新人教九年级数学上册223第3课时拱桥问题和运动中抛物线
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∴水池的半径至少要2.5米.
课堂小结
实际问题 （实物中的抛物线形问题）
拱桥问题 运动中的抛物线问题
转化 回归
数学模型 （二次函数的图象和性质）
转化的关键
建立恰当的直角坐标 系
① 能够将实际距离准确的转化为点的坐 标；
② 选择运算简便的方法.
谢谢观赏！
2020/11/5
21
请同学们分别求出对应的函数解析式.
解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= ∴y=Hale Waihona Puke Baidu+2；
1
2
设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= ∴y=
+2；
1
2
1 x2 2 1 (x 2)2 2
知识要点 解决抛物线型实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
2 0 例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后 9 水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗
？
y
4米
20 米 9
4米
O
3米 x
解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐2 标0 是（8，3）. 9
C 3米 x
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿； （2）向前平移一点儿.
y
4米 3米
20 米 9
4米
O
8米
x
（1）跳得高一点儿； y
6
（4，4）
4
0
,
20 9
2
（8，3）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
6
y
（2）向前平移一点儿.
4
0
,
20 9
新人教九年级数学上 册223第3课时拱桥问
题和运动中抛物线
学习目标
1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.（重点） 2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.(难点）
导入新课
情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美 丽的广州吧！
(-2,-2) ●
y O
4米 -3
x ● (2,-2)
y O (-2,-2) ● -3
● (2,-2)
解：建立如图所示坐标系,
设二次函数解析式为
y ax2.
x 由抛物线经过点（2，-2），可得
a 1, 2
所以，这条抛物线的解析式为
y 1 x2. 2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3.
当 y 时，3 x 6 .
所以，水面下降1m，水面的宽度为
m.
26
所以水面的宽度增加了
m. 2 6 4
如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船 能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
y
y
4m O
x
O
x
4m
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y
y
y
O
x
x O
x O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
讲授新课 一 利用二次函数解决实物抛物线型问题
例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船 能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
为
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米.
y1x2 1x3 8 22
2
y
O
x
3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米， 由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求 设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多 少米，才能使喷出的水流落不到池外？
A 1.25米 O
y
A 1.25
O
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
B
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
Cx
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5
2
（4，4）
（７，３） ●
（8，3）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.
4
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.
把点A(0,
)代2入0 ①得 9
20=a(04)2 9
所以抛物线的解析式是
4, 解得
a1 9
y.1(x4)2
. 4
y9
B
当x=8时，则
y1(84)24203,
9
9A
20 米
4米
所以此球不能投中.
9
O
4米
判断此球能否准确投中的问 题就是判断代表篮圈的点是 否在抛物线上；
课堂小结
实际问题 （实物中的抛物线形问题）
拱桥问题 运动中的抛物线问题
转化 回归
数学模型 （二次函数的图象和性质）
转化的关键
建立恰当的直角坐标 系
① 能够将实际距离准确的转化为点的坐 标；
② 选择运算简便的方法.
谢谢观赏！
2020/11/5
21
请同学们分别求出对应的函数解析式.
解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= ∴y=Hale Waihona Puke Baidu+2；
1
2
设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= ∴y=
+2；
1
2
1 x2 2 1 (x 2)2 2
知识要点 解决抛物线型实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
2 0 例2 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后 9 水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗
？
y
4米
20 米 9
4米
O
3米 x
解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐2 标0 是（8，3）. 9
C 3米 x
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿； （2）向前平移一点儿.
y
4米 3米
20 米 9
4米
O
8米
x
（1）跳得高一点儿； y
6
（4，4）
4
0
,
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2
（8，3）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
6
y
（2）向前平移一点儿.
4
0
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新人教九年级数学上 册223第3课时拱桥问
题和运动中抛物线
学习目标
1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.（重点） 2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.(难点）
导入新课
情境引入 我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美 丽的广州吧！
(-2,-2) ●
y O
4米 -3
x ● (2,-2)
y O (-2,-2) ● -3
● (2,-2)
解：建立如图所示坐标系,
设二次函数解析式为
y ax2.
x 由抛物线经过点（2，-2），可得
a 1, 2
所以，这条抛物线的解析式为
y 1 x2. 2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3.
当 y 时，3 x 6 .
所以，水面下降1m，水面的宽度为
m.
26
所以水面的宽度增加了
m. 2 6 4
如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船 能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
y
y
4m O
x
O
x
4m
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y
y
y
O
x
x O
x O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
讲授新课 一 利用二次函数解决实物抛物线型问题
例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船 能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
为
，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米.
y1x2 1x3 8 22
2
y
O
x
3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米， 由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求 设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多 少米，才能使喷出的水流落不到池外？
A 1.25米 O
y
A 1.25
O
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点
为B，水流落水与x轴交于C点.
B
由题意可知A（ 0，1.25）、
B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.
Cx
设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5
2
（4，4）
（７，３） ●
（8，3）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在
s后落地.
4
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.
把点A(0,
)代2入0 ①得 9
20=a(04)2 9
所以抛物线的解析式是
4, 解得
a1 9
y.1(x4)2
. 4
y9
B
当x=8时，则
y1(84)24203,
9
9A
20 米
4米
所以此球不能投中.
9
O
4米
判断此球能否准确投中的问 题就是判断代表篮圈的点是 否在抛物线上；