第二章椭圆型方程的有限差分法.

注意 : 方程(1.8)的个数等于网格内点 x1 , x2 ,, x N 1的 个数,因此它是N 1阶方程组.
以I h表示网格内点x1 , x 2 , , x N 1的集合，I 表示网格内点 和界点x0 a , x N b的集合。定义在I（相应的 I h )上的函 h 数uh ( x i ) ui 称为I（相应的 I h )上的网函数. h 我们对I h上的网函数引进范数 uh uh uh 于是 uh 1
的解u，由Taylor 展式可得
现在将方程(1.1)在节点xi 离散化，为此，对充分 光滑
u( xi 1 ) 2u( xi ) u( xi 1 ) h2 d 2 u( x ) h2 h2 u( x ) 3 [ ] [ ] o ( h ), (1.3) i 2 2 dx 12 dx 其中[ ]i 表示括号内函数xi 点取值。 于是在可将方程(1.1)写成 u( x i 1 ) 2u( x i ) u( x i 1 ) q( x i )u( x i ) f ( x i ) Ri ( u), ( 2 h h2 h2 u( x ) 3 其中 Ri ( u) [ ] o ( h ), (1.5) 2 12 dx
2 c 2 0 2 1
m ax ui ,
1 i N 1 N 1 i 1
(1.10) (1.11)
2

2 hu i, 2 0
uh
N
uh 1 ,
(1.12) (1.13)
ui ui 1 h( ), h i 1
定义1.1
设是某一充分光滑函数类 ，Rh ( u)是由截断误差 (1.7)定义的网格函数，若对 任何 ，恒有 li m Rh ( u) 0, 条件.
第二章椭圆型方程的有限差分法
§1 §2 §3 §4 §5 差分逼近的基本概念 一维差分格式 矩形网的差分格式 三角网的差分格式 极值原理
§1差分逼近的基本概念
考虑二阶常微分方程的 边值问题 d 2u Lu 2 qu f a x b, (1.1) dx (1.2) u(a ) , u(b) 其中q, f为[a , b]上的连续函数, q 0;
定义1.3
称差分方程Lh v i f i ( i 1,2, , N 1), v 0 v N 0 关于右端稳定，如果存 在与网格I h及右端f h ( f h ( x i ) f i ) 无关的正常数M和h0，使 v h M f h R , 当0 h h0 , (1.17) 其中 f h R 是右端f h的某一范数，它可以和 相同， 也可以不同，v h ( x i ) v i , i 1,2, , N 1.
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, 为给定常数。
1 区间的剖分
将区间[a , b]分成n等分，分点为 x j a ih i 0,1,2, N h (b a ) / N .于是我们得到区间I [a , b]的一个 网格剖分，x j 称为网格结点（节点） ，间距h称 为步长。
1 微分方程离散(差分方程）
不等式(1.17)表明，解vh连续依赖右端f h，即右端 变化小时解的变化也小 。
定理1.1（相容+稳定=收敛）
截断误差 Ri ( u) Lh u( x i ) [ Lu]i 起的截断误差， (1.6)式关于h的阶为0( h 2 ). (1.7 )
所以Ri ( u)是用差分算子Lh 代替微分算子L所引
差分方程(1.6)当i 1,2, N 1, 时成立，加上边值条件 就得到关于的线性代数 方程组： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , i 1,2, N 1, (1.8) 2 h u0 , uN . (1.9) 它的解ui是u( x )于x x i的近似。称(1.8), (1.9)为逼近(1.1) (1.2)的差分方程或差分格式 。 此格式称为中心差分格 式。
h 0
(1.15)
这里u看成I h网函数。
可将方程(1.4)写成 u( xi 1 ) 2u( xi ) u( xi 1 ) Lh u( xi ) q( xi )u( xi ) 2 h f ( xi ) Ri ( u) f i Ri ( u) ui 1 2ui ui 1 与Lh ui qi ui f i 2 h 相减，得 Lh ( u( xi ) ui ) Ri ( u)
由(1.5)便知，差分算子(1.6)逼近微分算子，且逼近 的 阶是 : Rh ( u) c o( h 2 ), Rh ( u) 0 o( h 2 ), Rh ( u) 1 o( h).
(1.14)
则说差分算子Lh逼近微分算子L，而称(1.14)为相容
定义1.2
称差分解uh收敛到边值问题的解u，如果当h充分时， (1.8), (1.9)的解uh存在，且按某一范数 有 l i m uh u 0.
引进误差 e i u( x i ) ui , 则误差函数e h ( x i ) ei 满足下列差分方程； Lh ei Ri ( u) i 1,2, , N 1, (1.16) e0 e N 0 于是收敛性及收敛速度 的估计问题。 就归结带通过右端Ri ( u（截断误差）估计 ) 误差函数eh的问题.
当h足够小，Ri ( u)是h的二阶无穷小量。若舍 去Ri ( u)， 则得逼近方程(1.1)的差分方程： ui 1 2ui ui 1 Lh ui qi ui f i , (1.6) 2 h 式中qi q( xi ), f i f ( xi ).称Ri ( u)为差分方程(1.6)的截 断误差。