利用面积坐标解一类几何竞赛题

44

222w t u u v w a c a c u v w w t u +++++≥++++,

等等,得2

4C 个不等式,再将其全部相加,整理得

443[(1)(1)t u

a b u v w v w t

++++++++

44(1(1)]v w

c d w t u t u v

+++++++

4444a b c d −−−−22222(a b a c ≥++ 22222222).a d b c b d c d +++ ()∗∗ 由Brahmagupta 公式

S =, 其中1

()2

p a b c d =+++.

整理得

2222222222222()a b a c a d b c b d c d +++++ 24444168S a b c d abcd =++++−

244444444162()S a b c d a b c d ≥++++−+++2444416S a b c d =−−−−.

将其代入()∗∗式,整理得()∗式,等号成立的充要条件显然.

对()∗式的正数,,,t u v w 赋予不同的值,可以得到许多四边形的不等式.如

(l)令',',','.',',','t a u b v c w d a b c d ====为另一四边形的四边长,得涉及两个四边形的不等式

444

'''''''''

a b c b c d c d a d a b +++++++++

4'''d a b c ++2

163('''')

S a b c d ≥+++.

(2)令四边形为正方形,得

t u v w

u v w v w t w t u t u v +++++++++++

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≥. 此为第26届莫斯科数学竞赛试题 3(,,2x y z x y z y z z x x y ++≥+++均为正数)的拓广.

利用面积坐标解一类几何竞赛题

福建永春第四中学 林向东

1面积坐标的定义及有关定理　1.1 定义

如图,平面上任取一 个三角形ABC , 对于该 平面上任一点P ,总可确

定三个三角形面积的比 值:::::;PBC PCA PAB S S S x y z ∆∆∆=反之,对于三角形ABC ,不全为零的三个实数x 、y 、z 的比值::x y z 可唯一确定平面上一个点(其中0x y z ++≠).这样,我们便可建立平面面积坐标系:取△ABC 为坐标三角形,记点的面积坐标为P (::x y z ),当0k ≠时,有::x y z =:kx :ky kz ,此时(::)P x y z 、(::)Q kx ky kz 其实是同一点.三角形面积当顶点顺序逆时针为正,顺时针为负.

1.2 规范面积坐标

我们称(,,)P X Y Z 为平面上点的规范面

积坐标,其中x X x y z =++,y

Y x y z

=++,Z =

z

x y z

++,此时,::::PBC PCA PAB x y z S S S ∆∆∆=,

且1X Y Z ++=.

不难获得坐标三角形ABC 的一些特殊点的面积坐标或规范面积坐标,顶点A (1, 0, 0),(0,1,0)B C (0,0,1);

重心111

(1:1:1)(,,333

G G =;

内心(sin :sin :sin )(::)I A B C I a b c =; 垂心(tan :tan :tan )H A B C ;

外心(sin2:sin2:sin2)O A B C ;等等. 1.3 有关定理　

不难证明如下一系列重要定理及有关推论.

定理 1 (线段定比分点坐标定理),设点(,,)P x y z 为线段MN 上一点,M 、N 的规范面积坐标分别为111(,,)M x y z ,222(,,)N x y z 且MP

PN

λ=,则 121x x x λλ+=+ ,121y y y λλ+=+,121z z z λλ+=+.

定理2 (距离式直线方程式),若坐标三角形ABC 的顶点A 、B 、C 到直线l 的距离分别为1h 、2h 、3h ,则直线l 上的点(,,)P x y z 满足方程:1230h x h y h z ++=,其中1h 、2h 、3h 可正、可负、可零;在l 的同侧取同号,异侧取异号.显然坐标三角形的三边方程为::0;AB l z = :0;:0;BC CA l x l y ==而三条中线的方程分别为:,,.y z z x x y ===

推论 两直线l 、'l 平行的充要条件是:其方程可分别表示为

123:0l h x h y h z ++=, 123':()()()0l h h x h h y h h z +++++=,

当0h =时,l 与'l 重合.

定理3 (两直线的交点坐标定理),若 123:0l h x h y h z ++=, 123':'''0l h x h y h z ++=,

则其交点

(::)P x y z

233

11

2

233

11

2

(

:

:)''''''h h h h h h P h h h h h h =. 定理4 (两点式直线方程式),通过两点111(::)M x y z 、222(::)N x y z 的直线方程为

1112220x y z

x y z x y z =. 推论 (三点共线的充要条件定理),三点111(::)P x y z 、222(::)Q x y z 、333(::)R x y z 共线的充分必要条件是

111

222333

0x y z x y z x y z =. 定理5 (三线共点的充要条件定理),三直

线

1111213:0l h x h y h z ++=, 2212223:0l h x h y h z ++=,

3313233:0l h x h y h z ++=.

共点的充分且必要条件是

111213

21222331

32

33

0h h h h h h h h h =.

定理6 (三角形面积公式定理),若△ABC 为坐标三角形,则△'''A B C 的面积

111

'''222333A B C ABC x y z S x y z S x y z ∆∆=⋅

其中111'(,,)A x y z ,222'(,,)B x y z ,333'(,,)C x y z . 2 利用面积坐标巧证几何题

利用面积坐标,可以解证一类高难度的平面几何问题.特别地,可以巧证一类有关三角形的"五心"问题,以及多边形中条件或结论包含若干个三角形面积的几何竞赛题,解法新颖,独辟蹊径.

例1 如果△ABC 的三边a 、b 、c 成等差数列,则其内心I 和重心G 的连线IG 平行于三角形一边CA .

证明 取△ABC 为坐标三角形,建立面积坐标系,易知内心、重心的面积坐标分别为(::)I a b c 、(1:1:1)G .

依定理4,得IG l 方程为:0111x y z

a b c =,

即 ()()()0b c x c a y a b z −+−+−=.

注意到a 、b 、c 成等差数列可知: 2()()2()b c c a a b −=−−=−, 故得:20IG l x y z −+=, 即 ()30x y z y ++−=.

而:0CA l y =.

依定理2的推论得//IG CA l l ,即//IG CA .证毕.

例2 已知O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心,//OH AC ,求证:tan A 、tan B 、tan C 成等差数列.