第三章 线性方程组习题

第三章 线性方程组 习题 姓名

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一、 填空题 1. 如果一个线性方程组的系数矩阵的秩为r ，则增广矩阵的秩为__________.

2. 非齐次线性方程组1212222n n x x x a x x x b

+++=⎧⎨+++=⎩ 有解的充要条件是__________.

3. 齐次线性方程组12340x x x x +++=的基础解系是____________________.

4. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则()R A __________.

5. 已知向量组123(1,4,3),(2,,1),(2,3,1)k ααα==-=-线性相关，则参数k =__________.

6. 齐次线性方程组111122121122221122000

n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩

（*）只有零解的充要条件有

______________________________________________________ _（至少写两个）. 二、 判断题

1. 如果当12n k k k === 时，11220n n k k k ααα+++= ，则向量组12,,,n ααα 线性相关. （ ）

2. 若12(,,,),1,2,,i i i in a a a i s α== 线性相关，则向量组1212(,,,,,,,),i i i in i i im a a a b b b β= 1,2,,i s = 也线性相关. （ ）

3. 任意3n +个n 维向量必线性相关. ( )

4. 若向量12,,,s ααα 和向量组12,,,t βββ 都线性无关，则向量组1212,,,,,,,s t αααβββ 线性无关.（ ）

5. 若向量12,,,s ααα 线性相关，则其中每一个向量皆可由其余向量线性表出.（ ）

6. 非齐次线性方程组的两个解的和不再是它的解. （ ）

7. 方程个数小于未知量个数的线性方程组必有无穷多个解.（ ）

8. 设12,αα线性相关，12,ββ也线性相关，则1122,αβαβ++线性相关.（ ） 三、计算与证明

1. 求向量组1234(1,0,1,0),(2,1,3,7),(3,1,0,3),(4,3,1,3)αααα==--=-=--的秩和极大线性无关组，并用极大无关组表示其余向量

2．λ取何值时，线性方程组12312312

3322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解、无解、或无穷多解？在有无穷多解时，求通解.

3. 已知向量组12,,,m ααα 线性无关，令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+ ，

讨论向量组12,,,m βββ 的线性相关性.

4. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且

123(2,3,4,5),(1,2,3,4)ηηη=+=.求该方程组得通解.

5. 设向量12,,,n ααα 线性无关，且12(1)n n βααα=+++> ，证明：12,,n βαβαβα--- 也线性

无关.

6. 设齐次线性方程组111122121122221122000

n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （*）的系数行列式0D =，而D 中元素ij a 的代数余子式0ij A ≠.证明：（*）的通解为12(,,,),i i in k A A A k P η=∈ .

7. 当参数b a ,为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++b

x a x x x x a x x x ax x x x x x x x 4332142321

432143212780940320 无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷多个解时求出全部解（即一般解或通解）。