立体几何中的向量方法(二)——求空间角与距离辅导教案

(1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝

>.

(2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 4．利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离

设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB →

|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (2)点到平面的距离

如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO →|＝|AB →·n |

|n |. 四、例题分析

考点一 求异面直线所成的角

【例1】 如图，在四棱锥P

－ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求：

(1)三角形PCD 的面积．

(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．

规律方法 本题可从两个不同角度求异面直线所成的角，一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β＝|AC →·BD →|

|AC →||BD →|.

考点二 利用空间向量求直线与平面所成的角

【例2】如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)证明：AC⊥B 1D；

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．

规律方法(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．

(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等，故有|cos θ|＝|cos

n>|＝|m·n|

|m||n|.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

五、对应训练

1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．

2.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．

(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；

(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．

六、本课小结

1．若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算．