离散数学试题与答案

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离散数学试题一与参考答案

一、填空 20% （每小题2分）

1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+

x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数

集，E + 正偶数）则 =⋃B A {0，1，2，3，4，6} 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为

A C

B -⊕)(

。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则

)

()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为

)()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = {<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> } 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为

则R={,,,,} I A 。

8．图的补图为

。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：

那么代数系统 a ，有逆元的元素为 a , b , c ,d ，它们的逆元分别为 a , d , c , d 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。

二、选择 20% （每小题 2分）

1、下列是真命题的有（C D ） A ． }}{{}{a a ⊆；

B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；

C ． }},{{ΦΦ∈Φ；

D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ B 、C ）

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ C ）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A）

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下

C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；

D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（C ）

7、下列函数是双射的为（ A ）

A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = ；

C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）

8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（ D ）条。

9、下图中既不是Eular 图，也不是Hamilton 图的图是（B ）

10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ A ）

1. R 是集合X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当< a, b> 和在R 中有<.b , c>在R 中。（8分）

证：“⇒” X c b a ∈∀,, 若R >c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知

“⇐” 若R >b ,a <∈，R >c ,a <∈有 R >c ,b <∈ 任意 X b a ∈,，因

R

>a ,a <∈若R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴ 所以R 是对称的。

若R >b ,a <∈，R >c b,<∈ 则 R c b, R >a b,<>∈<∧∈ R >c ,a < ∈∴ 即R 是传递的。

2. f 和g 都是群到< G 2, *>的同态映射，证明是的一个子群。其中C=)}()(|{1x g x f G x x =∈且 (8分) 证：C b a ∈∀,，有 )()(),()(b g b f a g a f ==，

∴< C , ★> 是 < G 1 , ★>的子群。

3. G= (|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由k （k ≥3）条边围成的连通平面图，则

2

)2(--≤

k v k e ，由此证明彼得森图（Peterson ）图是非平面图。（11