第6讲 函数的单调性学生

第6讲函数的单调性

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

[玩转典例]

题型一 函数单调性的判断和证明

例1 判断并证明函数y ＝x ＋2x ＋1

在(－1，＋∞)上的单调性．

例2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ＞0，0，x ＝0，

－1，x ＜0，

g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________． 例3. 函数的单调递增区间为 .

[玩转跟踪]

1.已知函数f (x )＝2－x x ＋1

，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.

2.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b

>0，则必有( ) A.函数f (x )先增后减

B.f (x )是R 上的增函数

C.函数f (x )先减后增

D.函数f (x )是R 上的减函数

3.画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间.

223y x x =--

题型二 函数单调性的应用

角度一：利用函数的单调性求最值

例4 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1

的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝ax ＋1a

(1－x )(a >0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值．

角度二：利用函数的单调性求解不等式

例5 1.(1)已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )

(2) 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．

2.探究与创新

设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：

(1)f (xy )＝f (x )＋f (y )；

(2)f (2)＝1；

(3)在(0，＋∞)上是增函数.

如果f (2)＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围.

角度三：利用函数的单调性求参数

例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞

B.⎣⎡⎭

⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0

(2).已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－x ＋1，x ≥1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________.

题型三 分类讨论二次函数单调性和最值

例7 求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的单调性和最小值．

【玩转跟踪】

1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．

2．已知函数32)(2

+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．

题型四 抽象函数单调性和最值

例8 已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，

f (1)＝－23

. （1）求证：)(x f 在R 上是减函数；

（2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．

【玩转跟踪】

1.已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，

且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；

（2）证明)(x f 在定义域上的增函数；

（3）解不等式0)]2

1([<-x x f ．

[玩转练习]

1.下列说法中，正确的有( )

①若任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

＞0，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；

③函数y ＝－1x

在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x

的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )

A.y ＝|x |

B.y ＝3－x

C.y ＝1x

D.y ＝－x 2＋4

3.若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )

A.(－∞，40)

B.[40,64]

C.(－∞，40]∪[64，＋∞)

D.[64，＋∞)

4.若f (x )为R 上的增函数，kf (x )为R 上的减函数，则实数k 的取值范围是( )

A.k 为任意实数

B.k ＞0

C.k ＜0

D.k ≤0

5.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是________.

6. 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.

7.求证：函数f (x )＝－1x

－1在区间(－∞，0)上是增函数.

8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )

A.a ＞－14

B.a ≥－14

C.－14≤a ＜0

D.－14

≤a ≤0