人教全国中考数学反比例函数的综合中考真题汇总及详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A，曲线DE是双曲线y= （3≤x≤12）的一部分，记作G1，且D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位，得到抛物线G2．

（1）求双曲线的解析式；

（2）设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C，且B在C的左侧，则线段BD的长为________；

（3）点（6，n）为G1与G2的交点坐标，求a的值．

（4）解：在移动过程中，若G1与G2有两个交点，设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，若MN＜，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得，解得，

所以双曲线的解析式为y= ；

（2）2

（3）解：把（6，n）代入y= 得6n=12，解得n=2，即交点坐标为（6，2），

抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，

把（6，2）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（6﹣a）2+9=2，解得a=6± ，

即a的值为6± ；

（4）抛物线G2的解析式为y=﹣（x﹣a）2+9，

把D（3，4）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（3﹣a）2+9=4，解得a=3﹣或a=3+ ；

把E（12，1）代入y=﹣（x﹣a）2+9得﹣（12﹣a）2+9=1，解得a=12﹣2 或a=12+2

；

∵G1与G2有两个交点，

∴3+ ≤a≤12﹣2 ，

设直线DE的解析式为y=px+q，

把D（3，4），E（12，1）代入得，解得，

∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5，

∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点，

∴M（a，﹣ a+5），N（a，），

∵MN＜，

∴﹣ a+5﹣＜，

整理得a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0，

∴a＜4或a＞9，

∴a的取值范围为9＜a≤12﹣2 ．

【解析】【解答】解：（2）当y=0时，﹣x2+9=0，解得x1=﹣3，x2=3，则B（﹣3，0），而D（3，4），

所以BE= =2 ．

故答案为2 ；

【分析】（1）把D（3，m）、E（12，m﹣3）代入y= 得关于k、m的方程组，然后解方程组求出m、k，即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0得到B（﹣3，0），而D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算DE的长；（3）先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入y=﹣（x ﹣a）2+9得a的值；（4）分别把D点和E点坐标代入y=﹣（x﹣a）2+9得a的值，则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线DE的

解析式为y=﹣ x+5，则M（a，﹣ a+5），N（a，），于是利用MN＜得到﹣ a+5﹣＜，然后解此不等式得到a＜4或a＞9，最后确定满足条件的a的取值范围．

2．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C （﹣2，3）和射线OA之间的距离为________；

（2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为，那么k=________；（可在图1中进行研究）

（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O顺时针旋转120°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．

①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）．

②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离．

【答案】（1）3；

（2）﹣4

（3）解：①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF 垂直），

；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，

由得，即点M（﹣，），

由得：，即点N（﹣，），

则﹣≤x≤﹣，

图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），

即图形W与图形N之间的距离为d，

d=

=

=

∴当x=﹣时，d的最小值为 = ，

即图形W和图形N之间的距离．

【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（﹣2，3）和射线OA之间的距离为 = ，

故答案分别为：3，；

（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为，

∴k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）．

过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EG⊥x轴，如图1，

由得，即点F（﹣，），

则OF= = ，

∴OE=OF+EF=2 ，

在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，

则有OG=EG= OE=2，

∴点E的坐标为（﹣2，2），

∴k=﹣2×2=﹣4，

故答案为：﹣4；

【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（﹣2，3）和射线OA之间的距离；

（2）根据题意即可得k＜0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）．过点O作直线y=x+1的垂线y=﹣x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EG⊥x 轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF 求出OE长，在Rt△OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（﹣2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.

（3）①如图，x轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；

②由①知OH所在直线解析式为y=﹣ x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，﹣2x﹣4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d 最小值.