正项级数的收敛判别
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法有以下几种：
1. 比较判别法：如果对于正项级数∑a_n和正项级数∑b_n，有
a_n≤b_n对于所有的n成立，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也发散。
2. 极限判别法：如果对于正项级数∑a_n，有
lim(n→∞)a_n/a_(n+1)=L，其中L为有限值，则当L<1时，级数∑a_n收敛；当L>1时，级数∑a_n发散；当L=1时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
3. 比值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)a_(n+1)/a_n=q，则级数∑a_n收敛；如果
lim(n→∞)a_(n+1)/a_n＞1，则级数∑a_n发散。
4. 根值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)√(a_n)=q，则级数∑a_n收敛；如果lim(n→∞)√(a_n)＞1，则级数∑a_n发散。
需要注意的是，这些判别法只对正项级数有效，即级数中的每一项都是非负的。
对于一般的级数，可以考虑正项级数的收敛性质来推导一般级数的收敛性。
正项级数的判敛方法
n1
19
第九章 常数项级数
例8. 判别下列级数的敛散性：
1
(1) n1 np (p0)
(p 1 , 发 散 p 1 ,收 敛 )
解： an
1 np
，取
f (x)
1 xp
，
则 f ( x) 在[1, ) 上非负，连续，单减。
∵
1
1 x p dx
p p
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
4
n3
n
而
1 收敛，
∴原级数收敛。
4
n n1
3
11
第九章 常数项级数
ln n
1
0
，
n n 4
5
n4
而
1 收敛，故 ln n 收敛。
5
3
n n1 4
n n1 2
12
第九章 常数项级数
例6. 判别下列级数的敛散性：
(1)
n1
2n
tan3n
5 n
(2) n1 n 5
(3) 258(3n1) n1159(4n3)
n1
n1
（3）当 时，且 vn 发散，则 un 发散。
n1
n1
5
第九章 常数项级数
说明：极限形式的比较判别法其实是将两个正项级数的 通项作为无穷小量，来比较它们的阶。
数列与级数的收敛判别法
数列与级数的收敛判别法数列与级数是数学中常见的概念，它们在数学分析、微积分等领域有着广泛的应用。
在研究数列与级数时，我们常常需要判断它们是否收敛，即是否存在有限的极限值。
本文将介绍几种经典的数列与级数的收敛判别法。
一、数列的收敛判别法1. 有界性判别法对于数列{an}，如果存在一个实数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立，那么数列{an}是有界的。
根据实数的确界原理，有界的数列必定存在收敛子列，因此可以推断该数列也是收敛的。
2. 单调性判别法对于数列{an}，如果对于所有的n，都有an≤an+1或an≥an+1成立，即数列{an}单调递增或单调递减，那么该数列收敛的充分必要条件是{an}单调有界。
3. 夹逼定理夹逼定理是判别数列收敛性的重要工具。
设数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a。
如果数列{bn}收敛，那么它的极限必定是a。
二、级数的收敛判别法1. 正项级数判别法若级数Σan收敛，且对于任意的n，都有an≥0成立，则该级数是正项级数。
正项级数的收敛判别法有以下几个重要的定理：（1）比较判别法：若对于所有的n，都有0≤an≤bn成立，且级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛；若级数Σan发散，则级数Σbn也发散。
（2）极限判别法：若存在正数c，使得lim(an/bn)=c，则有以下几种情况：当0<c<∞时，若级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛；若级数Σan发散，则级数Σbn也发散。
当c=0时，若级数Σbn收敛，则级数Σan也收敛。
当c=∞时，若级数Σan收敛，则级数Σbn发散；若级数Σan发散，则级数Σbn收敛。
（3）比值判别法：若lim(|an+1/an|)=r，其中r为非负实数，那么有以下几种情况：当r<1时，级数Σan收敛。
当r>1时，级数Σan发散。
当r=1时，级数的敛散性不确定。
2. 交错级数判别法交错级数是指级数Σ(-1)^n*an，其中an为正数。
高数：级数敛散判别法
则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散 。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界 。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。 由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散 。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散 。
1 1 n 1, 2,
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
数项级数收敛性判别法
2021/4/21
(3) p 0 时，级数发散．
28
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为 则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数 也绝对收敛, 其和为
（1）
n1
n3 2n3 n
；
（2）
1；
n n1
1 1 n
（3）
n1
1 n
ln
1
1 n
；
n3
（4） n2en ． n1
解：（1）因为
lim
2n3
n
n3 lim
3n2
1，
n 1
n 2n3 n 2
n2
而
1 收敛，所以级数
n 3 收敛．
n2
n 1
1 n1 2n3 n
（2）因为
2021/4/21
n
n
un
lim n
2
ln n
2 1，因此所给级数发散．
3n
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20
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二、交错级数及其审敛法
(Interrogate of staggered series)
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
.
收敛
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23
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三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)
13-2_数项级数的收敛判别法
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
E-mail: xuxin@
练习2 判别级数 ( 1 cos x )
n1
n
1
n 3n
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
E-mail: xuxin@
例6
判定级数
ln(1
1 )的敛散性.
n1
n2
解：Q
lim
n
ln(1 1
1 n2
)
1,级数
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
E-mail: xuxin@
n1
E-mail: xuxin@
推论2 设un为正项级数,如果存在p 1, n1
使得un
1 np
(n
1, 2,),则级数
n1
un收敛;
如果un
1 n
(n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2) n1 n2 1
n1
E-mail: xuxin@
例 1 考察级数
1
n1 1 2n
1
1
2
1
1 22
L
1
1 2
n
L
的收敛性.
正项级数的判别法
2、 (
n
)2n1 .
n1 3n 1
五、判别下列级数的收敛性:
1、 2 3
2
2、
n1
2n
sin
3n
；
n 1 ； n
3、
ln( n 2)
n1 (a 1 )n
n
(a 0) .
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六、若
lim
n
n
2
un
存在,证明:级数
n1
un
收敛
.
七、证明:lim b3n 0. n n!a n
4.比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
l,
则(1) 当 0 l 时,二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
此时您正浏览在第8页，共24页。
部分和数列{sn }为单调增加数列. 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
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3. 比较判别法 设 un和 vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1,2,),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
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三、根值判别法
设
n
1
un
是正项级数,如果lim n
关于正项级数收敛性的判别法
关于正项级数收敛性的判别法On convergence of series with positive terms摘要正项级数作为级数理论中最基本的一类级数，它的敛散性的判定是级数理论的核心问题。
正项级数的敛散性判别方法有很多，本文对正项级数敛散性的各种判别法的特点与联系作了简单、系统的归纳与剖析。
正项级数不仅有一般级数收敛性的判别法，也有许多常用的和一些新的收敛性的判定方法，如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、拉贝判别法和对数判别法等，但运用起来有一定的技巧，需要根据对不同级数通项的特点进行分析，选择适宜的方法进行判定，这样才能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是对于一些典型问题，运用典型方法，更能事半功倍。
关键词：级数；正项级数；收敛；发散。
AbstractDetermining whether or not a series is convergent in the series theory is the core issue. There are many ways to determine if a positive series is convergent. This thesis makes full analysis for the convergence determination methods for positive series. There are many common and some new convergence determination methods, such as comparison criterion, Cauchy criterion, d'Alembert criterion, Log Criterion and Rabe Criterion and other methods. But using which of these methods needs certain skills, needs to analyze the general items of the series. A lot of time can be saved if an appropriate method is used. Key words: Series;positive series; convergence; divergence.目录摘要................................................................................................................................................................. I I ABSTRACT.. (III)目录 (IV)引言 (1)1 基础知识 (2)1.1无穷级数的定义 (2)1.2无穷级数的部分和 (2)1.3无穷级数收敛的定义 (2)2 正项级数敛散性的常用判别法 (3)2.1柯西收敛原理[1] (3)2.2基本定理 (3)2.3比较判别法 (3)2.4达朗贝尔判别法 (4)2.5柯西判别法 (4)2.6积分判别法 (5)2.7阿贝尔判别法 (5)2.8狄利克雷判别法 (5)3 正项级数敛散性的一些新的判别法 (6)3.1定理1（比较判别法的推广） (6)3.2定理2（等价判别法） (6)3.3定理3（拉贝判别法）[3] (7)3.4定理4（高斯判别法）[5] (8)3.5定理5（库默尔判别法）[3] (8)3.6定理6（对数判别法）[4] (9)3.7定理7（隔项比值判别法）[3] (10)3.8定理8（厄尔马可夫判别法）[4] (10)3.9定理9（推广厄尔马可夫判别法）[4] (10)4 正项级数敛散性判别法的比较 (12)5 应用举例 (16)6 总结与展望 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言在数学分析中,数项级数是全部级数理论的基础,主要包括正项级数和交错级数,而正项级数在各种数项级数中是最基本的,同时也是十分重要的一类级数。
正项级数敛散性的判别
(1 an )
1
1
1
1
(1 a1 ) (1 a1 ) (1 a1 )(1 a2 )
1
1
(1 a1 )(1 a2 ) (1 an1 ) (1 a1 )(1 a2 )
(1 an )
1 1
(1 a1 )(1 a2 )
(1 an ) 1 {Sn }有界.
n1 n (n2 1)
解：
n
1 (n2
1)
1 n2
且
n1
1 n2
收敛
,
所以原级数收敛.
例 判断级数
1 的敛散性.
n1 ln(n 1)
解：
1 1
ln(n 1) n 1
且
1 发散,
n1 n 1
所以原级数发散.
例
判断级数
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解：
n n 2n 1
1 2
n
且
n1
1 2
n
收敛,
所以原级数收敛.
例 判断级数
n4 1- n4 1 的敛散性.
解：
n1
n4 1- n4 1
2 n4 1
n4 1
2
1
解
lim 3n n n 1
3n
3n
lim
n
3n
n
1
lim
函数项级数收敛的判别方法
函数项级数收敛的判别方法1.比较判别法比较判别法是根据函数项级数与已知的正项级数进行比较来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)和已知的正项级数∑bn(x)，若对于所有的n，存在正数M使得，an(x)，≤Mbun(x)，则函数项级数与正项级数的收敛性同时成立。
比较判别法的关键是寻找一个已知的正项级数，使得函数项级数的绝对值小于等于正项级数的绝对值，并且根据正项级数的收敛性来推断函数项级数的收敛性。
2.比值判别法比值判别法是通过计算函数项级数相邻两项的比值的极限值来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于无穷大时，具有lim ，an+1(x)/an(x)， = r，那么：-若r<1，函数项级数绝对收敛；-若r>1，函数项级数发散；-若r=1，比值判别法不确定。
比值判别法可以通过计算函数项级数的极限值和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。
3.根值判别法根值判别法是通过计算函数项级数项的绝对值的n次方根的极限值来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在正数r，当n趋向于无穷大时，具有lim ，an(x)，^(1/n) = r，那么：-若r<1，函数项级数绝对收敛；-若r>1，函数项级数发散；-若r=1，根值判别法不确定。
根值判别法与比值判别法类似，也可以通过计算函数项级数的极限值和已知的收敛级数或发散级数的极限值比较，来判断函数项级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法是通过将函数项级数与一个已知的函数进行积分比较来判定其收敛性。
设函数项级数为∑an(x)，如果存在函数f(x)，当x大于等于其中一点a时，具有∫[a,+∞) ，an(x)，dx = ∑∫[a,+∞)an(x)dx = ∫[a,+∞)f(x)dx，那么：- 若∫[a,+∞)f(x)dx收敛，函数项级数绝对收敛；- 若∫[a,+∞)f(x)dx发散，函数项级数发散。
7.2 正项级数敛散性的判别-1
n! ∑ n 的敛散性 例3. 判别级数 n=1 4 n! ( n + 1)! un+1 n + 1 解： un = n , un+1 = , = n+1 un 4 4 4 un+1 n+1 ∞ n! lim = lim = ∞ 故级数 ∑ 发散. 发散 n n→ ∞ u n→ ∞ 4 n =1 4 n ∞ n! 的敛散性(典型例题 典型例题) 例4. 判别级数 ∑ n 的敛散性(典型例题) n =1 n n! ( n + 1)! , un+1 = ( n ) n 解：u n = n , un+1 = un n+1 n ( n + 1) n+1 un+1 1 lim = lim = 1 / e <1 n n→ ∞ u n→ ∞ (1 + 1 / n ) n ∞ n! 由比值判别法可知： 收敛. 由比值判别法可知：级数 ∑ n 收敛 n =1 n
∞
y
1 y= p x
x 1 1 1 n dx + p + ... + p < ∫1 p 0 1 2 3 ... n − 1 n p 2 3 n x ∞ 1 dx x 1− p n 1 n ⇒ ∑ p 收敛 S n < 1 + ∫1 p = 1 + |1 < 1 + n =1 n 1− p 1− p x
1 我们称级数 ∑ p 为 p 级数 n =1 n
到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数： 到目前为止，我们已知两类敛散性确定的级数：
∞
q 1 )几何级数 ∑ aq n=1 q ∞ 1 p 2 ) P − 级数 ∑ p n=1n p
∞ n −1
正项级数的一个收敛性判别法
讨论了正项级数的两种判别法:比值判别法和根值判别法,以及两者的关系,得出凡是可用比值判别法的正项级数必能用根值判别法,逆命题不成立,根 据具体问题的特点采用不同的方法,解题得难以程度不同.
3.期刊论文 曹春芳.王卫勤.CAO Chun-fang.WANG Wei-qin 正项级数两种判敛法的关系 -泰州职业技术学院学报
万方数据
·６９·
ｌｎ２∥＋１）／（１／∥肿∥）］＝去，这两例说明该判别法不能
判定级数∑口｜Ｉ的收敛性。 ３．新的判别法与达朗伯尔判别法的关系 定理２设｛口－ｌ｝是正项无穷数列，如果ｌｉｌｎ Ｉ‰＋ｌ／‰Ｉ
＝ｒ＜１，则对于某个正整数ｍ＞ｌ，有
ＪｉＩｎｌｏ＋１／ｏＩ＝ｏ。
证明：因为ｌｉｍＩ％＋ｌ／‰Ｉ＝ｒ＜１，因此对于任意的￡
本文链接：/Periodical_hbcrjyxyxb200505030.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d905f1b4-46c1-4d75-b0a3-9dcf00a9d6d9
下载时间：2010年8月11日
5.期刊论文 谭宝军.TAN Bao-jun 关于正项级数收敛的一个命题 -辽宁师专学报（自然科学版）2007,9(1)
给出一个判定正项级数收敛的命题.
6.期刊论文 赵红海.ZHAO Hong-hai 活用正项级数的比较收敛法 -张家口职业技术学院学报2006,19(1)
主要介绍了正项级数比较判别法的运用,利用所求级数的通项与特殊级数的通项相比较,简单快速地判断敛散性.
【关键词】正项级数收敛发散判别方法 ［中图分类号】Ｇ４２ ［文献标识码】Ａ
１．引理
正项级数
根据推论1，级数收敛.
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n 1 nx ( x 0) 的敛散性. 例7 讨论级数
解 因为
un1 ( n 1) x n n 1 x x ( n ), n1 un nx n
根据推论1,当 0 < x <1时级数收敛;当 x>1时级数发 散; 而当 x = 1时, 所考察的级数是 n, 它显然也是
(iii) 若l , 则对于正数1, 存在相应的正数N,当
n > N 时, 都有
un 1 或 un vn . vn 于是由比较原则知道, 若级数 vn 发散, 则级数
u
n
也发散.
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1 例3 级数 n 是收敛的, 因为 2 n
1 n n 2 1 2 n lim lim n lim 1 n n 2 n n 1 n 1 n n 2 2 1 以及等比级数 n 收敛, 根据比较原则的极限形 2
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1 1 un 1( n ), 但 2 是收敛的, 而 却是 n n 发散的.
n
若(11)式的极限不存在, 则可根据根式 un 的上极限 来判断.
n
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例10 判别下列级数的敛散性：
( n !)2 (i) ; n 1 (2n )!
(ii)
数列 { Sn } 有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有
Sn M .
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证 由于 ui 0( i 1,2, ), 所以{Sn}是递增数列.而 单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界 定理).这就证明了定理的结论. 仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收 敛性判别法则.
§9.2正项级数判敛法
lim 212(1)n
n
不存在，可见比值判别法失效。
注:比值判别法和根值判别法都是充分条件而不是必要条件。
定理 7（积分判别法）
设（1） f C[1,) ， f 0 且单调递减；
（2） un f (n)(n 1,2, ) ，
则反常积分 f (x)dx 收敛或发散时， 1
正项级数 un 也随之收敛或发散。
(4) n1 1 5 9L (4n 3)
例6．讨论级数 n !( x )n ( x 0)的收敛性。
n1
n
定理 4（根值判别法，柯西判别法）
设 n1
an为正项级数，若
lim
n
n
an
,则
(1) 当 1 时, an收敛； n1
(2) 当 1 时, an发散； n1
(3) 当 1 时, an可能收敛也可能发散。 n1
（1）若 bn 收敛，则 an 也收敛；
n1
n1
（2）若 an 发散，则 bn 也发散。
n1
n1
例2. 讨论
p 级数
n1
1 np
的敛散性，其中p
0。
p 级数
n1
1 当p 1时, np 当p 1时,
收敛, 发散.
例3．判别下列级数的敛散性：
(1)
1
n1 n n 1
(2)
1
n1 n(n 1)
n1
为正项级数，若 lim n
an1 an
，则
(1) 当 1 时, an收敛； n1
(2) 当 1 时, an发散； n1
(3) 当 1 时, an可能收敛也可能发散。 n1
例 5．判定下列正项级数的敛散性。
(1)
第二讲正项级数收敛判别法(一)解剖
nn1
n1
n1 (n2 1) 2
（A）收敛
（B）发散
#2014021901
例4 判别敛散性
1
x
(2)
n1
n 0
1
x2
dx
（A）收敛
（B）发散
#2014021902
例4 判别敛散性
nn1
x 1
(1)
n1
n1 (n2 1) 2
(2)
n
0 1 n1
x2
dx
证：(1)0
u n
nn1
n1
(n2 1) 2
也发散 .
说明：
1. 比较判别法仅适用于正项级数 ；
2. 不等式条件可以从某一个N后都满足就行；
3.常用的参考级数
几
何
级
数
aq
n
n0
常用的不等式
a2 b2 2ab, a,b R
sin x x, x 0 ex 1 x, x 0
x ln(1 x) x, x 0 1 x
例2.
讨论
p
收敛。 发散。
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
例6.
判别级数 sin
n1
1 n
的敛散性
.
解: lim n sin 1 lim n 1 1
sin
1 n
～
1 n
n
n n n
根据比较审敛法的极限形式知
sin
n1
1 n
发散
.
例7.
判别级数 ln1
(n N)
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ;
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记
关于正项级数敛散性的柯西(cauchy)积分判别法及其证明的几点注记1.柯西(Cauchy)积分判别法认为：如果正项级数以n→∞收敛，则其和sum(sn)=lim(n→∞)得到的结果为它的积分sum(Sn).2.证明柯西(Cauchy)积分判别法：首先，用反证法：假设正项级数Sn不收敛，那么lim(n→∞)Sn != sum(Sn).其次，我们假设正项级数Sn一定会收敛，此时我们可以证明lim(n→∞)Sn=sum(Sn)。
首先，我们用数学归纳法证明：令n=1，令M是该正项级数的极限，如果S1<M，则总和sum(Sn)<M；如果S1=M，则总和sum(Sn)=M。
其次，我们用数学归纳法证明：令N>1，令S1,S2,...,Sn-1<M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M；如果S1,S2,...,Sn-1=M，则Sn<M，因此sum(Sn)<M。
最后，综上所述，无论Sn怎么变化，sum(Sn)的最终结果都小于极限M，因而满足总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn。
由此可知，如果正项级数Sn收敛，那么总和sum(Sn) = lim(n→∞)Sn，从而证明了柯西(Cauchy)积分判别法。
综上所述，柯西(Cauchy)积分判别法是完备的，即如果正项级数Sn收敛，则sum(Sn) = lim(n→∞)Sn; 如果正项级数Sn不收敛，则sum(Sn) !=lim(n→∞)Sn。
因此，柯西(Cauchy)积分判别法可以有效地确定积分是否收敛。
如果有多个级数收敛，那么我们可以将多个级数收敛表示成一个函数f(x)，将f(x)在正项级数收敛的区间[a,b]上进行积分，即sum(Sn)=∫f(x)dx；由柯西(Cauchy)积分判别法可知，积分的值sum(Sn)等于极限lim(n→∞)Sn；因此，我们可以用柯西(Cauchy)积分判别法来确定多个级数收敛的总和。