§4基变换与坐标变换.
高等代数北大版教案-第6章线性空间
第六章线性空间§1 集合映射一授课内容：§1 集合映射二教学目的:通过本节的学习,掌握集合映射的有关定义、运算，求和号与乘积号的定义.三教学重点:集合映射的有关定义。
四教学难点:集合映射的有关定义.五教学过程：1。
集合的运算，集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念定义：(集合的交、并、差）设是集合,与的公共元素所组成的集合成为与的交集，记作；把和B中的元素合并在一起组成的集合成为与的并集,记做；从集合中去掉属于的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为与B的差集,记做。
定义:（集合的映射) 设、为集合。
如果存在法则,使得中任意元素在法则下对应中唯一确定的元素(记做),则称是到的一个映射，记为如果，则称为在下的像，称为在下的原像。
的所有元素在下的像构成的的子集称为在下的像，记做,即.若都有则称为单射.若都存在,使得，则称为满射.如果既是单射又是满射，则称为双射，或称一一对应.2.求和号与求积号(1）求和号与乘积号的定义为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号.设给定某个数域上个数,我们使用如下记号:，。
当然也可以写成，。
（2）求和号的性质容易证明,,，.事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状：分别先按行和列求和,再求总和即可。
§2 线性空间的定义与简单性质一授课内容：§2 线性空间的定义与简单性质二教学目的:通过本节的学习，掌握线性空间的定义与简单性质.三教学重点：线性空间的定义与简单性质。
四教学难点：线性空间的定义与简单性质.五教学过程:1。
线性空间的定义(1)定义4.1(线性空间) 设V是一个非空集合，且V上有一个二元运算“+”，又设K为数域，V中的元素与K中的元素有运算数量乘法“”,且“+”与“”满足如下性质：1、加法交换律，有；2、加法结合律 ,有；3、存在“零元”，即存在，使得;4、存在负元，即，存在，使得;5、“1律”；6、数乘结合律 ,都有；7、分配律 ,都有；8、分配律，都有，则称V为K上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量.注意:线性空间依赖于“+”和“”的定义，不光与集合V有关。
高等代数第三节 基
加法封闭
(km lm )αm V
(2)对αV ,k R
数乘封闭
kα (kk1)α1 (kk2)α2 (kkm )αm V
V 是向量空间。
2. 向量组生成的向量空间
定义 V x k1α1 k2α2 kmαm | k j R, j 1,2, , m
称为由α1, α2, , αm生成的向量空间,记为L(α1, α2, , αm ) 或span(α1, α2, , αm ).
证毕
2. 基的性质
4. V 可由基α1, α2, , αr所生成，即
V L(α1, α2, , αr ).
证明
α1, α2, , αr是V的基，
αV , 数l1,l2, ,lr ,使
α l1α1 l2α2 lrαr ,
α L(α1, α2, , αr ) V L(α1, α2,
, αr ).
α1, α2决定的平面.
z
z
L
α
y
y
x x
(3)设αR3且α 0, Lα为过原点O,方向为α的直线.
(4) R3 Lε1, ε2, ε3 .
3. 子空间
定义 对两(1)个Vn1维V向2,量集合V1与V2 , 若
(2) V1,V2都是向量空间，
例则称 4 (V11)是设Vm2的n子, α空i 间R（n. i 1,2, , m）,则
秩r1 秩r2, 即dimV1 dimV2.
证毕
2. 基的性质
7. F n中任意n个线性无关的向量1，2 n组成一组基；
8. Fn中的向量组S是基 S=｛1，2 n｝由n个 线性无关的向量组成.
9. n维向量空间V中的任意线性无关子集S可以扩充 为V的基.
1基变换与坐标变换
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
高等代数(二)(9287)自学考试大纲
高等代数（二）（9287）自学考试大纲一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。
它与解析几何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。
随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。
高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一），另一门就是本课程——高等代数（二）。
高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数的基本知识、基本理论、基本方法。
本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一）联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。
（二）基本要求学习本课程应达到的总体目标是：1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以及证明方法；2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。
通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。
（三）本课程与相关课程的联系本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。
高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。
向量空间、线性变换的内容和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏空间和二次型的学习。
二、课程内容与考核目标第一章向量空间（一）学习目的与要求1．理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。
2．理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中第三章的n维向量的联系。
–1–3．掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。
4．理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关系。
5．理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数公式并能应用维数公式证明问题。
基变换与坐标变换
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5 14 11 7 3 72 2 1 2 3 1 1 139 14 20 7
基变换公式和坐标变换公式
基变换公式和坐标变换公式一、基变换公式基变换公式是描述向量在不同基底下表示的关系的数学工具。
假设有两组基底b1,…,bb和b1,…,bb，其中bb和bb是向量。
对于给定向量b，其在b1,…,bb和在b1,…,bb基底下的坐标分别为b和b。
基变换公式表达了坐标b和b之间的关系，即b=bb。
具体来说，对于给定的基变换矩阵b，我们可以通过矩阵乘法来完成基变换。
假设向量b在b1,…,bb基底下的坐标为向量b，我们可以通过矩阵乘法b=bb来获得向量b在b1,…,bb基底下的坐标b。
基变换公式的实质是将向量在一个基底下表示的坐标转化为在另一个基底下的表示。
二、坐标变换公式坐标变换公式描述的是在同一基底下的向量坐标之间的变换关系。
假设有两个向量b1和b2，在同一组基底b1,…,bb下的坐标分别为b1和b2。
坐标变换公式通过一个矩阵的乘法运算来表示不同坐标之间的转换。
具体而言，对于给定的坐标变换矩阵b，我们可以通过b2=bb1来实现坐标之间的变换。
在实际应用中，坐标变换公式常常用于描述向量在空间中的位置关系。
通过坐标变换公式，我们可以方便地计算不同坐标间的关系，进而实现对向量位置的准确描述和计算。
结论基变换公式和坐标变换公式作为数学工具在向量表示和计算中具有重要作用。
基变换公式描述了向量在不同基底下的表示关系，通过矩阵乘法完成基之间的转换；而坐标变换公式则描述了向量在同一基底下坐标之间的变换关系，通过矩阵乘法完成不同坐标的转换。
这两个公式为向量表示和计算提供了有力的数学工具，为实际问题的求解提供了便利。
高等代数北大版64
,?
n
)
? ? ??
a2 an
? b2 M ? bn
? ? ??
若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
? a1 ?
? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
aaM2n ????
?
(?
1,?
2 ,L
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n
)
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aaMn2 ????
1)? 1,? 2 ,L ,? n ? V ,a1,a2,L , an , b1,b2,L , bn ? P
? a1 ?
? b1 ?
? a1 ? b1 ?
(? 1,? 2 ,L
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n
)
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aaMn2 ????
?
(?
1
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2
,L
,? n )????bbMn2 ???? ? (? 1,? 2,L
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
基变换和坐标变换
基变换和坐标变换在数学和物理学中，基变换和坐标变换是两个重要的概念。
基变换是指在一个向量空间中改变基底的操作，而坐标变换则是在不同基底下表示同一个向量或矩阵时的转换方式。
基变换基是向量空间中一个特殊的向量组，它可以用来表示向量空间中的任意向量。
在基变换中，我们改变基底的选择，从而影响向量在新基底下的表示。
假设有一个向量空间V，它有一组基${\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots,\\mathbf{v}_n}$。
我们可以通过线性组合的方式表示V中的任意向量$\\mathbf{v}$：$$ \\mathbf{v} = c_1\\mathbf{v}_1 + c_2\\mathbf{v}_2 + \\ldots +c_n\\mathbf{v}_n $$其中$c_1, c_2, \\ldots, c_n$为标量系数。
现在，我们要将V中的向量$\\mathbf{v}$表示在另一组基${\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n}$下。
假设向量$\\mathbf{v}$在新基底下的表示为${\\mathbf{w}_1, \\mathbf{w}_2, \\ldots, \\mathbf{w}_n}$，我们可以表示$\\mathbf{v}$在新基底下的线性组合为：$$ \\mathbf{v} = d_1\\mathbf{w}_1 + d_2\\mathbf{w}_2 + \\ldots +d_n\\mathbf{w}_n $$我们想要找到向量$\\mathbf{v}$在新基底下的系数$d_1, d_2, \\ldots, d_n$。
这个过程就是基变换。
坐标变换坐标变换是指向量在不同基底下的表示方式的转换。
假设有两组基${\\mathbf{v}_1, \\mathbf{v}_2, \\ldots, \\mathbf{v}_n}$和${\\mathbf{u}_1,\\mathbf{u}_2, \\ldots, \\mathbf{u}_n}$，以及向量$\\mathbf{v}$在这两组基底下的坐标分别为${\\mathbf{c}}$和${\\mathbf{d}}$。
基变换与坐标变换
基变换与坐标变换
基变换和坐标变换都是数学涉及的重要概念，有助于理解数学的精确分析和结论。
一、基变换是什么？
1. 定义：基变换是将一组向量从一种坐标系表示成另一种坐标系表示的过程。
2. 作用：基变换能够方便地从旧的坐标系转换到新的坐标系，以对对象进行更加精确的分析，节省计算资源和时间，更加有效地实现数学目标。
3. 应用：基变换通常应用在几何、微分几何和物理等多个领域。
二、坐标变换是什么？
1. 定义：坐标变换是指将一个点的坐标空间从一种（源）坐标系表示到另一种（目标）坐标系中的过程。
2. 作用：坐标变换减少了坐标转换的复杂性，帮助人们更容易理解空间坐标系统，有利于数学分析以及各种空间系统建模。
3. 应用：坐标变换广泛应用于航海、航空、地理信息系统、图形学等多种领域。
总结：基变换和坐标变换是数学中十分重要的概念，他们试图从一种坐标表示到另一种坐标表示，节省一些计算资源和时间，有利于更准
确的数学分析，并在几何、微分几何、物理、航海、航空、地理信息系统、图形学等领域得到广泛的应用。
基变换与坐标变换公式
文档内容模板如下：基变换与坐标变换公式一、基变换概述基变换在数学和物理学中具有重要意义，它是描述向量空间中向量变换的一种数学工具。
基本思想是通过一组新的基底来表示原有的向量，从而实现向量空间中的变换。
二、基变换的原理假设有一组基底向量{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}，它们之间通过一个矩阵M相互转换。
则向量v可以表示为：v = a1x1 + a2x2 + … + anxn = b1y1 + b2y2 + … + bnyn其中xi和yi是向量v在{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}基下的坐标。
三、坐标变换的概念坐标变换是指在不同基底下对同一个向量进行表示的变换过程。
假设有向量v在标准基底下的坐标为y，在基底{a1, a2, …, an}下的坐标为x。
则坐标变换关系为：x = My其中矩阵M由基底{a1, a2, …, an}确定。
四、基变换与坐标变换关系在基变换和坐标变换的过程中，两者之间有着密切的联系。
通过基变换矩阵M，可以实现向量之间在不同基底下的表示转换。
同时，坐标变换也可以通过基变换来实现。
假设有向量v，在基{a1, a2, …, an}和基{b1, b2, …, bn}下的坐标分别为x和y，则坐标变换公式为：y = Mx五、总结基变换和坐标变换是线性代数中重要的概念，它们为描述向量空间中的变换提供了有效的数学工具。
通过对基变换和坐标变换的学习，可以更好地理解向量在不同基底下的表示和转换过程。
以上是关于基变换与坐标变换公式的简要介绍，希望对你有所帮助。
1.2_基与坐标、坐标变换
1 1 1 1
P 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 0 0 1
过渡矩阵的性质： (1) 过渡矩阵是可逆矩阵 (为什么)；
(2) 若 P 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡 矩阵，则 P -1 是1, 2 ,, m 到 1, 2 ,, m 的过渡
矩阵.
下面考虑同一个向量在不同基 下的坐标有什么关系呢？
一组基.
由泰勒公式， R[x]n 中任意元素 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2! f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此，元素 f (x) 在这组基下的坐标是
( f (a), f '(a), f ''(a), , f (a)) (n1) .
设 1,2 , ,n 与 1, 2 , , n 是线性空间 V 中的两组基， 那么对 V 中的任意向量 V ，有：
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
(1, 2 ,
y1
,
n
)
y2
yn
(1, 2 , , n ) (1,2 , ,n )P
x1 y1
x2
都是 R3 的基，R3 是 3 维线性空间.
例2. 实数域 R 上的线性空间 R22 中的向量组
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1, 1 1, 0 1, 1 0与Fra bibliotek量组1 0
0 0
,
1 0
1 0
,
1 1
1 0
,
1 1
1 1
都是 R22 的基，R22 是 4 维线性空间.
第四节基变换与坐标变换.
1 (1,1,1), 2 (1,2,3), 3 (2,0,1)
试求基1, 2 ,3 到基 1, 2 , 3 的过渡矩阵。
例 3 已知1 1， 2 x ， 3 x 2 是 P[x]3 的一个基，试求向量 3 x x2
在另一个基 1
1
x
， 2
1
1 2
x， 3
1
1 2
x
1 3
x2 下的坐标。
( 1, 2 ,, n ) = (1, 2 ,, n )B 则
( 1, 2 ,, n ) = (1, 2 ,, n ) AB
命题 4 设基 1, 2 ,, n 到基 1, 2 ,, n 的过渡矩阵为 A (aij )nn ， 则基 1, 2 ,, n 到基1, 2 ,, n 的过渡矩阵为 A1 。
a1n a2n
an1 an2 ann
则矩阵
A
(aij
)
nn
称为基
1
,
2
,,
n
到基
' 1
,
' 2
,,
' n
的过渡矩阵。
命题
1
过渡矩阵
A
(aij
) nn
的第
j
列元素为
' j
在基 1, 2 ,, n
下的坐标；
命题 2 基 1, 2 ,, n 到基 1, 2 ,, n 的过渡矩阵为 En ；
X AY 或Y A1 X
（﹡）
（﹡）式称为坐标变换公式。
例 1 求 P3 的基1 (1,1,1), 2 (0,1,1),3 (0,0,1) 到标准基 1, 2 , 3 的过渡矩阵，并求向量 (3,1,4) 在基1, 2 ,3 下的坐标。
高等代数-6.4基变换与坐标变换
3）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有，( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
§6.4 基变换与坐标变换
即，
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2
与
(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12
则
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习：已知 P 22 的两组基：
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
过渡矩阵．其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
第六章线性空间(LinearSpace)
第六章线性空间(Linear Space)引言线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广。
我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论。
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论，可以在相当广泛的领域内得到应用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义。
§1 集合·映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西.组成集合的东西称为这个集合的元素.用Îa M表示a是集合M的元素，读为：a属于M.用a MÏ表示a不是集合M的元素，读为：a不属于M.所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.设M是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成{}=.M a a|具有的性质不包含任何元素的集合称为空集，记作j .如果两个集合M 与N 含有完全相同的元素，即a M Î当且仅当a N Î，那么它们就称为相等，记为M N =.如果集合M 的元素全是集合N 的元素，即由a M Î可以推出a N Î，那么M 就称为N 的子集合，记为M N Ì或N M É.两个集合M 和N 如果同时满足M N Ì和N M Ì.，则M 和N 相等.设M 和N 是两个集合，既属于M 又属于N 的全体元素所成的集合称为M 与N的交，记为M N I .属于集合M 或者属于集合N 的全体元素所成的集合称为M 与N 的并，记为M N U .二、映射设M 和M ¢是两个集合，所谓集合M 到集合M ¢的一个映射就是指一个法则，它使M 中每一个元素a 都有M ¢中一个确定的元素a ¢与之对应.如果映射s 使元素a M ⅱÎ与元素a M Î对应，那么就记为()a a s ¢=,a ¢就为a 在映射s 下的像，而a 称为a ¢在映射s 下的一个原像.M到M 自身的映射，有时也称为M 到自身的变换.关于M 到M ¢的映射s 应注意： 1）M 与M ¢可以相同，也可以不同；2）对于M 中每个元素a ，需要有M ¢中一个唯一确定的元素a ¢与它对应； 3）一般，M ¢中元素不一定都是M 中元素的像； 4）M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射.集合M 到集合M ¢的两个映射s 及t ，若对M 的每个元素a 都有()()a a s t =则称它们相等，记作s t =..例1 M 是全体整数的集合，M ¢是全体偶数的集合，定义()2,n n n Ms =?,这是M 到M ¢的一个映射.例2 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义1()||,A A A M s =?.这是M 到P 的一个映射.例3 M 是数域P 上全体n 级矩阵的集合，定义2(),a aE a P s =?.E是n 级单位矩阵，这是P 到M 的一个映射. 例4 对于()[]f x P x Î,定义(())()f x f x s ¢=这是[]P x 到自身的一个映射.例5 设M ，M ¢是两个非空的集合，0a 是M ¢中一个固定的元素，定义0(),a a a M s =?.这是M 到M ¢的一个映射.例6 设M 是一个集合，定义(),a a a M s =?.即s 把M 的每个元素都映到它自身，称为集合M 的恒等映射或单位映射，记为1M .例7 任意一个定义在全体实数上的函数()y f x =都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形.对于映射可以定义乘法,设s 及t 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的映射，乘积t s 定义为()()(()),a a a Mt s t s =?,即相继施行s 和t 的结果，t s 是M 到M ⅱ的一个映射.对于集合M 到M ¢的任何一个映射s 显然都有11M M s s s¢==.映射的乘法适合结合律.设,,s t y 分别是集合M 到M ¢，M ¢到M ⅱ，M ⅱ到M ⅱ?的映射，映射乘法的结合律就是()()y t s y t s =.设s 是集合M 到M ¢的一个映射，用()M s代表M 在映射s 下像的全体，称为M 在映射s 下的像集合.显然()M M s ¢Ì.如果()M M s ¢=，映射s 称为映上的或满射.如果在映射s 下，M 中不同元素的像也一定不同，即由12a a ¹一定有12()()a a s s ¹,那么映射s就称为11-的或单射.一个映射如果既是单射又是满射就称11-对应或双射.对于M 到M ¢的双射s 可以自然地定义它的逆映射，记为1s -.因为s 为满射，所以M ¢中每个元素都有原像，又因为s 是单射，所以每个元素只有一个原像，定义当1(),()a a a a s s -ⅱ==.显然，1s -是M ¢到M 的一个双射，并且111,1M M s s s s --¢==.不难证明，如果,s t 分别是M 到M ¢，M ¢到M ⅱ的双射，那么乘积t s 就是M 到M ⅱ的一个双射.§2 线性空间(Linear Space )的定义与简单性质一、线性空间的定义.例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的.10 按平行四边形法则所定义的向量的加法是V 3的一个运算; 20 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R ×V 3到V 3的一个运算. 30由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律.例2. 数域P 上m n ´矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满足上述规律.定义1 令V 是一个非空集合，P 是一个数域.在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法addition ；这就是说给出了一个法则，对于V 中任意两个元素a 与b ,在V 中都有唯一的一个元素g 与它们对应,称为a 与b 的和sum ,记为g a b =+.在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法scalar multiplication ；这就是说，对于数域P 中任一个数k 与V 中任一个元素a ,在V 中都有唯一的一个元素d 与它们对应,称为k 与a 的数量乘积scalar multiple ,记为k d a=.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：:1) a b b a +=+；Commutative law2) ()()a b g a b g ++=++；Associative law3) 在V 中有一个元素0,V a "?,都有0a a +=（具有这个性质的元素0称为V的零元素a zero vector ）； 4) ,,0V V sta b ab "??=(b称为a 的负元素additive inverse ).数量乘法满足下面两条规则： 5) 1a a =; 6) ()()k l kl a a =;数量乘法与加法满足下面两条规则： 7) ()k l k l a a a +=+; 8) ）(;k k k a b a b +=+在以上规则中，,k l 等表示数域P 中任意数；,,a b g 等表示集合V 中任意元素. 注：1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算(linear operation)．2．线性空间的元素也称为向量(vector )，当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.线性空间也称为向量空间(vector space )．但这里的向量不一定是有序数组．以下用黑体的小写希腊字母,,,a b g L代表线性空间V中的元素，用小写拉丁字母,,,a b c L代表数域P中的数.3.由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法。
第六章线性空间
第六章 线性空间［教学目标］1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。
2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。
3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。
4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。
5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空间和生成子空间的性质。
6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。
7了解直和的概念和充要条件。
8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。
［教学重难点］线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。
［教学方法］讲授［教学时间］22学时。
［教学内容］集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构［考核目标］会判断一个集合是否为线性空间。
会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。
会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。
教学过程：§1 集合·映射一 集合的相关概念1、 集合：若干个固定事物的全体，简称集。
一般用大写拉丁字母表示。
把不包含任何元素的集合叫空集，记为。
2、 元素：集合中的每一个事物，简称元。
一般用小写拉丁字母表示。
二者关系：元素属于或不属于某个集合。
记为aA,aA.3、 子集、真子集及其表示方法。
（集合与集合之间是包含或不包含的关系）4、 集合相等：等价于与互相包含。
5、 交集6、 并集7、 性质是、的子集，与是的子集。
二 映射1、定义：是两个集合，是A到B的对应法则，如果，按照这个对应法则，在B中存在唯一的元素与之对应，我们称是A到B的映射，记为，叫在下的象，叫在下的一个原象。
，举例说明。
2、分类：映射3、几个特殊映射：（1）恒等映射：又称单位映射。
1基变换与坐标变换共34页
对于通常的多项式的加法和数乘运算不能构成线性 空间．
例4 AAm nCm n,V x C nA 0 x ,F=C，
定义与 C n中相同的运算， V 构成一个复线性空间，
叫做矩阵Ａ的零空间（或核），也叫做方程 Ax0
的解空间，记为N(A)．
例5 AAm nCm n, V y C m y A ,x x C n ,
第一章 预备知识
第一节 线性空间
➢ 定义、性质及例子 ➢ 基与维数 ➢ 基变换与坐标变换 ➢ 子空间和维数定理
一、线性空间的定义、性质及例子
定义１ 设V 是一个非空集合，F 是一个数域（实数 域或复数域），在集合V 的元素之间定义了一种代数
运算，叫做加法，即对于任意两个元素与 ，在V 中都有惟一的一个元素 与它们对应，称为与 的
线性表示．
定义4 设S 是线性空间V 上的子集，如果S 的任意 有限子集都线性无关，且V 的任何向量均可被S 表 出，则称S 是V 的基．
定理2 如果线性空间V 的基S 恰含n 个向量，则V 的任何基都恰含n 个向量．
有上述性质的线性空间为有限维线性空间，n 为空间的维数，即作dimV=n ．
Cn、Rn是 n维空间，Cmn、 Rmn是 m×n维空间，
x (i)
i
i 1
也是V中的向量，称y 是向量组 x (1 ),x (2 ), ,x (k )的一
k
个线性组合， i x (i) 叫做y 的一个线性表出． i1
例１ V x x 1 ,2 , ,n T ,i C ,F=C，又设
y 1 ,2 , ,n T V , C , 对于通常的加法和数乘
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
基变换与坐标变换精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版基变换与坐标变换基变换与坐标变换是数学中的一个概念，它们都是研究变换形式的基础工作。
它们是将一个空间中的向量投影到另一个空间的过程。
基变换是指一种变换，它使空间的向量的基本特征保持不变。
坐标变换是指把数据由一种坐标系转换为另一种坐标系的过程，如从极坐标转换到直角坐标。
基变换可以分为几何和代数两种形式，每种形式都有不同的用途。
几何变换是指对点或向量空间中的向量应用一定的变换，来改变其形状或尺寸。
几何变换可以表示为一组线性方程，其作用是把输入空间中的点映射到输出空间中的点。
常见的几何变换包括旋转和缩放。
代数变换是指把一个空间中的点映射到另一个空间中的点，通过使用多项式来完成。
代数变换可以用来改变一个点的位置，形状，尺寸等属性，例如抛物线变换和二次变换等。
坐标变换是把一种坐标系的数据转换到另一种坐标系的过程。
坐标变换的基本原理是把一个物体的坐标从一个坐标系（原坐标系）转换到另一个坐标系（目标坐标系）。
常见的坐标变换有从极坐标到直角坐标的变换，从直角坐标到极坐标的变换，从笛卡尔坐标到其他坐标系的变换以及曲面坐标变换等等。
在工程中，基变换和坐标变换都经常被用来实现特定的工程目标。
基变换可以被用来改变数据的形状，比如在图像处理中，可以使用基变换来缩放和旋转图像。
坐标变换可以被用来将一个坐标系的数据转换到另一个坐标系，比如在机器人攻击中，可以使用坐标变换来实现从直角坐标到极坐标的变换。
总而言之，基变换和坐标变换在数学和工程中是非常重要的概念。
基变换可以用来改变空间中向量的特征，而坐标变换则可以用来将一种坐标系的数据转换到另一种坐标系。
它们在许多领域中都有重要用途，例如图像处理，机器人控制，计算机视觉，空间分析等方面，广泛应用于实际工程中。
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一线性空间的Biblioteka 变换，基的过渡矩阵设V/K是n维线性空间，设 和 是两组基，且
将其写成矩阵形式
，
定义4.11我们称矩阵
为从 到 的过渡矩阵。
命题4.6设在n维线性空间V/K中给定一组基 。T是K上一个n阶方阵。命
则有 是V/K的一组基，当且仅当T可逆。
证明：
若 是线性空间V/K的一组基，则 线性无关。
。
现在设两组基之间的过渡矩阵为T，即
记
， ，
于是
。
于是，由坐标的唯一性，可以知道 ，这就是坐标变换公式。
2、 中两组基的过渡矩阵的求法
我们设 中两组基分别为
和
而
按定义，T的第i个列向量分别是 在基 下的坐标。
将 和 看作列向量分别排成矩阵
；
，
则有
，
将A和B拼成 分块矩阵 ，利用初等行变换将左边矩阵A化为单位矩阵E，则右边出来的就是过渡矩阵T，示意如下：
考察同构映射
构造方程
，其中 ，
，
，
。
于是 线性无关。
构成了过渡矩阵的列向量，所以过渡矩阵可逆；
反过来，若过渡矩阵可逆，则构造方程
，其中 ，
两边用 作用，得到
。
，
证毕。
二向量的坐标变换公式； 中的两组基的过渡矩阵
1、向量的坐标变换公式
设V/K有两组基为 和 ，
又设 在 下的坐标为 ，即
，
在 下的坐标为 ，即