第4章 图像变换-2

小波简史
• 小波变换的主要算法则是由法国的科学家Stephane Mallat 在1988 年提出。他在构造正交小波基时提出了 多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分 辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法 ，叫做Mallat 算法。该算法统一了在此之前构造正交 小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换 在经典傅立叶分析中的地位。 • Inrid Daubechies，Ronald Coifman 和Victor Wickerhauser 等著名科学家把这个小波理论引入到工 程应用方面做出了极其重要的贡献。
j • 哈尔基尺度函数 i ( x) 定义为
其中， j为尺度因子，改变j使函数图形缩小或者放大 ；i为平移参数，改变i 函数沿x 轴方向平移。 • 矢量空间V j是嵌套的，即
哈尔小波函数
• 小波函数通常用 i ( x)表示。与框函数相对应的小波称 为基本哈尔小波函数(Haar wavelet functions)，并由下 式定义，
• 哈尔基函数
– 基函数是一组线性无关的函数，可以用来构造任意给定的信 号，例如用基函数的加权和表示。 – 最简单的基函数是哈尔基函数(Haar basis function)。哈尔基函 数在1909 年提出，它是由一组分段常值函数(piecewiseconstant function)组成的函数集。这个函数集定义在半开区间 [0,1) 上，每一个分段常值函数的数值在一个小范围里是“1” ，其他地方为“0”。 – 现以图像为例并使用线性代数中的矢量空间来说明哈尔基函 数。
小波分析
• 连续小波变换
– 傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波，因 此正弦波是傅立叶变换的基函数。 – 小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之 后的一系列小波，因此小波同样可以用作表示一些函数的基 函数。 – 凡是能够用傅立叶分析的函数都可以用小波分析，因此小波 变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立 叶变换的正弦波。
连续小波变换
• 小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理 解。
– 缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频 率w 比较高； – 相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙 程度，表示频率w 比较低。
小波分析
• 离散小波变换
– 在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算 的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象 ，连续小波变换的计算量是惊人的。 – 为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2j( j .>0 的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换 叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波 变换(discrete wavelet transform，DWT)的一种形式。 – 离散小波变换通常指的就是双尺度小波变换。
哈尔小波变换
步骤3：重复第1，2 步，把由第一步分解得到的图像进 一步分解成分辨率更低的图像和细节系数。在这个例 子中，分解到最后，就用一个像素的平均值6 和三个细 节系数2,1 和-1 表示整幅图像 [6 2 1 -1]
哈尔小波变换
• 通过上述分解就把由4 像素组成的一幅图像用一个平均 像素值和三个细节系数表示，这个过程就叫做哈尔小 波变换(Haar wavelet transform)，也称哈尔小波分解 (Haar wavelet decomposition)。这个概念可以推广到使 用其他小波基的变换。
连续小波变换
• 小波变换完成之后得到的系数是在不同的缩放因子下 由信号的不同部分产生的。这些小波系数、缩放因子 和时间之间的关系和它们的含义可以用下图表示，该 图是用MATLAB软件绘制的，是用二维图像表示的小 波变换分析图，x 轴表示沿信号的时间方向上的位置， y 轴表示缩放因子，每个x-y 点的颜色表示小波系数C 的幅度大小。
离散小波变换
• 降采样
小波分析
• 小波重构
– 离散小波变换可以用来分析或者叫做分解信号，这个过程叫 做分解或者叫做分析。 – 把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或者叫做合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小 波变换(inverse discrete wavelet transform，IDWT)。 – 在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样两个过程，在 小波重构时要包含升采样(upsampling)和滤波过程。
小波变换及其应用
• 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正 弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅 立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有 时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包 含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信 号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析的优 点，同时又克服它的缺点，人们找到新的方法 ——小波变换。
离散小波变换
• 离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波 器组成的一棵树。这种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)。分解级数的多少取决于要被分析 的数据和用户的需要。
离散小波变换
• 小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。 如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高 频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率 较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高 频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进 制树。
离散小波变换
• 用滤波器执行离散小波变换的概念如下图 所示。图中， S 表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A 和D 两个信号，A 表示信号的近似值(approximations)，D 表示信号的细节值(detail)。 • 在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表 示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系 数，表示信号的高频分量。
一维哈尔小波变换
• 如果一幅图像仅由20 =1 个像素组成，这幅图像在整个 0 [0,1) 区间中就是一个常值函数。用 0 ( x) 表示这个常值 函数，用V0 表示由这个常值函数生成的矢量空间，即。
• 我们可以按照这种方法继续定义基函数和由它生成的 矢量空间。总而言之，为了表示矢量空间中的矢量， 每一个矢量空间Vj 都需要定义一个基(basis)。为生成矢 量空间Vj 而定义的基函数也叫做尺度函数(scaling function)，这种函数通常用符号 i j ( x) 表示。 • 哈尔基函数定义为
j
• 根据哈尔小波函数的定义，可以写出生成W0 ，W1 和 W2 等矢量空间的小波函数。
函尔基函数和哈尔小波函数生成的矢量空间V j 和 W j 具有下面的性质，
哈尔小波变换
• 小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表 示一个函数或者信号。 • 什么是小波变换？ 用一个具体的例子来说明小波变换的过程。
哈尔小波变换
• 求有限信号的均值和差值 例. 假设有一幅分辨率只有4 个像素p0 ,p1 ,p2 ,p3 的一维 图像，对应的像素值或者叫做图像位置的系数分别为 ： [9 7 3 5] 计算它的哈尔小波变换系数。 步骤 1 ：求均值 (averaging) 。计算相邻像素对的平均值 ，得到一幅分辨率比较低的新图像，它的像素数目变 成了2 个，即新的图像的分辨率是原来的 1/2，相应的 像素值为：[8 4] 步骤2：求差值(differencing) 原始图像就可以用下面的两个平均值和两个细节系数 表示，[8 4 1 -1]
小波定义
• 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的函数。小 ( x) 波可由一个定义在有限区间的函数 ( x) 来构造， 称为母小波(mother wavelet)或者叫做基本小波。一组 小波基函数{ a,b ( x) } ,可通过缩放和平移基本小波 ( x) 来生成 ,
其中， a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的 宽度(或者叫做尺度)； b 为进行平移的平移参数，指定 沿x 轴平移的位置。
小波简史
• 20 世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个 与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909 年他发现了小波 ，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和 使用了小波。 • 20 世纪70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地 球物理学家Jean Morlet 提出了小波变换WT(wavelet transform)的概念。 • 进入20 世纪80 年代，法国的科学家Y.Meyer 和他的同 事开始为此开发系统的小波分析方法。Meyer 于1986 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用 缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j ( j >=0 的整数 )的倍数构造了L2(R) 空间的规范正交基，使小波得到 真正的发展。
jt
jt
这个式子的含义就是，小波变换是信号f (t) 与被缩放和 平移的小波函数 之积在信号存在的整个期间里求和 。CWT 变换的结果是 许多小波系数C ，这些系数是缩 放因子(scale)和位置(position)的函数。
连续小波变换
• CWT 的变换过程可分成如下5 个步骤：
– 步骤1: 把小波y (t) 和原始信号f(t)的开始部分进行比较。 – 步骤2: 计算系数C 。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。 系数C 的值越高表示信号与小波越相似，因此系数C可以反映这 种波形的相关程度。 – 步骤3: 把小波向右移，距离为k ，得到的小波函数为y(t-k)，然后 重复步骤1 和2。再把小波向右移，得到小波y(t-2k)，重复步骤1 和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f (t) 结束。 – 步骤4: 扩展小波y (t) ，例如开展一倍，得到的小波函数为y(t/2)。 – 步骤5: 重复步骤1~4。