用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程

.

１ 直接可分离变量的微分方程

1.1形如

dx

dy

= ()x f ()y ϕ (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ϕ分别是的连续函数.

如果ϕ(y)≠0，我们可将（1.1）改写成

)

(y dy

ϕ= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到

通解：⎰

)(x dy

ϕ=⎰

dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，⎰

)(x dy

ϕ，⎰dx x f )(分别理解为)

(1y ϕ，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y

ϕ的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量：

），

，（11112

2

<<--

=-y x x

dx y

dy (2)两边积分：

c x

dx y

dy +-=-⎰

⎰

2

2

11 ，

得

c x y +-=arcsin arcsin .

可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解.

我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.

例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程.

分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点

),(y x P 的法线的斜率.

解：由题意得

y '

-

=1法κ. 从而法线PQ 的方程为

)(1

x X y y Y -'

-

=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为⎪⎭

⎫

⎝⎛2,0y ，代入上式，得

)0(1

2x y y y -'

-=-. 整理后，得

x y y 2-='，

分离变量，解得

y x =+2

2

2

其中c 为任意正数，如图1.

２ 变量可替换的微分方程

通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:

2.1齐次方程

形如

⎪⎭

⎫

⎝⎛=x y dx dy ϕ (1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ϕ是u 的连续函数.

对方程(1.3)做变量变换

x

y

u =， (1.4) 即ux y =，于是

u dx

du

x dx dy +=. (1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为

)(u u dx

du

x

ϕ=+， 整理后，得到

x

u

u dx du -=

)(ϕ. (1.6) 方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解.

例3 求微分方程dx

dy

xy dx dy x y =+22的通解. 解：原方程化为

()2

2

y

dx

dy x xy =- ()x y ≠，

即

1-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x

y

x y dx dy ， 于是，令x y u =

，即xu y =，将dx

du u dx dy +=代入该方程，得 1

2

-=+u u dx du x u ，

整理，即有

1

12-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得

x

dx

du u u =

-1 ()0≠u ， 两边积分，得

1ln ln ln c x u u +=-，

将x

y

u =

代回来，得 ()y c c x x y x y 11ln ln =⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅=， ∴ x

y

e y c =1，

即

x

y ce y =，其中c 为任意常数.

另, 0=u 即0=y 也是原方程的解，但此解课包含于通解0=c 之中.故,方程的通解为x

y

ce y =.

2.2形如

2

221

11c y b x a c y b x a dx dy ++++= (1.7) 的方程，这里212121,,,,,c c b b a a 均为常数. 此方程经变量变换可化为变量

分离方程.

我们分三种情形来讨论： 2.2.1

()常数k c c b b b a ===2

1

2111的情形. 这时方程化为

k dx

dy

= 有通解

c kx y +=，

其中为任意的常数c . 2.2.2

2

12111c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=，这时有

2

12222c u c ku b a dx dy

b a dx du +++=+= 是变量分离方程. 2.2.3

2

1

11b b b a ≠的情形. 如果方程()1.2中21,c c 不全为零，方程右端分子、分母都是y x ,的一次多项式，因此

0121=++c y b x a ，

0222=++c y b x a . （1.8） 代表Oxy 平面上两条相交直线，设交点()βα,.若令