容易忽略解的边界值。
三、一元二次不等式的解法及易错点1.解法（1）将不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0（或<0）；（2）求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根；（3）根据一元二次函数的图像，确定不等式的解集。
2.易错点（1）在求解一元二次方程的根时，容易忽视判别式的符号；（2）在确定解集时，容易混淆开口向上和开口向下的情况；（3）在求解过程中，容易忽略一元二次不等式的边界值。
四、不等式组及易错点1.解法（1）分别求解每个不等式的解集；（2）根据每个不等式的解集，确定不等式组的解集。
2.易错点（1）在求解每个不等式的解集时，容易忽视边界值；（2）在确定不等式组的解集时，容易漏掉可能的解。
通过以上总结，希望大家在解决初三数学不等式问题时，能够避免易错点，提高解题准确率。
初一不等式经典易错题解析
初一不等式经典易错题解析初一不等式经典易错题解析初一学生在学习不等式时，难免会遇到一些经典易错题，这在一定程度上也给学习带来了一些困扰。
在本文中，我们将对初一不等式中一些经典易错题进行解析，希望对同学们的学习有所帮助。
一、乘方不等式易错点在不等式中，乘方往往是初一学生们考试时经常遇到的问题，其中特别容易发生的错误包括：1. 未进行“正负性”分析乘方在不等式中的作用是使变量的取值范围变广，但我们必须检查其“正负性”，否则就会出现错误的答案。
比如，当我们遇到以下不等式时：（1）x^2-6x+5>0（2）x^2+6x+5>0根据情况，我们可以把这两个不等式转化为因式分解的形式。
对于第一个式子，我们可以得到x在0到5之外或者在1到正无穷之间；而对于第二个式子，我们可以得到x在正无穷到-1或者在-5到正无穷之外。
在情况（1）中，我们需要特别注意的是，当x在1到5之间时，式子的取值就会变为负数，因此其“正负性”分析对于解题至关重要。
2. 公因数舍去的问题在乘方问题中，如果变量被约分后就会导致解题出现偏差。
例如：对于以下不等式而言：（3）2x^2+3x-2<0当我们对其进行因式分解，会得到2(x+1)(x-2)<0，但我们需要注意，当x=-1时，x+1=0，此时2(x+1)(x-2)的分子是0，不符合数学逻辑规律，我们需要忽略掉这种情况。
因此，正确的解题思路应该是用区间法将不等式的解空间分为三段，分别为x<-1、-1<x<2、2<x。
二、加减不等式易错点在初一不等式题型中，加减不等式也经常出现。
在处理这类问题中，需要注意以下问题：1. 未进行化简，直接求解很多时候，初一学生在解加减不等式时直接将式子简化，导致解题出现了较大偏差。
事实上，在处理不等式问题时，我们需要把含有常数的项先整合。
例如：对于以下不等式而言：（4）2x+1<3x-4如果我们直接拆方程，化简后得到x>5，但这种做法是错误的，因为我们在拆方程之前必须将常数加起来，然后再消元，即：（5）-x<-5x>5因此，式子的解空间是x>5。
不等式易错点
不等式易错点 【易错点 29】含参分式不等式的解法。
易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。
例 29 解关于 x 的不等式 a ( x − 1) ＞1(a≠1)【易错点】不等式化为关于 x 的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论 解：原不等式可化为： (a − 1) x + (2 − a) ＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. x−2 a − 2 )(x－2)＞0 同解.若 a − 2 ≥2，即 0≤a＜1 时，原不等式无解；若 a − 2 ＜2，即 a＜0 或 a＞1，于是 当 a＞1 时，原不等式与(x－ a −1 a −1 a −1 a − 2 )∪(2，+∞). a＞1 时原不等式的解为(－∞， 当 a＜1 时，若 a＜0，解集为( a − 2 ，2)；若 0＜a＜1，解集为(2， a − 2 )a −1x−2a −1 a −1 a − 2 )∪(2，+∞)；0＜a＜1 时，解集为(2， a − 2 )；a=0 时， ∅ ；a＜0 时，解集为( a − 2 ，2). 综上所述：a＞1 时解集为(－∞， a −1 a −1 a −1【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正 确的分类标准，进行分类讨论. 【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位 例 30、已知函数 f ( x ) = lg m 2 − 3m + 2 x 2 + 2 ( m − 1) x + 5 （1）如果函数 f ( x ) 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。
一元一次不等式易错点分析
不等式（组）常见错解剖析河南师大附中 刘晨曦不等式（组）是初中数学的重要内容之一，是以后学习函数等知识的基础,因此学好这部分内容对以后的学习起着非常重要的作用. 但初学者，由于对其定义、性质、解法等理解不透，而导致许多错误．现就平时作业和检测中常出现的错误进行剖析，以提高同学们的解题能力.1 忽视因式为0例1 若a b >，则22____ac bc ．错解 因为20c >，且a b >，所以22ac bc >，故填＞.剖析 上面的解法错在忽视了0c =.当0c =时，22ac bc =.正解 因为20c ≥，且a b >，所以22ac bc ≥,故应填≥.2 忽视系数0a ≠例2 若(1)20m m x ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的取值是 ． 错解 由题意，得1m =，∴1m =±.故填1±.剖析 当1m =-时，10m +=，此时得到不等式2＞0. 一元一次不等式应满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③是不等式. 一元一次不等式的一般形式是：000ax b ax b a +>+<≠或（），在解题时切不可忽视0a ≠的条件. 正解 由题意，得1m =，且10m +≠，即1m =±且1m ≠-，∴1m =.故应填1. 3 忽视移项要变号例3 解不等式61431x x +>-．错解 移项，得63114x x +>-+，合并同类项，得 913x >，系数化为1，得 139x >． 剖析 移项是解不等式时的常用步骤，可以说它是不等式性质1的直接推论.但要注意移项必须变号，而上面的解法就错在移项时忘记了变号.正解 移项，得63114x x ->--，合并同类项，得 315x >-，系数化为1，得 5x >-．4 忽视括号前的负号例4 解不等式()53216x x -->-.错解 去括号，得5636x x -->-，解得3x <.剖析 错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号，忽视了括号前的负号.去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号. 正解 去括号，得5636x x -+>-，解得9x <.5 忽视分数线的括号作用例5 解不等式125164x x +--≥． 错解 去分母，得2261512x x +--≥，移项，得2612215x x -≥-+，合并同类项，得425x -≥，系数化为1，得 254x ≤-． 剖析 分数线具有“括号”的作用，故在去分母时，分数线上面的多项式应作为一个整体，加上括号．上面的解法就错在忽视分数线的括号作用.正解 去分母，得2(1)3(25)12x x +--≥，去括号，得2261512x x +-+≥，移项，得 2612215x x -≥--，合并同类项，得45x -≥-，系数化为1，得54x ≤． 6 忽视分类讨论例6 代数式1x -与2x -的值符号相同，则x 的取值范围________．错解 由题意，得1020x x ->⎧⎨->⎩，解之，得2x >，故填2x >. 剖析 上面的解法错在忽视了对符号相同的分类讨论.由题意知，符号相同，两代数式可以均是正数，也可以均是负数，应分大于0和小于0进行探究.正解 由题意，得10102020x x x x ->-<⎧⎧⎨⎨->-<⎩⎩或，解之，得21x x ><或， 故应填21x x ><或.7 忽视隐含条件例7 关于x 的不等式组()()()233113224x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，求a 的取值范围. 错解 由（1）得8x >,由（2）得24x a <-,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故2413a -≤，解得114a ≥-. 剖析 上面的解法错在忽视隐含条件2412a ->而致错，当有多个限制条件时，对不等式关系的发掘不全面，会导致未知数范围扩大，因此解决这方面的问题时一定要细心留意隐含条件.正解 由（1）得8x >,由（2）得24x a <-,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故122413a <-≤，解得11542a -≤<-. 8 用数轴表示解集时，忽视虚、实点例8 不等式组()()()523111317222x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴表示出来. 错解 解不等式（1），得52x >，解不等式（2），得4x ≤， 在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，原不等式组的解集是如图1图1剖析 本题的解集没有错，错在用数轴表示解集时，忽视了虚、实点.不等式的解集在数轴上表示时，没有等号的要画虚点，有等号的要画实点.正解 解不等式（1），得52x >，解不等式（2），得4x ≤，在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，如图2，原不等式组的解集是.图29 忽视题中条件例9 有学生若干人,住若干间宿舍,若每间住4人,则有20人无法安排住宿；若每间住8 人,则有一间宿舍不满也不空,问宿舍间数是多少?错解 设宿舍间数为x ，学生人数为420x +，由题意，得()420818x x +--<，解得5x >，∵x 是正整数 ∴ x = 6，7,8……答：至少有6间宿舍.剖析 错解的原因在于对题意不够理解，忽视题中的“一间宿舍不满也不空”这一条件.审清题意是解决这类问题的关键.正解 设宿舍间数为x ，学生人数为420x +，由题意，得()0420818x x <+--<，解得57x <<，∵x 是正整数 ∴6x =.答：有6间宿舍.。
不等式易错点
易错07 不等式易错点1 分式不等式【例1】（1）（2020·江苏）不等式2302x x +≥-的解集为 。
（2）（2020·福建省永泰县城关中学）不等式2312x x +≤+的解集为 。
【答案】（1）32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >（2）{}|21x x -<≤- 【解析】（1）分式不等式2302x x +≥-等价于230x +=或()()2320x x +->，即32x =-或32x <-或2x >， 故解集为32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >.（2）2312x x +≤+可得102x x +≤+，从而()()12020x x x ⎧++≤⎨+≠⎩，解得21x -<≤-， 【举一反三】易错导图易错详讲【易错总结】解分式不等式的步骤：（1）移项，把分式不等式一边化为0；（2）通分，化不等式为()0()f xg x >或()0()f x g x ≥形式，转化时应使得(),()f x g x 中最高次项系数为正， （3）转化，化为()()0f x g x >或()()0()0f xg x g x ≥⎧⎨≠⎩，（4）得解．1．（2020·利辛县阚疃金石中学）不等式13x x-≤的解集为______________. 【答案】{0x x 或1}2x ≤-【解析】不等式13x x -≤移项通分可得：120x x --≤，即120xx +≥，所以(12)00x x x +≥⎧⎨≠⎩，解得0x >或12x ≤-，故答案为：{0x x 或1}2x ≤-.2．不等式2115x x +≥--的解集为________．【答案】4{|3x x ≤或5}x > 【解析】原不等式移项得21105x x ++≥-，通分整理得3405x x -≥-， 等价于(34)(5)050x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得43x ≤或5x >.故答案为：4{|3x x ≤或5}x > 3．（2020·北京市昌平区前锋学校）不等式2112x x +≥-的解集为________ 【答案】(,3](2,)-∞-+∞【解析】原不等式等价于21102x x +-≥-，即302x x +≥-，即(3)(2)0,2,x x x +-≥⎧⎨≠⎩因此，原不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞．故答案为：(,3](2,)-∞-+∞易错点2 穿根引线【例2】（2020·吴起高级中学）不等式()()()21120x x x +-->的解集为______________.【答案】()()(),11,12,-∞--+∞【解析】不等式()()()21120x x x +-->等价于()()10120x x x +≠⎧⎨-->⎩，解得()()(),11,12,x ∈-∞--+∞.故答案为：()()(),11,12,-∞--+∞.【举一反三】1．（2020·上海普陀·曹杨二中）不等式()()()()2321120x x x x++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x-≤或1x=-或12x≤≤时，()()()()2321120x x x x++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--.2.（2020·云南省保山第九中学）不等式(2)3x xx+<-的解集为（）A．{|2x x<-，或03}x<<B．{|22x x-<<，或3}x>C．{|2x x<-，或0}x>D．{|0x x<，或3}x<【答案】A原不等式可转化为()()230x x x+-<，结合数轴标根法可得，2x<-或03x<<．即不等式的解集为{|2x x<-，或03}x<<．故选：A．3．（2020·江苏省响水中学）不等式2(1)0x x-<的解集为（）A．{|0x x<或01}x<<B．{|1x x<-或01}x<<【易错总结】利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.C ．{|10x x -<<或1}x >D ．{|1x x <-或1}x >【答案】B【解析】2(1)0x x -<等价于(1)(1)0x x x -+<，根据穿根法可得1x <-或01x <<.故选：B.易错点3 基本不等式取“=”【例3】已知a ，b >0且a +b =1，给出下列不等式： ①ab ≤14；②1174ab ab +≥≤；④112a b+≥. 其中正确的序号是（ ）A ．①②B ．②③④C ．①②③D ．①③④ 【答案】C【解析】∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴ab ≤2a b +⎛⎫⎪⎝⎭2＝14，当且仅当12a b ==时，等号成立，故①正确； 令y=ab ＋1ab ，设t ab =由①可知104t <≤ ，则1y t t =+在104t <≤上单调递减，故当14t =时，y 有最小值117444+=，故②正确；)2＝a ＋b ＋a ＋b ＋a ＋b ＝2，故③正确；112a b + ()11332222b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭332222=⨯+=， 当且仅当b a= 时，等号成立，故④不正确.故选：C 【举一反三】1．（2020·平遥县综合职业技术学校）已知0x >，0y >，且10xy =，则下列说法正确的是（ ）A ．当x y ==25x y+取得最小值B ．当x y ==25x y+取得最大值C ．当2x =，5y =时，25x y+取得最小值 D ．当2x =，5y =时，25x y+取得最大值 【答案】C 【解析】0x ，0y >，且10xy =，20x∴>，50y >，101xy =，252x y ∴+≥==， 当且仅当25x y=即2x =，5y =时，等号成立， 所以当2x =，5y =时，25x y+取得最小值，最小值为2. 故选：C .2．已知27101x x y x ++=+(1x ≠-)，则y 的取值范围为（ ）A ．(,2][2,)-∞-+∞B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞C ．(,1][7,)-∞-⋃+∞D ．(,1][9,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】由题意，22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当10x +>即1x >-时，4(1)5591y x x =+++≥=+，当且仅当411x x +=+即1x =时，等号成立； 当10x +<即1x <-时，4(1)5511y x x ⎡⎤=--+-+≤-=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()411x x -+=-+即3x =-时，等号成立； ∴y 的取值范围为(,1][9,)-∞⋃+∞. 故选：D.易错点4 分类讨论【例4】（2020·北京八中月考）解关于x 的不等式(m 为任意实数)：()2220mx m x +--<【答案】答案见解析【解析】当0m =时，原不等式化为220x -<，解得1x <； 当0m ≠时，原不等式可化为()()120x mx -+<，即11x =，22x m=-. 当0m >时，20x <，则原不等式的解集为21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0m <时，20x >，当21m-=，即2m =-时，有121x x ==，则原不等式的解集为{}1x x ≠； 当21m -<，即2m <-时，则原不等式的解集为2x x m ⎧<-⎨⎩或}1x >当21m ->，即20m -<<时，则原不等式的解集为.2x x m ⎧>-⎨⎩或}1x <【举一反三】1．（2020·云南昆明二十三中）解关于x 不等式2325()ax x ax a R -+>-∈.【答案】答案见解析【解析】不等式化为()2330ax a x +-->，即()()310ax x -+>当0a =时，不等式为330x -->，解得1x <-，当0a >时，31a >-，解得不等式为1x <-或3x a >， 当0a <时，若31a >-，即3a <-时，解得不等式为31x a-<<，若31a =-，即3a =-时，不等式无解， 若31a <-，即30a -<<时，解得不等式为31x a<<-， 综上，3a <-时，不等式的解集为31,⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；3a =-时，不等式无解；30a -<<时，不等式的解集为3,1⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；0a =时，不等式的解集为(),1-∞-；0a >时，不等式的解集为()3,1,⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭a .2．解不等式：2(2)10ax a x +++>. 【答案】答案见解析.【解析】①当0a =时，不等式为210x +>，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，②当0a ≠时，22(2)440a a a ∆=+-=+>，恒有两个实根122a x a --=，222a x a --+=，当0a ><，解集为22a x x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭；当0a <时，222424a a a a，解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭，综上所述：0a =时，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；0a >时，解集为x x ⎧⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭；0a <时，解集为22a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.3．（2020·安徽省亳州市第一中学）解关于x 的不等式：()21220ax a x +-->.【答案】当0a =时，解集为()2,+∞，当0a >时，解集为：()1(,)2,a -∞-⋃+∞，当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫-⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当12a =-时，不等式的解集为:∅. 【解析】①当0a =时，原不等式可化为：20x ->,可得不等式的解集为()2,+∞， ②当0a >时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 不等式的解集为：()1(,)2,a-∞-⋃+∞； ③当0a <时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭, 当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当12a =-时，不等式的解集为:∅. 易错点5 恒成立和存在问题【例5】（1）设函数()222f x ax x =-+，对任意的()1,4x ∈都有()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）（2020·吉林汽车区第三中学）若“R x ∃∈，22390x ax -+<”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),22,⎡-∞-+∞⎣ B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．-⎡⎣【答案】（1）D （2）C【解析】（1）∵对任意的()1,4x ∈，都有()2220f x ax x =-+>恒成立，∴()2221111242x a x x ⎡⎤-⎛⎫>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意的()1,4x ∈恒成立， ∵1114x <<，∴2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D. （2）因为R x ∃∈，22390x ax -+<，所以()234290a ∆=--⨯⨯>，解得a >a <-.故选：C.【举一反三】1．（2020·辽源市第五中学校）若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（ ）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立， 所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭， 又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-， 故选：C. 2．（2020·浙江）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎛-∞ ⎝⎭ B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭ D ．4,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】(]0,2x ∈时，不等式可化为32a ax x+<； 当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x >=，当且仅当x =所以a ，即0a <<； 当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A 3．（2020·江苏省邗江中学）命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)(⎡∞⋃-∞⎣+B ．⎡⎣C ．)⎡∞⎣D ．(-∞ 【答案】B 【解析】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B. 4．（2020·江苏周市高级中学）已知函数()24x x a f x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-【答案】B 【解析】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以()2max 4a x x>--，[)1,x ∈+∞， 又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以()()2max 4145x x--=--=-，所以5a >-，故选：B.1．（2020·湖南）若不等式212x mx +>在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．[]1,1-D ．()1,1-【答案】D【解析】由题意，一元二次不等式2210x mx -+>在R 上恒成立，所以()2240m ∆=--<，解得()1,1m ∈-.故选：D. 2．（2020·云南昆明一中）不等式111x ≥-的解集为（ ） A ．(-∞，1)∪[2，+∞)B ．(-∞，0]∪(1，+∞)C ．(1，2]D ．[2，+∞) 【答案】C【解析】不等式111x -等价于(1)(2)0x x --且10x -≠，解得12x <， ∴不等式的解集为(1，2]．故选：C ．3．（2020·江苏省响水中学）已知函数()()2221f x m x mx =+++R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．[]1,2-C ．[][)2,12,--+∞ D ．(][),12,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】因为函数()()2221f x m x mx =+++R ，避错强化所以()22210m x mx +++≥对任意x ∈R 恒成立， 若20m +=，即2m =-时，则不等式可化为410x -+≥，解得14x ≤，不满足题意； 若20m +≠，即2m ≠-时，只需()2204420m m m +>⎧⎨∆=-+≤⎩，解得12m -≤≤. 故选：B.4．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,1{1}5⎛⎤-⋃- ⎥⎝⎦D ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<，不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，所以只需210a -<且22[(1)]4(1)0a a ∆=--+-<，解得315a -<<. 综上，实数a 的取值范围为3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.5．（2020·浙江温州）若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23,15⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．23,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C ．(),1-∞ D ．(],1-∞【答案】C【解析】因为关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解， 所以222x a x x x-<=-在[1,5]上有解， 易知2=-y x x 在[1,5]上是减函数，所以[1,5]x ∈时，max2211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 所以1a <．故选：C6．（2020·山西）若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a ≥B ．10a ≤C ．12a ≤D ．10a ≥【答案】C【解析】由题意，可得2284a x x -≥--，设()()222842212f x x x x =--=--，若13x ≤<，则()1210f x -≤≤-，不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则只需()min a f x -≥，即12a -≥-，解得12a ≤.故选：C7．（2020·北京人大附中高三月考）已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,+∞B ．(),0-∞C ．(],2-∞D ．[]2,0- 【答案】A【解析】方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，当0x =时，方程无解； 当01x <≤时，则有211x a x x x-==-，令1()g x x x =-， 2221(1)'()10x g x x x -+=--=<，即()g x 在01x <≤时为减函数， 由于(1)0g =，所以，当01x <≤时，()0g x ≥，所以，只要0a ≥，方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解故选：A8．（2020·湖北高三月考）若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3a <-B ．0a <C ．1a <D ．3a >-【答案】C【解析】因为[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，所以[]1,2x ∃∈-，使得不等式2+2a x x <-成立，令2()2f x x x =-+，[]1,2x ∈-， 因为对称轴为1x =，[]1,2x ∈-所以max ()(1)1f x f ==，所以1a <，故选：C9．（2020·福建厦门一中）（多选）使得2601x x x -->-成 立的充分非必要条件有（ ） A ．{}21x x -<<B ．{}3x x >C ．{}01x x <<D ．{21x x -<<或}3x > 【答案】ABC 【解析】由2601x x x -->-可得()()()1320x x x --+>，如下图所示：所以，不等式2601x x x -->-的解集为{21x x -<<或}3x >， A 、B 、C 选项中的集合均为集合{21x x -<<或}3x >的真子集， 因此，使得2601x x x -->-成 立的充分非必要条件有A 、B 、C 选项. 故选：ABC.10．（2020·江苏省太湖高级中学）（多选）已知命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）A ．[1,1]a ∈-B ．(2,2)a ∈-C ．[2,2]a ∈-D ．1{}2a ∈ 【答案】ABCD【解析】因为命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，且函数21y x ax =++开口向上，所以当命题p 为真命题时，a R ∈，故命题p 的等价条件为a R ∈，故命题p 成立的一个充分不必要条件可以是a R ∈的真子集，故ABCD 均满足，故选：ABCD.11．（2020·湖南）（多选）下列结论正确的是（ ）A ．当x >02 B ．当x >3时，x +1x的最小值是2 C ．当x <32时，2x -1+423x -的最小值是4 D ．设x >0，y >0，且2x +y =1，则21x y+的最小值是9 【答案】AD【解析】对于选项A ，当0x >0>2≥=，当且仅当1x =时取等号，结论成立，故A 正确；对于选项B ，当3x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但3x >，等号取不到，因此1x x +的最小值不是2，故B 错误；对于选项C ，因为32x <，所以320x ->，则4421322222332y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当43232x x -=-，即12x =时取等号，故C 错误；对于选项D ，因为0x >，0y >，则()222521512y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：AD .12（2020·福建福州）（多选）若0,0m n >>，且111m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．mn 有最大值4B ．2211m n +有最小值12C ．0,0m n ∀>>≤D ．0,0m n ∃>>，使得2m n +=【答案】BC 【解析】因为111m n +=，所以111m n =+≥4mn ≥，故A 不正确； 又2221111221()142m n m n mn +=+-≥-=，故B 正确；211()12m n =+≤=≤，故C 正确； 联立2111m n m m+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22m n mn +=⎧⎨=⎩，所以,m n 是方程2220x x +=-的两根，又此方程无解，故不存在0,0m n >>使得2m n +=，故D 不正确.故选：BC13．（2020·江苏高一期中）（多选）下列函数中最小值为2的是（ ）A ．1y x x=+ B．y = C．y = D ．4(2)2y x x x =+>-+ 【答案】BD【解析】0x <时，10y x x=+<，A 错；0>，2y =≥==，即1x =时等号成立，B 正确；同理2y =≥，=等号才能成立，=故2取不到，C 错；2x >-，则20x +>，14(2)22222y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时等号成立，D 正确． 故选：BD ．14．（2020·江苏常熟中学）不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞ 【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩， 解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．15．（2020·江苏省响水中学高一期中）设集合{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+< ，若A B =∅ ，则实数a 的取值围为_________. 【答案】14a ≥- 【解析】因为{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+<，且AB =∅， 所以{}21,302x x a ⎡⎤⋂+<=∅⎢⎥⎣⎦ ，即 当132x ≤≤时，2≥-a x 恒成立，()2max 14a x ≥-=-，所以14a ≥-. 故答案为: 14a ≥-16．关于x 的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3m ≤-【解析】∵22()4(2)4f x x x m x m =--=---在[]1,1-上为减函数，且不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则只需min ()(1)30f x f m ==--≥，即3m ≤-.故答案为：3m ≤-.17．（2020·江苏镇江）已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥.∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞.故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.18．（2020·浙江杭州·高三期中）已知0x >，0y >，且21x y +=，则2112y x y++的最小值为________．12【解析】因为21x y +=，0x >，0y >，则210y x =->，所以01x <<， 所以2111121112111y x y x x x xx --+=+=-+++++- ()()()2112111111121211211x x x x x x x x -⎡⎤+⎛⎫=-++++-=-++++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭⎣⎦ ()(2111111131313211222x x x x ⎡-⎡⎤+=-+++≥-++=-++=⎢⎢⎥+-⎢⎣⎦⎣当且仅当()21111x x x x-+=+-，即3x =-3+01x <<范围内，舍去）时，等号成立. 12. 19．（2020·江苏南京河西外国语学校）在实数范围内解下列不等式.（1）2340x x -->；（2）213x x-≤-. 【答案】（1）{x 1x <-或43x >}；（2）5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）不等式2340x x -->可化为(1)(34)0x x +->，解得1x <-或43x >， 所以该不等式的解集为{1x x <-或43x ⎫>⎬⎭；（2）∵213x x -≤-，∴2303x x x--+≤-， 即2503x x -≥-，所以(25)(3)0x x --≥且30x -≠ 解得：3x >或52x ≤， 故不等式的解集是5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.20．（2020·上海市崇明中学高三期中）解下列不等式：（1）212302x x -+-≤； （2）5331x x +-≤.【答案】（1）35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（2）[3,1)-. 【解析】（1）由212302x x -+-≤可得： 20461x x ≤-+，解得：x 或x ≥，故解集为：35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭ （2）由5331x x +-≤化简为：531x x +--3≤0， 即261x x +-≤0，等价于(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩， 解得31x -≤<，故解集为[3,1)-.218．（2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试（理））解下列不等式. （1）(1)(2)(3)0x x x x -+->；（2）2112x x +≥-. 【答案】（1）(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞；（2）(,3](2,)-∞-+∞. 【解析】（1）方程(1)(2)(3)0x x x x -+-=的根为：2,0,1,3-，利用数轴穿根法可得：所以不等式的解集为(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞； （2）()()212131*********x x x x x x x x +++≥⇒-≥⇒≥⇒+-≥---且2x ≠， 解得(,3](2,)x ∈-∞-+∞. 22．（2020·湖北武汉）解关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)>0.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】若a ＝0，则原不等式为一元一次不等式()10x -+>，解得1x <-，故解集为(－∞，－1). 当a ≠0时，方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根为x 1＝1a ，x 2＝－1. 当a >0时，12x x >，所以解集为(－∞，－1)∪1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当－1<a <0，即1a <－1时，所以解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a <－1，即0>1a >－1时，所以解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当a ＝－1时，不等式化为()210x -+>，所以解集为∅.23（2020·辽宁沈阳二中）解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.【答案】答案见解析【解析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<， （3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >， （4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，（5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >， 综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.。
15. 不等式的常见错误有哪些？
15. 不等式的常见错误有哪些？15、不等式的常见错误有哪些？在数学学习中，不等式是一个重要的知识点，但在解决不等式问题时，同学们常常会出现一些错误。
下面我们就来详细探讨一下不等式中常见的错误类型。
一、符号问题在不等式的运算中，符号的处理是最容易出错的地方之一。
例如，当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向需要改变，但很多同学会忽略这一点。
比如，对于不等式－2x ＞ 6 ，在求解时，两边同时除以－2 ，不等号方向应该改变，得到 x ＜－3 。
如果忽略了不等号方向的改变，就会得出错误的结果 x ＞－3 。
还有在移项时，符号也容易出错。
例如，从 3x ＋ 5 ＜ 2x 1 到 3x 2x ＜－1 5 ，如果移项时没有改变符号，就会导致错误。
二、不等式性质运用错误不等式具有一些基本性质，如传递性、加法和乘法法则等。
但在实际运用中，如果对这些性质理解不透彻，就容易犯错。
比如，对于不等式 a ＞ b ， b ＞ c ，那么可以得出 a ＞ c ，这是传递性。
但如果错误地认为 a ＞ b ， c ＞ d ，就能得出 a ＋ c ＞ b ＋ d ，这就是对性质的错误运用。
再比如，对于不等式 a ＞ b ， c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；但如果 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
如果忽略了 c 的正负性，就会得出错误的结论。
三、解集表示错误求出不等式的解集后，在表示解集时也可能出现错误。
例如，对于不等式组的解集，应该是两个不等式解集的交集。
但有些同学可能会错误地将其表示为并集。
另外，在表示区间时，开闭区间的使用也容易出错。
比如，x ≥ 2应该表示为 2, ＋∞），如果写成（2, ＋∞）就是错误的。
四、忽略定义域有些不等式问题中，变量可能存在定义域的限制，如果忽略了这一点，也会导致错误。
例如，对于分式不等式，分母不能为 0 。
在求解（x 1）／（x ＋2）＞ 0 时，不仅要考虑分子分母的正负性，还要注意 x ＋2 ≠ 0 ，即x ≠ －2 。
第二十节不等式的应用易错点导析
第二十节不等式的应用易错点导析1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.例1 求y=的最小值.错解：y=＝2y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=,则t,于是y=由于当t时，y=是递增的，故当t＝2即x=0时，y取最小值.例2 m为何值时，方程03)12(22=-+++mxmx有两个正根.错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：因此当时，原方程有两个正根.例3 已知正数y x ,满足12=+y x ，则yx 11+的最小值为 . 错解：xy y x 2221≥+= 221≥∴xy yx y x 11211⋅≥+24222=⋅≥ 故yx 11+的最小值为24 错因：不等式xy y x 222≥+与yx y x 11211⋅≥+中的等号不能同时取到， 致使求解错误。
该题可考虑将12=+y x 与y x 11+进行有效结合， 尽可能减少基本不等式的使用次数，以保证取到最值。
正解：,0,0>>y x 且12=+y x)2()11(11y x y x y x +⋅+=+∴y x x y ++=23y x x y ⋅+≥223223+= 当且仅当y x x y =2，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=22212y x 时，等号成立。
故yx 11+的最小值为223+.不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1．问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2．函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”为模型的新的形式.1.已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1122．设a>b>c>0，则2a 2＋1ab ＋1－－10ac ＋25c 2的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．53．若对任意的x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．。
解不等式易错归类浅析
解不等式易错归类浅析解不等式是中学数学中重要的一个知识点，也是高中数学中的一个重难点。
不等式的解法较为复杂，因此在解题过程中易错的情况较为常见。
本文将主要对解不等式中容易错的点进行分类浅析，希望对读者有所帮助。
一、图像法图像法是一种解不等式的可视化方法，大多数情况下它都是行之有效、可靠的。
然而，在使用图像法解不等式时，会存在两种常见的容易出错情况：1.交叉覆盖当解出的不等式图像出现两个区域相交的情况时，就会出现交叉覆盖的问题。
在这种情况下，我们将错把不等式的解区间算成两部分，导致最终解的丢失或者重复。
例如，对于$|x-3|>2$ 这个不等式，我们可以通过绘制图像来解得$x \in (-\infty,1) \cup (5,+\infty)$。
然而，有时候我们绘图时可能会出现不小心将两部分中间的“交际场所”重复计算的情况，进而得到$x \in (-\infty,1) \cup (3, +\infty)$ 的错误解。
2.捏合（漏解/怀疑）当不等式图像被压缩成一点或在某一点上有多个解时，就会出现捏合（漏解/怀疑）的问题。
在这种情况下，我们可能会误判某一部分或者让某一部分的解漏掉。
例如，对于$|x-3|<1$ 这个不等式，通过绘图解出来我们得到解为$x \in (2,4)$。
然而，当两个绝对值符号中心对称的情况出现时，很容易出现我们意识不到的捏合现象，使得解漏解或多解。
二、分式不等式分式不等式是解不等式的一种常见方式，但是在使用分式不等式求解时，容易出现以下两种错误：1.分式“乘除”法误区当我们对分式不等式两边同时乘一个式子时，就很容易犯一个错误：不能简单地呼之欲出地用“分子乘，分母乘”的方式，而应该寻找最简单的方式进行乘除。
而对于分式不等式中的绝对值，我们还需要根据绝对值中的正负情况进行分式的讨论。
例如，对于$\frac{x+2}{x-5} \geq 0$ 这个不等式，如果我们直接将$x-5$ 乘到右边，往往会陷入漫无目的的轮番乘除中，最终得出错误的解；而应该首先讨论$\frac{x+2}{x-5}$ 的正负性，进而得到$x \in (-\infty,-2] \cup [5,+\infty)$ 的解。
不等式性质中常见错误
不等式性质中常见错误不等式，是高中数学的重要内容，是每年高考的重点，不等式性质比较多，因而具有较强灵活性，一不小心，就很容易出错，下面把常见的错误列举下。
一、正负，小心应付例1、判断下列命题的真假：①2x x >，则1x >，②,a b c d >>，则lg()lg()a d b c ->-，③a b >分析：①不等式中有这样的性质：⑴,0a b c >>，则ac bc >，不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，⑵,0a b c ><，则ac bc <，不等式两边乘上一个负数，改变不等号的方向。
在不等式变形过程中，乘除都要注意乘除这个数的正负，它直接影响到不等号的方向。
因为不知道x 的正负，所以不能直接除。
第①题，错误。
②关于对数的不等式，在对数中，要求真数大于0，所以要求,a d b c --大于0,但条件中，没有明确a 与d 和b 与c 的大小，所以不能确定a d -，b c -是否一定大于0，第②题，错误。
③好像是正确的，因为不等式中好像有这样的公式，但原公式是0a b >>，>0a b >>，则n n a b >，如果,a b 小于0,则这两个公式不成立，题目中的,a b 并没有确定是否大于0,所以③是错误的。
因为我们对正数很熟悉，所以在不等式中，常常把不定量默认为正数，而忽略了负数，以后我们看到不定量，一定要想到它会不会是负数或0。
二、0，特殊对待例2、判断下列命题的真假：①a b >，则22ac bc >，②a b >，则11a b< 分析：①一看到这个题，很多学生肯定认为是：不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，所以是正确的。
但20c ≥，如果0c =，则0乘以任何数都是等于0的，则22ac bc =，所以①错误。
②这个倒数法则，用特殊法来验证，两个都是正数是正确的，两个都是负数也是正确的，但忽略了0，0不能做分母的，如果a 或b ，其中一个为0,则这个命题不成立。
解不等式的常见错误解析
解不等式的常见错误解析不等式是数学中常见的一种表示方式，用来描述两个数之间的大小关系。
在解不等式的过程中，常常会出现一些错误的解法，导致最后的结果不正确。
本文将对解不等式时常见的错误进行解析，并给出正确的解法。
一、错误：混淆不等式的符号方向在解不等式时，常常会出现混淆不等式符号方向的错误。
例如，将“大于等于”（≥）的不等式误写为“小于等于”（≤），或者将“小于”（<）的不等式误写为“大于”（>）。
这样的错误会导致解的方向相反，最终得出错误的结论。
解析：解决这种错误的方法是要仔细审题，确保正确理解不等式的符号方向。
在解题过程中，可以画出数轴，标注出不等式中的数值，以清楚地表示数的大小关系，避免混淆符号方向而导致的错误。
二、错误：对不等式中的常数项运算错误在解不等式时，常常会涉及到常数项的运算。
然而，有时候在运算过程中出现了错误，导致最后的结果不正确。
例如，在进行加减运算时，忘记转换不等式符号的方向，或者在进行除法运算时，没有考虑到分母为零的情况。
解析：为避免这类错误，解题者在进行运算时应小心谨慎，并注意符号的转换。
在进行除法运算时，需要注意分母是否为零，以避免出现无解的情况。
三、错误：忽视不等式的约束条件每一个不等式都有其特定的约束条件，即指出了不等式变量的取值范围。
在解不等式时，有时会忽视这些约束条件，导致最后得出的解不满足原始不等式。
解析：要避免这类错误，解题者在解不等式时应始终记得约束条件，并将这些条件考虑在内。
在解题过程中，可以将约束条件与不等式合并，进一步确定变量的范围，以得出正确的解。
四、错误：忽略绝对值不等式中的正负情况在解绝对值不等式时，常常会出现忽略正负情况的错误。
例如，在解|x-3| > 2这个不等式时，有的人仅考虑到了x-3的绝对值大于2，却忽略了x-3可能小于-2的情况。
解析：在解绝对值不等式时，要特别注意绝对值中的正负情况。
解题者需要分情况讨论，将绝对值不等式拆解为两个不等式，分别考虑正负情况，最后得出综合解。
不等式易错题分析
不等式易错题分析(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除不等式易错题分析一、解一元二次不等式的易错题（一）、随意消项致误例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥所以31x x ≥≤或原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或解得31x x ≥≤或或x=2所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2（二）、函数不清致误例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。
错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图像与x 轴无交点。
故[]2224504(1)43(45)0m m m m m ⎧+->⎪⎨∆=--+-<⎪⎩ 解得119m <<即所求m 的取值范围为119m <<剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对245m m +-是否为0的讨论。
正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<，若2450m m +-=时，则m=1或m=5若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立；若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。
所以m 的取值范围为119m ≤<（三）、漏端点致误例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。
不等式问题易错点分析 佘维平
不等式问题易错点分析特级教师 佘维平不等式是高中数学的重要内容，是一种主要的运算工具，也是解决生产实践和生活实际应用问题的常见数学方法，所以不等式是高考数学命题的重点，在高考中的直接、间接的考查量很大，不少同学在不等式内容上的高考失分很多！.下面结合同学们在不等式问题求解过程中常出现的一些典型错误,充分暴露错误的思维过程，使你认识到出错的原因，在比较中对正确的思路与方法留下深刻印象，从而有效地避免出错，提高解题准确率，这应是同学们在学习与复习时不可或缺的一个环节。
举例如下：一． 忽视参变量的符号致误 这是不等式问题上的最常见错误。
对于不等式xx -+11>0，解是x< -1或x>1吗？我们一些同学在这样很基础的题目上也会出错，错因就在于忽视了未知数x 前的符号！（xx -+11>0的解应为－1<x<1）. 又如不等式xx -+11>2，有同学不考虑分母的符号就去分母，解得x>31,这也是由于明显的符号问题而求解错误的例子（求解分式不等式()()()0≠>a a x g x f ，一般应移项通分，再用曲线标根法得到结果）。
那么，在含有字母参数的问题中，再不小心字母（或式子）中隐含的符号的话，错误会更多。
例1. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1).解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解.若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.易错点分析：1. 对［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.，未考虑a －1的值可正、可负、可为0三种情况；2.对12--a a ，未与2进行大小比较思维拓展：此题若去掉条件“(a ≠1).”，结果会有什么变化，请同学们思考。
不等式的易错点
汉川二中 程涛一．不等式的性质易错点（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘， （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：1.已知a b c >>，且0a b c ++=则c a的取值范围是______（答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 2.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a>>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；、⑥ba b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。
其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； 3.设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是 A1x y +≥ B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。
4.下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（ ）A ． 甲 a ＞b ，乙a1 ＜b1 B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab D 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a 正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。
5.a,b ∈R ，且a>b ，则下列不等式中恒成立的是（ ）A.a 2>b 2B.(21) a <(21)bC.lg(a －b)>0D.ba >1正确答案：B 。
不等式易错点总结
不等式易错点总结《不等式易错点总结：那些年我们一起掉过的“坑”》嘿，朋友们！今天咱就来说说不等式这玩意儿，那可是有不少易错点，稍不注意就容易掉“坑”里啦！首先，不等式两边乘除负数这个“坑”，那可真不少人踩过。
咱总是一不小心就忘了这个规则，结果答案就错得离谱。
就好像咱本来走在平地上，突然就掉进了一个大坑，摔得那叫一个惨呐！明明感觉自己做得挺对，哎，怎么答案就不对呢？就因为忽略了这个小细节，你说气人不气人！还有啊，解不等式组的时候，也是容易出幺蛾子。
常常会出现这样的情况：这个不等式解对了，那个不等式却解错了，最后整个答案都错得一塌糊涂。
就像是搭积木，一块没搭好，整个房子就垮了。
可别小看这小小的不等式组，它能让你哭笑不得！再说不等式的应用题，那更是“陷阱”多多。
有时候看着题目挺简单，不就是个不等式嘛，咱会解。
结果呢，算来算去发现不对劲，不是少考虑了这个条件，就是多算了那个情况。
就像在迷宫里转来转去，就是找不到出口。
真是让人头大啊！咱再来说说不等式符号的方向问题，这也是个容易犯迷糊的地方。
有时候不等式一移项，就把符号弄反了，等发现的时候，那真是捶胸顿足啊！好像自己跟自己玩了个恶作剧，把自己给坑了。
不过，别怕！虽然易错点多，但咱有办法呀！每次做题的时候，多留个心眼，多检查几遍，特别是那些容易出错的地方。
就像走路看着点脚下，别再掉进“坑”里啦！平时做题的时候，也可以把自己容易错的地方标记出来，下次再遇到的时候就提醒自己：嘿，这里有个“坑”，咱可不能再掉进去了。
总的来说，不等式这玩意儿虽然易错点不少，但咱只要小心点，多练习，肯定能把这些“坑”都填上。
让不等式不再是我们学习路上的绊脚石，而是我们的垫脚石，帮助我们更上一层楼！怎么样，朋友们，一起加油吧，别再被不等式的易错点给绊倒啦！。
含参数的不等式的解法易错点
含参数的不等式的解法易错点
1、定义区域的不清楚：当求解一个参数不等式时，要清楚定义一个
参数的大小区域，一般定义参数的正负区域，负区域一般要用圆括号，正
区域用方括号，容易把大小因子搞反。
2、解析不当：解析不当也是求解参数不等式时经常出现的易错点。
在解析不等式的过程中，常常容易把乘法变成除法和把除法变成乘法，例
如0.03x2=0.06可以得到x=0.03/2，但是如果是1.5/2x=3的话，变成
2x=3乘以1.5，就错误了。
3、定义不当：当定义参数不等式的参数值时，要先仔细检查小数点
的位置，把大小数字把控住，如果定义的区域是小数，要把小数点确定好，不能把小数点当成整数的，尽量不要把小数点打成图像符号，否则容易出错。
4、运算不当：参数不等式的求解过程和普通的不等式一样，要按照
规则把非零项移到一边，然后求解，在求解的过程中，要注意计算的条件，考虑因子的大小，它们之间乘除有什么关系，再根据参数的定义区域作出
正确的结论。
5、关于参数的解：在求解参数不等式时，要注意参数是否有整数解，有时看上去可能有整数解，但实际上没有，所以要把其中可能的参数值都
列出来检查一下。
不等式及其基本性质易错点剖析
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞ ． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜ ，得5b－a 10 解 7 ＝ ， 2a－b 7
2 5
解一元一次不等式组错解示例
一、误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分． 例 1 解不等式组
x－1＞0，① x＋2＜0．②
错解：由①得 x＞1，由②得 x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1． 错解分析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等 式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部 分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分” （即解集） ．实际上， 这两部分没有“公共部分” ，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的 解是指“两线重叠”的部分．此外，可能会受到解题顺序的影响，把解集表示 成 1＜x＜－2 或－2＜x＞1 等，这些都是错误的． 正解：由①得 x＞1．由②得 x＜－2，所以此不等式组无解．
15 11x , 11x 15 ,
x
15 . 11
错解分析：在第一步的移项中，-4x 移到不等号的右边应注意变为 4x;在第三步
2
的计算中，-11x 与 15 移项后，不等号不应改变方向. 正解： 7x 4x 5 10 ,
3x 15 ,
x 5 .
点拨：在解这类题时，同学们应牢记不等式的基本性质. 五、 去分母时，对不含分母的项处理不当 例 5.解不等式
a＜0， 3 得b 3 所以 ax＞b 的解集是 x＜ ． 5 ＝ ． a 5
高一数学必修5不等式易错题及错解分析
必修5不等式易错题及错解分析一、选择题：1．设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。
3．不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或 错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。
正确答案为D 。
4．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。
正确答案为B 。
5．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。
正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。
6．若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。
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不等式易错点剖析
作者：***
来源：《中学教学参考·理科版》2020年第05期
[摘要]理解和掌握不等式的基础知识，对易错题型加以归纳总结，可以避免解题错误，提高学生的解题能力.
[关键词]不等式;易错点：剖析
[中图分类号]G633.6
[文献标识码]A
[文章编号]1674-6058（2020）14-0010-02
高考中常常直接或间接考查不等式的知识，题型既有选择题也有填空题，客观题突出对不等式性质应用的考查，主观题常与其他知识如函数、导数、数列、三角等进行交汇，学生在利用不等式性质解题时常会出现各种错误，因此，有必要将各种易错点进行归纳、分析，以引起警惕，现将不等式中常见易错点列举如下，
一、不等式变形导致的错误
[例1]已知-2
错解：∵-2
分析：本题的错误是直接去求-2n的范围，忽视已知中的条件m
正解：∵-2
[例2]已知f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.
错解：∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，∴l≤a-b≤2①，2≤a+b≤4 ②，又∵f（-2）=4a-2b，
∴①+②得3/2≤a≤3，∴6≤4a≤12③，∵①+②x（-1）得-3≤-2b≤0 ④，∴③+④得3≤4a-2b≤12，∴3≤f（-2）≤12.
分析：这种解法错误在于多次运用不等式性质时，没有充分考虑到限制条件，即等号不能同时成立，这样就导致所求的范围扩大了.要认识到a与b不是相互独立的，而是两个相互联系的整体，当a取等号时b未必会取到等号，因此本题在解答过程中应把a-b和a+b当作一个整体来处理，只有这样才能得到正确的答案，
正解：令f（-2）=mf（-1）+nf（1），∴4a-2b=m（a-b）+n（a+b）=（m+n）a+（n-m）b，∴m+n=4，n-m=-2，∴m=3，n=l，∴f（-2）=3f（-1）+f（1），∴3≤3f（-1）≤b，2≤f（1）≤4，∴5≤3f（-l）+f （1）≤10，∴5≤f（-2）≤10.
二、忽视隐含条件导致的错误
[例3]若a>b，a，b
R，比较a3-a2b+ab2与a2b-ab2+b3的大小.
三、忽视均值不等式成立的条件
[例4]求函数y=1-x-（9/x）的最值.
错解：∵y=1-〔x+（9/x）〕，而由均值不等式知x+9/x≥2（√9）=6，∴y≤1-6=-5，
∴y max=-5.
分析：上述解法忽视均值不等式成立的前提条件，即各项均为正数，实际上，由于已知没有给出x的取值范围，所以应对x的取值进行分类，即分为x>0和x<0.因此在应用均值不等式时应先考虑是否满足各项均为正数这个前提条件.
[例5]若O
分析：这种解法忽视“和”或“积”为定值的条件，当凑出的和为定值时，对应各个量积有最大值;当凑出的积为定值时，对应各个量和有最小值，而〔（3-x）/2〕2？：不是定值，应通过配凑法使和为定值.
[例5]求函数y=（x2+3）/√（x2+2）（x∈R）的最小值.
綜合上述不等式求最值的例子，在应用均值不等式求最值时，需注意均值不等式的条件：“一正，二定，三相等”.
四、不等式放缩不当导致的错误
五、命题的不等价转化导致的错误
[例8]已知关于X的方程X2+（k-2）x+5-k=0的两根都大于2，试求实数k的取值范围.
六、思维定式导致的错误
[例9]求不等式x2+ax+1>0在-2≤a≤2恒成立的条件.
综上，不等式中有很多易错点.在解答有关不等式问题时，应注意不等式中的隐含条件，应用均值不等式时要注意公式成立的条件，在不等式变形过程中要注意等价变形，不能让范围人为变大，对一些不等式恒成立问题，不能根据式子的表面特点用固定思维去分析解决，应结
合已知条件从各个方面去分析，找出题目的实质.另外，在证明不等式时，有时需要根据所要证的式子特点将式子适当放大或缩小，放得过大或过小都会导致证明失败，因此，当我们在熟练掌握不等式性质后，又能知晓并避免不等式中这些易错点，通过一定的练习，那么在碰到有关不等式问题时，就能从容应对，就不会再出现类似错误.
（责任编辑黄桂坚）。