初一数学经典题型解析

初一数学经典题型解析
1、如图，将一个含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=115°，
那么∠2的度数是（）
A。

95° B。

85° C。

75° D。

65°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
专题：计算题．
分析：根据题画出图形，由直尺的两对边AB与CD平行，利用两直线平行，
同位角相等可得∠1=∠3，由∠1的度数得出∠3的度数，又∠3为三角形EFG
的外角，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和得到∠3=
∠E+∠2，把∠3和∠E的度数代入即可求出∠2的度数．
解答：已知：AB∥CD，∠1=115°，∠E=30°，
求：∠2的度数？
解：∵AB∥CD（已知），且∠1=115°，
∴∠3=∠1=115°（两直线平行，同位角相等），
又∠3为△EFG的外角，且∠E=30°，
∴∠3=∠2+∠E，
则∠2=∠3﹣∠E=115°﹣30°=85°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，利用了转化的数学思想，其中平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握性质是解本题的关键．
2、如图，AB∥CD，DE交AB于点F，且CF⊥DE于点F，若∠EFB=125°，则∠
C=35°．
考点：平行线的性质．
专题：计算题
分析：根据对顶角相等，得出∠AFD=∠EFB，由∠EFB的度数求出∠AFD的度数，
再根据垂直的定义得到∠CFD=90°，利用∠AFD﹣∠CFD得出∠AFC的度数，最后由两直线平行内错角相等，即可得到所求的角的度数．
解答：
解：∵∠EFB=125°（已知），
∴∠AFD=∠EFB=125°（对顶角相等），
又∵CF⊥DE（已知），
∴∠CFD=90°（垂直定义），
∴∠AFC=∠AFD﹣∠CFD=125°﹣90°=35°，
∵AB∥CD（已知），
∴∠C=∠AFC=35°（两直线平行内错角相等）．
故答案为：35
点评：此题考查了平行线的性质，垂直定义，以及对顶角的性质，利用了转化的数学思想，其中平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
3、如果关于x不等式组的整数解仅为1，2，3，则a的取值范围是0＜a≤9，b的取值范围是24＜b≤32．
考点：一元一次不等式组的整数解；不等式的性质；解一元一次不等式．
专题：计算题．
分析：求出不等式的解集，找出不等式组的解集，根据已知和不等式组的解集得出0＜≤1，3＜≤4，求出即可．
解答：解：，
由①得：x≥，
由②得：x＜，
∴不等式组的解集是≤x＜，
∵不等式组的整数解是1，2，3．
∴0＜≤1，3＜≤4，
解得：0＜a≤9，24＜b≤32，
故答案为：0＜a≤9，24＜b≤32．
点评：本题考查了对不等式的性质，解一元一次不等式（组），一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，关键是根据不等式组的解集和已知得出0＜a≤9，24＜b≤32．
4、已知：a2﹣4b﹣4=0，a2+2b2=3，则的值为（）
A。

-1 B。

0 C。

1/2 D。

1
考点：因式分解的应用．
专题：计算题．
分析：先根据a2﹣4b﹣4=0，易求a2=4b+4①，再把①代入已知条件a2+2b2=3，可求2b2+4b=﹣1，然后把①代入所求代数式，对此代数式化简可得结果2b2+4b，进而可知其结果．
解答：解：根据a2﹣4b﹣4=0可得
a2=4b+4①，
把①代入a2+2b2=3得
4b+4+2b2=3，
那么2b2+4b=﹣1，
把①代入a2b+2b中可得
a2b+2b=（4b+4）b+2b=2b2+4b=﹣1．
故选A．
点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是由已知条件得出a2=4b+4，并注意整体代入．
同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。

平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形。

在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线，则能使证明顺畅、简洁添加平行线证题，一般有如下四种情况。

1为了改变角的位置
大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内
角互补。

利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的
需要。

例1设P、Q为线段BC上两点，且BP＝CQ，A为BC外一动点(如图1)。

当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ 时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论。

答：当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC为等腰三角形。

证明：如图1，分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D。

连结DA。

在△DBP＝∠AQC中，显然∠DBP＝∠AQC，∠DPB＝∠C。

由BP＝CQ，可知△DBP≌△AQC。

有DP＝AC，∠BDP＝∠QAC。

于是，DA∥BP，∠BAP＝∠BDP。

则A、D、B、P四点共圆，且四边形ADBP为等腰梯形。

故AB＝DP。

所以AB＝AC。

这里，通过作平行线，将∠QAC“平推”到∠BDP的位置。

由于A、D、B、P四点共圆，使证明很顺畅。

例2如图2，四边形ABCD为平行四边形，∠BAF＝∠BCE。

求证：
∠EBA＝∠ADE。

证明：如图2，分别过点A、B作ED、EC
的平行线，得交点P，连PE。

由ABCD，易知△PBA≌△ECD。

有
PA＝ED，PB＝EC。

显然，四边形PBCE、PADE均为平行四边形。

有
∠BCE＝∠BPE，∠APE＝∠ADE。

由∠BAF＝∠BCE，可知∠BAF＝∠BPE。

有P、B、A、E四点共圆。

于是，∠EBA＝∠APE。

所以，∠EBA＝∠ADE。

这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆，紧密联系起来。

∠APE 成为∠EBA与∠ADE相等的媒介，证法很巧妙。

2为了改变线段的位置
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题。

例3在△ABC中，BD、CE为角平分线，P为ED上任意一点。

过P
分别作AC、AB、BC的垂线，M、N、Q为垂足。

求证：
PM＋PN＝PQ。

证明：如图3，过点P作AB的平行线交BD于F，过点F作BC的
平行线分别交PQ、AC于K、G，连PG。

由BD平行∠ABC，可知点F到AB、BC
两边距离相等。

有KQ＝PN。

显然，＝＝，可知PG∥EC。

由CE平分∠BCA，知GP平分∠FGA。

有PK＝PM。

于是，
PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ。

这里，通过添加平行线，将PQ“掐开”成两段，证得PM＝PK，就有PM＋PN＝PQ。

证法非常简捷。

3为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问题中，可以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化。

这在平面几何证题中是会经常遇到的。

例4设M1、M2是△ABC的BC边上的点，且BM1＝CM2。

任作一直线分
别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2。

试证：
＋＝＋。

证明：如图4，若PQ∥BC，易证结论成立。

若PQ与BC不平行，设PQ交
直线BC于D。

过点A作PQ的平行线交直线BC于E。

由BM1＝CM2，可知BE＋CE＝M1E＋
M2E，易知
＝，＝，
＝，＝。

则＋＝＝＝＋。

所以，＋＝＋。

这里，仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE，于是问题迎刃而解。

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