圆锥曲线切线方程的五种求法-2019年精选文档
(2021年整理)圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
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课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标:（1)。
掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
(2).会用切线方程及切点弦方程解决一些问题.（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
（4） 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点:如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程:1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾：1. 2。
3。
4.圆锥曲线切线的几个性质:22200(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b+=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b-=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理：双曲线，抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且同理：双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为例1： 设抛物线 的焦点为F,动点P 在直线上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点。
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。
弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。
的切线方程为上一点：经过圆结论。
两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。
又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。
高中数学圆锥曲线切线题解题方法
高中数学圆锥曲线切线题解题方法在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念，而求解圆锥曲线的切线问题是其中的一个难点。
本文将介绍一些解题方法，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这类题目。
在解决圆锥曲线切线问题时，首先要明确题目给出的条件和要求。
例如，考虑以下题目：已知椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在椭圆上，求过点$P$的切线方程。
解决这类问题的关键是确定切线的斜率。
我们可以通过对椭圆方程进行求导来得到切线的斜率。
对椭圆方程两边同时对$x$求导，得到$\frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
由于点$P$在椭圆上，代入点$P(x_0,y_0)$，可得$\frac{2x_0}{a^2}+\frac{2y_0}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0$。
进一步整理得到$\frac{dy}{dx}=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}$。
由此可见，切线的斜率与点$P$的坐标有关。
接下来，我们可以利用点斜式或斜截式等方法求解切线方程。
例如，如果我们使用点斜式，切线方程可以表示为$y-y_0=-\frac{x_0}{y_0}\cdot\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)$。
通过上述步骤，我们可以得到切线的方程。
但是，在具体解题过程中，我们还需要注意一些细节。
首先，要注意点$P$的坐标是否满足椭圆方程。
如果点$P$不在椭圆上，那么切线方程将无意义。
其次，要注意椭圆方程中的参数$a$和$b$的取值范围。
当$a=b$时，椭圆退化为圆，此时切线方程的求解方法也会有所不同。
除了椭圆，我们还可以考虑其他类型的圆锥曲线，如双曲线和抛物线。
对于双曲线，我们可以通过类似的方法求解切线方程。
例如，已知双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点$P(x_0,y_0)$在双曲线上，求过点$P$的切线方程。
圆锥曲线中的切线问题
圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的切线方程的三种求法
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。
圆锥曲线切线方程的五种求法
2013-12教学实践论———柯西不等式就此“诞生”！而此不等式的应用经常在数学竞赛中出现。
顿时，学生们眼中的喜悦无法言表。
我也深受感染，陶醉其中！从教学实例中我深深体会到：数学教学应充分挖掘学生的潜力，充分调动学生的主观能动性，放手让学生主动探究，教师适时引导，就会有意想不到的收获。
这正如古人云：授之以鱼不如授之以渔。
读懂读通教材及学生，教师在数学教学中才能做到游刃有余。
今后我将不断提高自己的知识素养与教学技能，全身心地投入到新课程的教学中。
（作者单位江苏省南京市栖霞中学烷基苯校区）•编辑刘俊婷切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M （x0，y0）的圆的切线l的方程.解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），∴OM=（x-a，y-b，MN=x-x0，y-y0），又∵OM⊥MN∴OM·MN=0即：（x-x0）（x0-a）+（y-y0）（y0-b）=0，即：［（x-a）-（x0-a）］（x0-a）+［（y-b）-（y0-b）］（y0-b）=0，所以过圆上的点M（x0，y0）的圆的切线l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-［（x0-a）2+（y0-b）2］=0，即：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，即l的方程是：（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.二、巧用变换设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，我们做变换：x=aμy=bv{，则可把椭圆化为单位圆：μ2+v2=1，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题：例2.求过椭圆x216+y29=1上一点M（22√，32√2）的切线l方程.解：令μ=x4，v=y3，则椭圆在新坐标系μOv下的方程是：u2+v2=1，点M（22√，32√2）在新坐标系μOv下的坐标是：（2√2，2√2），易知过圆u2+v2=1上的点（2√2，2√2）的切线方程是：2√2μ+2√2v=1，即：μ+v=2√，所以过椭圆上一点M的切线l的方程是：x4+y3=2√，即：3x+4y=122√.值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.解：设l的方程是：y-1=k（x-2）且k≠±2√2，即：y=kx-（2k-1），将它代入方程x2-2y2=2中整理得：（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，由已知得：△=［-4k（2k-1）］2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例4.此处仍以上面的例3为例.解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，得：2x-4yy′=0，即：y′x=2，y=1=x2y x=2，y=1=1，这就是所求切线的斜率，∴过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM 必与抛物线相切。
圆锥曲线的切线方程求解方法总结
圆锥曲线的切线方程求解方法总结圆锥曲线是代数几何中的重要概念，指由一个平面与一个锥体相交而产生的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线，它们在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将总结圆锥曲线切线方程的求解方法，并以椭圆、抛物线和双曲线为例进行说明。
一、椭圆的切线方程求解方法椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
对于椭圆上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（其中a和b为椭圆的半长轴和半短轴），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对椭圆方程两边求导，得到2x/a^2 + 2y/b^2 * y' = 0。
然后将点P的坐标代入，得到x0/a^2 + y0/b^2 * y' = 0。
最后将此式变形为y' = -x0 * a^2 / (y0 * b^2)，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上的轨迹为OP。
设P点的坐标为(x0, y0)，则PF1和PF2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
又根据焦点和点到直线的距离公式，可得切线所在直线与轴的交点Q的坐标为(a^2/x0, b^2/y0)，进而得到切线方程的解析式。
二、抛物线的切线方程求解方法抛物线是一个平面上的开口曲线，其形状类似于抛物形。
对于抛物线上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解抛物线的切线方程。
设抛物线的标准方程为y^2 = 2px（其中p为抛物线的焦点到顶点的距离），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对抛物线方程两边求导，得到2yy' = 2p。
然后将点P的坐标代入，得到y0 * y' = p。
最后将此式变形为y' = p / y0，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解抛物线的切线方程。
圆锥曲线切线方程公式推导
圆锥曲线切线方程公式推导
圆锥曲线切线方程：
1. 什么是圆锥曲线：
圆锥曲线是一种双曲线，它具有双曲线特有的性质，即具有凹凸反转
的离心轨迹，在形状上又有圆弧的特性。
它是一种抛物线和双曲线的
结合，形状上是一个凸出来的半圆锥，因此也叫锥形曲线。
2. 圆锥曲线切线方程的定义：
圆锥曲线切线方程是指该曲线上一点，以这点为焦点做一组切线的方程。
3. 圆锥曲线切线方程的推导步骤：
（1）设圆锥曲线上一点A，切线为l。
（2）求出点A在圆锥曲线上满足切线方程的偏移长度s，s=∫[0,t]f(t)dt。
（3）求出切线方程的坡度为曲线在该点的切线的倾斜角，k=f’(t)。
（4）以点A作为参考系，得出该切线的直角坐标为（x，y）=
（cosθs,sinθs），点A的坐标为（x0,y0），可以得出切线的方程为一
般式： y-y0=ks(x-x0)。
4. 圆锥曲线切线方程的应用：
（1）用圆锥曲线切线方程可以表示流体运动轨迹，通过求解切线方程
可以确定某一点所在的水流函数坡度。
（2）用圆锥曲线切线方程可以表示交通运行线路，可以通过确定切线方程的形式，精确控制车辆的行驶速度。
（3）圆锥曲线切线可以用来近似描述光线的传播方程，从而研究光线的行为和光学系统的结构。
（4）圆锥曲线切线可以用来模拟电磁学中偏振波的传播轨迹，从而可以研究电磁散射等现象。
圆锥曲线上某一点处的切线方程
切线方程 ， 那 么圆锥 曲线上 某一 点处 的切 线方程 有 没有 一 般形 式呢？我们研 究一下．
，
【 关键词】 切线方程
在做解析几何 大题时 ， 我 们经 常需 要 求 曲线上 一点 处 的切线方程． 最 常用的方法就是设 出方程 ， 然后 联立直 线方
切 线方程为 ） ， 一ｙ ０ ＝一
且 ｐ （ ０ ， Ｙ ｏ ）・ （ 一 ０ ， Ｙ— Ｙ ｏ ）＝ ０，
的线段长为 １ ．
整理得 Ｘ ０ ＋ Ｙ ｏ Ｙ＝ ＋ ＝１ ，
所 以切线方程 为 Ｘ Ｏ Ｘ＋ Ｙ ｏ Ｙ＝１ ． 问题 ２ 求过圆 （ 一 ０ ） ＋（ ｙ一６ ） ＝ｒ ２ （ ｒ ＞ Ｏ ） 上一点 Ｐ
做对 ． 那么 圆锥 曲线 上某 一点处 的切 线方 程有 没有 一 般形 式呢？我们研究一下． 问题 １ 求过 圆 ＋ Ｙ ＝ｒ ２ （ ｒ ＞０ ） 上一 点 Ｐ（ ‰， Ｙ ｏ ） 的 切线方程．
，
下面我们用上述结论小试 牛刀． 看２ ０ １ ３年 山东高考 数
学压轴题 ：
・ ． ．
Ｙ ，
盘 １ 学学习与研 究
２ ０ １ ７ ． １ ５
（ Ｘ ０ ， ） 的切线方程． 用解决 问题 １的方法我们可 以得 到问题 ２的答案 （ ‰一
ａ ） （ — ａ ）＋（ ｙ ０ —６ ） （ Ｙ—ｂ ） ＝ｒ ２ ．
（ ２ ） 点 Ｐ是 椭 圆 Ｃ上 除 长轴 端 点外 的任 一 点 ， 连 接
Ｐ Ｆ 。 ， Ｐ ． 设 Ｆ 。 的角平分线 Ｐ Ｍ 交 Ｃ的 长 轴 于 点 Ｍ（ ｍ， ０ ） ， 求 ｍ的取值范围 ； （ ３ ） 在（ ２ ） 的条件下 ， 过点 Ｐ作斜率 为 ｋ的直线 ｚ ， 使得 ｌ 与椭 圆 Ｃ有且 只有 一个公共 点 ， 设 直线 Ｐ ， Ｐ 的斜 率分
过圆锥曲线上一点作切线的方法（第一部分）
过圆锥曲线上一点作切线的方法（第一部分）作圆锥曲线的切线，也是一个比较有意思的问题。
网上这方面的资料虽然有一些，但比较零散，本文汇集了笔者所能见到的几种方法，并给出详细的证明。
按，本文很多地方如果用射影几何研究当更为简洁，但遗憾的是笔者没有学过，所以这里基本只利用传统初等几何和解析几何的方法，只有个别地方涉及帕斯卡定理和投影法。
（感谢邵勇老师和蒋迅老师的帮助）方法一：已知两个焦点位置作法：对椭圆（图 1）：1.连接、；2.作角的平分线，其中是延长线上的点。
直线即为所求。
对双曲线（图 2）：1.连接、；2.作角的平分线。
直线即为所求。
对抛物线（图 3）：1.连接；2.过作对称轴的平行线，设为平行线上在抛物线外的一点；3.作的平分线。
直线即为所求。
证明：根据圆锥曲线光学性质可证。
方法二：已知一个焦点和对应的准线作法：1.连接；2.过作的垂线，交准线于点；3.连接。
直线即为所求。
证明：以椭圆为例，建立坐标系，设左焦点，，，椭圆方程为。
则在直角三角形中，由得：，（勾股定理），整理得到满足的方程：又知道过点切线方程为将带入（2），得到切线与准线交点的纵坐标满足，与（1）对照，可知满足该方程，即点在切线上。
得证。
方法三：作法：1.在其上任取、、、四点；2.连接、，延长线交于点；3.连接、，延长线交于点；4.连接；5.连接，延长线交直线于点；6.连接。
直线即为所求。
证明：根据圆锥曲线的帕斯卡定理，圆锥曲线内接六边形的对边连线交于三个点，此三点共线。
在图中，设附近有一点，不妨设为在之间，则直线与交点、直线与交点、直线与交点共线。
当趋近于时，第一个交点趋近于，第二个交点为不变，第三个交点趋近于过点切线与交点，也在直线上，即是与的交点。
得证。
方法四：适用于椭圆和双曲线，是中心，给出长轴（或实轴）作法：对于椭圆：1.以长轴为直径作圆；2.过点作长轴的垂线，交长轴于点，交圆于点；3.过作圆的切线，交长轴延长线于点；4.连接。
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文
圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用-图文圆锥曲线是一类由一条直线和一个定点（焦点）生成的曲线。
常见的圆锥曲线有椭圆、抛物线和双曲线。
在数学和物理学中，圆锥曲线的切线方程和切点弦方程是非常重要的应用。
一、圆锥曲线的切线方程1.椭圆的切线方程椭圆是一个凹向两侧的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
假设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
如果椭圆上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$2.抛物线的切线方程抛物线是一个开口向上或向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若抛物线的标准方程是$y^2=4ax$其中a是抛物线的焦点到曲线的距离。
如果抛物线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{1}{2a}(x-x1)$3.双曲线的切线方程双曲线是一个开口向上和向下的曲线，其切线方程可以用点斜式表示。
若双曲线的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中a和b分别是双曲线的距焦点到曲线的距离。
如果双曲线上的一点P（x1,y1）在曲线上，它的切线方程可以表示为：$y-y1=\frac{b^2}{a^2}(x-x1)$二、圆锥曲线的切点弦方程1.椭圆的切点弦方程椭圆的切点弦方程表示的是通过椭圆上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果椭圆上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），椭圆的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$2.抛物线的切点弦方程抛物线的切点弦方程表示的是通过抛物线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
如果抛物线上的两点为P（x1,y1）和Q（x2,y2），抛物线的切点弦方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1} = \frac{x-x1}{x2-x1}$3.双曲线的切点弦方程双曲线的切点弦方程表示的是通过双曲线上两点的直线方程，也就是连接两点的弦的方程。
圆锥曲线的切线方程讲义——以一道高考题为例(原创)
因为 P 是 PA, PB 的交点，故 ( x0 , y0 ) 满足：
x0x1 = 2 y1 + 2 y0 ………………① x0x2 = 2y2 + 2y0 ………………②
可知 ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) 是方程： x0x = 2y + 2y0 的两组解
两边同时除以 a2b2 ：
yy0 b2
+
xx0 a2
=
y02 b2
+
x02 a2
因为点 ( x0 , y0 ) 在椭圆上，故
y02 b2
+
x02 a2
=1
所以： xx0 + yy0 = 1. a2 b2
三、应用
（2021 年全国高考乙卷数学（理））已知抛物线 C : x2 = 2 py ( p 0) 的焦点为 F ，且 F 与圆
简单规律： x2 → xx0 ， 2 px → px + px → px + px0 （特别注意： ( x0 , y0 ) 为切点）。
二、证明（以椭圆为例）
证明：椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
b
0) 在 ( x0 ,
y0 ) 的切线方程为
xx0 a2
+
yy0 b2
=1.
证明： 方法、求导法（需要二元求导）
显然 y0 [−5, −3]
P 点在圆上得出
−( y0 + 6)2 + 21 −(−5 + 6)2 + 21 = 20
即： S
(完整版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆222r y x =+上一点),(00y x M 的切线方程为200r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为200r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点),(00y x M 切线方程为12020=+by y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆12222=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+byy a x x证明：（1）22221x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b'+=，得0202x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为200020()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b yy a x x 、12222=+b yy a x x 。
又因),(00y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、1202202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+byy a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a bya x 上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程12020=+byy a x x 表示直线的几何意义亦不同。
圆锥曲线切线方程
圆锥曲线切线方程
了
圆锥曲线切线方程是一个中学数学里常见的几何曲线，可以用来描述函数的变化情况。
它的形状类似于圆锥，其切线方程可以用极坐标定义。
所谓极坐标，可以理解为以某一点为圆心，将同一平面上的所有点投射到一个圆的边缘上，形成的坐标系。
接下来让我们一起来学习下圆锥曲线切线方程的知识：
1. 什么是圆锥曲线？
圆锥曲线是一种曲线，形状类似于一个圆锥，它的方程可以用极坐标定义。
极坐标是以一个指定的点为圆心，将平面上的点投射到圆的边缘上的坐标系。
2. 圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程可以用极坐标来定义，形式为：
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
其中，a和b为两个常量，表示曲线的长轴和短轴，也可以联系成椭圆的圆心和长短轴，定义椭圆时两个数字之间用“，”分隔。
3. 圆锥曲线的切线方程的求解
圆锥曲线的切线方程的求解可以采用两种方式：
（1）直接法：即直接以圆锥曲线的切线方程的方式求解。
（2）比例法：即以极坐标系中的比例关系来求解，公式表达为：
\frac{x}{a}=\frac{y}{b}
以上就是圆锥曲线切线方程的相关知识，看似很复杂，其实只要理解其背后的原理，使用起来就非常简单了。
圆锥曲线在很多领域都有重要的作用，我们应该好好的去学习这种几何曲线，从而拓宽自己的视野，加强自身的数学知识。
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圆锥曲线切线方程的五种求法
切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：
一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的圆的切线l的方程.
解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）
由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.
三、判别式法
也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线
方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.
例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.
将它代入方程x2-2y2=2中整理得：
（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，
由已知得：△=[-4k（2k-1）]2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），
即：x-y-1=0.
四、导数法
新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例4.此处仍以上面的例3为例.
解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，
得：2x-4yy′=0，
∴过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.
五、几何法
通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。
据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：
例5.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8，8）的切线l的方程.
解：由抛物线C的方程可得其焦点F为（2，0），准线方程为：x=-2，
过点M（8，8）作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标是（-2，8），
又设FN的中点为P，则P的坐标为（0，4），。