二次不等式恒成立问题

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1.一元二次不等式恒成立问题

1一元二次不等式专题辅导“含参不等式恒成立问题”是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.含参不等式恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，成为考试的一个热点.题型一定义域为R 时即恒成立问题设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a （注意：若二次项系数含参时，要讨论为0的情况）例1已知不等式02>++k x x 对任意的R x ∈恒成立，求k 的取值范围.解：判别式△<0，即可. 例2.若不等式232kx +k 08x -<对任意实数x 恒成立，求k 取值范围.解：若2k=0，则不等式等价为083<-恒成立，满足条件. 若2k ≠0,要使不等式恒成立，则⎪⎩⎪⎨⎧<+=-⋅-=∆<03)83(240222k k k k k ，即⎩⎨⎧<<-<030k k ，得03-<<k ，综上03-≤<k .变式1：设a 是常数，对任意2,10,x R ax ax ∈++>则a 的取值范围是（）变式2：若关于x 的不等式221)(1)20m x m x -+-+<（解集为∅，求实数m 的取值范围.解：不等式的解集为∅，等价为221)(1)20m x m x -+-+≥（恒成立，当012=-m ，即m=1或m=-1, 当m=1时，不等式等价为2≥0恒成立，满足条件. 当m=-1时，不等式等价为-2x+2≥0,即x ≤1，不满足恒成立，当012≠-m 时，要使221)(1)20m x m x -+-+≥（恒成立，则满足⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-0)1(8)1(01222m m m ，即⎩⎨⎧≥+--<>0)97(111m m m m ）（或，得⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-<>79-111m m m m 或或，得m>1或m ≤-79，综上m ≥1或m ≤-79.题型二定义域不为R 时策略1. 参变分离策略将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题例2 若不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立，求k 的取值范围.解：不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立，等价为不等式x x k --2>对任意21≤≤x 恒成立，设x x x --)g(2=，对称轴为21)1(21-=-⨯--=x ，则当x=1时，g(x)取得最大值，g(1)=-1-1=-2,则k>-2.练习：012>+-ax x 在对任意0>x 恒成立，则实数a 的取值范围是解：由012>+-ax x 得12+<x ax ，即xx a 12+<对对任意0>x 恒成立，∵x x x x 112+=+212=⋅≥x x ，当且仅当xx 1=即12=x ，即1=x 时，取等号，∴2<a .[)()().(0,4)A ∞∞ Ｂ.0,4 Ｃ.0,+ Ｄ.－，４2策略2. 函数最值策略对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )( 例2若不等式02>++k x x 对任意21≤≤x 恒成立，求k 的取值范围.解：设kx x x f ++=2)(，对称轴为21121-=⨯-=x ，则当x=1时，f(x)取得最小值，f(1)=1+1+k=2+k ，则由2+k>0得k>-2. 策略3.零点分布策略对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 例 2 设函数f (x )＝mx 2－mx －1. 若对于[]1,3x ∈，0)(<x f 恒成立，求m 的取值范围解：当m=0时，f(x)=-1<0，恒成立，满足条件，当m ≠0时，函数的对称轴为x=21, 当m>0时，f(x)在[1,3]上为增函数，则只需要f(3)<0,即可，则f(3)=9m-3m-1=6m-1<0,得m<61，此时0<m<61. 当m<0时，f(x)在[1,3]上为减函数，则只需要f(1)<0,即可，则f(1)=m-m-1=-1<0,此时不等式恒成立，综上得m<61.题型三给定参数范围的恒成立问题策略变换主元对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围.确定主元的原则：已知谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数.例3 若任意[1,1]k ∈-，函数2()4)42（f x x k x k =+-+-的值恒大于0，则x 的取值范围是解：f(x)=k x kx x 2442-+-+=)2(-x k +442+-x x ，设g(k)=)2(-x k +442+-x x要使f(x)>0恒成立，等价为g(k)>0恒成立，即⎩⎨⎧>->0)1(0)1(g g ，得⎪⎩⎪⎨⎧>+-=->+-=065)1(023)1(22x x g x x g ，得⎩⎨⎧<><>2312x x x x 或或，得3>x 或1<x ，即x 的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞).变式若不等式221(1)x m x ->-对 []2,2m ∀∈- 恒成立，求x 的范围.巩固练习1.不等式2230mx mx +-≤对一切x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()30-， B.(]30-，C ．[)30-， D ．[]30-，2.对任意的实数x ，不等式30x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围是（）().-0A ∞， ().0,3B ().-3C ∞， ().-3+D ∞，3.若不等式290x tx -+≥对于任意()0.x ∈+∞都成立，则t 的最大值是 .4.若关于x 的不等式2(2)120x a x a +--->对任意的[]2,2a ∈-均成立，则x 的取值范围是 .。

微专题2 二次不等式恒成立与能成立问题

第一章集合与常用逻辑用语、不等式
微专题2 二次不等式恒成立与能成立问题
视角 1 在R上恒成立问题
1 若关于 x 的不等式 x2 － mx ＋ m ＋ 1 ＞ 0 恒成立，则实数 m 的取值范围为 ____________________．
变式已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R，若不等式f(x)＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x
B．0，47 D．47，＋∞
()
3．若存在实数 x，使得 mx2－(m－2)x＋m＜0 成立，则实数 m 的取值范围为( )
A．(－∞，2) C．－∞，23
B．(－∞，0]∪13，32 D．(－∞，1)
4．若不等式x2＋px＞4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是 ( )
A．[－1，3]
3 (1) 若关于 x 的不等式 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＜ 0 有实数解，则实数 a 的取值范围是 _____________．
(2)若关于x的不等式x2－6x＋2－a＞0在区间[0，5]内有解，则实数a的取值范围是 _____________．
变式已知关于x的不等式mx2－6x＋3m＜0在(0，2]上有解，那么实数m的取值范
6．(多选)命题“∀x∈R，2kx2＋kx－38＜0”为真命题的一个充分不必要条件是
A．－3＜k＜0
B．－3＜k≤0
()
C．－3＜k＜－1
D．k＞－3
7．已知关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1，2]上有解，则实数a的取值范围为
___________．
8 ．若不等式 kx2 ＋ 2kx － 1 ＜ 0 对一切实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围为

解答二次不等式恒成立问题的途径

思路探寻不等式恒成立问题是高中数学中的常见问题，其中二次不等式恒成立问题是考查频率较高的一类问题.由于二次不等式与二次方程、二次函数都存在紧密的关联，因此解答此类问题要从不等式、方程、函数三个角度进行分析，才能获得正确的答案.一、实数域上的二次不等式恒成立问题在实数域上二次不等式恒成立问题主要是两种类型：对于任意x ∈R ，f (x )>0或f (x )<0.我们可以将问题进行转化，设f (x )=ax 2+bx +c （a ≠0），1.对于任意x ∈R ，f (x )>0恒成立⇔{a >0,Δ<0.2.对于任意x ∈R ，f (x )<0恒成立⇔{a <0,Δ<0.解答实数域上的二次不等式恒成立问题的关键是判断二次函数的开口方向，结合二次方程的判别式来解题.例1.若x ∈R ，二次函数f (x )=ax 2+2x +a <0恒成立，求a 的取值范围.解析：本题主要考查实数域上的二次不等式恒成立问题.要使二次函数f (x )=ax 2+2x +a <0恒成立，需使函数图象的开口向下，Δ<0.解：函数f (x )的定义域为R ，即不等式ax 2+2x +a <0的解集为R ，则a <0,Δ=4-4a <0，解得a <-1.所以实数a 的取值范围是a <-1.例2.若函数f (x )=2x 2+2ax -a 的定义域为R ，则a 的取值范围为_____.解析：本题本质上是考查实数域上的二次不等式恒成立问题：对于任意x ∈R ，x 2＋2ax －a ≥0恒成立.由于二次函数的开口向上，所以只需要使Δ≤0即可.解：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2+2ax -a -1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2+2ax -a ≥1，x 2+2ax -a ≥0恒成立，因此Δ=(2a )2+4a ≤0，解得-1≤a ≤0.二、给定区间上二次不等式恒成立问题解答给定区间上二次不等式恒成立问题一般需要结合二次函数的图象、对称轴、开口方向以及二次方程的根、判别式来综合分析.设f (x )=ax 2+bx +c （a ≠0），（1）当a >0时，f (x )>0在区间[α,β]上恒成立，等价于：ìíîïï-b 2a <α,f (α)>0,或者ìíîïïα≤-b 2a ≤β,f (-b 2a )>0,或者ìíîïï-b 2a >β,f (β)>0.（2）当a <0时，f (x )<0在区间[α,β]上恒成立，等价于：ìíîïï-b 2a <α,f (α)>0,或者ìíîïïα≤-b 2a≤β,f (-b 2a )>0,或者ìíîïï-b 2a >β,f (β)>0.结合二次函数的图象讨论二次方程的根的分布情况，是解答给定区间上二次不等式恒成立问题的关键.例3.已知f (x )=x 2+ax +3-a ，如果x ∈[-2,2]，f (x )≥0恒成立，则求a 的取值范围.解析：此题需要对f (x )的零点分布情况进行分类讨论，可以分成没有零点、区间左侧存在零点以及区间右侧存在零点三种情况.解：f (x )=(x +a 2)2-a 24-a +3，令f (x )在[-2,2]上的最小值为g (a ).(1)当-a2<-2，即a >4时，g (a )=f (-2)=7-3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在.(2)当-2≤-a2≤2，即-4≤a ≤4时，吴珍51探索探索与与研研究究g (a )=f (-a 2)=-a 24-a +3≥0，∴-6≤a ≤2.又-4≤a ≤4，∴-4≤a ≤2.(3)当->2，即a <-4时，g (a )=f (2)=7+a ≥0，∴a ≥-7.又a <-4，∴-7≤a <-4.综上可知，a 的取值范围为[-7,2].例4.已知x ∈[0,2]，函数f (x )=4x 2-4ax +a 2-2a +2≥3恒成立，求a 的值.解：函数f (x )的解析式可化为f (x )=4(x -a 2)2+(2-2a ).①当0≤a2≤2，即0≤a ≤4时，f (x )有最小值2-2a ，依题意有2-2a =3，解得a =-12，这个值与0≤a ≤4相矛盾.②当a 2>2，即a <0时，f (0)=a 2-2a +2是最小值，依题意有a 2-2a +2=3，解得a =1±2，又∵a <0，∴a =1-2.③当a 2>2，即a >4时，f (2)=16-8a +a 2-2a +2是最小值，依题意有16-8a +a 2-2a +2=3，解得a =5±10，又∵a >4，∴a =5+10.综上所述，a =1-2或a =5+10.这里首先通过配方将函数解析式化为顶点式，然后分三种情况讨论：函数的对称轴在定义域的左侧、中间、右侧，再结合二次函数的图象讨论二次方程的根的分布情况，求得最小值，建立关于a 的方程，求得a 的值.解答给定区间上含参二次不等式恒成立问题的实质是，将问题转化为函数最值问题，借助函数的图象和性质来解题.综合上述分析可知，解答含参二次不等式恒成立问题不仅需要灵活运用二次不等式、二次方程、二次函数知识，还需要灵活运用分类讨论思想对各种情况进行分类讨论；借助二次函数的图象和性质，运用函数思想对问题进行分析；运用转化思想将问题进行等价转化.（作者单位：江苏省徐州市经济技术开发区高级中学）学生在学习的过程中经常会遇到一些比较复杂，且需要分多种情况讨论的问题，教师可以借机将分类讨论思想渗透到教学中，引导学生将问题进行分类，然后逐一进行讨论，这样便能将复杂的问题转化为简单的问题，不仅能帮助学生提升解题的效率，还能降低他们解题的难度.一、在函数解题教学中的应用在函数解题教学中，教师首先要让学生明确哪些是要讨论的对象，常见的有二次函数的系数、指数与对数函数的底数、含参函数中的参数等，然后引导他们结合所学的函数定义、性质等进行分类讨论.例1.求二次函数y =3x 2-mx +4在[2,3]上的最大值的表达式.解析：观察函数的解析式，学生可以发现，该二次函数的最值由函数的对称轴以及在[2,3]上的单调性来确定，函数对称轴的位置不同，函数在区间上的单调性不同，所取得的最值也不同，因此教师首先要让学生明确本题讨论的对象是函数的对称轴，然后引导他们根据对称轴与区间[2,3]的位置关系来确定y max 的表达式，分为对称轴在[2,3]的左边、中间、右边三种情况进行讨论.解：由题可知函数的对称轴为x =m6，可根据52。

例说二次不等式在区间上恒成立问题的求解策略

例说二次不等式在区间上恒成立问题的求解策略
求解二次不等式在区间上恒成立的策略
本文将从求解二次不等式在区间上恒成立的策略入手，分享解决问题的思路和
建议，以期能够帮助读者熟悉有关算法，并帮助其求解二次不等式在区间上恒成立的问题。

首先，在二次不等式下，它表示的是在一个指定的x的范围内，大多数的情况下，其中的一个因素符合某一个给定的不等式，而另一个则不满足。

显然，这个定义是对于数学中的概念的体现。

接下来，如果要求二次不等式在区间上恒成立，那么就必须要求x的范围必
须是这个不等式的解，而且这个不等式的解必须是整数，也就是x具有连续性，如果这个条件被满足，那么二次不等式在这个x的范围内就一定能够成立。

再者，除了上面提到的必要条件，要想让二次不等式在区间上恒成立，就还需
要查找此不等式的解，这可以通过借助四则运算来实现，并判断x的值，以确定此不等式是否满足要求。

最后，另外还要注意，在求解二次不等式在区间上恒成立的策略时，也可以使
用数学公式，而不一定要使用四则运算，比如，使用分数、根号等数学公式，都可以帮助我们求出二次不等式在合适的x范围内恒成立的策略。

总而言之，求解二次不等式在区间上恒成立的策略可以通过上述方式实现，因此，在求解相关问题时，大家应当熟悉上述方法，以便正确而有效的应对此类问题。

高中数学：含参数的二次不等式恒成立问题

2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性. 三、情感态度与价值观 1.进一步提高学生的运算能力和思维能力； 2.培养学生分析问题和解决问题的能力； 3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想. 很成立问题的参数求解在某一区间上的恒成立问题启发引导，分析讲解，练习领会。
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第五课时
含参数的二次不等式恒成立问题一、知识与技能
1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；
2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集； 3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式； 4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题. 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；
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练习
1 若 mx2 2x 1 0值 x m 0值 x (2,3)值值值值值
m值值值值值
课堂小结作业布置练习调配
对于二次不等式恒成立问题数形结合做题，看对称轴，端点处的函数值的符号。练习册和报纸上的类型题。报纸随堂练含参数问题 4，同步检测试题基础卷 10，提高卷 3,10
分析：通过观察图像
例 5 已知 x2 x mx 1值 x R 恒成立，求 m 的取值范围新课变式 1：已知 x2 x mx 1值 x (1,) 恒成立，
学习求 m 的取值范围
变式 2：已知 x2 x mx 1值 x (1,2) 恒成立，求 m 的取值范围变式 3：已知 x2 x mx 1值 x (2,2)值值值，求 m 的取值范围

01一元二次不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧一、用一元二次方程根的判别式二、利用函数的最值（或值域）（1）对任意x都成立（2）对任意x都成立。

简单记作：大的大于最大的，小的小于最小的。

三、变更主元法对于一次函数有：四、分离参数法恒成立，则；恒成立，则.五、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围.例1对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形1：已知不等式2220-+>对x∈R恒成立，求实数a的取值范x ax围。

变式2：已知不等式mx2-x+1＜0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围。

变形3：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形4已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k 的取值范围。

变形1已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。

变形2已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。

例3已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

变式：已知二次函数，如果x ∈［0，1］时，求实数a 的取值范围。

例4已知不等式(1)21x m x -<-对()0,3m ∈恒成立，求实数x 的取值范围。

变形1对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

例5已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是变形1当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是实数，且a不等于零。

在解一元二次不等式时，我们经常使用判别式和一元二次函数的图像来帮助我们找到解集。

要判断一元二次不等式的解集，我们首先需要找到一元二次不等式的根。

一元二次不等式的根可以通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。

一元二次方程的解可以使用求根公式：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)来计算。

如果一元二次方程的判别式b^2 -4ac大于零，那么方程就有两个不同的实根。

如果判别式等于零，那么方程有一个实根。

如果判别式小于零，那么方程没有实根。

接下来，我们可以使用一元二次函数的图像来帮助我们找到一元二次不等式的解集。

一元二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向取决于a的正负。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

根据抛物线与x轴的交点的情况，我们可以判断出一元二次不等式的解集。

如果一元二次不等式的a大于零，表示抛物线开口向上。

如果判别式大于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。

如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。

如果判别式小于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。

如果一元二次不等式的a小于零，表示抛物线开口向下。

如果判别式大于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。

如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。

如果判别式小于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。

通过以上的分析，我们可以总结出一元二次不等式恒成立的条件。

一元二次不等式恒成立，有以下两个条件：1. a不等于零；2.一元二次不等式对所有实数x都成立。

如果a等于零，那么不等式就变成了一次不等式，而不是二次不等式。

一元二次不等式恒成立问题解题策略

２０２３年９月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次不等式恒成立问题解题策略◉甘肃省卓尼县柳林中学㊀马永福㊀㊀摘要:利用函数思想解决不等式的取值范围问题是高考的热点．解决一元二次不等式恒成立问题的基础是三个二次的相互转化,本文中主要通过数形结合思想,从三个类型入手讲解一元二次不等式恒成立的解题策略,旨在培养学生利用化归㊁数形结合㊁函数和分类讨论思想进行解题的意识．关键词:函数;不等式;恒成立㊀㊀由一元二次方程㊁一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:(１)化不等式为标准形式a x２＋b x＋c＞０(或a x２＋b x＋c＜０)(a＞０);(２)求方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根,并画出对应函数f(x)＝a x２＋b x＋c的图象简图;(３)由图象得出不等式的解集．(如表１)表１Δ＞０Δ＝０Δ＜０方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根有两个相异的实数根x１＝－b－b２－４a c２ax２＝－b＋b２－４a c２a有两个相等的实数根x１＝x２＝－b２a没有实数根二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的图象二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的零点有两个零点x１,x２(x１＜x２)有一个零点x＝－b２a无零点a x２＋b x＋c＞０(a＞０)的解集(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)(－ɕ,－b２a)ɣ(－b２a,＋ɕ)Ra x２＋b x＋c＜０(a＞０)的解集(x１,x２)⌀⌀１类型１:在R上恒成立,求参数取值范围(１)若a x２＋b x＋c＞０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＞０,②Δ＜０．(２)若a x２＋b x＋c＜０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＜０,②Δ＜０．例１㊀设a为常数,∀xɪR,a x２＋a x＋１＞０,求a的取值范围．解析:当aʂ０时,根据类型１可知,只需满足a＞０,Δ＝(a)２－４a＜０,即０＜a＜４;当a＝０时,１＞０恒成立．所以a的取值范围是[０,４)．例２若存在实数x,使得x２－４b x＋３b＜０成立,则b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析:该题型的关键词为存在实数x ,数形结合,可知函数f(x)＝x２－４b x＋３b在x轴下方有图象,即对应方程x２－４b x＋３b＝０有两个不等实数根,所以解题关键是Δ＝(－４b)２－１２b＞０．故b的取值范围是b b＞３４,或b＜０{}．点评:一元二次不等式a x２＋b x＋c＞０或a x２＋b x＋c＜０对任意的x在R上恒成立,结合对应函数图象可知,图象与x轴没有交点,转化为对应方程没有实数根即Δ＜０是解题的桥梁,特别注意开口方向的确定;当条件变为存在时,要注意桥梁的转化作用．３５Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月上半月㊀㊀㊀２类型２:在某区间上恒成立,求参数取值范围(１)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立,需要考虑函数图象的对称轴x ＝－b２a的位置:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＞０．(２)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＜０且f (n )＜０．(３)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＞０且f (n )＞０．(４)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＜０．例３㊀关于x 的函数f (x )＝m x ２－m x －１,对于x ɪ[１,３],f (x )＜－m ＋５恒成立,求m 的取值范围．分析:由题意可知m x ２－m x ＋m －６＜０在x ɪ[１,３]上恒成立．当m ʂ０时,二次函数图象的对称轴为x ＝１２,函数在区间[１,３]上单调,则分类讨论可得m 的取值范围．还要考虑m ＝０的情况．解:根据题意f (x )＜－m ＋５,得m x ２－m x ＋m －６＜０．令g (x )＝m x ２－m x ＋m －６,当m ʂ０时,g (x )的对称轴为x ＝１２,g (x )在[１,３]上单调．①当m ＞０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递增,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (３)＜０,解得m ＜６７,故０＜m ＜６７．②当m ＜０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递减,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (１)＜０,解得m ＜６,故m ＜０．③当m ＝０时,－６＜０恒成立．综上,实数m 的取值范围为(－ɕ,６７)．点评:一元二次不等式在某个区间上恒成立问题,首先要将不等式化成g (x )＞０或者g (x )＜０的标准形式,然后结合对应函数图象及对称轴的位置,求得参数的取值范围．例４㊀函数f (x )＝x ２＋m x －１,若对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,求实数m 的取值范围．分析:本题属于类型２中的第(２)种情况,只需满足f (m )＜０且f (m ＋１)＜０即可,解:根据题意,对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,则f (m )＜０且f (m ＋１)＜０．即２m ２－１＜０,且２m ２＋３m ＜０．解得－２２＜m ＜０．所以,实数m 的取值范围为(－２２,０)．点评:当二次函数在对应区间上单调,但对称轴位置不好确定时,可将区间两个端点函数值符号的确定作为突破口,进行解答．３类型３:给出参数的范围,求不等式的解集例５㊀对于任意k ɪ[－１,１],关于x 的函数f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k ＞０恒成立,求x 的取值范围．分析:该题型是开口向上的二次函数f (x )＞０恒成立问题,给出参数取值范围,求自变量x 的取值范围,直接求解很麻烦,所以可变换主元进行转化,把k 当作主元,把x 当作参数利用函数的性质求解其范围．解:f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k 换元得g (k )＝(x －２)k ＋x ２－４x ＋４,此时原函数f (x )变成关于k 的一次函数g (k )．一次函数g (k )在其定义域[－１,１]上单调,要使g (k )＞０恒成立,则只需g (１)＞０,g (－１)＞０,{即x ２－５x ＋６＞０,x ２－３x ＋２＞０,{解得x ＞３,或x ＜１．所以x 的取值范围是(－ɕ,１)ɣ(３,＋ɕ)．点评:此类问题的求解有两种方法．(１)直接求解,利用分类讨论思想;(２)应用函数思想,以参数为主元,构造关于参数的函数求解．根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,是解决一元二次不等式恒成立问题的基本思路．解题方法有函数法㊁最值法㊁分离参数法㊁数形结合法等．一元二次不等式恒成立问题的解题过程渗透着换元㊁化归㊁数形结合㊁函数与方程等思想方法,解决问题的过程也是培养学生核心素养的过程．Z４５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧

ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个二次问题,实现三个二次问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

“二次不等式在给定区间恒成立”的常见解法

“二次不等式在给定区间恒成立”的常见解法内江市翔龙中学朱学均“已知二次不等式在给定区间上恒成立，求其中所含参数的取值范围”，是一类较为常见的题型。

这是一类牵涉到二次函数、二次不等式、二次方程、函数最值的综合性问题，解决的切入点多、方法灵活，是一类考查学生运用所学知识解决问题，训练学生解题能力的好题型。

下面，笔者将通过对一个典型例题的解法的探讨，以飨读者。

题目：已知不等式x 2－2mx －1>0对一切13x 都成立，求参数m 的取值范围。

解法（一）：设A=2/210x x mx ,则由条件可知1,3A 2440m22/11Ax x m m x m m 或211m m ………………①或213m m ………………②解①得211m m ,该不等式等价于不等式组2210100121mm m m m m m 解②得213m m ,该不等式等价于不等式组2233031692m m m mm m m 综上所述可知:m<0解法（二）：由条件可知，21,3/210x x mx ，且2440m 221031x mx 方程的两根均大于或均小于又12212101111012100(1)00x x x mx m m m m m f m 2的两根均小于设f(x)=x -2mx-1,则有2m2参数m 的范围为解法（三）：2x -2mx-1>0对一切1x 3都成立.12m<x-在1,3内成立.x 1令g(x)=x-,x 1,3则可知:g(x)在1,3内单调递增.x 1g(1)g(x)g(3) 即0x-1x 2m<0 即m<0m 的范围为m<0解法（四）：2222设f(x)=x -2mx-1,则f(m)=-m -1<0x -2mx-1>0对一切1x 3都成立.对称轴x=m 1,3f(x)=x -2mx-1在1,3内单调递减.m<0f(1)>01-2m-1>0m<049-6m-1>0f(3)>0m<3m 的范围为:m<0解法（五）：设f(x)=x 2-2mx-1,则由x 2-2mx-1>0对一切13x 都成立可知，在1,3上有f(x)min >0由f(x)=(x-m)2-m 2-1可知①若m<1,则f(x)min =f(1)=1-2m-1>0 m<0 ②若13m ,则f(x)min =f(m)= -m 2-1<0这与条件矛盾13m不符题意这与m.>3矛盾m>3不③若m.>3,则f(x)min=f(3)=9-6m-1>0 m<43符题意综上所述,m的范围为m<0解法（六）：由x2-2mx-1>0可知2mx<x2-1 x1,3令f(x)=x2-1,g(x)=2mx则在1,3内，f(x)的图象必在g(x)的图象的上方m<0。

一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法

一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。

在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。

1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。

一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。

在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。

2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。

在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。

3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。

例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。

解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。

我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。

当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。

一元二次不等式恒成立问题解法

一元二次不等式指的是形如$ax^2+bx+c>0$ 或$ax^2+bx+c\geq 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是实数且$a\neq 0$。

如果要证明这个不等式恒成立，可以使用以下方法：方法一：求解方程将不等式转化为等式，即$ax^2+bx+c=0$。

由于$a\neq 0$，因此该方程的解为$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 和$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

如果$x_1$ 和$x_2$ 的符号相同，那么不等式就不成立；如果$x_1$ 和$x_2$ 的符号不同，那么不等式就成立。

这是因为，当$a>0$ 时，$ax^2+bx+c$ 开口向上，所以当$x\in(x_1,x_2)$ 时，$ax^2+bx+c<0$；当$a<0$ 时，$ax^2+bx+c$ 开口向下，所以当$x<x_1$ 或$x>x_2$ 时，$ax^2+bx+c<0$。

方法二：利用一元二次函数的性质一元二次函数$y=ax^2+bx+c$ 的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。

如果$a>0$，那么抛物线开口朝上，函数的最小值为$c-\frac{b^2}{4a}$，即当$x=-\frac{b}{2a}$ 时；如果$a<0$，那么抛物线开口朝下，函数的最大值为$c-\frac{b^2}{4a}$，即当$x=-\frac{b}{2a}$ 时。

因此，当$c-\frac{b^2}{4a}>0$ 时，不等式恒成立；当$c-\frac{b^2}{4a}\leq 0$ 时，不等式不成立。

综上所述，要证明一元二次不等式恒成立，可以使用上述两种方法之一。

需要注意的是，这些方法只适用于一元二次不等式，对于更高次的不等式，需要使用其他的方法进行证明。

一元二次不等式恒成立问题的求解策略

一元二次不等式恒成立问题的求解策略许昌县二高杨怀民含参数的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单、最常见的恒成立问题，是研究恒成立问题的典型素材，也是近几年高考考查的热点之一.下面结合例子，介绍几种常用的求解策略.1.利用一元二次不等式的判别式求解代数式ax 2＋bx ＋c >0的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0. 例1 已知不等式kx 2＋kx ＋6x 2＋x ＋2>2对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 解 ∵x 2＋x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74>0. ∴原不等式等价于kx 2＋kx ＋6>2x 2＋2x ＋4，即(k －2)x 2＋(k －2)x ＋2>0.当k ＝2时，2>0，结论显然成立；当k ≠2时，k 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，Δ＝(k －2)2－4×2(k －2)<0，解得2<k <10. 综上所述，k 的取值范围是2≤k <10.2.转化为二次函数在闭区间上的最值问题求解一般地，f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立；f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立.例2 已知不等式sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2>0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 解设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2，则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立∴a <－1. 当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1， ∵－1≤a ≤1，∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a 2－4a ＋3>0，解得a <1或a >3，∵a >1，∴a >3.综上所述，a 的取值范围为a <1或a >3.3.利用直线型函数图象的保号性求解函数f (x )＝kx ＋b ，x ∈[α，β]的图象是一条线段，此线段恒在x 轴上方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧ f (α)>0，f (β)>0；此线段恒在x 轴下方的等价条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (α)<0，f (β)<0；此线段与x 轴有交点的等价条件是f (α)·f (β)≤0.例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1<x (m 2－1)恒成立，试求m 的取值范围.解设f (x )＝(m 2－1)x ＋(1－2m )，则原不等式恒成立⇔f (x )>0，x ∈[0,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－2m >0，m 2－2m >0⇔m <0. 4.分离参数后，利用基本不等式求解如果直接求参数的范围比较困难，而且参数容易从式子中分离出来，可以考虑分离参数后，再利用等价条件f (x )≥a ⇔a ≤f (x )min 或f (x )≤a ⇔a ≥f (x )max 求解.例4 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )>a 恒成立，求a 的取值范围. 解不等式f (x )>a ⇔x 2＋ax ＋3>a⇔x 2＋3>a (1－x )，x ∈[－1,1].∵－1≤x ≤1，∴0≤1－x ≤2.当x ＝1时，1－x ＝0，x 2＋3>a (1－x )对一切a ∈R 恒成立；当x ≠1时，0<1－x ≤2，则a <x 2＋31－x. ∵x 2＋31－x ＝(1－x )2－2(1－x )＋41－x＝(1－x )＋41－x －2≥2(1－x )·41－x－2＝2. 当且仅当1－x ＝41－x，即x ＝－1时，取到等号. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋31－x min＝2.从而a <2. 综上所述，a 的取值范围为a <2.。

二次不等式恒成立问题

二次不等式恒成立问题一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或；],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a bab f a b 或或类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。

类型4：min max ()()()()()()()f x g x x I f x g x f x g x x I >∈⇔>∈对一切恒成立的图象在的图象的上方或例题：1.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．2.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集．作业 1.已知2()5f x x ax a =++-，（1）若R,()2x f x ∈≥恒成立，求a 的取值范围. （2）若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. （3）若[2,2],()2a f x ∈-≥恒成立，求x 的取值范围.2.已知不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．作业1.已知2()5f x x ax a =++-，（1）若R,()2x f x ∈≥恒成立，求a 的取值范围. （2）若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. （3）若[2,2],()2a f x ∈-≥恒成立，求x 的取值范围.2.已知不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求实数k 的值； (2)若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围．。

一元二次不等式恒成立问题

立，那么 a 的取值范围是_____2__,_2__.
⑵集合 A={x|10+3x-x2≥0}，B={x|m+1≤x≤2m+1}，当 A∩B=φ时，m 的取值范围是________．
m＜0 或 m＞4
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练习1：若y lg( x2 5x b) 的定义域为R,求
b范围。
b ( , 25 ) 4
练习2 ：若y lg( x2 5x b) 的值域为R,求b
范围。
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三、课堂小结
一、内容分析
已知不等式的解集，求参数的值或范围
1函数不等式中的恒成立问题 2分离参数后用最值
3用图象
二、运用的数学思想
数形结合的思想
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作业：73页第1、2题
思考题：
1、若方程x2 +mx+n=0无实数根，则不等式x2 +mx+n>0的
解集是 R
.
2、若不等式x2 ax (a 3) 0的解集是，则实数
a的取值范围是 -2≤a≤6 .
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一元二次不等式及其解法（4）
与一元二次不等式有关恒成立的问题
1
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与一元二次不等式有关恒成立的问题
知识概要
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
a 0
b2
4acΒιβλιοθήκη 0（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立

一元二次不等式恒成立题型

一元二次不等式恒成立专题例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，则⎩⎨⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)方法一要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.方法二当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1.∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m <67即可.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. (3) 解 f (x )<－m ＋5，即mx 2－mx －1<－m ＋5，m (x 2－x ＋1)－6<0.设g (m )＝m (x 2－x ＋1)－6.则g (m )是关于m 的一次函数且斜率x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0.∴g (m )在[1,3]上为增函数，要使g (m )<0在[1,3]上恒成立，只需g (m )max ＝g (3)<0，即3(x 2－x ＋1)－6<0，x 2－x －1<0，方程x 2－x －1＝0的两根为x 1＝1－52，x 2＝1＋52， ∴x 2－x －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52，即x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 练习：1. 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________. 解析：构造函数f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]，则f (x )在[1,2]上的最大值为f (1)或f (2).由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎨⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎨⎧ 1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，可得⎩⎨⎧ m ≤－5，m ≤－4，所以m ≤－5.2.若不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥2B.m ≤－2C.m ≤－2或m ≥2D.－2≤m ≤2答案 D解析由题意，得Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2.3.当不等式x 2＋x ＋k >0恒成立时，k 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ 解析由题意知Δ<0，即1－4k <0，得k >14，即k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.3.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A.1B.－1C.－3D.3答案 C解析由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3，∴m 的最大值为－3.4.对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A.1<x <3B.x <1或x >3C.1<x <2D.x <1或x >2答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， g (a )＞0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎨⎧ g 1＝x 2－3x ＋2>0，g －1＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎨⎧ x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3.5.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(－∞，2]C.(－2,2)D.(－2,2]答案 D 解析当a －2≠0时，⎩⎨⎧ a －2<0，4a －22－4a －2·－4<0，即⎩⎨⎧ a <2，a 2<4，解得－2<a <2.当a －2＝0时，－4<0恒成立，综上所述，－2<a ≤2.6.若不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1 解析 ①当a 2－1＝0时，a ＝1或a ＝－1.若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0，即x <12，不合题意，舍去. ②当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0，解得－35<a <1. 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1. 7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )≥a 恒成立，即x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，必须且只需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴－6≤a ≤2，∴a 的取值范围为[－6,2]．(2)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋3－a 24.①当－a 2<－2，即a >4时， f (x )min ＝f (－2)＝－2a ＋7，由－2a ＋7≥a ，得a ≤73，∴a 不存在； ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝3－a 24，由3－a 24≥a ，得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2； ③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )min ＝f (2)＝2a ＋7，由2a ＋7≥a ，得a ≥－7，∴－7≤a <－4. 综上，a 的取值范围为[－7,2]．。

不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)

一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。

四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ；若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ；若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ，又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ，综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤；综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--，因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立，当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤，所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥，则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-，由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==，所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立，令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠，当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____．【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意；当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解，则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<，综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，所以1112m >，则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________．【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解，则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ，故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解，设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，，对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号，则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥，关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增，所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<，所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤，则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。

二次不等式恒成立问题

二次不等式恒成立问题
（100字以上）
二次不等式恒成立问题是数学中一个经典的重要内容，它是对有关个大于零的数的乘积，也就是二次多项式的式样进行分析和证明的问题。

针对二次不等式恒成立问题，有两种检验方法：解析法和图形法。

解析法就是通过把二次不等式转化为一元不等式，然后用实数范围与集合理论来解决该问题；而图形法则是用图形来分析，先求解二次不等式的根，然后把该二次函数的图形画出来，从而得出限制条件，确定出非负数。

比较而言，解析法耗时少，但难度大，而图形法则相反，大家在处理二次不等式恒成立问题时可以根据情况来进行选择。