大连理工大学 高等数值分析 椭圆方程差分法

椭圆方程差分法

1 矩形网上差分方程

考虑二阶椭圆型偏微分方程的第一边值问题

（1.1） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=+++--Γy x y x u y x F Eu Du Cu u u y x yy xx ,,,αG

其中C ,E D ,是常数；0≥E ；()()G C 0,∈=y x F F ；(,)x y α是给定的光滑函数。假设（5.1）存在光滑的唯一解。

为简单起见，假设G 是矩形区域，其四个边与相应坐标轴平行。考虑矩形网格：1h 和2h 分别为x 和y 方向的步长，h G 为网格内点节点集合，h Γ为网格边界点集合，=h G h G h Γ。

对于内点()j i y x ,h G ∈用如下的差分方程逼近（1.1） (1.2)

21

,1,12h u u u j i ij j i -++---221,1,2h u u u j i ij j i -++-+1,1,12h u u C j i j i -+-+21,1,2h u u D j i j i -+-+ij Eu =ij F

其中),(j i ij y x F F =。（1.2）通常称为五点差分格式。

用（1.1）的真解(,)u x y 在网点上的值(,)i j u x y 、1(,)i j u x y -等等分别替换（1.2）中的ij u 、1,i j u -等等，然后在(,)i j x y 点处作Tailor 展开，便知（1.2）逼近（1.1）

的截断误差阶为()

2221h h O +。 方程（1.2）可以改写为

（1.3） j i a ,1-j i u ,1-+j i a ,1+j i u ,1++1,-j i a 1,-j i u +1,+j i a 1,+j i u +j i a ,j i u ,ij F =

对每一内点都可以列出这样一个方程。遇到边界点时，因为边界点u 的函数值已知，将相应的项挪到右端去。最后，得到一个以u 的内点近似值为未知数的线性方程组。这个方程组是稀疏的，并且当1h 和2h 足够小时是对角占优的。 可以证明，五点差分格式关于右端和初值都是稳定的，收敛阶为2212()O h h +。

当G是一个一般的区域，并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。

y

O x