数学归纳法证明不等式和整除问题PPT课件

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数学归纳法、用数学归纳法证明不等式举例课件

命题方向1 ⇨数学归纳法证明等式
典例试做 1
1)，其中 n∈N＋.
用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－
● [分析] 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系.
● [解析] (1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21·1＝2，等式成立. ● (2)假设当n＝k时等式成立，即 ● (k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
● 则当n＝k＋1时， ● (k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)·(k＋3)…＋(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ● ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1) ● ＝2k·1·3·…·(2k－1)·2(2k＋1) ● ＝2k＋1·1·3…·(2k－1)(2k＋1)， ● 即当n＝k＋1时，等式也成立. ● 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立.
n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论.
[分析] 用数学归纳法证明. 从n＝k到n＝k＋1时，为利用假设需要增加因
式
1 k＋1
，对于除含有n＝k的因式外的其余的项需运用不等式的性质证明其大于
零即可.
[解析] 取n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，令2264>2a4⇒a<26，而a∈N＋，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1)＋(3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋1 4－k＋1 1)>2254＋[3k＋1 2＋ 3k＋1 4－3k＋2 1].
∵3k＋1 2＋3k＋1 4＝9k26＋k1＋8k1＋ 8>3k＋2 1， ∴3k＋1 2＋3k＋1 4－3k＋2 1>0， ∴k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋11＋1>2254，

数学归纳法课件

关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明
就不再是数学归纳法.
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n1=2n(2n-3)+3(n∈N ).
+
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成
=
1
1 +1
1- 2
2
1
1-2
=1-
1 +1
,
2
1
1 1
正解(1)当 n=1 时,左边= ,右边=12
2
=
1
,命题成立.
2
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,
1
1
即 + 2
2 2
当
+
1
1
2
2
3 +…+ =1-
1
1
n=k+1 时, + 2
2 2
1
1
1
=1-

2
+
+
1
,
2
1
1
2
2
3 +…+
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼
凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其
中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分
析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,

第四讲数学归纳法证明不等式知识归纳课件(人教A选修4-5)

由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知，对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
点击下图进入阶段质量检测
[例3]
除．
用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立，即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题成立．
tank＋1α－tan α 1 ＝ [ ][1＋tan(k＋1)α· α]－k tan tan α 1＋tank＋1α· α tan 1 ＝ [tan(k＋1)α－tan α]－k tan α tank＋1α ＝－(k＋1)， tan α 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)和(2)知，n≥2，n∈N＋时等式恒成立．

人教版高中数学选修4-5 第四讲二用数学归纳法证明不等式 (共30张PPT)教育课件

22
1 32
...
1 n2
n 1都成立.
n
解：
1当n
2时，212
2
2
1，命题成立.
2 假设当n
kk
2
时，命题成立，即
1 22
1 32
...
1 k2
k k
1. 1
当n k 1时，
11
1
1 k 1
1
22
32
...
k2
k
12
k
1
k
12
k3 k2
k k 1
k 1 1
.
k 1
所以当n k 1时命题成立.
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力和严谨的态度.
教学重难点
重点
会运用数学归纳法证明含有任意正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
例1
观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论.
{an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
由(1)(2)知，n2<2n(nN+,n≥5)
所以(k+1)2<2k+1,即当n=k+1时命题成立.
例2
证明不等式│sinnθ│≤n│sinθ│(n
N+)
分析
这是个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式.
证明
(1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│

课件1：二用数学归纳法证明不等式

2.设实数 c＞0，整数 p＞1，n∈N*. (1)证明：当 x＞－1 且 x≠0 时，(1＋x)p＞1＋px； (2)数列{an}满足 a1＞cp1,an＋1＝p－p 1an＋pca1n－p,证明：an＞an＋1＞c1p.
解析：(1)用数学归纳法证明： ①当 p＝2 时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，原不等式成立． ②假设 p＝k((k≥2，k∈N*)时，不等式(1＋x)k＞1＋kx 成立，当 p=k+1 时,(1+x)k＋1=(1+x)(1+x)k＞(1+x)(1+kx)=1+(1+k)x+kx2＞ 1+(1+k)x，所以 p＝k＋1 时，原不等式成立．
二用数学归纳法证明不等式
知识速递
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。
归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。
（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
►变式训练设 Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+n（n2－1）x2,n∈N*,x∈(-1,+∞),试比较 Pn 与 Qn 的大小,并加以证明．
解析：(1)当 n＝1，2 时，Pn＝Qn. (2)当 n≥3 时(以下再对 x 进行分类)， ①若 x∈(0，＋∞)，显然有 Pn>Qn， ②若 x＝0，则 Pn＝Qn， ③若 x∈(－1，0)，则 P3－Q3＝x3<0，所以 P3<Q3， P4－Q4＝4x3＋x4＝x3(4＋x)<0，所以 P4<Q4，

归纳2.2数学归纳法.ppt

(2)假设当n=k时,结论成立,即ak k 上k归纳1. 假设!
则当n=k+1时,
1 11
1
Sk 2 (ak ak ) 2 ( k
k 1
k
) k 1
k.
ak 1
S k 1
Sk
1 2 (ak1
1 ) ak 1
k ak21 2
k ak1 1 0
ak1 k 1 k (ak1 0).
（3）为什么这些步骤缺一不可？
（4）数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法？
最新.课件
7
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
（2）假设当 n k (k N , 且k n0 ) 时结论正
确，并证明当 n k 1时结论也正确。
根据(1)(2)知对任意的 n N 且n n0 时命题成立。注：（1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结
最新.课件
9
例1.用数学归纳法证明
12 22 32 n2 n(n 1)(2n 1)
6
证明：1、当n=1时,左=12=1，右= 1(1 1)(2 第1)二步1的证明要用
∴n=1时，等式成立
6
上归纳假设!
2、假设n=k时，等式成立，即
12 22 32 k 2 k(k 1)(2k 1)
最新.课件
1
一、提出问题
问题 1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
问题 2：三角形的内角和为180º，四边形的内角和为2•180º,五
边形的内角和为3•180º，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) •180º。

用数学归纳法证明不等式举例-课件PPT

当n＝k＋1时， S2k＋1＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k1＋1 >1＋2k＋2k＋2k 2k＝1＋2k＋12＝1＋k＋2 1. 故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)、(2)知，对n∈N*，n≥2，S2n>1＋n2都成立．
所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N*都成立．
服/务/教/师免/费·选修4-5]
1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1) 太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．
数学归纳法证明不等式
已知Sn＝1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 n
(n>1，n∈N*)，求证：
S2n>1＋n2(n≥2，n∈N*)．【思路探究】先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳
法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
服/务/教/师免/费/馈/赠
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数学[新课标·选修4-5]
【解】数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列 12，1，32，2，…，通项公式为an＝n2，
∴猜想：f(2n－1)>n2. 下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>12，不等式成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
服/务/教/师免/费/馈/赠
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不等式归纳法推理证明基本不等式课件文ppt

不等式的判别
对于一个具体的不等式，需要根据其特征进行判别，以确定其类型和证明方法。
不等式的证明方法
不等式的证明方法
不等式的证明方法包括比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等。
基本不等式的证明
基本不等式是证明其他不等式的基础，其证明方法包括利用导数或积分进行放缩、利用琴生不等式进行放缩等。
03
利用数学归纳法证明基本不等式
数学归纳法是证明不等式的常用方法之一，证明基本不等式也可以使用该方法。具体步骤包括奠基步骤和归纳步骤。
04
不等式归纳法推理证明基本不等式
不等式归纳法证明基本不等式的思路
通过对已知数据的观察、分析，寻找规律，提出猜想，并用数学归纳法证明猜想的正确性
将n个不等式转化为(n+1)个不等式
课程内容
1
介绍不等式归纳法的定义、性质和证明方法。
2
通过实例详解，使学生掌握不等式归纳法的证明步骤和技巧。
3
针对常见题型，进行归纳总结，帮助学生掌握常见问题的解决方法。
课程目标
理解不等式归纳法的概念、性质和证明方法。
理解常见题型及其解决方法，提高解题能力和数学素养。
掌握不等式归纳法的证明步骤和技巧，并能灵活运用到实际问题中。
不等式归纳法推理证明基本不等式课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 不等式归纳法 • 基本不等式 • 不等式归纳法推理证明基本不等式 • 结论与展望
01
引言
课程背景
学生在学习不等式性质时，已经了解了不等式的概念、性质、判定方法等相关基础知识。
学生在学习归纳法证明时，已经掌握了归纳法的基本思想、步骤和证明方法。

4-4数学归纳法课件【共44张PPT】

检测篇·达标小练
1．一个关于自然数 n 的命题，如果证得当 n＝1 时命题成立，并在假设当 n＝ k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当 n＝k＋2 时命题成立，那么综合上述，对于( B )
A．一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立 C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
解析：本题证明了当 n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．A， C，D 不正确．故选 B.
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n＝n0 (n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 n＝k(k∈N*，k≥n0) 时命题成立”为条件，推出当 “ n＝k＋1 时命题也成立”．只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
＝1 时，等式左边是 1＋a＋a2
.
解析：根据数学归纳法的步骤可知，当 n＝1 时，等式的左边应为 1＋a＋a2.
3．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k ＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1) ＋1]，所以 n＝k＋1 时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何 n∈N＋都成立．

高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法课件新人教A版选修4

用数学归纳法证明几何命题平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) ＝n2－n＋2 部分．
【证明】 ①当 n＝1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1) ＝1－1＋2＝2，因此，n＝1 时命题成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k2－k＋2 部分．如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即当 n＝k＋1 时，f(n)＝n2－n＋2 也成立．根据①②可知 n 个圆把平面分成了 f(n)＝n2－n＋212＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2，即当 n＝k＋1 时等式也成立．由(1)和(2)知，等式对一切 n≥1，n∈N＋均成立．
(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋ 2)2(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.
用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证． (2)与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从 n＝k＋1 时的表达式中分解出 n＝k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．

数学归纳法ppt课件

题型三
用数学归纳法证明不等式
【例3】用数学归纳法证明：对一切大于1的自然
数，不等式 (1 1)(1 1)(1 1 ) 2n 1 3 5 2n 1 2 均成立.
思维启迪应注意到题目条件，第一步应验证
1 4 5 证明（1）当n=2时，左边 1 ; 右边 . 3 3 2 ∵左边>右边，∴不等式成立.
题型四
归纳、猜想、证明
【例4】（12分）已知等差数列{an}的公差d大于0, 且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根，数列{bn}的前
1 n项和为Tn，且 Tn 1 bn . 2 （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
1 （2）设数列{an}的前n项和为Sn，试比较与 bn Sn+1的大小，并说明理由.
5分
2 1 n1 2 即bn ( ) n , 3 3 3 2 an 2n 1, bn n . 3
6分
n 1 (2n 1) 1 3 (2) S n n n 2 , S n1 (n 1) 2 , . 2 bn 2
2k 2 3k 1 k 1 k 1 (2k 1)(2k 3) 2k 3 2(k 1) 1
所以当n=k+1时,等式也成立.
由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立.
探究提高用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边
的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明.
用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时关键在于先看项弄清等式两边的构成规律等式的两边各有多少项项的多少与n的取值是否有关由nk到nk1时等式的两边变化的项然后正确写出归纳证明的步骤使问题得以证明

2020版高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法课件新人教A版选修4_5

知识梳理
重难聚焦
典例透析
(2)证明：用数学归纳法证明
当n=3时,a3=a1+2,等式成立. 假设当n=k(k≥3)时,等式成立,即ak=ak-2+2. 因为ak+1ak=(ak-1+2)(ak-2+2),ak=ak-2+2≠0, 所以ak+1=ak-1+2. 这就是说,当n=k+1时,等式也成立.
综上可知,对所有n≥3,n∈N+,有an=an-2+2, 即an=an-2+2,n=3,4,5,….
典例透析
题型三利用数学归纳法解决几何中的有关问题
【例3】平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+).
分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数,那么再有一个圆和这n个圆相交,就有2n个交点,这些交点将增加的这个圆分成2n段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,所以增加一个圆后, 平面分成的区域数增加2n个,即f(n+1)=f(n)+2n.有了上述关系,数学归纳法的第二步证明就很容易解决了.
变式训练1】求证:x2n-y2n(n∈N+)能被x+y整除. 分析：本题是与正整数有关的命题,直接分解出因式(x+y)有困难,故可考虑用数学归纳法证明. 证明：(1)当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y)能被x+y整除. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,x2k-y2k能被x+y整除, 那么当n=k+1时,x2k+2-y2k+2
答案：D
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高中数学第四讲4.2用数学归纳法证明不等式课件新人教A

解析：把 n＝k 时的不等式中的 k 换成 k＋1 即可．答案：212＋312＋…＋（k＋11）2＋（k＋12）2＞12－k＋1 3
5．用数学归纳法证明“Sn＝
1 n＋1
＋
1 n＋2
＋
1 n＋3
＋…＋3n1＋1＞1(n∈N*)”时，S1等于________．
解析：n＝1时，n＋1＝2，3n＋1＝4，
2．数学归纳法证明不等式
(1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤．
①证明：当 n 取第一个值 n0 时结论成立； ②假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时结论成立，证明当 n＝k＋1 时结论也成立．由①②可知命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键．用数学归纳法证明不等式的关键是第二步，即由假设f(k)＞g(k)成立，证明f(k＋1)＞g(k＋1)成立．
即1＋k2≤1＋12＋13＋…＋21k成立，
则当n＝k＋1时，
1＋
1 2
＋
1 3
＋…＋
1 2k
＋
1 2k＋1
＋…＋
1 2k＋1
≥1＋
k 2
＋
1 2k＋1
＋…＋
1 2k＋2k
＞1＋
k 2
＋
1 2k＋2k
＋…＋
1 2k＋2k
,\Байду номын сангаас\up6(,2k个))
＝1＋k2＋2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
即当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对所有n∈N*不等式都成立．
[变式训练] (2017·浙江卷，节选)已知数列{xn}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N*)．