二次不等式恒成立问题

基础梳理

1•一元二次不等式的解法

⑴将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+ bx+ c> 0(a> 0)或ax2 + bx+ c v 0(a> 0).

⑵求出相应的一元二次方程的根.

(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

如下表：

肋摩擞烁-----

一个技巧

一元二.次.不.等式…ax2+一bx+ c v 0(a壬.0)的解集.的确定愛…一 a.的符号.、…b2—4ac .的符号的影响，且与

相应的.二.次函数……一.元二次方程有密切联系,….可结合相应旳函数.…y亍.ax2.+. .bx+. c(a.

0).的图象，

数形结合求得不等式的解集，…若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为... ax2+ bx+ c > 0(或v .0).(其中..a> .0)的形式，其对应的方程…a^+bx+c三0 一有.两个丕等实根…x i,.x2,(x i

v x2)(此

时.b2—4ac> 0).,则可根据.“大于取两边，小于夹中间”求解集. .....

两个防范

⑴二.次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零一. 的情况.；..

(2)解含参数的一元二次不等式.，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论;.若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论,.分类要不重不漏:………

二次不等式恒成立问题

不等式ax2+ bx+ c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b = 0, c>0;当

a> 0, r

a^ 0时，不等式ax2+ bx+ c v 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b △v 0；

a v 0,

=0, c v 0；当a^0 时，

△V 0.

、恒成立问题的基本类型:

类型1 :设f (x) 2

ax bx c(a 0)，(1) f (x) 0在x R上恒成立 a 0且0 ； (2) f(x) 0在x R上恒成立 a 0且0。

类型

设f(x) 2 ax bx c(a 0)

2 :

(1) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立

b b b

2a 或2a 或2a

f( ) 0 0 f() 0

f() 0

f(x) 0在x [ ,］上恒成立

f() 0

f() 0

(2) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立

f() 0

b b b f(x) 0在x [ ,］上恒成立2a 或2a 或2a

f() 0 0 f( ) 0

类型3:

f(X ) 对一切X I 恒成立 f(X )min f(X ) 对一切X I 恒成立 f (X )max

类型4 :

f (X ) g(X )对一切X I 恒成立 f (X)的图象在g(X)的图象的上方或f (X)min

g (X )maX (X I)

二、恒成立问题常见的解题策略： 策略一：利用二次函数的判别式 对于一兀二次函数 f (x) ax bx c 0( a 0,x R)有：

(1) f(x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ；

(2) f(x) 0在x R 上恒成立 a

0且

例1. 若不等式(m 1)x 2 (m 1)

x 2

0的解集是R , 求m 的范

围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m-1是否是0。

(1)当m-1=0时，元不等式化为 2>0恒成立，满足题意；

m 1

(2) m 1

0 时，只需 2 ，所以，m [1,9)。

(m 1)2

8(m 1) 0

策略二：利用函数的最值(或值域)

(1) f (X ) m 对任意X 都成立 f(x)min m ；

由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例2.已知f(x) x 2 ax 3 a ，若x [ 2,2], f(x) 2恒成立，求 a 的取值范围

解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间

-2

x [ 2,2], f(x) 2恒成立

X [ 2,2], f (x) min

2

2

f

(X )min f( 2)

7 3a 2

2 a 2 a

或

2

2

或2 2

即a 的取值范围为[5, 2 2\. 2]

f(x )min

f(二)3 a

—2 f(x)mn

f(2)

7 a 2

解析 本题可以化归为求函数 f (x )在闭区间上的最值问题

2

4

策略三：利用零点分布

m 所以要讨论

(2) f (X ) m 对任意x 都成立

f(X )max 。简单计作:

“大的大于最大的，小的小于最小的”

,只要对于任意 X [ 2,2], f (x)min 2 .若

例3.已知f (X ) x 2

ax 3 a ，若 x [ 2,2], f(x) 0恒成立，求a 的取值范围