第三章线性方程组习题

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线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题33-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=+-087305302z y x z y x z y x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1440720211873153211A)(000720211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0270211z y z x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 27211（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系T)1,27,211(--=ξ, 所以，方程组的通解为,)1,27,211(Tk k --=ξk 为任意常数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=++++086530543207224321432154321x x x x x x x x x x x x x .解对系数矩阵施行行初等变换，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21202014101072211086530543272211A)(7000014101072211阶梯形矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−70000141010211201)(100000101001201行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧==+=++0002542431x x x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=02542431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T)0,0,1,0,2(1-=ξ，T)0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )0,1,0,1,1()0,0,1,0,2(21--+-，21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0742420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．解对系数矩阵施行行初等变换，得11031112104263424247A --⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭11031022210003100000--⎛⎫⎪- ⎪−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭)(阶梯形矩阵B =)(0000031100065011067011行最简形矩阵C =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=-+03106506754532531x x x x x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=54532531316567x x x x x x x x （其中53,x x 是自由未知量），令=T x x ),(53(1,0)T ，(0,1)T，得到方程组的一个基础解系T )0,0,1,1,1(1-=ξ，T )1,31,0,65,67(2=ξ，所以，方程组的通解为=+2211ξξk k T T k k )1,31,0,65,67()0,0,1,1,1(21+-，21,k k 为任意常数．3-2．当λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++z z y x y z y x x z y x λλλ6774334 有非零解？解原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=++-=++-0)6(707)4(303)4(z y x z y x z y x λλλ, 上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0671743134=-----λλλ，即0)756(2=-+λλλ，从而当0=λ和2123±-=λ时方程组有非零解．3-3．求解下列非齐次线性方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++--=-+-=++-5521212432143214321x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=551211112111121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−000001100011121B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−000001100000121C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧==+-124321x x x x , 即⎩⎨⎧=-=124321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令TT x x )0,0(),(32=，得到非齐次方程组的一个解T )1,0,0,0(0=η，对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧=-=024321x x x x （其中32,x x 为自由未知量），令T x x ),(32(1,0)T =，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,0,1,2(1=ξ，T )0,1,0,1(2-=ξ,方程组的通解为0112212(0,0,0,1)(2,1,0,0)(1,0,1,0)T T T k k k k ηηξξ=++=++-，其中21,k k 为任意常数．（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+--=-+-810957245332231324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=810957245113322311312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131024511B =，因为()()r A r A =，所以方程组有解，继续施行行初等变换B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−000000000039131015801C =，与原方程组同解的齐次线性方程组为⎩⎨⎧-=-+-=-+3913158432431x x x x x x , 即⎩⎨⎧+--=+--=4324319133581x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)(0,0)T Tx x =，得到非齐次方程组的一个解T )0,0,3,1(0--=η,对应的齐次方程组（即导出方程组）为⎩⎨⎧+-=+-=43243191358x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T )0,1,13,8(1--=ξ，T )1,0,9,5(2-=ξ，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=--+--+-,其中21,k k 为任意常数．（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+=-+-=-+10013212213321321321321x x x x x x x x x x x x ．解对增广矩阵A 施行行初等变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=101400201034101311100111132112121311A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−96000540034101311101400540034101311，因为3)(4)(=≠=A r A r ，所以方程组无解.3-4．讨论下述线性方程组中，λ取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解．⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++3)3()1(3)1(2)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλλλ．解方程组的系数行列式为231211(1)3(1)3A λλλλλλλλ+=-=-++.（1）当0A ≠时，即01λλ≠≠且时，方程组有惟一解．（2）当0A ＝时，即01λλ＝或＝时， (i) 当0λ＝时,原方程组为12323133200333x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，显然无解．(ii) 当1λ＝时，原方程组为⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++346112432131321x x x x x x x x ，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换412110111011012361430000A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()23r A r A ==<，所以方程组有无穷多组解，与原方程组同解的方程组为1323123x x x x +=⎧⎨-=-⎩，即1323132x x x x =-⎧⎨=-+⎩（其中3x 为自由未知量），令30x =，得到非齐次方程组的一个解0(1,3,0)T η=-，对应的齐次方程组（即导出方程组）为13232x x x x =-⎧⎨=⎩（其中3x 为自由未知量），令31x =，得到对应齐次方程组的一个基础解系(1,2,1)T ξ=-，方程组的通解为0(1,3,0)(1,2,1)T T k k ηηξ=+=-+-，其中k 为任意常数．3-5．写出一个以1222341001x c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为通解的齐次线性方程组．解由已知，1(2,3,1,0)Tξ=-和2(2,4,0,1)T ξ=-是齐次线性方程组AX O =的基础解系，即齐次线性方程组AX O =的基础解系所含解向量的个数为2，而未知数的个数为4，所以齐次线性方程组AX O =的系数矩阵A 的秩为422-=，故可设系数矩阵1112131421222324a a a a A a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由AX O =可知()111121314,,,a a a a α=和()221222324,,,a a a a α=满足方程组()12342234,,,1001x x x x O -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 即方程组123124230240x x x x x x -+=⎧⎨-++=⎩的线性无关的两个解即为12,αα,方程组的系数矩阵2310204324010111-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,该方程组等价于134234243x x x x x x =--⎧⎨=--⎩（其中43,x x 为自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T，得到该齐次方程组的一个基础解系1(2,1,1,0)T α=--，23(,1,0,1)2T ξ=--，故要求的齐次线性方程组为AX O =，其中211031012A --⎛⎫⎪= ⎪--⎝⎭,即12312420302x x x x x x --+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩. 3-6．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++0022111212111n mn m m n n x a x a x a x a x a x a，的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，试证Tn b b b ),,,(21 =β是向量组T n a a a ),,,(112111 =α,T n a a a ),,,(222212 =α, ,),,,(21mn m m m a a a =α的线性组合．证把该线性方程组记为（*），由已知，方程组（*）的解都是02211=+++n n x b x b x b 的解，所以方程组（*）与方程组111122111221122000n n m m mn n n n a x a x a x a x a x a x b x b x b x ++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩, 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组12,,,m ααα和12,,,,m αααβ的秩相同，故β可由12,,,m ααα线性表示．3-7．试证明：()()r AB r B =的充分必要条件是齐次线性方程组O ABX =的解都是O BX =的解．证必要性.因为()()r AB r B =，只须证O ABX =与O BX =的基础解系相同．O ABX =与O BX =的基础解系都含有()n r B -个线性无关的解向量．又因为O BX =的解都是O ABX =得解．所以O BX =的基础解系也是O ABX =的基础解系．即O ABX =与O BX =有完全相同的解．所以O ABX =的解都是O BX =的解．充分性.因O ABX =的解都是O BX =的解，而O BX =的解都是ABX O =的解，故O ABX =与O BX =有完全相同的解，则基础解系也完全相同，故()()n r AB n r B -=-，所以()()r AB r B =．3-8．证明()1r A =的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使T A ab =．证充分性.若存在列向量12m a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及行向量()12T n b b b b =，其中,i j a b 不全为零1,,i m =，1,,j n =，则有()1111212212221212n n T n m m m m n a a b a b a b aa b a b a b A ab b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 显然矩阵A 的各行元素对应成比例，所以()1r A =．必要性.若()1r A =，则A 经过一系列的初等变换可化为标准形100000000D ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，而矩阵D 可以表示为()100100001,0,,0000D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则存在可逆矩阵P ，Q 使得1P AQ D -=，从而()11101,0,,00A PDQ P Q --⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,P Q -均可逆，记100a P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ()11,0,,0T b Q -=，又因为P 可逆，则P 至少有一行元素不全为零，故列向量a 的分量不全为零，同理，因为1Q -可逆，所以行向量Tb 的分量不全为零．因此，存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使TA ab =．补充题B3-1.设A 是m n ⨯矩阵，AX O =是非其次线性方程组AX b =所对应齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A ）若AX O =仅有零解，则AX B =有惟一解；（B ）若AX O =有非零解，则AX B =有无穷多个解；（C ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =仅有零解；（D ）若AX B =有无穷多个解，则AX O =有非零解．B3-2.设A 为n 阶实矩阵，T A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（ⅰ）AX O =；（ⅱ）TA AX O =，必有（ D ）．（A ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解；（B ）（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解；（C ）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解；（Ｄ）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解．B3-3．设线性方程组AX B =有n 个未知量，m 个方程组，且()r A r =，则此方程组（ A ）．（Ａ）r m =时，有解；（Ｂ）r n =时，有惟一解；（Ｃ）m n =时，有惟一解；（Ｄ）r n <时，有无穷多解．B3-4．讨论λ取何值时，下述方程组有解，并求解：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21λλλλλz y x z y x z y x ．解（法一）方程组的系数行列式21111(1)(2)11A λλλλλ==-+，（1）当0A ≠时，即12λλ≠≠-且时，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++．（2）当0A ＝时，即12λλ-＝或＝时 (i) 当λ＝1时,原方程组为1x y z ++=，因为()()1r A r A ==，所以方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数． (ii) 当λ＝-2时，原方程组为212224x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2111112412120112112400015A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因为()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．解（法二）对该方程组的增广矩阵A 施行行初等变换2211111111111111A λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2223110110111λλλλλλλλλ⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭22223110110021λλλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪⎪--+--⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)B λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→---= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，(1)当12λλ≠≠-且时, ()()3r A r A ==，方程组有惟一解211(1),,222x y z λλλλλ++=-==+++.(2) 当λ＝1时， ()()1r A r A ==，方程组有无穷多组解，其通解为0112212(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T T k k k k ηηξξ=++=+-+-,其中21,k k 为任意常数．(3) 当λ＝-2时，由B 知，()2()3r A r A =≠=，所以方程组无解．B3-5.若321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：122331,,ηηηηηη+++也是该方程组的一个基础解系．证设有三个数123,,k k k 使得112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=,则有131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=,因为321,,ηηη是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以321,,ηηη线性无关，故131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 该方程组的系数行列式10111020011=≠, 所以该方程组只有零解．即1230k k k ===．即122331,,ηηηηηη+++线性无关．又由齐次线性方程组的性质知122331,,ηηηηηη+++都是方程组的解．所以122331,,ηηηηηη+++构成方程组的一个基础解系．B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ξξξ是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321ξ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+432132ξξ，求该方程组的通解．解因为4,3n r ==，故原方程组的导出组的基础解系含有1n r -=个解向量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可．由解的性质知，1213,ξξξξ--均为导出组的解，所以1213123()()2()ξξξξξξξ-+-=-+为导出组的解，即123342()56ηξξξ⎛⎫⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭,为导出组的解．故原方程组的通解为123344556k k ξξη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数．B3-7. 设*ξ是非齐次线性方程组B AX =的一个解，r n -ηηη,,,21 是它对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关；（2）r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．证（１）反证法.设,*ξr n -ηηη,,,21 线性相关，由r n -ηηη,,,21 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系知r n -ηηη,,,21 线性无关，故*ξ可由r n -ηηη,,,21 线性表示，即*ξ是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾．故,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关．（2）反证法.设r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性相关，则存在不全为零的数012,,,,n r k k k k -，使得****01122()()()0n r n r k k k k ξξηξηξη--+++++++=,即*0121122()0n r n r n r k k k k k k k ξηηη---++++++++=,由（１）知，,*ξr n -ηηη,,,21 线性无关，则0120n r k k k k -++++=，10k =，20k =，．．．，0n r k -=,从而00k =，这与012,,,,n r k k k k -不全为零矛盾,故r n -+++ηξηξηξξ*2*1**,,,, 线性无关．B3-8．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212*********，的系数矩阵的秩等于矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02121222221111211nn nn n n n n b b b b a a a b a a a b a a a 的秩，试证这个方程组有解．证令111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212n n n n nn n a a a b a a a b A a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 11121121222212120n n n n nn n na a ab a a a b B a a a b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因为A 比A 多一列，B 比A 多一行，故()()()r A r A r B ≤≤,而由题设()()r A r B =，所以()()r A r A =，所以原方程组有解．B-9．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明：⎪⎩⎪⎨⎧-<-===*1,01,1,n r n r nr n r A A A A 当当当. 证若A r n =，因为0A ≠，而**AA A A A E ==，1*0n A A-=≠，故A r n *=．若1A r n =-，因为0A =，所以*AA A E O ==，又因为A AA A r r r n **≥+-，而0AA r *=，所以1A r *≤；又因为1A r n =-，所以至少有一个代数余子式0ij A ≠，从而1A r *≥，故1A r *=．若1A r n <-，则A 的任一个代数余子式0ij A =，故*0A =，所以0A r *=．B3-10．设A 是m n ⨯阶方阵，证明：AX AY =，且A r n =，则X Y =．证因为AX AY =，所以()A X Y O -=，又因为A r n =，所以方程组()A X Y O -=只有零解，即X Y O -=，所以X Y =．。

线性方程组习题参考答案

第三章线性方程组习题参考答案P154,1. 用消元法解下来线性方程组.(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-++=-++-=--+--=+-++=-++1234321223145354321542154321543214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解:542143313241425152135401135401132211003212121113054312141113074512712111101431213540101431200321200161261200r r r r r r r r r r r r r r r r r r ↔---⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪↔---- ⎪⎪- ⎪⎪↔→-------⎪ ⎪------ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭----→----43435314101354015014312160012128000212241681600000r r r r r r r -⎛⎫⎛⎫-⎪⎪--- ⎪⎪- ⎪⎪→--+⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭11000013500121354010143121014312010012001000001000001000100021200011120001100000020000000000⎛⎫ ⎪⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭方程组的解是 12345121120112x k x k x x k x k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=-=--==--=, k 为任意数.(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-+--=+-+2521669972543223312325432154321543215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：422332322112032111313291131320334512323452701107839961622500332529711313211313201107830110783003325298003003325297r r r r r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-↔ ⎪⎪------ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭------⎛⎫ ⎪----⎪→→ ⎪---- ⎪-⎝⎭325298000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭最后一列为(0,0,0,0,0,-1），所以方程组无解.(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=++-=+-=-+-3371334424324214324321x x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+→-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6210012020031110443215248400353503111044321731370110313111044321141232413r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→01060100300108000101000601003101082001 有唯一解: x 1= -8, x 2=3, x 3=6, x 4=0. (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=++=+-=+-+032701613-11402-332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：−−−→−+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−−→−---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14122321342292724120191702332987122312-71613-1142-33-275-43r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2019170201917020191709871⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→0000000010010000000010987117201719171317317201719 得解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====--lx k x x x l k lk 4321172017191713173 (5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=+-+=-+-=+-+43212523223124321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解：4324131211112111121111322323223232232511210224002240211340224300003r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪+------ ⎪ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭,最后一列为（0,0,0,0,3），所以方程组无解.(6) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-++=+++=-+-=-++225512221321231323214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x解：52324431232212311123111010032111048220112023111015310065122221101120000003 (15520)20000000000r r r r r r r r rr r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----↔ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎪ ⎪→---- ⎪ ⎪ ⎪-→--- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭511006671010665100166000000000⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪→ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 一般解为 1234156617661566x k x k x kx k⎧+⎪⎪⎪-⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩====, k 为任意数.2. 把向量β表成向量α1，α2，α3，α4的线性组合. (1) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒=+--=-+-=--+=+++41414145112143214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .432141414145ααααβ--+=(2) 解：设β=x 1α1+ x 2α2+ x 3α3+ x 4α4，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+++=++010110300024321421424321321x x x x x x x x x x x x x x x x , 即β=α1-α3. 3. 证明：如果向量组α1，α2，…, αr 线性无关，而向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关，则β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证明：因为向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=.若l =0, 则k 1,,k r 不全为0，于是存在不全为零的数k 1,,k r 使得011=+r r k k αα 与α1，α2，…, αr 线性无关矛盾. 所以l0，则r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.证法2. 由于向量组α1，α2，…, αr ，β 线性相关,所以存在k 1, k 2, ,k r , l 不全为0，使11220r r k k k l αααβ+++=. 若l =0, 则得11220r r k k k ααα++=. 因为向量组α1，α2，…, αr 线性无关，所以021====r k k k . 与k 1, k 2, ,k r , l 不全为0矛盾. 所以l0，这样r s lkl k l k αααβ)()()(2211-++-+-= . 即β可由向量组α1，α2，…, αr 线性表出.4. 设αi =(a i1,a i2,…,a in ), i=1,2,…,n, 证明如果|a ij |0, 则α1，α2，…, αn 线性无关.证明：设x 1α1+x 2α2++x n αn =0，则11121211212222112200n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩因为系数行列式()0T ij ij a a =≠，由Cramer 法则, 上面的方程组有唯一解, 即只有零解，得n x x x === 21=0,于是α1,α2,αn 线性无关.5. 设t 1,t 2,…,t r 是互不相同的数(rn)，证明αi =(1, t i , t i 2,…,t i n -1), i=1,2,…,r 线性无关.证法1：添加t r +1,,t n , 使t 1, t 2,,t r , t r +1,,t n 两两不同, 得向量组αi =(1, t t , t t 2,…,t t n -1) i =1,2,...,n .由于α1,α2,,αn 的分量作成一个Vandermonde 行列式且不等于0，由上一题，α1,α2,,αr ,,αn 线性无关，于是它的任一部分组线性无关.证法2：因为rn, 所以令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---1121121111n r n n r t t t t t t A ,则A 的前r 行作成一个r 阶范德蒙行列式B, 从而非零. 于是B 的列向量线性无关, 增加分量后为A 的列向量, 所以A 的列向量也线性无关. 证法3. 设x 1α1+x 2α2++x r αr =0, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r n r n n rr r x t x t x t x t x t x t x x x (1) 考虑(1)的前r 个方程作成的齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---0001212111221121r r r r r rr r x t x t x t x t x t x t x x x (2) 因为t 1, t 2,,t r 两两不同, 所以(2)的系数行列式为r 阶Vandermonde 行列式0111||11211211≠=---r r r r rt t t t t t A. 于是线性方程组(2)有唯一的零解. 又由于(1)的解都是(2)的解, 而(2)只有零解,所以(1)只有零解. 即r x x x === 21=0,于是α1,α2,αr 线性无关.6. 假设α1, α2，α3线性无关，证明β1=α2+α3，β2=α3+α1，β3=α1+α2线性无关. 证法1：设x 1β1+x 2β2+x 3β3=0，则(x 2+x 3)α1+(x 3+x 1)α2+(x 1+x 2)α3=0由于α1, α2, α3线性无关得：23013012x x x x x x +=+=+=⎧⎪⎨⎪⎩，该齐次线性方程组只有零解. x 1= x 2=x 3=0，因而β1, β2, β3线性无关.证法2: 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++110011101),,(),,(321133221ααααααααα, 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101A 可逆, 所以两个向量组等价. 又已知向量组α1, α2, α3的秩为3，所以后一个向量组的秩也是3，从而后一个向量组也线性无关.注：无论向量组α1,α2,α3,α4线性无关或相关，α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性相关. 7. 设向量组A: α1,α2,,α s 的秩为r, 证明向量组A 的任意r 个线性无关的向量组都构成它的一个极大线性无关组. 证明: 设向量组A: α1,α2,,α s 任一线性无关向量组B: αj1, αj2,, α jr , 任取A 中的一个向量β，由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，由条件知向量组 B 线性无关，由临界定理，β可以由向量组B 线性表示，故向量组B 是极大无关组. 证法2. 设A:αj1, αj2,, α jr 是α1,α2,,α s 中的任一个线性无关的向量组, β是A中的一个向量, 由于R (A )=r , 所以A 中任意r +1个向量线性相关，有αj1,,αjr , β线性相关，满足极大无关组定义的条件, 所以αj1, αj2,, α jr 是向量组A 的极大无关组.8. 设向量组(I): α1,α2,,α s 的秩为r, αj1, αj2,, αjr 是(I)中的r 个向量，使得(I)中每个向量都可以被它们线性表出，证明αj1, αj2,, α jr 是(I)的极大无关组. 证明：设向量组(I)α1,α2,,αs ，R(A)=r; (II): αj1, αj2,, α jr 是已给向量组，取(I)的极大无关组(III) αk1,αk2,…,αkr , 由条件, (III)可由(II)线性表出, 于是r=R(III)R(II)r. 于是R(II)=r, 即αj1, αj2,, α jr 线性无关, 所以是(I)的极大无关组.9. 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成为一个极大无关组. 证明：设A 是一个n 维向量组，A 1是它的一个线性无关组， 1° 逐个检查A 中的向量i α2° a 、若i α可以由向量组A 1线性表示，则去掉i α，检查下一个αb 、若i α不可以由向量组A 1线性表示，则添加i α到A 1中将A 1扩充为A 2，回到检查第1个向量，重复1°、2°若干步后（∵有限步后，任意n+1个n 维向量也相关，必含停止），得到A 1,A 2 ,…A k , 而A k 不能再扩大，于是A k 是一个极大无关组，且A 1A k .10. 设α1=(1,-1,2,4), α2=(0,3,1,2), α3=(3,0,7,14), α4=(1,2,2,0), α5=(2,1,5,6). (1) 证明α1, α2线性无关.(2) 把α1, α2扩充成一个极大无关组.解(1)：∵α1与α2的分量不成比例，故α1与α2线性无关 (2)：解法1. 考虑α1, α2, α3, ∵3α1+α2 =α3 , 去掉α3.考虑α1, α2,α4,取它们的后三个分量124312280120-=≠，∴增加一个分量后仍然线性无关。

修订版-线性代数习题三答案

第三章线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解：化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

线性代数习题册(第三章矩阵的初等变换与线性方程组参考答案)

(B) 若 A B ，则 R( A) = R(B) ；
(C ) 若 P,Q 可逆，则 R(PAQ) = R( A) ； (D) R( A + B) ≥ R( A) + R(B) .
分析：本题是考察矩阵秩的性质。（A）、（B）、（C）都是正确的。如
R(= PAQ) R= ( AQ) R( A) ，所以（C）是正确的。（D）不正确。因为
（ X）（X）
3. 若矩阵 A 所有的 k 阶子式全为 0 ，则 R( A) < k .
（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.
（√）
5. 设矩阵 A, B 分别为线性方程组相应的系数矩阵和增广矩阵，则线性方程组 Ax = b 有唯
一解当且仅当 R( A) = R(B).
（X）
6. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 R( A) = n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解.
( x j − xi ) ≠ 0

1≤i< j≤n
1
xn

x n−1 n
故齐次线性方程组只有唯一的零解，即 a=1 a=2 = a=n 0 。
13. 设 A 为 m × n 矩阵，且 R( A=) m < n ，则（
）.
( A) 若 AB = O ，则 B = 0 ；
(B) 若 BA = O ，则 B = 0 ；

1
1 0
0
0

a11 a21
a12 a22
a13 a23

=

a21 a11
a22 a12
a23 a13

0 0 1 a31 a32 a33 a31 a32 a33

线性代数第三章习题作业分章节

线性代数第三章习题作业分章节第三章：矩阵的秩与线性⽅程组第⼀节矩阵的初等变换及其标准型⼀、填空1. 矩阵121324213634??的标准型为 .2. 在矩阵A 的左侧乘相应的初等矩阵相当于对矩阵A 做初等变换。

3. 矩阵123221343??的逆矩阵为 .⼆、选择1．设A 是n 阶⽅阵，X 是1n ?矩阵，则下列矩阵运算中正确的是( )A. T X AXB. XAXC. AXAD. T XAX2．设矩阵111222333a b c A a b c a b c ?? ?= ? ???，222111333a b c B a bc a b c ?? ?= ?，010100001P ??= ? ???中，则有（） A. 2AP B = B. 2P A B = C. AP B = D. PA B =3. 下列矩阵哪个为初等矩阵（）．A ．100020003?? ? ? ???B ．111010001?C ．110010001-?? ? ? ???D ．100010000??三、判断题（T ）or (F)1. A 总可以经过初等变换化为单位矩阵E . ( )2. 对矩阵()E A 施⾏若⼲次初等变换，当A 变为E 时，相应的E 变为1-A . ( )3. 初等矩阵⼀定是可逆矩阵. ( )4. 设B A ,为同阶可逆矩阵，则存在可逆矩阵P 和Q ，使B PAQ =. ( )四、把下列矩阵化为⾏最简形矩阵.1．-311403302201五、⽤初等矩阵将=000420321A 化为标准形的过程表⽰出来.六、利⽤矩阵的初等变换，求下列⽅阵的逆矩阵.1．---110432433七、利⽤初等变换求解下列矩阵⽅程1．设????? ??---=121021132A ，-=030112B , 求X 使B AX =.2. 设--=111012112A , =012201B , 求X 使B XA =.第⼆节矩阵的秩⼀、填空 1. 若矩阵????? ??----=a A 39353621231与矩阵--=730113215331B 等价，则a ＝____. 2. 设B A ,都是n 阶⾮零⽅阵，且0=AB ,则 .3. 设A 是n 阶⾮奇异矩阵，则 ___.4．设m n ?矩阵A ，且()R A r =，D 为A 的⼀个1r +阶⼦式，则D =_____.5．矩阵111011001--?? ?-- ? ?-??的秩等于_________.6. 已知11610251121A k k -?? ?=- ? ?-??，且其秩为2，则k =______．7. 设A 为n 阶矩阵， ()1R A n <-，*()R A =_ _．⼆、选择1. 设,A B 均为3阶矩阵，若A 可逆， ()2R B =，那么()R AB =（）A ．0B ．1C ．2D ．3 2. 已知A 有⼀个r 阶⼦式不等于零，则()R A = ( )A. rB. 1r +C. r ≤D. r ≥3. 设A 为3?4矩阵，若矩阵A 的秩为2，则矩阵3TA 的秩等于（） A ．1B ．2C ．3D ．44.设A 是n 阶阵，且AB AC =，则由( )可得出B C =.A. 0A ≠B. 0A ≠C. ()R A n <D. A 为任意n 阶矩阵5.设矩阵111121231A λ?= +的秩为2，则λ=（）A.2B.1C.0D.-16.若A ＝12421110λ??为使矩阵A 的秩有最少值，则λ应为（）（A ）2；（B ）－1; (C)94; (D)12;三、判断题（T ）or (F)1. 设B A ,均为⼆阶⽅阵，若矩阵的秩()()1==B R A R ,则B A ,均与???? ??10 01等价. ( ) 2. A 与B 等价的充要条件是()()B R A R =.( ) 3. 设A 为n m ?矩阵，()n m A R <=，则A 的任意m 阶⼦式不等于0. ( )4. 从矩阵A 中划去⼀⾏得到矩阵B ,则()()1-=A R B R . ( )5. 设B 是可逆矩阵，AB C =,则()()C R A R =. ( )四、求下列矩阵的秩，并求⼀个最⾼阶⾮零⼦式.1.----6932431039312.--1541401310211001第三节线性⽅程组解的判定⼀、填空1. 齐次线性⽅程组01443=??X A 有⾮零解的充要条件是 __.2. 已知线性⽅程组= -+03121132121321x x x a a ⽆解，则a ＝_ __.3. 若线性⽅程组=+=-002121x x x x λ有⾮零解，则=λ．⼆、选择1．若⽅程组0=Ax 有⾮零解，则⽅程组b Ax =必（）．（A ）有唯⼀解；（B ）不是唯⼀解；（C ）有⽆穷多解；（D ）2组解．2．设线性⽅程组b AX =有唯⼀解，则相应的齐次⽅程组O AX =（）．A ．⽆解B ．有⾮零解C ．只有零解D ．解不能确定3. ⾮齐次线性⽅程b X A n m =?有⽆穷多解的充要条件是（），其中)(b A A =．A ．n m <B ．秩n A <)(C ．秩（A ）=秩)(AD ．秩（A ）=秩n A <)(4.设12341234234234355222χχχχχχχχχχχλ+-+=?+-+=+-= 当λ取（）时，⽅程组有解。

线性代数第三章习题及解答

43

3 5 5
2 2 1 5 2 0 0 0 −1 1 0 0
−1 3 0
1

3
6. 设 α1 , α2 , . . . , αn 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1 , e2 , . . . , en 能由它们线性表示，证明 α1 , α2 , . . . , αn 线性无关.
4 1 −1 1 −2 −22 1 −2 −1 3 6
−24 −11 3 −2 1 −2 −1 0 11 −→ 10 5 −20 0 0 0

10 0
5 9 1 T T 齐次方程的基础解系为 ξ1 = ( 21 11 , 11 , 1, 0) , ξ2 = (− 11 , 11 , 0, 1)
α4 = 8 α − α2 + 2α3 5 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 −1 (2) 3 2 0 3 −1 1 1 0 4 −1 1 1 2 2 1 1 1 0 2 1 5 −1 0 2 解： 2 0 3 −1 3 −→ 0 0 1 1 0 4 −1 0 0 α1 α2 α3 α4 α5 1 1 0 4 −1 1 0 0 1 0 1 0 3 −1 3 −→ 0 1 0 0 0 1 −1 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是最大线性无关向量组之一为 α1 , α2 , α3 α4 = α1 + 3α2 − α3 , α5 = α3 − α2
T
− 20 83
5 83

− 17 83

[整理版]线性代数习题三答案

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ4. 求向量组,)0,2,1,1(,)14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(4321T T T T -===-=ααααT )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,αα 作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=44000000010110213012422101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答

例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
，故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
，则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ，所以方程组有无穷多解，令 x4 = c1, x5 = c2 ，得

线性代数习题答案第三章

阶子式例如 R(A)3 是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎样?
解 R(A)R(B) 这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩
8 求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (1 1 0 0 0)
解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4 其第2行和第3行是已知向量
B~ 于是R(A)2 而R(B)3 故方程组无解
(2) 解对增广矩阵B进行初等行变换有
B~ 于是即 (k为任意常数)
(3) 解对增广矩阵B进行初等行变换有
B~ 于是即 (k1 k2为任意常数)
(4) 解对增广矩阵B进行初等行变换有
B~ 于是即 (k1 k2为任意常数)
14 写出一个以为通解的齐次线性方程组
A~D D~B 由等价关系的传递性有A~B
11 设问k为何值可使
(1)R(A)1 (2)R(A)2 (3)R(A)3 解 (1)当k1时 R(A)1 (2)当k2且k1时 R(A)2 (3)当k1且k2时 R(A)3
12 求解下列齐次线性方程组: (1) 解对系数矩阵A进行初等行变换有
A~ 于是故方程组的解为
3 试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵
(1) 解~ ~~ ~ 故逆矩阵为 (2)
解 ~ ~ ~ ~ ~
故逆矩阵为 4 (1)设求X使AXB 解因为
所以 (2)设求X使XAB 解考虑ATXTBT 因为
所以从而
5 设 AX 2XA 求X 解原方程化为(A2E)X A 因为
所以 6 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的r阶子式? 解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r

第三章习题与复习题(线性方程组)---高等代数

习题3.11．用消元法解下列线性方程组（1）123131232312 264257x x x x x x x x -+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-=+-=+-115361424524132321321321321x x x x x x x x x x x x(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-=--+8222635363432143214321x x x x x x x x x x x x （4） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++233453622032315432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2．设线性方程组1232123123424x x tx x tx x t x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ t 为何值时方程组无解? t 为何值时方程组有解？有解时,求其解. 3．设线性方程组1234123412341234231363315351012x x x x x x x x x x ax x x x x x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨--+=⎪⎪--+=⎩ （1） a , b 为何值时方程组有唯一解？（2） a, b 为何值时方程组无解？（3） a , b 为何值时方程组有无穷多解？并求其一般解.习题3.21．设()()()1231,1,1,22,1,0,11,2,0,2ααα=--=-=--，， ,求（1） 321ααα++ （2） 321532ααα+- 1211222. (1,0,,0) (0,1,,0)(0,0,,1),.n n n n a a a εεεεεε===+++设维向量 , ,, 求()()3. 2 02,1 3 1,124αβγαγβ=-=-+=设2,,,4,2, ,,，求向量 ,使.4．设()()122,0,13,1,1αα==-, 满足 12234βαβα+=+ ,求 β ．5．342112231231,.αβαβαβ+=+=-设（,,,）, （,,,）,求习题3.31．判断向量 β 能否由向量1α,2α,3α,4α 线性表示,若可以,求出表达式. ()()()()()1234(1) 1,1,1,1 ,1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,3,1βαααα=--==--=--=-，，， ()()()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,1,1,1,2,1 )2(4321--=--=--===ααααβ，，， ()()()()()3,0,1,37,1,1,40,1,0,17,3,1,23,1,3,4 )3(4321---==-==--=ααααβ，，， 1231231232. 120347110,,,011234(1) , , ,,;(2) , , ,,,;(3) , b a a b a b a b αααββαααβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设取何值时不能由线性表示取何值时能由唯一线性表示写出该表达式取何值123, ,,,βααα时能由线性表示且表达式不唯一写出全体表达式.3．判断下列向量组的线性相关性.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=70241202152101014 )1(4321αααα，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2131012021013312 )2(4321αααα，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=652111113211 )3(321ααα，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=14044121302101130112 )4(4321αααα，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=7932 ,4354327697656324 )5(54321ααααα，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7023120233631121 )6(4321αααα，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=431003801053001 )7(321ααα，，12344. 12341234 12341234a a a a αααα+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设向量组,,, 12341234(1) , ,,,;2 , ,,,.a a αααααααα为何值时线性相关（）为何值时线性无关5．讨论向量组12310112,,21425111a b ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性. 6．已知向量组1,,,,i n ααα线性无关,证明1,,,,(0)i n k k ααα≠线性无关.7．已知向量组12,,,n ααα线性无关, 1121212,,,,n n βαβααβααα==+=+++证明: 12,,,n βββ线性无关.8．设12,,,n ααα线性无关,nnn n n n nn n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ+++=+++=+++=22112222121212121111证明：n βββ,,,21 线性无关的充要条件是行列式D = n n n n nna a a a a a a a a 111212122212≠ 09．已知向量组m ααα,,,21 线性无关,设111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m证明：(1) 当m 为偶数时, m βββ,,,21 线性相关；（2）当m 为奇数时, m βββ,,,21 线性无关.习题3.41．求下列向量组的秩与一个极大线性无关组.（1）12344212 312101308αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（2）1234511005 2112, 153223ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（3）123450********* , 0111111011ααααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，， 2．求下列向量组的秩与一个极大无关组并将其余向量用求出的极大无关组线性表示.（1）12342104113410100124αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（2）123452313712024 , 3283023743ααααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，（3）123452183723075, 3258010320ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，3．求向量组123411312000121135a b αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，的秩和一个极大无关组.4．设A 、B 均为m × n 阶矩阵,证明：R （A ＋ B ）≤ R （A ）＋ R （B ） 5．设向量组m ααα,,,21 （ m ＞ 1 ）的秩为r ,m m m m βαααβαααβααα-=+++=+++=+++,,,123213121证明：向量组m βββ,,,21 的秩为r .6．设A 为n × m 阶矩阵,B 为m × n 阶矩阵,且n ＞ m ,证明 AB = 0 ．习题3.51．求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表出通解. （1） 123413412313424303 07 730x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ （2） 12345123451234512345202 +230322025220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-+=⎩2．设线性方程组123123123232082021430x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪+++=⎩（）（）（）问λ为何值时, 该方程组有非零解？并求出它的全部解.3．设n 阶方阵A 的每行元素之和都为零,且R （A ）= n －1 ,求方程组A X = 0的通解. 4．已知3阶非零矩阵B 的每个列向量都是线性方程组1231231232202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的解, 求λ的值. 5．已知线性方程组12342341242200 0x x x x x cx cx x cx x +++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 的基础解系由两个解向量构成,求c 的值与该方程组的通解. 6．设12313221211A t ⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪--⎝⎭B 是3阶非零矩阵,且AB=O , 求t 的值.习题3.61．解下列线性方程组（在有无穷多解时求出其结构式通解）．（1）12312312312323424538213496x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=-⎪⎨+-=⎪⎪-+=-⎩（2）1234124123401 222461x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪⎪--=⎨⎪--+=-⎪⎩2．已知线性方程组1231231232123(2)320x x x x x a x x ax x ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩ 无解,求a 的值.3．参数λμ，取何值时,线性方程组123412341234230327162x x x x x x x x x x x x λμ+-+=⎧⎪+++=⎨⎪---=⎩ 有解、无解？4. 参数a , b 为何值时,线性方程组12345123452345123451323 22635433x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x b ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解、无解？在有解时,求其解.5. 参数a , b 为何值时,线性方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时,求其解.6．向量123,,γγγ是四元非齐次线性方程组AX β=的解向量,()2R A =且 121321γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭ ,231102γγ⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭,132110γγ⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪⎝⎭求线性方程组AX β=的通解． 7．设线性方程组23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ （1）若1234,,,a a a a 互不相同,证明方程组无解；（2）若1324,(0)a a k a a k k ====-≠,证明方程组有解,并求其通解.8．证明线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-=-515454343232121a x x ax x a x x a x x a x x 有解的充分必要条件是∑=51i i a = 0 ,并在有解时求其通解．9．设非齐次线性方程组A X = β 的解向量12,,,s γγγ,证明（1）线性组合1122s s k k k γγγ+++是A X = β 的解的充分必要条件是k 1 ＋ k 2 ＋ … ＋ k s = 1；（2）线性组合1122s s k k k γγγ+++是A X = 0 的解的充分必要条件是k 1 ＋ k 2 ＋ … ＋ k s = 0.习题三 (A)一、填空题1．设123111111λααλαλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，当λ满足时, 123ααα,,线性相关；当λ满足时, 123ααα,,线性无关. 2.已知向量组123411110112,23243519t t αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，线性相关, 则t 满足 .3．设向量组123ααα,,线性无关,则当参数l, m 满足时,213213l m αααααα---,,也线性无关.4. 已知123ααα,,线性无关,若12123123242m m αααααααα+-++-,,也线性无关, 则m .5．设向量组123(, 0, )(, ,0)(0, , )a c b c a b ααα===,,线性无关, 则a , b , c 满足 . 6. 设向量组1234(2,1,1,1)(2,1,,)(3,2,1,),(4,3,2,1)a a a αααα====,,线性相关,且1a ≠, 则 a = .7. 当k = 时, 向量 ()Tk k 2,,0=β 可由向量组()T k 1,1,11+=α ,()()T T k k +=+=1,1,11,1,132αα，线性表示且表示方法不唯一．()()()1231,2,1,1,2,0,,0,0,4,5,22, t t ααα=-==--=8.已知的秩为则 .9. 设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11334221t , B 为3阶非零矩阵, 且A B = O , 则t = ．10. 设B 为3阶非零矩阵,且B 的每个列向量都是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++030202321321321x x x x x x kx x x 的解,则k= ,B = ．11. 设123,,ααα是齐次线性方程组AX = 0 的一个基础解系, 则当参数a 满足时,122331a αααααα+++,,也是该方程组的基础解系.12. 已知向量组1234,,,αααα的秩为3, 且1234,,,αααα可由向量组123,,βββ线性表示, 则向量组123,,βββ必线性 .二、单项选择题1．已知1143α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,221t α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,3231α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关, 则t =( ) .(A ) 2 (B) -2 (C ) 3 (D ) –3 2．已知向量组1234αααα,,,线性无关, 则向量组（）线性无关.12233441122334411223344112233441A αααααααααααααααααααααααααααααααα+++++++-----++--（） ,,,（B ） ,,,（C ） ,,,（D ） ,,,3. 对任意实数a , b , c 下列向量组线性无关的是（）.(A) (a , 1, 2), (2, b , 3), (0, 0, 0)(B) (b , 1, 1), (1, a , 3), (2, 3, c ), (a , 0, c ) (C) (1, a , 1, 1), (1, b , 1, 0), (1, c , 0, 0) (D) (1, 1, 1, a ), (2, 2, 2, b ), (0, 0, 0, c )4．若向量组 α , β , γ 线性无关, α , β , δ 线性相关, 则( )．（A ） α 必可由 β , γ , δ 线性表示（B ） β 必不可由 α , γ , δ 线性表示（C ） δ 必可由 α , β , γ 线性表示（D ） δ 必不可由 α , β , γ 线性表示 5. 设同维向量组12121::,rr r mA B αααααααα+，，,，，,，,则下列说法正确的是( ). (A) A 组与B 组的线性相关性相同 (B) 当A 组线性无关时, B 组也线性无关 (C) 当B 组线性相关时, A 组也线性相关 (D) 当A 组线性相关时, B 组也线性相关 6. 下列说法正确的是( ). (A) 若1α,2α线性相关,1β ,2β线性相关, 则11βα+,22βα+一定线性相关(B) 若1α,2α 线性无关, β为任一向量, 则βα+1,βα+2一定线性无关(C) 若1α,2α ,…,m α（ m ≥ 2 ）线性相关, 则其中任何一个向量都可由其余向量线性表示 (D) 若n 维向量组1α,2α,… ,m α（ m ≥ 2 ）线性无关,则对于任意不全为零的数k 1, k 2 ,… , k m 一定有 θααα≠+++m m k k k 22117．已知向量组123ααα,,线性无关, 向量β可由123ααα,,线性表示, 向量γ不能由123ααα,,线性表示, 则对任意常数k , 必有（）.(A) 123,,, k αααβγ+线性无关 (B) 123,,, k αααβγ+线性相关 (C) 123,,, k αααβγ+线性无关 (D) 123,,, k αααβγ+线性相关8. 一个向量组的极大线性无关组（）. (A ) 个数唯一 (B) 个数不唯一(C ) 所含向量个数唯一 (D ) 所含向量个数不唯一9．已知任一n 维向量均可由n ααα,,,21 线性表示, 则n ααα,,,21 （）.(A) 线性相关 (B) 秩等于n(C) 秩小于n (D) 秩不能确定10. 已知21346639A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, B 为三阶非零矩阵且AB =O ，则( ).(A)当t = 2时,B 的秩必为1 (B)当t = 2时,B 的秩必为2 (C)当t ≠2时,B 的秩必为1 (D)当t ≠ 2时,B 的秩必为211．设非齐次线性方程组A X = B 中未知量个数为n , 方程个数为m , 系数矩阵A 的秩为r ,则 ( ) .(A ) r = m 时,方程组A X = B 有解 (B) r = n 时,方程组A X = B 有唯一解 (C ) m = n 时,方程组A X = B 有唯一解 (D ) r ＜ n 时,方程组A X = B 有无穷多解12．n 元线性方程组AX=B 有唯一解的充分必要条件是（）.（A ）导出组AX=0仅有零解（B ） A 为方阵,且∣A ∣≠0（C ） R(A) = n（D ）系数矩阵A 的列向量组线性无关,且常数项向量B 可由A 的列向量组线性表示13．设A 是n 阶矩阵, α 是n 维列向量,若R ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0TAαα = R （A ） ,则线性方程组 ( )．（A ） A X = α 必有无穷多解（B ） A X = α 必有唯一解（C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛y X A T0αα = 0仅有零解（D ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y X A T0αα = 0必有非零解 14．将齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A , 若存在3阶矩阵B ≠ O使得AB =O , 则 ( ) ．（A ） λ = －2且 B = 0 （B ） λ = －2且 B ≠ 0 （C ） λ = 1且 B = 0 （D ） λ = 1且 B ≠ 0 15. 已知123,,ααα是非齐次线性方程组AX=b 的3个解, 则下列（）不是导出组 AX = 0的解.(A) 1232ααα+- (B) 121()3αα- (C) 132αα- (D)311()2αα- 16. 已知123,,ααα是非齐次线性方程组AX=b 的3个解,则下列（）是AX = b 的解. (A) 1232ααα+- (B) 123ααα+- (C) 132αα- (D)311()2αα- 17. 已知123ααα,,是4元非齐次线性方程组AX=b 的3个不同的解且R (A ) =3,则下列（）是导出组AX = 0的基础解系.(A) 12312,ααααα+-- (B) 12αα- (C) 13αα+ (D) 3121,αααα--(B)1．设12312300111a b αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011=，=，010012011=，=，1221求a , b 的值,使向量组123ααα,,与向量组123βββ,,等价.122.,,,.r t t t r n ≤设是互不相同的数,21(1,,,,) (1,2,,)n i i i i t t t i r α-==证明:线性无关.3. ,, , 0. , , , a b c a b c abc αβγαβγθαβαγβγ++=≠设向量,,及数满足且证明和均与等价.4．设向量组123411321326,1511031p p αααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，（1）p 为何值时,1234,αααα,,线性无关, 并在此时将向量()4,1,6,10Tβ=用该向量组线性表示；（2）p 为何值时,1234,αααα,,线性相关,并在此时求出该向量组的秩和一个极大无关组. 5．求向量组1231111121111k k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，的秩和一个极大无关组.6．,,A m n B n m m n AB E B ⨯⨯<=设为矩阵，为矩阵，且若证明的列向量组线性无关. 7．已知向量组123967ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭13=2，=0，-31与1232110a b βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0=1，=，-1具有相同的秩且3β可由123ααα，，线性表示,求a , b 的值. 8．已知3阶矩阵B O ≠且B 的列向量都是线性方程组12312312320200x x x x x x ax x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 的解.（1）求a 的值；（2）证明0B =. 9. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000322212321321x c x b x a cx bx ax x x x ,(1) 当a , b , c 满足何种关系时,方程组仅有零解？（2）当a , b , c 满足何种关系时,方程组有无穷多组解？求出其通解. 10. 两个齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++00000011212111111121211111n tn t n n n n n mn m n n n n x b x b x b x b x b x b x a x a x a x a x a x a 与的系数矩阵A 与B 的秩都小于n /2. 证明：这两个方程组必有相同的非零解． 11. 设12s ααα,,,为某齐次线性方程组的一个基础解系, 11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+ 12112,,,s s t t t t βαα=+其中为任意常数. 问当12,t t 满足什么条件时, 12s βββ,,,也为该方程组的一个基础解系.12．设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为 ⎩⎨⎧=-++=-+020324321321x x x x x x x , 且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为 T T a a ）（，）（8,4,2,11,2,1,221+-=+-=αα（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；（2） a 为何值时,（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时, 求出全部非零公共解.13．设 r n -γγγγ,,,,210 为非齐次线性方程组A X = β 的n － r ＋1个线性无关的解向量,其中r = R （A ）．证明：00201,,,γγγγγγ----r n 是其导出组AX = 0的一个基础解系． 14．若线性方程组n n n n n nn n n a x a x b a x a x b a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩111112112211 的系数矩阵的秩等于矩阵B =1111110n n nnn na ab a a b b b ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的秩. 证明此方程组有解.12312315. 4, ()3, ,,,2200,20028.AX B R A αααααα==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设元非齐次线性方程组已知为方程组的解其中求该方程组的通解16. 设线性方程组Ⅰ： 123123212302040x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩Ⅱ： 123 21x x x a ++=-有公共解, 求a 的值及所有公共解.。

第3章解线性方程组的迭代法习题

第3章解线性方程组的迭代法一、填空题1. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=75.025.0065.0A ，则=∞→k k A lim . 2. Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 时，对应的迭代矩阵为，该迭代矩阵的谱半径)(A ρ为 .3. Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧=+-=+24.011.62121x x x x 时，对应的迭代矩阵为，此迭代矩阵的谱半径)(A ρ为 .二、单选题1. Jacobi 迭代法解方程组b Ax =的必要条件是（）.A ．A 的各阶顺序主子式不为零B ． 1)(<A ρC ．A 的对角线元素不为零D ． 1≤A2. 解方程组b Ax =的简单迭代格式g Mx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（）.A ．1)(<A ρB ．1)(<M ρC ．1)(>A ρD ．1)(>M ρ三、判断题1. 解线性方程组时，Gauss-Seidel 迭代法比用Jacobi 迭代法效果好. ( )2. 向量序列和矩阵序列的收敛可归结为对应分量或对应元素序列的收敛性. ( )四、问答题1. Guass-Seidel 迭代法在Jacobi 迭代法的基础上进行了某种程度的加速，故若Jacobi 迭代收敛，则Guass-Seidel 迭代也必然收敛.五、计算题1. 用Jacobi 迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--4258321072210321321321x x x x x x x x x ，求迭代两次所得解.2. 用Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--4258321072210321321321x x x x x x x x x ，求迭代两次所得解.3. 用Jacobi 迭代法判断系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212112121211的线性方程组的收敛性.。

第三章线性方程组答案详解

2 1
3 b
10

a
5 2a
2 2
3 3
8

0
10 0
2a 2 2a
3b 3 2b
8 5a

10 10a
1 1 b 5 1 1 b 5 1 1 b 5

0
2a
3b
8

5a

0
2
3
6

=
ççççççç1+11 l÷÷÷÷÷÷÷÷
，
a2
=
ççççççç1+11 l ÷÷÷÷÷÷÷÷
，
a3
=
ççççççç1
1
1 +
l÷÷÷÷÷÷÷÷
，
b
=
çççççççll02
÷÷÷÷÷÷÷÷
．
试问当 l 取何值时，
(1) b 可由 a1,a2 ,a3 线性表示，且表达式唯一？ (2) b 可由 a1,a2 ,a3 线性表示，且表达式不唯一？ (3) b 不能由 a1,a2 ,a3 线性表示？
(2)
A

0 0
1 0
2 0
2 0
6 0
3

0
0 0
1 0
2 0
2 0
6 0
3

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
解得：

x1 x2

2 3
x3 x4 5x5 2x3 2x4 6x5

梁保松《线性代数》习题三解答本人亲自求解习题三

第三章线性方程组
大线性无关组， Q2 的极大线性无关组等价于 Q2 ，则 Q1 与 Q2 等价。（3）若向量组的秩为 r ，则向量组中任意 r 个线性无关的向量构成向量组的极大
线性无关组；解正确，若向量组的秩为 r ，即向量组的极大线性无关组所含向量的个数为 r .
若某个含 r 个向量的线性无关的向量组不是向量组的极大线性无关组，则向量组的极大线性无关组所含向量的个数必大于 r ，与向量组的秩为 r 矛盾。
则 α1, α2 ,, αm 线性无关；解正确，若对于任意一组不全为零的数 k1, k2,, km ，都有
k1α1 k2α2 kmαm o 只有 k1 k2 km 0 时，k1α1 k2α2 kmαm o ，即 α1, α2 ,, αm 线性无关；
（5）若对任意一组不全为零的数 k1, k2,, km ，使得 k1α1 k2α2 kmαm k1 β1 k2 β2 km βm o ，
1, 2, 1.
（5）若齐次线性方程组系数矩阵的列数大于行数，则该方程组有非零解；
解正确。设 Amn Xn1 = o, n m, r A m n ，方程组有非零解
（6）三个方程四个未知量的线性方程组有无穷多解；解不正确。对于齐次线性方程组正确，见（5）. 对于非齐次线性方程组不正确，缺少条件 r( A ) r( A) ，非齐次的线性方程组可能无解。
k2 k3 0,
k3 k4 0.
1 0 0 1 1 0 0 1
1
1
0
0
0
1
0
1 ，
0 1 1 0 0 0 1 1
0
0
1
1
0
0
0
0
其系数矩阵的秩等于 3，故方程组有非零解，即线性相关.

《高等代数1》复习练习题(三)——第三章线性方程组(参考解答)

《高等代数1》复习练习题（三）——第三章线性方程组（解答）（供2017级数学与应用数学专业使用）一、填空题1、设23(,2,1),(2,3,0),(1,1,1)T T T k ααα1==-=-，则当1k =-时，向量组321,,ααα线性相关. 2、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=403212221A ，向量(,1,1)Ta α=，已知向量组,A αα线性相关，则1a =-.3、设向量组123(,0,),(,,0),(0,,)T T T a c b c a b ααα===线性相关,则,,a b c 必满足关系式 abc=0 .4、线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a -=-=-=-=有解的充分必要条件是_____________.5、设33⨯矩阵A 的秩()1r A =，23(1,1,2),(2,0,1),(1,2,3)T T T ααα1===是线性方程组AX β=的三个特解，则对应导出组0AX =的基础解系是121323,αααααα---中任意两个向量.6、设33⨯矩阵A 的秩()2r A =，A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组0AX =的通解是(1,1,1)T k .7、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ有非零解，则=λ1．8、设齐次线性方程组12312312300x x x x kx x kx x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，则k 应满足的条件是1k ≠.9、.齐次线性方程组1231231232302340x x x x ax bx x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，当且仅当,a b 满足关系式1(1)2a b =+.10、若线性方程组b AX =有解，且秩()A r =，则秩()A =r ．二、选择题 1、设12,,,s ααα均为n 维向量,下列结论不正确的是 ( B ).(A)若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有1122+++≠s s k k k ααα0,则12,,,s ααα线性无关.(B)若12,,,s ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ,都有1122+++=s s k k k ααα0.(C)向量组12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s . (D)向量组12,,,s ααα线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.2、设向量组123(,2,1),(2,,0),(1,1,1)TTTt t ααα===-线性无关，则( D )．（A ）3t ≠-且2t ≠. （B ）3t =或2t =-. （C ）3t =-或2t =. （D ）3t ≠且2t ≠-.3、设向量T T T T )4,0,1,1(,)1,3,0,2(,)5,1,2,0(,)2,2,1,1(4321=-===αααα，则向量组4321,,,αααα的秩等于( C ).(A)1． (B) 2． (C)3． (D)4． 4、设12,,,m ααα是一n 维向量组，它的秩12(,,,)=<m r r m ααα，则下面说法不正确的是( A ).(A)向量组12,,,m ααα中任意一个向量都能由其余向量线性表出.(B)向量组12,,,m ααα线性相关.(C)向量组12,,,m ααα与其任一极大无关组等价.(D)向量组12,,,m ααα中任意r 个线性无关的向量都构成其极大无关组.5、设0=AX 是非齐次方程组AX β=所对应的导出组，则下列结论正确的是 ( D ).(A)若0=AX 仅有零解，则AX β=有唯一解．(B)若0=AX 有非零解，则AX β=有无穷多解． (C)若AX β=有无穷多解，则0=AX 仅有零解． (D)若AX β=有无穷多解，则0=AX 有非零解．6、若A 是n 阶方阵，β是n 维非零向量，且齐次线性方程组0=AX 有非零解，则下列结论中不会发生的是( B ).(A)AX β=无解. (B)AX β=有唯一解. (C)AX β=有无穷多解. (D)()r A n <.7、非齐次线性方程组AX β=中未知量个数为n ，方程个数为m ，()r A r =，则 ( A )(A)r m =时，AX β=有解. (B)r n =时，AX β=有唯一解. (C)m n =时，AX β=有唯一解. (D)r n <时，AX β=有无穷多解. 8、设A 为m n ⨯矩阵，且()1r A n =-，12,αα是非齐次线性方程组AX β=的两个不同的解向量，k 为任意常数，则0AX =的通解为( A ).（A ）12()k αα-；（B ）12()k αα+；（C ）1k α；（D ）2k α. 9、设12,,,s ααα均为n 维向量，下列结论正确的是( B ) .(A) 若1122s s k k k ααα+++=0，则12,,,s ααα线性相关.(B) 若对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有1122s s k k k ααα+++≠0，则12,,,s ααα线性无关.(C) 若12,,,s ααα线性相关，则对任意一组不全为零的数12,,,s k k k ，都有1122s s k k k ααα+++=0.(D) 若12000s ααα+++=0，则12,,,s ααα线性无关.三、判断题 1、如果当120n k k k ===≠时，11220n n k k k ααα+++=，则向量组12,,,nααα线性相关. （ √ ）2、如果12(,,,),1,2,,i i i in a a a i s α==线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),1,2,,i i i in i i im a a a b b b i s β==也线性相关.（ X ）3、若123,,,αααβ线性相关，则β可由向量组123,,ααα线性表出.（ X ）4、若β不能由向量组123,,ααα线性表出，则123,,,αααβ线性无关.（ X ）5、若向量12,,,s ααα线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性.（ X ）6、非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ √ ）7、方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解. （ X ）8、设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，则1122,αβαβ++线性相关. （ X ）9、若线性方程组AX β=有无穷多个解，则0AX =一定有非零解. （ √ ） 10、若线性方程组0AX =有非零解，则AX β=一定有无穷多解.（ X ）四、计算题1、求向量组1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,1,2,0),T T T T αααα=-===-5(2,1,5,6)T α=的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．解：对以12345,,,,ααααα为列的矩阵作行初等变换化为阶梯形矩阵.1234510312103121301103303(,,,,)21725011014214060224210312131203303011010000000011000440000010301011010001100000ααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭所以，向量组12345,,,,ααααα的秩是3，124,,ααα是其一个极大线性无关组，且31251243,ααααααα=+=++.2、已知向量组123(0,1,1),(,3,1),(,1,0)T TT a b βββ=-==与向量组123(1,2,3),(2,1,1),(3,0,1)T TT ααα=-=-=具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表出，求,a b ．解：令1231231233(,,),(,,),(,,,)A B A αααβββαααβ===则由条件可知，A 与B ，A 与A 由相同的秩.因为1233123123(,,,)2101036123110051031231231000105103510510300015b b A b b b b b b b b αααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→-→ ⎪⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭12300004(,,)131041041110110110110041004a b a b a b B a b βββ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭所以，2=秩A =秩B =秩A ，于是10,1045a b b -=-=，故20,5a b ==. 3、设四元非齐次线性方程组=AX β的系数矩阵A 的秩为2，已知它的三个解向量为123,,ηηη,其中123(4,3,2,1),(1,3,5,1),(2,6,3,2)===-T T T ηηη，求该方程组的通解.解：因为123,,ηηη是=AX β的解，所以12(3,0,3,0)T ηη-=-，13(6,3,1,1)T ηη-=---是0AX =的解，且1213,ηηηη--线性无关.又因为()2r A =，所以0AX =的基础解系含有两个解向量，于是1213,ηηηη--是0AX =的一个基础解系.故=AX β的通解是1112213()()c c ηηηηη+-+-（12,c c F ∈）4、设向量1234,,,αααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系，若112223334441,,,t t t t βααβααβααβαα=+=+=+=+，试问：当实数t 满足什么关系时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系？解：因为1234,,,αααα是0AX =的基础解系，所以1234,,,αααα的线性组合1234,,,ββββ也是0AX =的解. 因此，当1234,,,ββββ线性无关时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系.因为12341234100100(,,,)(,,,)010001t t t t ββββαααα⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭所以，1234,,,ββββ线性无关⇔1234||0ββββ≠⇔410010010010001ttt tt=-≠⇔1t ≠±.故当1t ≠±时，1234,,,ββββ也是0AX =的一个基础解系.5、设3阶非零矩阵A 的每一个列向量都是方程组1231231232020330x x x x x ax x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+ -=⎩的解，求常数a 和行列式A ．解：设123(,,)A βββ=，其中123,,βββ是A 的列向量，则123,,βββ不全为零，且是已知方程组的解，于是已知方程组由非零解，从而其系数矩阵行列式为零，即11211221034120313023a a a ---=-+=-+=--所以12a =. 设已知方程组的系数矩阵为B ，则B O ≠，且123123(,,)(,,)(0,0,0)BA B B B B O ββββββ====若||0A ≠，则A 可逆，从而111()()B BE B AA BA A OA O ---=====，矛盾，所以||0A =.6、讨论常数a 为何值时，线性方程组123123123112ax x x x ax x x x ax ++=⎧⎪++=⎨⎪+ +=-⎩无解、有唯一解、有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求出其全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得22111011120024211101130113112112112112011300(2)(1)2(2)a a a a a a a A a a a a aa a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫--+--+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪+-+⎝⎭1）当1a =时，秩1A =≠秩2A =，方程组无解. 2）当1,2a ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当2a =-时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解：13231,1x x x x =+=+（3x 是自由未知量）7、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+++=+--330)1(31432321321x ax x a x x x x x ，问a 为何值时，此方程组：（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在有无穷多解的情况下，试用其导出组的基础解系表出全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得21411141114111310012101210330330233112012100(3)(1)3A a a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+→-+→-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎪→-+ ⎪ ⎪+-+⎝⎭1）当1,3a ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解.2）当1a =时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解.3）当3a =-时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解：132314,1x x x x =-+=--（3x 是自由未知量）8、讨论常数,a b 为何值时，线性方程组1231231234324ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪+ +=⎩无解、有唯一解、有无穷多解?在有无穷多解的情况下，求出其全部解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得1140114301142113113101212140010010114210121012011420014200(1)142a ab a a a a A bb b b b a a a a ab b b ab b a b ab -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+--+⎝⎭⎝⎭1）当11,2a b =≠或0b =时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解.2）当1,0a b ≠≠时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当11,2a b ==时，秩2A ==秩3A <，方程组有无穷多解： 1322,2x x x =-=（3x 是自由未知量）9、对于线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩(1)λ取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解；(2)在方程组有无穷多解时，试用其对应齐次线性方程组的基础解系表示方程组通解．解：对线性方程组的增广矩阵作行初等变换得2211301133112011011211200233112011001101120(2)(1)3(1)A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫----⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫----⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭（1）1）当2λ=-时，秩2A =≠秩3A =，方程组无解. 2）当1,2λ≠-时，秩3A ==秩A ，方程组有唯一解. 3）当1λ=时，秩1A ==秩3A <，方程组有无穷多解.（2）在方程组有无穷多解时，与原方程组同解方程组为1232x x x ++=-，令230x x ==，得特解0(2,0,0)γ=-.与原方程组同解方程组对应的齐次线性方程组同解方程组为1230x x x ++=，所以对应的齐次线性方程组的基础解系为12(1,1,0),(1,0,1)ηη=-=-.所以原方程组的通解为：01122k k γγηη=++（12,k k 是任意数）. 五、证明题1、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组12αα+，23αα+，31αα+也线性无关．证明：设112223331()()()0k k k αααααα+++++=则131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=因为123,,ααα线性无关，所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得1230k k k ===，故122331,,αααααα+++线性无关.2、证明向量组12233441,,,αααααααα++++线性相关．证明：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=则141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=考虑齐次线性方程组141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩其系数行列式1001100110110011001111001100110010011=-=-=所以齐次线性方程组有非零解. 于是存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=成立，故12233441,,,αααααααα++++线性相关.3、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组1223312,2,32αααααα---也线性无关．证明：设112223331(2)(2)(32)0k k k αααααα-+-+-=则131122233(22)()(23)0k k k k k k ααα-+-++-+=因为123,,ααα线性无关，所以1312232200230k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩解得1230k k k ===，故1223312,2,32αααααα---线性无关.4、设向量组123,,ααα线性无关，证明向量组123123,2322,αααααα++-+123355ααα+-线性相关．证明：设112321233123()(2322)(355)0k k k ααααααααα+++-+++-=则123112321233(23)(35)(225)0k k k k k k k k k ααα+++-+++-=因为123,,ααα线性无关，所以1231231232303502250k k k k k k k k k ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解得1323192,95k k k k =-=，取35k =，得1219,2k k =-=使得 112321233123()(2322)(355)0k k k ααααααααα+++-+++-=故123123123,2322,355ααααααααα++-++-线性相关.5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，证明向量组12233441,,,αααααααα+++-也线性无关.证明：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=则141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=因为1234,,,αααα线性无关，所以141223340000k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得12340k k k k ====，故12233441,,,αααααααα+++-线性无关.6、设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 是n n ⨯矩阵，试证明：（1）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα也线性相关；（2）若A 可逆，且12,,,s A A A ααα线性相关，则12,,,s ααα也线性相关.证明：（1）因为12,,,s ααα线性相关，所以存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122440k k k ααα+++=从而有11221122()00s s s s k A k A k A A k k k A αααααα+++=+++==故12,,,s A A A ααα线性相关.（2）因为12,,,s A A A ααα线性相关，所以存在不全为零的数12,,,s k k k ，使得1122440k A k A k A ααα+++=从而有11221122()0s s s s A k k k k A k A k A αααααα+++=+++=由A 可逆，得1122440k k k ααα+++=.故12,,,s ααα线性相关.7、已知向量组123,,ααα与122331,,αααααα+++ （1）证明123,,ααα与122331,,αααααα+++等价；（2）证明123,,ααα线性相关的充分必要条件是122331,,αααααα+++线性相关．证明：（1）首先，122331,,αααααα+++显然可由123,,ααα线性表示. 其次，由1122331212233131223311[()()()]21[()()()]21[()()()]2ααααααααααααααααααααα⎧=+-+++⎪⎪⎪=+++-+⎨⎪⎪=-+++++⎪⎩可知，123,,ααα可由122331,,αααααα+++线性表示. 故123,,ααα与122331,,αααααα+++等价.8、已知非齐次线性方程组123423423412340221(3)21321x x x x x x x x a x x x x x bx + + +=⎧⎪ ++=⎪⎨ - +--=-⎪⎪+ ++=-⎩ 有3个线性无关的解，证明：系数矩阵A 的秩等于2，并求,a b 的值及方程组的通解．证明：设123ξξξ，，是方程组的3个线性无关解，则1213ξξξξ--，是导出组0AX =的两个解.若1213()()0k l ξξξξ-+-=，则有123()0k l k l ξξξ+--=，于是由123ξξξ，，线性无关可得0k l ==，所以1213ξξξξ--，是导出组0AX =的两个线性无关解，因此，0AX =的基础解系所含向量个数不少于2，即有4()2A -≥秩. 所以有()2A ≤秩.因为系数矩阵111101220132321A a b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪--- ⎪⎝⎭，有一个2阶子式111001=≠，所以有()A ≤2秩，故()=2A 秩.对增广矩阵A 做行初等变换，有313242311110111100122101221=013210132132110123111110012210010000010r r r r r r A a a b b a b -++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-------- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭于是由()=2A 秩，有1010a b -=⎧⎨-=⎩，即11a b =⎧⎨=⎩.因此有31324212311110111100122101221=012210122132111012211111010111012210122100000000000000000000r r r r r r r r A -++-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→⎪⎪--------⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的通解为1342341122x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.9、设12,,,n ααα均为n 维线性无关列向量，A 是n n ⨯矩阵，试证明：12,,,n A A A ααα线性无关⇔A 可逆．证明：（⇒）因为12n ααα，，，线性无关，所以以12n ααα，，，为列的n n ⨯矩阵12()n B ααα=可逆.因为12,,,n A A A ααα线性无关，所以矩阵1212()()n n C A A A A AB αααααα===可逆，从而1A CB -=可逆．（⇐）若有数12n k k k ，，，，使得11220s n k A k A k A ααα+++=则有1122()0n n A k k k ααα+++=由A 可逆可得11220s n k k k ααα+++=因为12,,,n ααα线性无关．所以120n k k k ====，故12,,,nA A A ααα线性无关.。

(完整版)线性代数习题[第三章]矩阵的初等变换与线性方程组

习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵1.用初等行变换化矩阵102120313043A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦为行最简形.2.用初等变换求方阵321315323A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.3.设412221311A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,32231-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1B=,求X使AX B=.4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B.(1) 证明B可逆(2)求1AB-.习题 3-2 矩阵的秩1.求矩阵的秩:(1)310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠⎡⎤⎢⎥=⎣⎦L2.设12312323k A k k -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 ..()()a R A R B = .()()b R A R B <；.()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥-4. 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4.5. 设n (n ≥3)阶方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 11-n .6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证:()()R A R A E n +-=习题 3-3线性方程组的解1. 选择题(1)设A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A. 若0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解B. 若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解C. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解D. 若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解,(2)对非齐次线性方程组m n A x b ⨯=,设()R A r =,则( ).A.r m =时,方程组Ax b =有解B.r n =时,方程组Ax b =有唯一解C.m n =时,方程组Ax b =有唯一解D.r n <时,方程组Ax b =有无穷多解（3）设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ,且存在三阶方阵B ≠0,使AB =0,则 .2.-=λa 且0=B ; 2.-=λb 且0≠B ;C. 1=λ且0=B ; d . 1=λ且0≠B .（4）设非齐次线性方程组AX=b 的两个互异的解是21,X X ，则是该方程组的解.121212121.;.;.();..22X X a X X b X X c X X d -+-+2.解下列方程组: (1)12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩(2)21 422221x y z wx y z wx y z w+-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩3.设123123123(2)2212(5)42 24(5)1x x xx x xx x xλλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩问λ为何值时,此方程组有唯一解,无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求其通解.4. 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000222z c y b x a cz by ax z y x(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解?(2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解?求出其解.5.设,,,,,515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x =-=-=-=-=-证明这个方程组有解的充分必要条件为051=∑=j j a,且在有解的情形,求出它的一般解.。

3解线性方程组的直接法习题+答案

2 1 2 1 2
1 5 2 3 5

1

3
2

3
5

1 0 0
2 1 1
得
A

LU
，其中 L

1 2
1

0

,
U

0
5 2
3

2

1
3
1
0
0
3

2 5
姓名
第三章线性方程组的直接解法
学号
班级
习题主要考察点：高斯消去法，LU 分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。
要点：（1）利用列主元高斯消去法求解线性方程组
（2）矩阵的 Doolittle 分解
（3）利用系数矩阵的 Doolittle 分解求解线性方程组
例 1 用列主元消元法的方程组

2
x
1
3 x1
4 0 0
5 7
3 1 22 12 6
15
7

2
31

4 5 7 15 4 5 7 15

0 12 6 31 0 12 6 31
主元 0
3
1
7

消去
0
0
1

3

2 2 2
4 8
得等价的线性方程组为：
1 2 3 x1 2 2 7 2 x2 3 4 8 4 x 3 0

线性代数习题

第三章练习题（二）一、填空题1. 设A 是5阶矩阵，如果齐次线性方程组0=Ax 的基础解系有2个解，则=*)(A R 。

2. 若B A,都是n 阶非零方阵，且O AB =，则)(A R n 。

3. 设),,2,1(0,0n i b a i i =≠≠，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111A ，则矩阵A 的秩=)(A R 。

4. 若齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足的条件是。

5. 如果非齐次线性方程组b Ax =有解，则它有惟一解的充要条件是其对应的齐次方程组0=Ax 。

6. 如果n 元线性方程组b Ax =有解，r R =)(A ，则当时，有惟一解；当时，有无穷多解。

7. 已知线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+03121232121321x x x a a无解，则=a 。

二、选择题1. 设A 是n 阶方阵，且A A =2，则必有（）。

（A ）A 的秩为n （B ）A 的秩为零（C ）A 的秩与A E -的秩之和为n （D ）A 的秩与A E -的秩相同2. 若n 阶矩阵A 的伴随矩阵O A ≠*，又O AA =*，则)(A R 必等于（）。

（A ）0 （B ）1 （C ）1-n （D ）n3. 设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则（）。

（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）r 与1r 的关系依C 而定4. 如果矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++--=117404632321111032211a a a a A ，则A 的秩)(A R （）。

（A ）必为（B ）必为3 （C ）可能为2，也可能为3 （D ）可能为3，也可能为45. 设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）。

高等代数(北大版)第3章习题参考答案

第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩ 124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩ 123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩ 12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦10210110010100321200021200200000200000000000000001110010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩，解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。

工程数学第3章线性方程组习题答案

'1 , '2 , , 'n 线性无关时， 1 , 2 , , n 也线性无关。
证明：当 1 , 2 , , n 线性相关时，存在不全为0的一组常数
1 , 2 , , n 使得 11 22 nn 0
11 21 m1 12 22 m2 m 0 即 1 2 1n 2n mn
k11 k2 2 km m 0
k1 1 1 k2 2 2 km m m 0 因此，
所以 1 1 , 2 2 ,, m m 这种证法是否正确？也线性相关。
k11 k2 2 km m 0
i (1, ti , ti2 ,, tin1 ) (i 1,2,, r, r n) 线性无关。
证明：将该向量组的向量当成行向量，写成 r n 矩阵形式：
1 1 A 1 1 1 A 1
t12 t1n1 2 n 1 t2 t2 t2 2 n 1 tr tr tr t1
解：如果两组向量所对应的系数 k1 , k2 , , km 一致，
则该证法正确，否则不一定。
5. 举出一个线性相关的例子，使其中存在非0向量不能用其余向量线性表出。解：任意一组线性无关的向量外加一个0向量即可。
6. 设向量能用向量组 1 , 2 ,, m 线性表出，且表示方式是唯一的，试用反证法证明 1 , 2 ,, m 必线性无关。证明：假设 1 , 2 ,, m 线性相关，则至少存在一个 i 可以被其余向量线性表出，即