平面向量知识点与考点精(经典)
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实
数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
（3）运算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______
2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 =a, =b, 则 =ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：
1) 表示ab 强调：差向量“箭头”指向被减数
2)用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c ab=a + (b) ab
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.
特别提醒：
1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
2)重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a b=λa（a≠0）.
向量★ 重 难 点 突 破 ★
【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．
题型2:结合图型考查向量加、减法
3.(2009)在 所在wk.baidu.com平面上有一点 ，满足
，则 与 的面积之比是( )
A． B． C． D．
[解题思路]：本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．
2.【2012高考四川文7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（）
A、 且 B、 C、 D、
【答案】Ｄ
[解析]若使 成立，则 选项中只有D能保证，故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
考点二:向量的加、减法
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
【新题导练】
题型1. 概念判析
[例1]判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若 ， ，则 ；
(7)若 ， ，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则
答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
问题3：对于两个向量平行的充要条件：
a∥b a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
问题4；向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
【解析】由 ,得 ,
即 ,所以点 是 边上的第二个三等分点,如图所示.
故 ．
【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
特别提醒：
1)模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或| |.
2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
3)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
平面向量知识点与2013考点精讲
知识网络
第1讲 向量的概念与线性运算
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用 ， ，…表示.
2．向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a，b， 在平面内任取一点 ，作 a， b，则向量 叫做a与b的和，记作a+b，即a+b
特殊情况：
对于零向量与任一向量a，有a a a
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
(9) 的充要条件是 且 ；
[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1)不正确，零向量方向任意, (2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若 ，则不共线的向量 也有 ， 。(8) 不正确,如图 （9）不正确，当 ，且方向相反时，即使 ，也不能得到 ；
1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．
2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．
3.重难点：.
问题1:相等向量与平行向量的区别
答案：向量平行是向量相等的必要条件。
问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别
【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。
考点一：向量及与向量相关的基本概念
1.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa
【答案】C
【命题意图】本题考查的是平面向量，主要考查向量加法运算，向量的共线含义，向量的垂直关系。
【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实
数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
（3）运算律：____a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______
2.向量的减法：
（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作 =a, =b, 则 =ab
即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
注意：
1) 表示ab 强调：差向量“箭头”指向被减数
2)用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(-b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一
a∥b∥c ab=a + (b) ab
3.实数与向量的积：
（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.
特别提醒：
1)向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。
2)重要定理：
向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a b=λa（a≠0）.
向量★ 重 难 点 突 破 ★
【指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．
题型2:结合图型考查向量加、减法
3.(2009)在 所在wk.baidu.com平面上有一点 ，满足
，则 与 的面积之比是( )
A． B． C． D．
[解题思路]：本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．
2.【2012高考四川文7】设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（）
A、 且 B、 C、 D、
【答案】Ｄ
[解析]若使 成立，则 选项中只有D能保证，故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
考点二:向量的加、减法
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段
【新题导练】
题型1. 概念判析
[例1]判断下列各命题是否正确
(1)零向量没有方向 (2)若
(3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
(5)两相等向量若共起点,则终点也相同(6)若 ， ，则 ；
(7)若 ， ，则 (8)若四边形ABCD是平行四边形,则
答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
问题3：对于两个向量平行的充要条件：
a∥b a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
问题4；向量与有向线段的区别：
（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
【解析】由 ,得 ,
即 ,所以点 是 边上的第二个三等分点,如图所示.
故 ．
【名师指引】三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．
特别提醒：
1)模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或| |.
2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.
3)单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.
4)共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.
5)相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
平面向量知识点与2013考点精讲
知识网络
第1讲 向量的概念与线性运算
★ 知 识 梳理 ★
1．平面向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用 ， ，…表示.
2．向量的线性运算
1.向量的加法：
（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
如图，已知向量a，b， 在平面内任取一点 ，作 a， b，则向量 叫做a与b的和，记作a+b，即a+b
特殊情况：
对于零向量与任一向量a，有a a a
（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
(9) 的充要条件是 且 ；
[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。
解析：解：(1)不正确，零向量方向任意, (2)不正确，说明模相等,还有方向(3)不正确，单位向量的模为1,方向很多 (4)不正确，有向线段是向量的一种表示形式(5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若 ，则不共线的向量 也有 ， 。(8) 不正确,如图 （9）不正确，当 ，且方向相反时，即使 ，也不能得到 ；
1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．
2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算．
3.重难点：.
问题1:相等向量与平行向量的区别
答案：向量平行是向量相等的必要条件。
问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别
【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。
考点一：向量及与向量相关的基本概念
1.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥b
B.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa