相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．

知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质

（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：

a

d c b =． ②()()()a b

c d a c d c b d b a

d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩

，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2

AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中

AB AC 215-=

≈0.618AB

．即12AC BC AB AC ==

简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360

的等腰三角形

②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：

a c a

b

c

d b d b d

±±=⇔=．

注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c

c

d a a b d c b a 等等．

（4）等比性质：如果

)0(≠++++====n f d b n m

f e d c b a

那么

b

a

n f d b m e c a =++++++++ ．

知识点3 比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,

可得

AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC

BC EF AC DF AB DE AC DF DE =====

或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：

AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =

==或或

知识点4 相似三角形的概念

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．

③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．

（2）三角形相似的判定方法

1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA

3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS

4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS

5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等

三角形相似

两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）

两角对应相等

两边对应成比例，且夹角相等

三边对应成比例

“HL ”

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，

则 ∽ ＝＝＞ AD 2

=BD ·DC ，

∽ ＝＝＞ AB 2

=BD ·BC ，

∽ ＝＝＞ AC 2

=CD ·BC .

知识点5 相似三角形的性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形周长的比等于相似比．

E B

D D

B C

(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

知识点6 相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、

“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

(3)一线三等角的变形:

知识点7 等积式证明题常用方法归纳：

(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.

(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.

即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。

(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成 比例.

注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

知识点8 相似多边形的性质

A

B C D

E 12A A B

B C C D D E E 12412E B D

(3)B C A

E