线性代数课件--ch-1-3拉普拉斯定理行列式的乘法公式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证 毕 ．
继 续 这 样 进 行 ， 最 后 可 得
a D b a b b a
b
n行 n行
a b
b (a 2 b 2)n ． a
n
a
两个特例情形： a 11 a 1 n 0 a n 1 a nn 0 c 11 c 1 n b 11 c m 1 c mn b m 1
定 理 1 （ 拉 普 拉 斯 定 理 ） 设 在 行 列 式D 中 任 意 取 定
k( 1 k n 1 )行 k行 k阶 ． 由 这 元 素 所 组 成 的 一 切 子
式 与 它 们 相 应 代 数 余 子 式 的 乘 积 之 和 等 于 行 列 式D ．
D D 称 对 行 列 式 应 用 拉 普 拉 斯 定 理 为 将 行 列 式 按 某
1 bn1 bn 2 bnn D D D 一 方 面 ， 由 拉 普 拉 斯 定 理 ， ． 1 2
n 1 n 2 a a 另 一 方 面 ， 将 第 行 的 倍 ， 第 行 的 倍 ， 11 12
2 n ， a 第 行 的 倍 都 加 到 第 一 行 ， 得 1 n
D
0 a 21 a n1 1 0 0
k 个 行 展 开 ．
k D 假 如 把 行 换 成 列 ， 则 称 将 行 列 式 按 某 个 列 展 开 ．
例 2计 算 五 阶 行 列 式
5 1 D 0 0 0
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
0 0 6 5 1
0 0 . 0 6 5wenku.baidu.com
D 解 在 的 前 二 行 中 ， 所 有 二 阶 子 式 共 有 1 0 个 ， 但 其 中 只 有 三 个 不 为 零 ， 它 们 是 ：
第三节
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
,i2, ,ik k 行 定 义1 在n阶 行 列 式D 中 任 取 (第i 1
, j2, , jk列 1 kn. 行 ) k列 ( 第j ) ， 位 于 这 些 行 和 列 的 1
k 阶 交 叉 点 上 的 元 素 按 原 来 相 应 的 位 置 组 成 一 个 行 列 式
0 a 22 an2
0 a 2n a nn 0 0 1
c11 0 0 b11 b 21 b n1
c12 0 0 b12 b 22 bn 2
c1n 0 0
0 1 0
b1n b2 n b nn
a ( k 2 , 3 , , n ) a n 1 n 2 再 依 次 将 第 行 的 倍 ， 第 行 的 k 1 k 2 a k 2 n ， 倍 ， 第 行 的 倍 加 到 第 行 ， 就 得 kn
N k阶 ， 称 为 行 列 式D的 一 个 子 式 ．
k k 在 中 划 去 这 行 列 后 余 下 的 元 素 按 原 来 相 应 位 置 D
n k N M 组 成 的 阶 行 列 式 ， 称 为 子 式 的 余 子 式 ．
( i i i ) ( j j j ) 1 2 k 1 2 k N ( 1 ) M 称 为 的 代 数 余 子 式 ．
a
b
c
d
b a d c D . c d a b d c b a
T 其 次 ， D D 解 首 先 ， 根 据 行 列 式 的 性 质 ， ，
a b 2 T D DD c d
b c da b c d a d c b a d c d a bc d a b c b ad c b a
例 1在 四 阶 行 列 式
1 2 1 4 0 121 D 0 0 21 0 0 1 3
2 4 N 2 选 定 第 一 、 三 行 ， 第 二 、 四 列 得 出 一 个 二 阶 子 式 ． 0 1
02 N M 0 的 余 子 式 为 ． 01
( 1 3 ) ( 2 4 ) N ( 1 ) M M 0 的 代 数 余 子 式 为 ．
D N A N A N A 665 ． 1 1 2 2 3 3
例 3 计算 2 n 阶行列式
a D b
其中行列式中空白处元素均为零．
b a b b a a
n行
，
n行
n 1 n 解 先 按 第 ， 行 展 开 ， 得
a D a b b a a b b a
b
n 1 行 n 1 行
b a n行 2 n 2 n 1 再 将 上 式 右 边 的 阶 行 列 式 ， 按 第 ， 展 开 ， 得
a a ba b D b ab a b a b b a a b n 2 行 n 2 行
2 2 2 22
a D 由 于 中 主 对 角 线 上 的 元 素 都 是 ， 按 行 列 式 的 定 义
a这 知 ， 项 前 面 的 符 号 正 ， 此 a为 b因 c d
b 2 a 2 d 2 c 22 D a b c d ． D c d a b 本节完． d c b a
4
定理 2 证明
作一个2 n 阶行列式
a11 a21 D an1 1 0 0
a12 0 0
a1n
0 0 0 b11 b21
0 0 0 b12
0 0 0
a22 a2 n an 2 ann 0 0 1
b1n
b22 b2 n
0 0
0 0 b 1 m b mm a 11 a 1 n b 11 b 1 m a n 1 a nn b m 1 b mm
a 11 a 1 n
a 11 a 1 n b 11 b 1 m 0 0 a a n 1 nn ( 1 )mn b 11 b 1 m c 11 c 1 m a n 1 a nnb m 1 b mm b m 1 b mm c m 1 c mn
c21 c22 c2n cn1 cn2 cnn
，
c a b a b a b i , j 1 , 2 , , n 其 中 ， ． ij i 1 1 j i 2 2 j in nj
证明
D 例 4试 计 算 下 列 行 列 式 的 平 方 ， 从 而 求 出 ．
定 理 2(行 列 式 乘 法 公 式 ) 设
a11 a12 a1n a21 a22 a2n D 1 an1 an2 ann
b11 b12 b1n b21 b22 b2n ， D 2 bn1 bn2 bnn
c 11 c 12 c 1n
则
D 1D 2 C
c c 11 c 12 1 n
1 0 0
c c 1 0 21 c 22 2 n ( 1 2 n ) ( n 1 n 2 n n )0 ( 1 ) C c c 0 0 1 n 1 c n 2 nn
56 50 60 N 19 N 30 N 36 ， ， ． 1 2 3 15 16 56
它 们 的 代 数 余 子 式 分 别 是 ：
根 据 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得
560 ( 1 2 ) ( 1 2 ) A ( 1 ) 156 65 ， 1 015 1 6 0 ( 1 2 ) ( 1 3 ) A ( 1 ) 0 5 6 19 ， 2 0 1 5 0 6 0 ( 1 2 ) ( 2 3 ) A ( 1 ) 0 5 6 0 ． 3 0 1 5
0 0
0 0
0 0
c11 c 21
c12 c 22 cn 2 b12 b 22 bn 2
c1 n c2 n c nn b1 n b2 n b nn
用拉普拉斯 定理
0 0 D 1 0 0 1 0 0
0 c n1 0 b11 0 b 21 1 bn1
2 2 2 2 a b c d 0 0 0 2 2 2 2 0 a b c d 0 0 2 2 2 2 0 0 a b c d 0 2 2 2 2 0 0 0 a b c d
a2 b2 c2 d
2 4
D a b c d． 以 ，所
继 续 这 样 进 行 ， 最 后 可 得
a D b a b b a
b
n行 n行
a b
b (a 2 b 2)n ． a
n
a
两个特例情形： a 11 a 1 n 0 a n 1 a nn 0 c 11 c 1 n b 11 c m 1 c mn b m 1
定 理 1 （ 拉 普 拉 斯 定 理 ） 设 在 行 列 式D 中 任 意 取 定
k( 1 k n 1 )行 k行 k阶 ． 由 这 元 素 所 组 成 的 一 切 子
式 与 它 们 相 应 代 数 余 子 式 的 乘 积 之 和 等 于 行 列 式D ．
D D 称 对 行 列 式 应 用 拉 普 拉 斯 定 理 为 将 行 列 式 按 某
1 bn1 bn 2 bnn D D D 一 方 面 ， 由 拉 普 拉 斯 定 理 ， ． 1 2
n 1 n 2 a a 另 一 方 面 ， 将 第 行 的 倍 ， 第 行 的 倍 ， 11 12
2 n ， a 第 行 的 倍 都 加 到 第 一 行 ， 得 1 n
D
0 a 21 a n1 1 0 0
k 个 行 展 开 ．
k D 假 如 把 行 换 成 列 ， 则 称 将 行 列 式 按 某 个 列 展 开 ．
例 2计 算 五 阶 行 列 式
5 1 D 0 0 0
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
0 0 6 5 1
0 0 . 0 6 5wenku.baidu.com
D 解 在 的 前 二 行 中 ， 所 有 二 阶 子 式 共 有 1 0 个 ， 但 其 中 只 有 三 个 不 为 零 ， 它 们 是 ：
第三节
拉普拉斯定理
行列式的乘法公式
,i2, ,ik k 行 定 义1 在n阶 行 列 式D 中 任 取 (第i 1
, j2, , jk列 1 kn. 行 ) k列 ( 第j ) ， 位 于 这 些 行 和 列 的 1
k 阶 交 叉 点 上 的 元 素 按 原 来 相 应 的 位 置 组 成 一 个 行 列 式
0 a 22 an2
0 a 2n a nn 0 0 1
c11 0 0 b11 b 21 b n1
c12 0 0 b12 b 22 bn 2
c1n 0 0
0 1 0
b1n b2 n b nn
a ( k 2 , 3 , , n ) a n 1 n 2 再 依 次 将 第 行 的 倍 ， 第 行 的 k 1 k 2 a k 2 n ， 倍 ， 第 行 的 倍 加 到 第 行 ， 就 得 kn
N k阶 ， 称 为 行 列 式D的 一 个 子 式 ．
k k 在 中 划 去 这 行 列 后 余 下 的 元 素 按 原 来 相 应 位 置 D
n k N M 组 成 的 阶 行 列 式 ， 称 为 子 式 的 余 子 式 ．
( i i i ) ( j j j ) 1 2 k 1 2 k N ( 1 ) M 称 为 的 代 数 余 子 式 ．
a
b
c
d
b a d c D . c d a b d c b a
T 其 次 ， D D 解 首 先 ， 根 据 行 列 式 的 性 质 ， ，
a b 2 T D DD c d
b c da b c d a d c b a d c d a bc d a b c b ad c b a
例 1在 四 阶 行 列 式
1 2 1 4 0 121 D 0 0 21 0 0 1 3
2 4 N 2 选 定 第 一 、 三 行 ， 第 二 、 四 列 得 出 一 个 二 阶 子 式 ． 0 1
02 N M 0 的 余 子 式 为 ． 01
( 1 3 ) ( 2 4 ) N ( 1 ) M M 0 的 代 数 余 子 式 为 ．
D N A N A N A 665 ． 1 1 2 2 3 3
例 3 计算 2 n 阶行列式
a D b
其中行列式中空白处元素均为零．
b a b b a a
n行
，
n行
n 1 n 解 先 按 第 ， 行 展 开 ， 得
a D a b b a a b b a
b
n 1 行 n 1 行
b a n行 2 n 2 n 1 再 将 上 式 右 边 的 阶 行 列 式 ， 按 第 ， 展 开 ， 得
a a ba b D b ab a b a b b a a b n 2 行 n 2 行
2 2 2 22
a D 由 于 中 主 对 角 线 上 的 元 素 都 是 ， 按 行 列 式 的 定 义
a这 知 ， 项 前 面 的 符 号 正 ， 此 a为 b因 c d
b 2 a 2 d 2 c 22 D a b c d ． D c d a b 本节完． d c b a
4
定理 2 证明
作一个2 n 阶行列式
a11 a21 D an1 1 0 0
a12 0 0
a1n
0 0 0 b11 b21
0 0 0 b12
0 0 0
a22 a2 n an 2 ann 0 0 1
b1n
b22 b2 n
0 0
0 0 b 1 m b mm a 11 a 1 n b 11 b 1 m a n 1 a nn b m 1 b mm
a 11 a 1 n
a 11 a 1 n b 11 b 1 m 0 0 a a n 1 nn ( 1 )mn b 11 b 1 m c 11 c 1 m a n 1 a nnb m 1 b mm b m 1 b mm c m 1 c mn
c21 c22 c2n cn1 cn2 cnn
，
c a b a b a b i , j 1 , 2 , , n 其 中 ， ． ij i 1 1 j i 2 2 j in nj
证明
D 例 4试 计 算 下 列 行 列 式 的 平 方 ， 从 而 求 出 ．
定 理 2(行 列 式 乘 法 公 式 ) 设
a11 a12 a1n a21 a22 a2n D 1 an1 an2 ann
b11 b12 b1n b21 b22 b2n ， D 2 bn1 bn2 bnn
c 11 c 12 c 1n
则
D 1D 2 C
c c 11 c 12 1 n
1 0 0
c c 1 0 21 c 22 2 n ( 1 2 n ) ( n 1 n 2 n n )0 ( 1 ) C c c 0 0 1 n 1 c n 2 nn
56 50 60 N 19 N 30 N 36 ， ， ． 1 2 3 15 16 56
它 们 的 代 数 余 子 式 分 别 是 ：
根 据 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得
560 ( 1 2 ) ( 1 2 ) A ( 1 ) 156 65 ， 1 015 1 6 0 ( 1 2 ) ( 1 3 ) A ( 1 ) 0 5 6 19 ， 2 0 1 5 0 6 0 ( 1 2 ) ( 2 3 ) A ( 1 ) 0 5 6 0 ． 3 0 1 5
0 0
0 0
0 0
c11 c 21
c12 c 22 cn 2 b12 b 22 bn 2
c1 n c2 n c nn b1 n b2 n b nn
用拉普拉斯 定理
0 0 D 1 0 0 1 0 0
0 c n1 0 b11 0 b 21 1 bn1
2 2 2 2 a b c d 0 0 0 2 2 2 2 0 a b c d 0 0 2 2 2 2 0 0 a b c d 0 2 2 2 2 0 0 0 a b c d
a2 b2 c2 d
2 4
D a b c d． 以 ，所