【人教版】中职数学(拓展模块)：2.2《双曲线》(1)
中职教育数学《双曲线》教案
授课题目3.2双曲线选用教材高等教育出版社《数学》（拓展模块一上册）授课时长4课时授课类型新授课教学提示本课以“广州塔”为例创设情境，帮助学生形成对双曲线的直观感受，然后通过一个实验展示了双曲线形成的过程，引导学生分析双曲线上的点所满足的几何条件，为建立双曲线的标准方程创造条件.然后，与椭圆标准方程的推导类比进行双曲线标准方程的推导，有理化过程学生课后自行完成，在类比介绍焦点在y轴上的双曲线标准方程.最后，借助双曲线的图像，分别研究焦点不同坐标轴的双曲线的几何性质.教学目标知道双曲线的概念及形成过程，知道如何化简形成双曲线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据双曲线的方程说出双曲线的几何性质，能根据条件求出双曲线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.教学重点根据条件求双曲线的标准方程，根据标准方程分析双曲线的几何性质．教学难点双曲线标准方程的推导与化简．教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图情境导入广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑,广州塔的两侧轮廓线是什么图形？有什么特点？提出问题引发思考思考分析回答帮助学生形成双曲线形状的直观感受新知探索可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．那么，如何画出双曲线呢？我们可以通过一个实验来完成.(1)取一条拉链,把它拉开分成两条，将其中一条剪短.把长的一条的端点固定在点F1出，短的一条的端点固定在点F2处；(2)将笔尖放在拉链锁扣M处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线(图中右边的曲线)；(3)再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处.类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线).拉链是不可伸缩的，笔尖讲解说明展示图形引发思考理解思考结合图形思考问题通过实验展示画双曲线的过程，为建立双曲线的标准方程创造条件以经过双曲线两焦点F 1、F 2的直线为x 轴，以线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示.设M (x ,y )为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c (c >0)，则焦点F 1、F 2的坐标分别为(-c ,0)、(c ,0). 又设双曲上的点M 与焦点的距离之差的绝对值为2a (a >0)，即||MF 1|-|MF 2||=2a ，则有|MF 1|-|MF 2|=±2a . 于是，有 2222()()2x c y x c y a ++--+=±，移项得 2222()()2x c y x c y a ++=-+±两边平方得 2222222()()4()4x c y x c y a x c y a ++=-+±-++，整理得 222()cx a a x c y -=±-+， 两边再平方，整理得 422222222+a c x a x a c a y =++，移项并整理得 22222222()()c a x a y a c a --=-.由双曲线的定义可知2c ＞2a ＞0，即a ＞c ＞0，因此220c a ->.令222(0)c a b b -=>，则上式可化为 222222b x a y a b -=.两边同时除以22a b ，得222210x ya ba b-= (＞0,＞).方程称为双曲的标准方程. 此时双曲线的焦点F1和F2在x轴上，焦点坐标分别为(-c,0)和(c,0).如图所示，以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系.类似地，可以求得双曲线的标准方程为222210y xa ba b-= (＞0,＞).此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)、(0, c). 例1根据条件，求双曲线的标准方程.探索新知x≤-a或x≥a.这说明，双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧，如图所示.2.对称性类似于前面关于椭圆对称性的研究，借助于方程()2222100x ya ba b-=>> ，可以发现，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点都是对称的.x轴与y轴都称为双曲线的对称轴,坐标原点称为双曲线的对称中心(简称中心).3.顶点令y=0，得到x=±a.因此，双曲线与x轴有两个交点A1(-a,0) 和A2(a,0)(如图).双曲线与它的对称轴的两个交点A1、A2称为双曲线的顶点，线段A1A2称为双曲线的实轴，它的长等于2a，a是双曲线的实半轴长.令x=0，得到y²=-b²，这个方程没有实数解. 因此，双曲线与y轴没有交点. 我们仍将点B1(0,-b)与B2(0,b)画在y轴上，如图所示.线段B1B2称为双曲线的虚轴，它的长等于2b，b是双曲线的虚半轴长.显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．4.渐近线经过点A1、A2分别作y 轴的平行线x=-a，x=a,经过点B1、B2分别作x轴的平行线y=-b，y=b. 这四条直线围成一个矩形，如图所示. 矩形的两条对角线所在直线的方程为by xa=±.观察右图可以看出，双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交，我们把这两条直线讲解说明展示讲解讲解说明展示讲解理解思考领会理解理解思考领会理解椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神．确定双曲线范围的目的是用描点法画图时可以不取范围称为双曲线22221x y a b-= 的渐近线.借助双曲线的标准方程，可以更严格地描述渐进线的性质. 将双曲线的标准方程变为可以看到，当|x |无限增大时，y 的值无限接近于bx a或bx a-的值.这说明，当|x |无限增大时，双曲线与直线b y x a =或b y x a =-无限接近(但不能相交). 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比c a称为双曲线的离心率，记作e .即ce a=. 因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率e ＞1. 由2222211b c a c e a a a-==-=- 可以看出，e 越大，b a 的值越大，从而渐近线by xa=±的斜率的绝对值越大，双曲线的“张口”就越大.因此，离心率e 反映了双曲线的“张口”大小.探究与发现为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？例3 求双曲线4y ²-16x ²=64实轴长、虚轴长、焦点坐标、为()0,25-，()0,25，顶点坐标为(0,-4)、(0,4)，离心率52c e a ==，渐近线方程为2b y x a =±=±.例4 求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点的坐标为(10,0)，一条渐近线的方程为3x -4y =0； (2)焦距为12,离心率为32.解 (1) 由题设可知，双曲线的焦点在x 轴上，渐近线的方程为 34y x =. 于是有22100,3.4a b b a +==⎧⎪⎨⎪⎩ 解得28,6.a b ==⎧⎨⎩ 因此，所求的双曲线的标准方程为 2216436x y -= ； (2)由已知条件可知2c =12，因此c =6.又32c e a ==，故a =4，故b ²=c ²-a ²=20.于是，当双曲线的焦点在x 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620x y -= .当双曲线的焦点在y 轴上时，所求双曲线的标准方程为2211620y x-= .例5 用“描点法”画出双曲线221169x y -= 的图形. 分析 双曲线具有对称性,因此只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后对称性地画出全部图形. 解 当y ≥0时，双曲线的方程可以变形为23164y x =-(x ≤-4或x ≥4). 在[4,+∞)上,选取几个整数作为x 的值，计算出对应的y 值，列表以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到双曲线在第一象限中的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.温馨提示我们可以利用双曲线的顶点和渐近线，画出双曲线的大致图像.具体步骤如下：(1)由a²=16，得a=4，得到双曲线的两个顶点A1(-4,0)、A2(4,0)；(2)由b²=9，得b=3，得到双曲线的虚轴端点B1(0,-3)、B2(0,3) ；(3)作出由直线x=±4、y=±3所围成的矩形,画出矩形两条对角线所在的直线,即双曲线的两条渐近线；(4)依据双曲线经过实轴端点，且逐渐接近渐近线这一特点，画出大致图像.例6已知A、B两个哨所相距 1600m，在A哨所听到炮弹爆炸声比在B哨所晚3s.求炮弹爆炸点所有可能位置构成的曲线的方程(声速为 340 m/s).分析根据题意，由A、B两处听到爆炸声的时间差可算出A、B两处与爆炸点的距离差，它是一个定值. 因此，爆炸点所有可能的位置都在某双曲线上，又因为爆炸点距离A 处比距离B处远，所以爆炸点应在该双曲线中靠近B处的一支上.解如图所示，建立平面直角坐标系，使A、B两点在x 轴上，且坐标原点为线段AB的中点.设爆炸点M的坐标为(x,y)，则|MA|-|MB|=340×3=1020，于是有2a=1020，a=510，a²=260100.因为|AB|=1600，所以2c=1600，c=800，b²=c²-a²=379900.又|MA|-|MB|=1020>0. 故爆炸点M在双曲线的右支上，从而x≥510.因此，所求曲线方程为探究与发现能否用一根无弹性细绳、一把直尺、几颗图钉和一支笔画出双曲线？练习3.2.2。
语文版中职数学拓展模块2.2《双曲线的标准方程和性质》word教案
双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程学习目标1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。
2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。
3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。
4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。
重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
例题分析第一阶梯[例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。
分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。
解：由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。
解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。
[例2]分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。
证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。
[例3]分析迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
解：在△ABC中，|BC|=10，故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
第二阶梯[例4]A、1 C、2解：+|PF2|2-|PF1||PF2|=16，因为∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。
中职教育二年级下学期数学《双曲线的应用》教学设计
学
重 难 点
【教学重点】探究双曲线几何性质的应用
【教学难点】双曲线的渐近线和离心率
微课过程
场景
解说词
画面要求
技巧
备注
画面一
同学们，大家好！欢迎学习中职数学《拓展模块》一系列课程，今天我们要讲的内容是《双曲线的应用》。
不出镜
有中文配音
引入课题
画面二
A：同学们应该已经听过歌曲《悲伤的双曲线》了，正如歌词所唱：如果我是双曲线，你就是那渐近线，虽然我们有缘，能够生在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点。歌曲描述的就是双曲线的特殊性质：渐近线。我们先一起回顾双曲线的几何性质。
A. B.
C. D.
(4)双曲线与椭圆 有相同的焦点，它的一条渐近线为y=x，则双曲线方程为（ ）
A. B.
B.C. D.
PPT展示
有中文配音
通过练习强化巩固所学知识
画面六
下面我们来看看第三类题型：利用双曲线的定义求轨迹问题
例3：已知两定点 , ,动点 满足 , 求动点 的轨迹方程。
解：因为 >6 ，
A：由于双曲线的标准方程分为焦点在x轴上和y轴上两种情况，焦点由 、 系数为正的那一项决定，所以两种情况下的几何性质既有联系又有区别，具体请看下面的表格。
范围：不同，x、y的范围刚好交换。
对称性：相同，都关于x轴、y轴成轴对称、关于原点成中心对称。
顶点：都有2个，位置不同。
离心率：定义、公式都相同，
由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线,
焦点为
可设所求方程为: (a>0,b>0).
则2a=6, 2c=10, 即a=3,c=5，所以
所以点P的轨迹方程为 .
双曲线知识点总结中职
双曲线知识点总结中职一、概念与性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上一点到两个异于零的固定点的距离之差恒等于一个常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点，这个常数称为离心率。
2. 双曲线的性质（1）双曲线有两个焦点和两条相交的渐近线。
（2）双曲线分为两支，分别是向外开口和向内开口的。
（3）双曲线的离心率大于1。
（4）双曲线的对称轴是连接两个焦点的直线。
（5）双曲线的两个分支之间的距离随着到两个焦点的距离的增加而增加。
二、标准方程1. 双曲线的标准方程（1）椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1$（2）双曲线的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{b^2} - \frac{y^2}{a^2} = -1$2. 根据焦点和离心率确定双曲线（1）确定焦点和离心率，可以确定双曲线的形状。
（2）根据焦点和离心率的不同取值，双曲线有向内开口和向外开口之分。
三、相关定理1. 双曲线的渐近线双曲线的渐近线是通过双曲线的两个焦点，并且与双曲线的两支分别相切的两条直线。
双曲线的渐近线的斜率分别为$\pm\frac{b}{a}$。
2. 双曲线的对称性双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点对称。
双曲线的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x = a \cosh t\\y = b \sinh t\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x = a \sinh t\\y = b \cosh t\end{array}\right.$四、相关公式1. 双曲函数的定义双曲函数是一组超越函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数等。
双曲函数和三角函数有许多相似的性质和公式。
中职教育数学《双曲线》导入方案
2.2双曲线定义与标准方程的引入1.用实物体——拉链，定点 F 1、F 2 是两颗按钉，MN 是拉链上的点，点M 移动，12MF MF -为常数，这样可以画出一支曲线，当21MF MF -也是同一个常数，可以画出另一支曲线，这样做出的曲线叫双曲线．提出双曲线的概念．拉链法：2．简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点12F F 、是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出曲线的一支；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于12F F ，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．3.建筑艺术中：埃菲尔铁塔，双曲线形线条，简洁而又壮观的气势征服了全世界．4.城市交通中：北京为缓减城市交通拥堵准备修建双曲线型交通．工业生产中：双曲线型冷却塔，将物理的流体力学与数学完美结合．到底什么叫双曲线呢?请用几何画板动手操作：（1）如图,圆O的半径为定长r,A是圆O内一定点,P是圆O上任意一点.线段AP的垂直平分线L交直线OP于点Q,当点P在圆上运动时,画出图形，探索点Q的轨迹．（2）、把（1）中“A是圆O内一定点”改为“圆O外一定点”，探索点Q的轨迹．5.折纸实验课前准备印有圆1F 的白纸，每位学生发一张．教师可以用这种方式引入：大家经常做物理实验、化学实验、生物实验，可是你们做过数学实验吗？那么，我们今天一起来做一个数学实验，请拿出刚发下来的印有圆1F 的白纸，按如下步骤操作：第一步：在圆1F 外取一定点2F ；第二步：在圆1F 上任取一点1P ；第三步：将白纸对折，使1P 和2F 重合，并留下一条折痕；第四步：连接1P 和1F ，并延长交折痕于点1M ；第五步：再在圆周上任取其他点，将上述步骤2~4重复4~6次，便可以得到一系列点 ,,,321M M M ，最后将这些点连起来，得到一个很美的图形，大家想看到是什么图形吗？赶紧动手做吧！ 等学生做作出图后，教师引导学生研究得到图形是的点的属性，这样便得出了双曲线的定义．6.据资料记载，在抗美援朝早期，我志愿军某炮兵团冒着生命危险，侦查出美军阵地，我方当机立断，火速炮击．可不久美军就将炮弹比较准确地打到我军阵地，美军为何这样准确呢？原来他们在阵地旁建有如图1所示的A 、B 、C 三个固定的观测站，根据听到我方阵地位置D 处打炮声的时间差及声速就能确定我方位置，而不需要冒任何生命危险．图1 DA B C。
《双曲线》_PPT完整版人教版1
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.2双曲线的几何性质
课时教学设计首页（试用）☆补充设计☆教 师 行 为学 生 行 为教学意图*揭示课题2．2 双曲线． *创设情境 兴趣导入我们用于研究椭圆的性质相类似的方法来，根据双曲线的标准方程22221(00)x y a b a b-=>>， 来研究双曲线的性质．了解 观看 课件 思考引导 启发学生得出结果*动脑思考 探索新知1．范围因为220y b ≥，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足221x a≥，即22x a ≥．于是有x ≤－a 或x ≥a ．这说明双曲线位于直线x ＝－a 的左侧与直线x ＝a 的右侧（如图2－11）图2－11 2．对称性在双曲线的标准方程中，将y 换成－y ，方程依然成立．这说明双曲线关于x 轴对称．同理可知，双曲线关于y 轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y 轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．3.顶点思考引导学生发现解决问题方法图2－12【说明】焦点在y 轴的双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线方程为ay x b=±． 5．离心率双曲线的焦距与实轴长的比22c ca a=叫做双曲线的离心率，记作e ．即 c e a=．因为0c a >>，所以双曲线的离心率1e >． 由2222211b c a c e a a a-==-=- 可以看到，e 越大，ba 的值越大，即渐近线by x a=±的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大（如图2－12）．因此，离心率e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小． 【想一想】等轴双曲线的离心率是多少？*巩固知识 典型例题图2－13【说明】画双曲线的草图时，可以首先确定顶点，再画出双曲线的渐近线，然后根据双曲线与其渐近线逐渐接近的特点画出图形．例 4 已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为255y x =±，求双曲线的标准方程．解 由已知条件知双曲线的焦点在y 轴．所以有2236255a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得 254a b ==，． 故所求的双曲线方程为2212016x y -=．【注意】不能由渐近线方程255y x =±直接得到5,25a b ==．想一想为什么？例5 已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4）离心率为32，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．。
《双曲线的标准方程和性质》中职数学拓展模块2.2ppt课件1【语文版】
本 讲 栏 目
解析 椭圆1x62 ＋y92＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c＝
开
7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(±4,0).于是双曲线经过点
关
(± 7，0)，焦点为(±4,0)，则 a′＝ 7，c′＝4，所以 b′2
＝9，所以双曲线的标准方程为x72－y92＝1.
研一研·问题探究、课堂更高效
本 讲 栏 目 开
轴，建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程的标准形式为 ax22－by22＝1 (a>0，b>0)， ∵a＝25,2c＝|AB|
＝ 1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝50 7，
关 ∴c＝25 7，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为6x225－3 y7250＝1.
(D )
本 讲 栏 目 开 关
2．2.1 双曲线及其标准方程
【学习要求】
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
本 讲
2.掌握双曲线的标准方程.
栏 目
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
开 关
【学法指导】
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别
中建立双曲线的定义及标准方程.
F1(－4,0)、F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，
∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，
故点 P 的轨迹是双曲线的右支.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 双曲线的标准方程
问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线
的标准方程？
答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原点建立
填一填·知识要点、记下疑难点
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线 x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
例2
已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5 4
，
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
【中职教案】 双曲线(一)
【中职教案】 2．2双曲线（一）【教学目标】知识目标：了解双曲线的定义，知道焦点在x 轴与焦点在y 轴的两种双曲线的标准方程． 能力目标：通过双曲线的标准方程的推导，学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】双曲线两种形式的标准方程．【教学难点】标准方程的推导．【教学设计】利用教学课件演示双曲线定义的实验操作．双曲线的标准方程的推导过程，可以与椭圆的标准方程的推导过程类比进行．焦点在x 轴上的双曲线的标准方程与焦点在x 轴上的椭圆的标准方程形式上的区别主要有两点．一是椭圆的标准方程中间用“+”号连接，而双曲线的标准方程中间用“－”号连接；二是椭圆的标准方程中是0a b >>，而双曲线的标准方程中是0,0a b >>．焦点在y 轴上的双曲线的标准方程中，含2y 的项的系数是正数；而焦点在x 轴上的双曲线的标准方程中，含2x 的项的系数是正数．这是两个标准方程的根本区别．例1是求双曲线的标准方程的训练题．例2是已知双曲线的标准方程，求焦距和焦点坐标的训练题．求焦距需要使用关系式222(0)c a b b -=>；求焦点坐标需要确定焦点的位置．经过例1和例2的训练，从两个不同的角度强化学生对两类双曲线的标准方程特征的认识及关系式222(0)c a b b -=>的掌握．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】*创设情境 兴趣导入我们先来做一个实验．取一条两边长度不等的拉链（如图2－8），将拉链的两边分别固定在两个定点12F F 、（拉链两边的长度之差小于12F F 、的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位置分别固定在21F F 、处，用同样的方法可以画出图形的另一部分．图2－8从实验中发现：笔尖（即点M ）在移动过程中，与两个定点12F F 、的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的长度之差）．M图2－9取过焦点12F F 、的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2－9，设双曲线的焦距为2c ，则两个焦点12F F 、的坐标分别为（－c ，0），（c ，0）．设M (x ，y )为双曲线上的任意一点，M 与两个焦点12F F 、的距离之差的绝对值为2a ，则122MF MF a -=，即 122MF MF a -=±． 于是有2222()()2x c y x c y a +++-+=±．将上式化简（类似于求椭圆的方程），得22222222()()c a x a y a c a --=-．由双曲线的定义知，2c ＞2a ，即c ＞a ，因此220c a ->．令222(0)c a b b -=>，则上式变为222222b x a y a b -=两边同时除以22a b ，得22221(00)x y a b a b-= ＞，＞ （2.3） 方程（2.3）叫做焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点是12(0)(0)F c F c -，，，，并且222b c a =-．图2－10如图2－10所示，如果取过焦点12F F 、的直线为y 轴，线段12F F 的垂直平分线为x 轴，建立平面直角坐标系，那么用类似的方法可以得到双曲线的方程22221(00)y x a b a b-= ＞，＞ （2.4） 方程（2.4）叫做焦点在y 轴上的双曲线的标准方程．焦点为12(0)(0)F c F c -，，，．字母a ，b 意义同上，并且222b c a =-． 【想一想】已知一个双曲线的标准方程，如何判定焦点在x 轴还是在y 轴？*巩固知识 典型例题【教师教学后记】。
教案教学设计中职数学拓展模块2.2.1双曲线的标准方程
距离之差的绝对值为2a，则
MFj |MF
于是有
(x c)
将上式化简（类似于求椭圆的方程），得
(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a，因此c2-a20.令
的距离）上，把铅笔尖固定在拉链锁口处，慢慢拉开拉链，使 铅笔尖慢慢移动，画出图形的一部分；再将拉链的两边交换位 置分别固定在F2、Fi处，用同样的方法可以画出图形的另一部 分.
了解
观看
课件
思考
引导
启发 学生 得出 结果
图2-8
从实验中发现：笔尖（即点M）在移动过程中，与两个定
点Fi、F2的距离之差的绝对值始终保持不变（等于拉链两边的 长度之差）.
*动脑思考探索新知
我们将平面内到两个定点Fi、F2的距离之差的绝对值为
常数（小于匸卩2）的点的轨迹（或集合）叫做 双曲线.这两个 定点叫做双曲线的 焦点，两焦点的距离叫做 焦距.
实验画出的图形就是双曲线•下面我们根据实验的步骤来 研究双曲线的方程.
y轴，建立平面直角坐标系， 如图2—9,设双曲线的焦距为2c,则两个焦点F,、F2的坐标分别为（一c,0） , （c,0）.
练，从两个不同的角度强化学生对两类双曲线的标准方程特征的认识及关系式c2—a2=b2（b AO）的掌握.
☆补充设计☆
教学过 程
学生行为
设计
*揭示课题
2.2双曲线.
*创设情境兴趣导入
我们先来做一个实验.
取一条两边长度不等的拉链（如图2-8）,将拉链的两边
分别固定在两个定点Fi、F2（拉链两边的长度之差小于Fp F2
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件1
y
因为|MF1|=
， |MF2|=
所以
(x c)2 y2
类比建立椭圆标准方程的化简过程，
化简①，得(c2(-xa2)x22-)a22y2=ya22(c2-a2),
，
F1(-c,0) O
M
x F2 (c,0)
两边同除以(c2-a2），得
(x 2)2 y2 (x 2)2 y2 2a ①
x2
y2
a2 + b2 = 1
（a>b>0）
y2 a2
+
x2 b2
=1
y M
F1 O
(-c,0)
F2 (c,0) x
双曲线 |MF1|-|MF2|=±2a
c>a>0 c2 - a2=b2(b>0)
x2 a2
y2 b2
1
(-c,0)
（a>0, b>0）
y2 a2
x2 b2
1
y
F1 (-c,0)O
M F2 (c,0x)
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的
差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的
轨迹叫做
双曲线
这两个定点叫做 双曲线的焦点 两个焦点间距离叫做 双曲线的焦距
语文版中职数学拓展模块2.2《双曲线的标准方程和性质》教案
双曲线的标准方程及简单的几何性质第一部分双曲线及其标准方程学习目标1、掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导，能根据条件确定双曲线的标准方程。
2、培养的分析能力、归纳能力、推理能力。
3、进一步掌握双曲线的定义及其标准方程的求法，特别是要熟练掌握用定义法、待定系数法求双曲线标准方程的方法。
4、会利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
5、培养分析能力、归纳能力、推理能力和数学的应用能力。
重点难点重点：双曲线的定义及其标准方程；难点：1、双曲线标准方程的推导；2、利用双曲线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
例题分析第一阶梯[例1]已知两定点F1（-5，0）、F2（5，0），求与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于6的点的轨迹方程。
分析：根据双曲线的定义可知，动点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，又由焦点位置可知，所求的点的轨迹方程是双曲线的标准方程。
解：由题意可知，所求点的轨迹是双曲线，其方程可设为，这里2a=6,2c=10.变题：如将本题条件中的6改为10，其余条件不变，求解本题。
解：由条件可知，所求点的轨迹是两条射线，其方程为y=0(x≤-5或x≥5)注意：在求解轨迹方程的问题时，要注意应用有关曲线的定义去判断所求的点的轨迹是什么曲线，如是已经研究过的曲线，则可用曲线的标准方程去求解。
[例2]分析：分别求出椭圆及双曲线的焦点即可。
证明：易得椭圆的两个焦点为（-4，0）、（4，0），双曲线的两个焦点也为（-4，0）、（4，0）。
[例3]分析迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
解：在△ABC中，|BC|=10，故项点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。
第二阶梯[例4]A、1 C、2解：+|PF2|2-|PF1||PF2|=16，因为∠F1PF2=90°，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=20.所以评注：本题考查双曲线的基础知识以及计算能力和推理能力。
人教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
4、已知双曲线 x2 y2 1， 94
A、B为过左焦点F1的直线与双曲线 左支的两个交点，|AB|=9，F2为右 焦点，则△AF2B的周长为＿3＿0 ＿.
思考题：
设F1和F2是双曲线的 两个焦点， P在双曲线上，求△F1PF2的面积.
小结作业
1.椭圆是圆的遗传，双曲线是椭圆的 变异，尽管双曲线与椭圆的定义和标准 方程有一些相似之处，但它们的图形却 大不相同，二者有着本质的区别.
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两个焦点的距离叫做
双曲线的焦距．
F1
M F2 F2
思考1:双曲线的定义特征是||MF1|－ |MF2||＝2a（2a＜|F1F2|），若去掉绝对 值符号，则满足|MF1|－|MF2|＝2a（2a ＜|F1F2|）的点M的轨迹是什么？
M
靠近点F2的一支单曲线. F1
F2
思考2:若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则 点M的轨迹是什么？
y2 x2 1 (a>0,b>0) a2 b2
它所表示的双曲线
它所表示的双曲线
的焦点在x轴上.
的焦点在y轴上.
y M
y
M
F2
x
O
F1
O F2 x
2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程
第一课时
复习提问
t
p
1 2
5730
椭圆的定义是什么？
定义：平面内与两个定点 F1，F2 的 距离的和等于常数（大于|F1F2| ） 的点的轨迹． 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的 差等于非零常数的点M的轨迹是什么？
探究（一）：双曲线的概念 双曲线的定义： 平面内与两定点F1、 F2的距离的差的绝对值等于常数（小 于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
中职拓展模块课件2.2.1 双曲线的定义与标准方程(教学课件)(汪鸿波)
设 c2 a2 b2 b 0
则 b2x2 a2 y2 a2b2
等式两边同除以 a2b2
得：
x焦点在 轴上的双曲线的标准方程
探究二：双曲线的标准方程？
y
焦点在
焦点在
轴上的双曲线的标准方程与 轴上的双曲线的标准方程有何联系？
O
x
探究二：双曲线的标准方程？
x2 y2 1 a2 b2
两边平方得： x c2 y2 x c2 y2 4a2 4a x c2 y2
整理得： cx a2 a x c2 y2
两边平方得： cx a2 2 a2 x c2 a2 y2
整理得： c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
由双曲线的定义得： 0 2a 2c 即 c a 0 从而 c2 a2 0
即A11,0，B 11,0， 故 AB 11 11 22.
y AO
Bx
课堂小结
定义
图形
MF1 MF2 2a 2a F1F2
标准方程 焦点坐标 a，b，c之间的关系
F1 c,0, F2 c,0 F1 0, c, F2 0,c c2 a2 b2
作业
必做作业： 1.动动手：分小组操作拉链实验，体验双曲线的形成过程； 2.登陆“奇偶道”多媒体助学软件系统，完成本节内容对 应的每课一练，并完成课后反思.
模特班同学参加第十六届国际服装节
实验
笔尖轨迹会是一条什么样的曲线？
探究一：双曲线的定义？
演示
双曲线的定义：
平面内到两个定点
的距离之差的绝对值为常数
（小于
）的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点
叫做双曲线的焦点 ；
两个焦点间的距离
叫做 焦距 .
探究二：双曲线的标准方程？
《双曲线》课件人教版1
《双曲线》课件人教版1
如何求双曲线的标准方程？
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线
段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直 角坐标系Oxy
y
M
2.设点 设M（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) F1
o F2 x
常数=2a
3.列式．||MF1 |- |MF2||= 2a
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a0， b0)
c2 a2 b2
《双曲线》课件人教版1
《双曲线》课件人教版1
思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x 2 , y 2 前的系数，哪一个为正，
则在哪一个轴上
练习：写出以下双曲线的焦点坐标.
(1) x 2 - y 2 =1; 16 9
(5,0)，（-5,0）
(2)常数要小于|F1F2|大于0
F1 o F2
0<2a<2c
①如图(A)，
|PF1|-|PF2|=2a ②如图(B)，
|PF2|-|PF1|=2a 由①②可得： | |PF1|-|PF2| | = 2a
（差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
拉链画双曲线
双曲线定义
| |MF1| - |MF2| | = 2a 0<2a<2c
时，则m的取值范围___m_______2___.
P121 T4
《双曲线》课件人教版1
《双曲线》课件人教版1
小结
定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
图象
y
M
F1 o F2 x
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M
x F1(-c,0) O F2 (c,0)
我们令c2-a2=b2，其中b>0 ，代入上式，得 ②
双曲线的标准方程：
焦点在x轴上：
y M
F1(-c,0) O
（其中b2=c2-a2 且a不一定比b大）
x F2 (c,0)
焦点在y轴上：
y
M F2
x O
F1
例1：
已知双曲线两个焦点分别为F1(-5,0)F2(5,0)，双曲线上的一点P到F1,F2的 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的
差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的
轨迹叫做
双曲线
这两个定点叫做 双曲线的焦点 两个焦点间距离叫做 双曲线的焦距
| |MF1|-|MF2| | =2a （小于|F1F2|）
即： 2a ＞2c （ a ＞c）
y
M
x
F1
O F2
|MF1|-|MF2|=2a |MF2|-|MF1|= 2a
2.推导双曲线标准
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
y
F1 (-c,0) O
M
x F2 (c,0)
2.3-2
由定义可知，双曲线就是集合 P={M||MF1|-|MF2|=2a}.
因为|MF1|=
， |MF2|=
所以 类比建立椭圆标准方程的化简过程， 化简①，得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2), 两边同除以(c2-a2），得
y
，
F1(-c,0) O
M
x F2 (c,0)
①
由双曲线的定义可知2c>2a， 即c>a所以c2-a2>0.类比椭圆标准方 程的建立过程，
解：因为双曲线的焦点在 x轴上，所以设它 的标准方程为
因为2a=6，2c=10，所以 a=3，c=5，所以 b2=52-32=16. 因此，双曲线的标准方程：
课堂小结
椭圆 |MF1|+|MF2|=2a
a>c>0 a2-c2=b2(b>0)
双曲线 |MF1|-|MF2|=±2a
c>a>0 c2 - a2=b2(b>0)
发电厂冷却塔的外形
回顾椭圆的画法：
想想双曲线怎样画？
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上。
M
M
F1
F2
F1
F2
|MF1|+|MF2|=2a
y M
F1 O
F2
x
|MF2|-|MF1|=常数（右边） |MF1|-|MF2|=2a |MF1|-|MF2|=常数}（左边） |MF2|-|MF1|= 2a
（a>b>0）
(-c,0) （a>0, b>0）
y M
F1 O
(-
c,0)
F2 (c,0) x
y
F1 (- O c,0)
M x
F2 (c,0)