大连理工大学 高等数值分析 椭圆方程差分法
偏微分方程(椭圆型)数值解2.4-5
ai−1, j
=
⎛ ⎜⎝
Ai
−
1 2
,
j
−
h1 2
Cij
⎞ ⎟⎠
h1−2
,
ai, j+1
=
⎛ ⎜⎝
Ai
∂n q1q2
∂n q2q3
∂n q3m4
• = ∫∫ f ( x, y)dxdy m1
G0
p1
（4.6）
对于后四项仿照公式（4.3）的方法离散化，例如
∫ ∫ ( ) m1q1
∂u ds ≈ ∂n
m1q1 ⋅ p0 p1
u1 − u0
,
( ) q2q1
∂u ds ≈ ∂n
q1q2 ⋅ p0 p2
u2 − u0
考虑矩形网格：h1和h2分别为x和y方向的步长，Gh为网格 节点集合，Gh为网格界点集合，Gh = Gh ∪ Γh 。 总假设Gh是联通
的，即 ∀P, P ∈ Gh 必有一串 Pi ∈Gh (i = 1, 2, L, m −1) 可将 P, P
排列成顺序序列：P, P1, P2 , L, Pm , P 使前后两点互为相邻节点。
G0的面积:
m
q7
(G
=
0)
q1 ，i
⎛ = 12× ⎜⎜⎝
= 1,
1× 2
2,
3 3
L, 6。
h
×
1 2
h
⎞ ⎟⎟⎠
椭圆型方程的差分方法
椭圆型方程的差分方法差分方法是一种数值计算方法，使用近似的差商来表示微分方程。
椭圆型方程是一类常见的偏微分方程，具有重要的数学和物理应用。
在本文中，我们将介绍椭圆型方程的差分方法，并讨论其优点和缺点。
一、椭圆型方程的差分近似L[u]=-∂(p∂u/∂x)/∂x-∂(q∂u/∂y)/∂y+r(x,y)u=f(x,y)其中，L[u]是一个偏微分算子，u(x,y)是未知函数，p(x,y)，q(x,y)，r(x,y)，f(x,y)是已知函数。
椭圆型方程的解通常在一个区域Ω上求解。
差分方法的主要思想是用网格来离散化区域Ω，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程。
对于椭圆型方程，我们可以选择矩形网格，其中Ω可以被划分为N*M个小矩形，并且网格的步长为Δx和Δy。
假设我们要在网格点(xi, yj)处求解未知函数的值uij，其中i和j分别表示网格的行索引和列索引。
我们可以使用中心差分法来近似x和y方向的偏导数，从而得到离散形式的椭圆型方程:L[u] ≈ -(p(xi+1/2, yj)(ui+1,j - ui-1,j)/Δx^2 + p(xi,yj+1/2)(ui,j+1 - ui,j-1)/Δy^2) + q(xi,yj)uij = f(xi,yj)其中，p(xi+1/2, yj)和p(xi, yj+1/2)分别表示在(xi+1/2, yj)和(xi, yj+1/2)处的系数。
可以通过有限差分方式计算出这些系数。
将上述公式在每个网格点(xi, yj)处形成一个方程，从而得到一个线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到网格点上的未知函数值。
二、椭圆型方程差分方法的优点和缺点差分方法是一种简单有效的数值计算方法，具有以下优点：1.可以处理任意形状的区域Ω：差分方法可以适应不规则网格和复杂区域，因此适用于各种几何形状的椭圆型方程求解。
2.数值稳定性：差分方法可以确保数值解的稳定性，避免数值上的不稳定问题。
3.线性时间复杂度：差分方法的计算复杂度通常是线性的，即解方程的时间随着网格点数的增加而线性增加。
大连理工大学数值分析历年真题与答案(研究生期末卷)
课 程 名 称： 授课院 （系） ：
考试日期： 2006 年 12 月 11 日
一 标准分 得 装 订 线 分
二
三
四
五
六
七
八
总分
一、填空（共 30 分，每空 2 分） （1）误差的来源主要有
.
（2）按四舍五入的原则，取 22 4.69041575 具有四位有效数字的近似值
a=
，则绝对误差界为
，相对误差界为
A－5
1 3 四、 （4 分）求 Householder 变换矩阵将向量 x 2 化为向量 y 0 . 2 0
五、 （12 分）写出解线性方程组的 Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR）法的矩阵表示形式， 并根据迭代法 x ( k 1) Bx ( k ) f 对任意 x ( 0) 和 f 均收敛的充要条件为 ( B) 1 , 证明若线性方 程组 Ax b 中的 A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR）法当松弛因子 (0,1] 时收敛.
师：张宏伟
一、填空（每一空 2 分，共 42 分） 1．为了减少运算次数，应将表达式.
装
16 x 5 17 x 4 18 x 3 14 x 2 13 x 1 x 4 16 x 2 8 x 1
1
2
改写为_______； 2．给定 3 个求积节点： x0 0 ， x1 0.5 和 x2 1 ，则用复化梯形公式计算积分 e x dx
x1 3 x2 3 x1 x2 2 x x 2 1 4 4 4 x3 7
A 1， L ， U
m1
（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算
椭圆型方程差分法
(4)
令
2 1 1 2 1 A 1 1 2 ( N 1)( N 1)
系数矩阵A是不可约对角占优阵 A 0
解存在唯一,或直接求A的特征值。
8
习题：计算矩阵
A=
2 1 1 2 1 1 1 2 ( N 1)( N 1)
x
2． Poisson方程五点差分格式
u f u in
其中
(0, a ) (0, b )
建立目标点： a b y h k x 一方向步长： I 1 ； 一方向步长： J 1
21
得
( xi , y j )
1 i I,1 j J
xi ih, y j jk
返回
2
1） 数值计算是否必要？
T '( x) T '(0) f (u )du
x 0
x
T ( x) T '(0) f ( s )ds du
0
0
u
T '(0) x
T '(0) x
x 0 x
x
x
0
u
0
f ( s)dsdu
s
f ( s )duds
从而得到迭代法：
Mxk 1 Nxk b
xk 1 M 1Nxk M 1b Sxk Tb
(*1)
18
阻尼迭代法 (Damped Iterative Method)
k1 Sxk M1b x k1 (1)xk [M1N(1)I]xk M1b (*2) xk1 x
(完整版)大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解(双曲方程书稿)
双曲型方程的有限差分法线性双曲型方程定解问题： （a ）一阶线性双曲型方程()0=∂∂+∂∂xux a t u （b ）一阶常系数线性双曲型方程组0=∂∂+∂∂xt uA u 其中A ，s 阶常数方程方阵，u 为未知向量函数。
（c ）二阶线性双曲型方程（波动方程）()022=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂-∂∂x u x a x t u()x a 为非负函数（d ）二维，三维空间变量的波动方程0222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂y u x u t u 022222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂z u y u xu t u §1 波动方程的差分逼近 1.1 波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程：（1.1） 22222xu a t u ∂∂=∂∂ 其中0>a 是常数。
（1.1）可表示为：022222=∂∂-∂∂xu a t u ，进一步有0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂u x a t x a t由于xat ∂∂±∂∂当a dt dx ±=时为()t x u ,的全导数（=dtdu dt dx x u t u ⋅∂∂+∂∂x ua t u ∂∂±∂∂=）,故由此定出两个方向（1.3） adx dt 1±=解常微分方程（1.3）得到两族直线 （1．4） 1C t a x =⋅+ 和 2C t a x =⋅- 称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法） 将（1.4）视为),(t x 与),(21C C 之间的变量替换。
由复合函数的微分法则212211C uC u x C C u x C C u x u ∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ x C C u C u C x C C u C u C x u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂2212121122 222122212212C u C C u C C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂= 2222122122C uC C u C u ∂∂+∂∂∂+∂∂= 同理可得a t t a t C -=∂∂-=∂∂1，a tC=∂∂2 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212211C u C u a t C C u t C C u t utC C u C u a C u t C C u C u a C t u ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂2122112122 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂-=21222222221222C C u C u a C u C C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=22221221222C u C C u C u a 将22x u ∂∂和22tu∂∂代入（1.1）可得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂22221221222C u C C u C u a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂+∂∂=22221221222C u C C u C u a 即有0212=∂∂∂C C u求其对2C 的积分得：()11C f C u=∂∂ 其中()1C f 是1C 的任意可微函数。
椭圆型方程的差分方法.ppt
• 3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边值问 题的差分模拟
• 3.2 Neumann边值问题的差分模拟 • 3.3 混合边值条件 • 3.4 非矩形区域 • 3.5 极坐标形式的差分格式 • 3.6 矩形区域上的Poisson方程的五点差分逼近的
敛速分析 • 3.7 一般二阶线性椭圆型方程差分逼近及其性质
现在我们考虑Laplace方程Neumann边值问题，即
2u x 2 u n |
2u y 2
gx,
0
y
x, y ; x, y| 0 x 1,0 y 1
(3.10)
表u 示函数u沿着边界的外法线方向导数。在正方
形的n 四 个顶点上法向没有定义，事实上，g(x,y)在那里
将不连续，以后将取平均值作为不连续点上的值的定
gl,m glh, mh
（3.6） (3.7)
如图3.1所示
在区域Ω的每一内部结点(l,m)上
l 1,, M 1; m 1,, M 1。
建立差分方程，由此在区域Ω内部 (M 个1)2 点上建立 (个M 方1)2 程。
◇ Ul,m 0 l, m 1,, M 1 定义向量
（3.8）
U U1,1,U2,1,,UM1,1;U1,2 ,U2,2 ,,UM1,2;U1,M1,U2,M1,,UM1,M1 T
3.1 正方形区域中的Laplace方程Dirichlet边 值问题的差分模拟
考虑Laplace方程
2u x 2
2u y 2
0
x, y
(3.3)
设Ω为正方形区域，0<x<1，0<y<1，求方程(3.3)
满足边值条件
实验五 椭圆型方程差分解法
实验五 椭圆型方程差分解法一、 实验题目：矩形区域Ω上Laplace 方程的Dirichlet 问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-==∂∂+∂∂====0|4sin |0|)3(|030402222y y x x u xu u y y u y u xu π 4040303030,40≤≤≤≤≤≤≤≤<<<<x x y y y x二、 实验要求：1、建立内点的五点差分格式。
(取h=1)2、建立包括边界点在内的五点差分格式方程组。
3、用逆矩阵法或雅克比迭代迭代法求解方程组。
4、计算结果（保留至小数点后4位）。
5、由计算结果，写出结论。
三、实验步骤1、建立Laplace 方程与边界条件的差分格式（内节点6个，边界点10个）2、建立6个未知量的差分方程组。
41,,1,11,-+-++++=j i j i j i j i ij u u u u u3、建立6个未知量的矩阵方程。
令],,,,,[232221131211u u u u u u u h =，则6个未知量的矩阵方程为g Hu h h =21其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=B I I B I I B H ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4114114B 4、利用边界条件编制程序计算内节点处的数值解lm u （3,2,1=l 2,1=m ） 四、实验源代码 #include<stdio.h> #include<math.h> #define e 0.000001 void main(){ int i,j,k,flag=1,sum=0;doublea[5][4]={{0,2,2,0},{0.707,0,0,0},{1,0,0,0},{0.707,0,0,0},{0,0,0,0}}; double b[6],c[6]; while(flag) { sum++; flag=0;k=0;for(i=1;i<=3;i++) for(j=1;j<=2;j++) {b[k]=a[i][j];a[i][j]=(a[i-1][j]+a[i+1][j]+a[i][j-1]+a[i][j+1])/4;c[k]=a[i][j];k++;}for(k=0;k<=5;k++)if(fabs(b[k]-c[k])>e)flag=1;}for(k=0;k<=5;k++)printf("%f\n",b[k]);printf("%d",sum);}五、实验结果：.1,63850525.1,u.1[.1,4123]5369.2,.0,53629685h。
椭圆型方程的差分方法
通过实验验证理论分析的正确性。
参数调整
根据误差分析结果调整差分方法的参数。
稳定性分析的实例和结果
结果1
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度。
A 实例1
一维椭圆型方程的差分方法稳定性 分析。
B
C
D
结果2
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度，并比较了一维和 二维情况下的误差传播特性。
差分方法在椭圆型方程求解中的优势和局限性
优势
差分方法是求解偏微分方程的一种有效 数值方法，特别适用于大规模计算和并 行计算。它能够模拟偏微分方程的解， 并且具有较高的计算效率和精度。
VS
局限性
差分方法在处理边界条件和复杂几何形状 时可能遇到困难，有时需要引入额外的近 似和假设。此外，差分方法对于某些特殊 类型的偏微分方程可能不适用，或者需要 特殊的处理技巧。
04
差分方法的稳定性分析
稳定性分析的基本概念
数值稳定性
差分方法求解偏微分方程时，数值解对初值 和参数的敏感性。
误差传播
差分方法求解过程中误差的累积和扩散现象。
数值解的精度
差分方法得到的数值解与真实解之间的误差 大小。
稳定性分析的方法和步骤
建立数学模型
将偏微分方程转化为差分方程。
误差分析
计算差分方程的截断误差和全局误差。
差分方法的数学基础
离散化
将连续的函数或过程转换为离散的形式，以便于用数 值方法进行计分方程转化为差分 方程。
稳定性
差分方法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时，差 分方法的解收敛于微分方程的解。
差分方法的实现步骤
建立差分方程
根据微分方程和初边值条件，建立离散化的差 分方程。
椭圆型方程的有限差分法
第4章 椭圆型方程的有限差分法§ 2 一维差分格式1、用积分插值法导出逼近微分方程的差分格式。
, d / du 、 du 上 , Lu=- (p )+r +qu=f,a<x<b, dx dx dxu(a)= a ,u(b)=如果系数p,q,r 以及右端f 光滑，则可用中矩形公式计算得解：考虑在［a,b ］内任一小区间［x ⑴，x (2)］，将上式在此区间上积分得 X ⑵d dU曲 d ；(p(x)d ；)dxW(x ⑴)W(x ⑵)x(2)dU(1) r ——dxxdx x ⑵dU 」 xr dxx (2) x (1) qudx X (2)X (1) qudxX (2)x (1)fdXX ⑵X (1) fdX其中，W(x) p吧特别地，取［X ⑴，X ⑵］为对偶单元［x i 1/2 , x i 1/2 ］，则W (x i 1/2)W(x i 1/2)x1/2dUr ——dxxi 1/2 qudxxi 1/ 2xi 1/ 2 fdx 。
Xi 1/ 2-J..将(1.2)改写成—dxW(x)再沿［x i 1/2, x i 1/2］积分，得U i U iX iW(x) dx , Xi 1p(x)矩形公式，得W 1/2a iU i U ih i a iNdx x1 p(x)］xi 1/ 2又qUdxXi 1/ 2h ih i2：d i U i , d ixi 1/ 2 x q(x)dxX1/2x1/2dU , r ——dx.U i 1 U i 1bi "T-2 h i h i 1x 1/2 xr(x)dxxi1/22ih i h i 1x1/ 2 f (x)dxxi 1/2(1.1) (1.2)利用中(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)将(1.3) ~ (1.5)代入1.1),即得微分方程的差分格式a iU i U i 1h*h i h i 1)d i U b^Ui21-(h i h i 1) i则逼近阶为O(h 2)。
椭圆型方程的差分方法63页PPT
椭圆型方程的差分方法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
第五章 椭圆型方程的差分方法
2 . 差分方程解 的收敛性
hx 0 y ) ( , uij h u x i j 0 y
u f , ( x, y ) D , 定理：若 ( x , y ) D , u , 的解在 D D 上有四阶连续的偏导数， 则五点差分格式
j j j j 1 j j 1 u u u u u u 2 2 j j i 1 i i 1 i i i h ui fi 2 2 hx hy
定理(解的存在唯一性)
j j h u i f i , ( xi , y j ) D h , 差分方程边值问题 j j u ( xi , y j ) D h , i , i 的解如果 存在，则唯一 .
证明：只需证明对应的齐 次方程只有零解
j u h i 0, ( xi , y j ) Dh , j u i 0, ( xi , y j ) Dh , 由极值原 理知0 u i j 0, 即 u i j 0, ( xi , y j ) Dh Dh .
uI+2, j uI , j
i,0ui,0 i,0.
注:
1. 当 =0时, 为第二类边界条件,但四边不能都是第二类边界条件; 2. 这里是中心差商,也可用向前/后差商,但中心差商精度高; 3. 其中u1, j , ui,1, uI 2, j , ui,J 2为虚拟节点的值，需进一步处理， 一般通过方程的差分格式去消掉这些项。
Dh j i Dh j i
( ii )如果uij 满足 h uij 0， ( xi , y j ) Dh，则有 min uij min uij .
Dh Dh
证明: (i) 反证法：设在Dh内存在一点P( xi0 , yi0 )及一 个常数M 使得U ( xi0 , yi0 ) M 并有M ui , ( xi , y j ) Dh
椭圆型方程的差分解法
椭圆型方程的差分解法1.引言考虑问题①二维Poisson 方程2222(,)u u f x y x y ⎛⎫∂∂-+= ⎪∂∂⎝⎭， (,)x y ∈Ω 其中Ω为2R 中的一个有界区域，其边界Γ为分段光滑曲线。
在Γ上u 满足下列边界条件之一：⑴(,)u x y αΓ=（第一边值条件）， ⑵(,)ux y n βΓ∂=∂（第二边值条件）， ⑶(,)uku x y n γΓ∂+=∂（第三边值条件）， (,),(,),(,),(,),(,)f x y x y x y x y k x y αβγ都是连续函数，0k ≥.2.差分格式将区间[,]a b 作m 等分，记为11()/,,0i h b a m x a ih i m =-=+≤≤；将区间[,]c d 作n 等分，记为22()/,,0i h d c n y c jh j n =-=+≤≤.称1h 为x 方向的步长，2h 为y 方向的步长。
2.1 Poisson 方程五点差分格式参考单如图所示：以(,)i j x y 为中心沿y 方向Taylor 展开：41)(),j u y o h +①41)(),j u y o h +②41(),u h21(),o h ③22(),o h ④(,),i j ij f x y R -=+(,),i j f x y -=○6 j+1考虑到边值条件(,)(,)u x y x y αΓ=，构成差分格式：11112212(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)(,),(,)(,),i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y f x y h h u x y x y α+-+-Γ⎧-+-+⎛⎫-+=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩○72.2 Poisson 方程九点差分格式由上式 ③ + ④ 得：11112212442221244222222122222(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)(,)1(,)()12(,)(,)1(,)12i j i j i j i j i j i j h i j i j iji j i j i j u x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h u u u x y h h o h x y u x y u x y u x y h h x y x y +-+--+-+=+⎡⎤∂∂=∆+++⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫∂∂⎛⎫∂∂=∆+++- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭422212222242222212122222(,)()12(,)(,)(,)1(,)()1212i j i j i j i j i j u x y h h o h x y f x y f x y u x y h h f x y h h o h x y x y ∂++∂∂⎛⎫∂∂∂+=--+-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭○8 又()41122222211111112212311111(,)(,)2(,)(,)()1[(,)2(,)(,)2(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)]()i j xx i j xx i j xx i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j u x y u x y u x y u x y o h x y h u x y u x y u x y u x y u x y u x y h h u x y u x y u x y o h +-+++-++-+----∂-+=+∂∂=-+--++-++ 则得到：222222121121112112222221211212122222221112111211()(,)(210)(,)()(,)(210)(,)20()(,)(210)(,)(210)(,)()(,)()(,)i j i j i j i j i j i j i j i j i j h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y ---+--++-+++-++--++-+++-+--+-+2212222241222,12(,)(,)1(,)()12i j i j i j h hf x y f x y f x y h h o h x y ⎛⎫∂∂=--++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭○9 舍去截断误差得到逼近Poisson 方程的九点差分方程○10：()()2212,11,,11,1,11,11,11,122122212(,)[42]121(,)(,),12i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j ij xx i j yy i j h h u x y u u u u u u u u u h h f h f x y h f x y -++-+---++-++-∆--+++++++''''=++考虑到边值条件(,)(,)u x y x y αΓ=，构成差分格式○11：()()2212,11,,11,1,11,11,11,122122212(,)[42]121(,)(,),12(,)(,),i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j ijxx i j yy i j h h u x y u u u u u u u u u h h f h f x y h f x y u x y x y α-++-+---++-+Γ⎧+-∆--+++++++⎪⎪⎪''''=++⎨⎪⎪=⎪⎩3.格式求解3.1 Poisson 方程五点差分格式记122,1,j j j m j m j u u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.j n ≤≤ 矩阵格式改写为：11,11j j j j Du Cu Du f j m -+++=≤≤-，其中2221212222112122221121222112(1)111211112111121112m h h h h h h h C h h h h h h h -⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎢⎥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，22222222(1)1111m h h D h h -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，10212212111(,)(,)(,)(,)1(,)(,)j j j j m j m j m j m f x y x y h f x y f f x y f x y x y h ---⎡⎤+Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+Φ⎢⎥⎣⎦， 可进一步写为：110222211(1)*(1).n n n n n n m u f Du C D u f D C D u f DC D u f Du D C -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.2 Poisson 方程九点差分格式记122,1,j j j m j m j u u u u u --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.j n ≤≤ 矩阵格式改写为：11,11j j j j Du Cu Du f j m -+++=≤≤-，其中2222121222222212121222222212121222221212(1)20()(210)(210)20()(210)(210)20()(210)(210)20()m h h h h h h h h h h C h h h h h h h h h h -⎡⎤+-⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦， 2222211222222212211222222212211222221221(1)(210)()()(210)()()(210)()()(210)m h h h h h h h h h h D h h h h h h h h h h -⎡⎤--+⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦，22121022221211(,)(210)(,)(,)(,)(,)(210)(,)j j j j m j m j m j m f x y h h x y f x y f f x y f x y h h x y ---⎡⎤--Φ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-Φ⎣⎦， 可进一步写为：110222211(1)*(1).n n n n n n m u f Du C Du f D C D u f DC D u f Du D C -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦4.数值例子4.1 Poisson 方程五点差分格式计算如下问题：22220,01,01,(0,)sin cos ,(2,)(sin cos ),01,(,0),(,1)(sin1cos1),0 1.x x u u x y x y u y y y u y e y y y u x e u x e x ⎛⎫∂∂-+=<<<< ⎪∂∂⎝⎭=+=+≤≤==+<<其精确解为：(,)(sin cos ).x u x y e y y =+,11,1,,1,222222122112112()(,),i j i j i j i j i j i j u u u u u f x y h h h h h h -+-++=++++ 考虑到本例中h1=h2，则有2,11,1,,1,(,),4i j i j i j i j i j i j u u u u h f x y u -+-+++++=利用Gauss-Seidel 迭代方法对k=0,1,2,……,计算112,11,1,,11(,),41,2,....,1;1,2,...., 1.k k k k i j i j i j i j i j k ij u u u u h f x y u i m j n ++--+++++++==-=-表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值图1 取h=1/4时所得的数值解曲线图2 取h=1/4时所得的误差曲线图3 取h=1/16时所得的数值解曲线图4 取h=1/16时所得的误差曲线图5 取h=1/64时所得的数值解曲线图6 精确解曲线图7 取h=1/64时所得的误差曲线4.2 Poisson 方程九点差分格式计算如下问题：22220,01,01,(0,)sin cos ,(2,)(sin cos ),01,(,0),(,1)(sin1cos1),0 1.x x u u x y x y u y y y u y e y y y u x e u x e x ⎛⎫∂∂-+=<<<< ⎪∂∂⎝⎭=+=+≤≤==+<<其精确解为(,)(sin cos ).x u x y e y y =+222222221212121112122222222121112111211211222211120()(,)12(,)()(,)(102)(,)()(,)()(,)()(,)(102)(,)(102)(,)(10i j i j i j i j i j i j i j i j i j h h u x y h h f x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h h u x y h ----++++--++=+++-+++++++-+-+2212)(,)i j h u x y +-考虑到本例中h1=h2，则有,11,1,,11,11,11,11,1,4(),20i j i j i j i j i j i j i j i j i j u u u u u u u u u -+-+--++-++-+++++++=利用Gauss-Seidel 迭代方法对k=0,1,2,……,计算1111,11,1,,11,11,11,11,11,4(),201,2,....,1;1,2,...., 1.k k k k k k k k i j i j i j i j i j i j i j i j k i j u u u u u u u u u i m j n ++++-+-+--++-++-++++++++==-=-表1 部分结点处的精确解和取不同步长时所得的数值解表2 取不同步长时部分结点处数值解的误差绝对值表3 取不同步长时部分结点处数值解的最大误差图1 取h=1/4时所得的数值解曲线图2 取h=1/16时所得的数值解曲线图3 取h=1/64时所得的数值解曲线图4 取h=1/4时所得的误差曲线图5 取h=1/16时所得的误差曲线图6 取h=1/64时所得的误差曲线5.结论观察Poisson方程五点格式，方程以较快速度迭代收缩。
偏微分课程课件9椭圆型方程的有限差分方法I
uij
=
ij
,
(xi，y j ) Dh
其中uij u(xi , y j ) = (xi , y j )=ij , (x, y) D.
例：五差分格式求解
2u 2u
x
2
y2
0
(x, y) D
u(
x,
y)
log
(1
x2
)
y2
( x, y) D
D {( x, y) | 0 x, y 1}
hd e dx u( x, y)
hn d n n! dxn )u( x, y)
ex 1 x x2 x3 xn
1 2 3!
n!
u1 =e u0 , u2 =e u0 , u3 =e u0 , u4 =e u0 , u5 =e u0等
u1 =e u0 , u2 =e u0 , u3 =e u0 , u4 =e u0 , u5 =e u0
从小到大顺利排列
i 1, , J; j 1, , I;
按自然顺序排列网点(i,j)
j 1, i 1, , I; j 2, i 1, , I;
j J , i 1, , I;
定义向量
uh u1,1, , uI ,1, u1,2 , , uI ,2 ,
1 于是差分方程为: h2 Huh g
j 1时
4 1 0
I个
j 2 ...
1 0 0
I个 ...
(1,1)对应H的第一行 11
分析系数矩阵H i 1, , I; j 1, , J;
1 h2 [ui, j1 ui1, j 4ui, j ui1, j ui, j1 ] fi, j
对于第二个结点(2,1),
1 h2 [u2,0 u1,1 4u2,1 u3,1 u2,2 ] f2,1
椭圆方程差分格式
由Guass公式有
D
D
u u udxdy D n ds ( l l l ) n ds D l1 2 3 4
从上面的公式把边界积 分转化为在四条边上的 积分， 于是积分分成 段进行，也即转化为定 4 积分。
对于在边l1上，因为在矩形边1上的外法向就是 的负 l y 方向，弧长的微分 dx，于是对此定积分用矩 ds 形 公式近似计算，并且用 差商代替微商，得到
u u x (b( x, y) x )dxdy [b( xi , y j 12 ) x ( xi , y j 12 ) Dij u b( xi , y 1 ) ( xi , y 1 )]h j j 2 x 2
c( x, y)udxdy c u hk, f ( x, y)dxdy f
１：直接差分方法
1 1 (aij xuij ) 2 y (aij y uij ) cijuij f ij 2 x h h
２：有限体积法（积分差分方法）
u x (a( x, y) x )dxdy Dij
y
u u [a( x 1 , y ) ( x 1 , y ) a( x 1 , y ) ( x 1 , y )]dy i i x i 2 x i 2 2 2 y 1
j 2
j
1 2
对上面定积分利用梯形 公式有
u u x (a( x, y) x )dxdy [a( xi 12 , y j ) x ( xi 12 , y j ) Dij u a( x 1 , y j ) ( x 1 , y j )]k i x i 2 2
1.1:五点差分格式
对于poisson方程，考虑在内部节点 xi，y j）取值， （ 于是有 2u 2u [ 2 ]ij [ 2 ]ij [ f ( x, y )]ij x y
大连理工大学 高等数值分析 常微分方程数值解法-2017
i.常微分方程初值问题数值解法i.1 常微分方程差分法考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足(,), 0du f t u t T dt=<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b)其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。
我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-∀∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。
通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。
本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。
先来讨论最简单的Euler 法。
为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点：0110N N t t t t T -=<<<<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。
在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。
反过来，差商就是微商的近似。
在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到1000(,)u u hf t u -=一般地，我们有1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
下面我们用数值积分法重新导出 Euler 法以及其它几种方法。
为此，在区间1[,]n n t t +上积分常微分方程（i.1a ），得11()()(,())n n t n n t u t u t f t u t dt ++=+⎰ （i.5）用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。
偏微(13)椭圆型方程的差分方法
S1 e u0 e u0 e u0 e u0
1 4 2 4u0 h u0 h 2 D 4 u0 h6 12
2
1 4 2 S2 4u0 2h u0 h 4 D 4 u0 h6 6
其中D x , y | 0 x , y 1 .
1 取特殊的网格 h k 。 此时网格点分布见图5.3， 3
1.1 五点差分格式
在内点P , P2 , P3和P4 1 上用差分格式（ ）， 1.6
在其余点，即边界点 取边界条件
1 x 2 y 2 a x, y log
1 u 1 u r u r r r 2 2 f r , r r
2
(1.8)
r
y x y , tan . 域0 r ,0 2 . x
2 2
方程( 8) 1. 的系数当r 0时具有奇异性，因此为了 选出我们感兴趣的解，需补充u在r 0处有界的条 件，可设u满足
1 u xi h, y j 2u xi , y j u xi h, y j （1.2） h2 Nhomakorabea
2u 2u u 2 2 f ( x , y（ ） ) 1.1 x y
1 u x i , y j k 2u x i , y j u x i , y j k 2 k （1.3） 2 2 4 4 u k 2 4 u xi ,1 4 u xi ,2 y y ij 24 y
h uij ui 1, j 2uij ui 1, j h2 ui , j 1 2uij ui , j 1 k2 f ij ,
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椭圆方程差分法
1 矩形网上差分方程
考虑二阶椭圆型偏微分方程的第一边值问题
（1.1） ()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=+++--Γy x y x u y x F Eu Du Cu u u y x yy xx ,,,αG
其中C ,E D ,是常数；0≥E ；()()G C 0,∈=y x F F ；(,)x y α是给定的光滑函数。
假设（5.1）存在光滑的唯一解。
为简单起见，假设G 是矩形区域，其四个边与相应坐标轴平行。
考虑矩形网格：1h 和2h 分别为x 和y 方向的步长，h G 为网格内点节点集合，h Γ为网格边界点集合，=h G h G h Γ。
对于内点()j i y x ,h G ∈用如下的差分方程逼近（1.1） (1.2)
21
,1,12h u u u j i ij j i -++---221,1,2h u u u j i ij j i -++-+1,1,12h u u C j i j i -+-+21,1,2h u u D j i j i -+-+ij Eu =ij F
其中),(j i ij y x F F =。
（1.2）通常称为五点差分格式。
用（1.1）的真解(,)u x y 在网点上的值(,)i j u x y 、1(,)i j u x y -等等分别替换（1.2）中的ij u 、1,i j u -等等，然后在(,)i j x y 点处作Tailor 展开，便知（1.2）逼近（1.1）
的截断误差阶为()
2221h h O +。
方程（1.2）可以改写为
（1.3） j i a ,1-j i u ,1-+j i a ,1+j i u ,1++1,-j i a 1,-j i u +1,+j i a 1,+j i u +j i a ,j i u ,ij F =
对每一内点都可以列出这样一个方程。
遇到边界点时，因为边界点u 的函数值已知，将相应的项挪到右端去。
最后，得到一个以u 的内点近似值为未知数的线性方程组。
这个方程组是稀疏的，并且当1h 和2h 足够小时是对角占优的。
可以证明，五点差分格式关于右端和初值都是稳定的，收敛阶为2212()O h h +。
当G是一个一般的区域，并且边界条件包含法向导数（第二和第三边值条件）时，在边界点建立差分方程是一件颇为令人烦恼的事情。
y
O x。