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函数极值点偏移问题

在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望阳生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助.先看一道试题：

【例1] (2015年弊埠市高三一质检试题)已知函数f(X)=xe —x・

(1)求函数f (x)的单调区间和极值；

(2)若xlHx2, f (xl) =f (x2),求证xl+x2>2.该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想.

解析1・e

第(2)问：

构造函数F (x)二f (1+x) —f (1—x) = (1+x) e— (1+x) — (1 —x) ex—1,则

F'

(x) =x [ex—1 —e— (1+x)],

当x>0时，F' (x) >0,・・・F (x)在(0, +8)单调递增，

又F (0) =0,・・・F (x) >0,即f (1+x) >f (1-x).

TxlHx2,不妨设xll,所以f (xl) =f (x2) =f [1+ (x2-l) ] >f

[1- (x2-l) ] =f (2-x2) , Vx2>l, .\2-x2

・xl>2-x2, ・・・xl+x2>2.

上述解答，通过构造差函数F (x) =f (1+x) -f (1-x),紧接着对F (x)进行求导，判

断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作.其解题本质是xl与2-x2的人小

关系不易宜接比较时，通过化归转化为比较函数值f (xl)与f (2-x2)的人小关系, 再结合

f (x)的单调性获得解决.这里的1显然是f (x)的极值点，就是直线尸f (xl) =f (x2)二

h被函数y二f (x)图象所截线段中点的横坐标，要证xl+x2>2,只需证f (xl) >f(2-x2)，

因此，问题本质是证极值点偏移问题.

若设f (x)的极值点为x0,则可将上述的解题策略程序化如下：

①构造差函数F (x) =f (xO+x) -f (xO-x)

②对F (x)求导,判断F，(x)的符号,确定F (x)的单调性,

③结合F (0) =0,判断F (x)的符号，确定f (xO+x)与f (xO-x)的大小关系

④由f (xl ) =f (x2)结合③及f (x)的单调性确定xl与2x0-x2 (或x2与2x0—xl)

的大小关系

【例3] (2010年夭津高考理)(木小题满分14分)已知函数f(x) = xeTxWR).

⑴求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y二f(x)的图象关于直线x=l对称,证明当x>l

时,f(x)>g(x)；

(3)如果X] H X2,且f(xj = f%),证明X] + X2>2.

⑴解：r(x) = (l-x)e-x.令厂(x)=0,解得x=2.

当x变化时,f‘(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在(・8,1)内是增函数，在⑴+8)内是减函数.

函数f(x)在x=l处取得极大值f⑴八FL f(l)=i

e

(2)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x) = (2 - x)e x_2.

令F(x)=f(x)-g(x),即F(x) = xe-x 4- (x — 2)e x-2.

于是F'(x) = (x- l)(e2x-2一l)e-\

当x>l 吋，2x-2>0,从而e2x_2-l>0.

乂e-x>0,所以F/ (x)>0,从而函数F(x)在[1, +8)上是增函数.

乂F(l) = e_1— e一所以x>l 时,有F(x)>F⑴=0,即f(x)>g(x).

⑶证明：①若(X] - 1)(X2 - 1)=0,由⑴及f(X』= f(X2), = x2=l,与X] H X2矛盾.

②若(X1 - l)(x2一l)>0,由⑴及f(xj = f(x2),得X] = X2”与X]工X2 矛盾.

根据①②，得(X1 - l)(x2一1)<0.不妨设X1<1,X2>1.

由⑵可知，f(X2)>9(X2), g(x2) = f(2-x2),

所以f(X2)> f(2一X2),从而f(x』> f(2一x2).

因为X2>1,所以2 -X2<1.

又由⑴可知函数f(x)在区间(・8,1)内是增函数,

所以X] > 2 — x2,即X] + X2>2.

【例2] (2016年全国乙卷21题)

【例3】(2011天津理19题)

【例4】(2010辽宁理19题)(不属于该题型，恒成立问题)

张同语

应用上述提炼的解题策略可以解决下列一类有关函数极值点的偏移问题.

例11—XX

e. l+x2

(I )求f (x)的单调区间；(II)证明：当f (xl)二f (x2) (xlHx2) 时，xl+x2<0.

( I )易知f (x)在(一I 0)上单调递增，在(0, +8)±

单调递减.(II)易知当xVl时1 — xl —x

所以f (x) >0,当x>l 时VO, 2>0, l+xl+x2f (x) <0. Vf (xl) =f (x2)且xlHx2,不妨设xlV

x2,由(I )知xl<0, 0

下面证明：当OVxVl 时f (x)

<<0. 2c2c.即证：(1 —x) c—1+xl+xcx

构造F (x) = (1 —x) ex —则F' (x) =—xe —x (c2x —1)

VO

又0Vx2Vl, ・・・f (xl) =f (x2) =f (0+x2)

( — a, 0)上单调递增，所以xl<-x2,即xl+x2<0.

评注例2

第(II)问不等式右边的0恰好是函数的极(2011年高考数学辽宁卷)已知函数值点，因此，该问本质上是证明极值点偏右问题.f (x) =lnx-ax2+ (2 —a) x

(I )讨论f (x)的单调性；证明：当OVxV (II)设a>0, x) >f (

1

—x) ； a

11 吋,f (+aa

1+x

<0,所以，当OVxVl时，ex

1+x

,ex